【志鴻優(yōu)化設(shè)計】（湖南專用）高考數(shù)學一輪復習 第六章數(shù)列6.4數(shù)列的通項與求和教學案 理.doc

6.4數(shù)列的通項與求和1熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式2掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見方法數(shù)列求和的常用方法1公式法(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式(2)掌握一些常見的數(shù)列的前n項和123n_；135(2n1)_；2462n_；122232n2_；132333n3_.2倒序相加法如果一個數(shù)列an，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如_數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導的3錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如_數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的4裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和5分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解6并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解例如sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1.等于()a. b. c1 d3 2已知數(shù)列an的通項公式是an，其前n項和sn，則項數(shù)n等于()a13 b10 c9 d63數(shù)列(1)n(2n1)的前2 012項和s2 012()a2 012 b2 012 c2 011 d2 0114已知數(shù)列an的前n項和為sn且ann2n，則sn_.一、分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】已知函數(shù)f(x)2x3x1，點(n，an)在f(x)的圖象上，an的前n項和為sn.(1)求使an0的n的最大值；(2)求sn.方法提煉1數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前n項和的數(shù)列求和2常見類型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解；(3)anbncn，數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項和請做演練鞏固提升4二、裂項相消法求和【例21】等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項和【例22】已知各項均不相等的等差數(shù)列an的前四項和s414，且a1，a3，a7成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)tn為數(shù)列的前n項和，若tnan1對一切nn*恒成立，求實數(shù)的最小值方法提煉1利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項將通項裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項相等2一般情況如下，若an是等差數(shù)列，則，.此外根式在分母上時可考慮利用分母有理化相消求和3常見的拆項公式有：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)()請做演練鞏固提升3三、錯位相減法求和【例31】(2012浙江高考)已知數(shù)列an的前n項和為sn，且sn2n2n，nn*，數(shù)列bn滿足an4log2bn3，nn*.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列anbn的前n項和tn.【例32】已知在數(shù)列an中，a13，點(an，an1)在直線yx2上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若bnan3n，求數(shù)列bn的前n項和tn.方法提煉1用錯位相減法求和時，應(yīng)注意：(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“sn”與“qsn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“snqsn”的表達式2利用錯位相減法求和時，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若公比是個參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和特別強調(diào)：利用裂項相消法求和時要注意：(1)在把通項裂開后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項之差；(2)在正負項抵消后，是否只剩下了第一項和最后一項，或有時前面剩下兩項，后面也剩下兩項請做演練鞏固提升5分類討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用【典例】(13分)(2012湖北高考)已知等差數(shù)列an前三項的和為3，前三項的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項和規(guī)范解答：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d，由題意得解得或(4分)所以由等差數(shù)列通項公式可得an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.故an3n5，或an3n7.(6分)(2)當an3n5時，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列，不滿足條件；當an3n7時，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿足條件故|an|3n7|(8分)記數(shù)列|an|的前n項和為sn.當n1時，s1|a1|4；(9分)當n2時，s2|a1|a2|5；當n3時，sns2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10，當n2時，滿足此式(12分)綜上，sn(13分)答題指導：分類討論思想在數(shù)列求和時經(jīng)常遇到，尤其是含絕對值的求和問題，與等比數(shù)列有關(guān)的問題，還有分奇偶項進行討論的問題，此類問題討論時要掌握不遺漏、不重復的原則1在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a3a54，則數(shù)列l(wèi)og2an的前7項和等于()a7 b8 c27 d282已知等比數(shù)列an的首項為1，若4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項和為()a b2 c d3數(shù)列，的前n項和為()a b c d4求下面數(shù)列的前n項和11，4，7，3n2，.5已知數(shù)列an是首項a11的等比數(shù)列，且an0，bn是首項為1的等差數(shù)列，又a5b321，a3b513.(1)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和sn.參考答案基礎(chǔ)梳理自測知識梳理1(2)n2n(n1)22等差3等比基礎(chǔ)自測1a解析：sn.故選a.2d解析：an1，snnn1.而5.n15.n6.3b解析：s2 0121357(22 0111)(22 0121)2 012.故選b.4(n1)2n12解析：sn2222323n2n，2sn22223324(n1)2nn2n1.，得sn222232nn2n1n2n12n12n2n1，sn(n1)2n12.考點探究突破【例1】 解：(1)依題意an2n3n1，an0，即2n3n10.函數(shù)f(x)2x3x1在1,2上為減函數(shù)，在3，)上為增函數(shù)當n3時，239120，當n4時，2412130，2n3n10中n的最大值為3.(2)sna1a2an(2222n)3(123n)n3n2n12.【例21】 解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a329a2a6得a329a42，所以q2.由條件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2，2.所以數(shù)列的前n項和為.【例22】 解：(1)設(shè)公差為d.由已知得聯(lián)立解得d1或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)，tn.tnan1，(n2).又.的最小值為.【例31】 解：(1)由sn2n2n，得當n1時，a1s13；當n2時，ansnsn14n1.所以an4n1，nn*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nn*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nn*.所以tn3721122(4n1)2n1,2tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2tntn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故tn(4n5)2n5，nn*.【例32】 解：(1)點(an，an1)在直線yx2上，an1an2，即an1an2.數(shù)列an是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，an32(n1)2n1.(2)bnan3n，bn(2n1)3n.tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，3tn332533(2n1)3n(2n1)3n1.得2tn332(32333n)(2n1)3n192(2n1)3n12n3n1tnn3n1.演練鞏固提升1a解析：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，由a3a54，得a424，a42.設(shè)bnlog2an，則數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b4log2a41.所以bn的前7項和s77b47.2a解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q，則有4q222q，解得q2，所以an2n