高中數(shù)學 第2章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的幾何性質課件 蘇教版選修12(1).ppt

第2章2 4拋物線 2 4 2拋物線的幾何性質 1 掌握拋物線的簡單幾何性質 2 能運用拋物線的簡單幾何性質解決與拋物線有關的問題 學習目標 知識梳理自主學習 題型探究重點突破 當堂檢測自查自糾 欄目索引 知識梳理自主學習 知識點一拋物線的幾何性質 答案 x 0 x 0 y 0 y 0 直線過拋物線y2 2px p 0 的焦點f 與拋物線交于a x1 y1 b x2 y2 兩點 由拋物線的定義知 知識點二焦點弦 答案 故ab x1 x2 p 知識點三直線與拋物線的位置關系 直線y kx b與拋物線y2 2px p 0 的交點個數(shù)決定于關于x的方程 的解的個數(shù) 當k 0時 若 0 則直線與拋物線有兩個不同的公共點 當 0時 直線與拋物線有個公共點 當 0時 直線與拋物線公共點 當k 0時 直線與拋物線的對稱軸 此時直線與拋物線有個公共點 k2x2 2 kb p x b2 0 一 沒有 行或重合 平 一 思考 1 拋物線x2 2py p 0 有幾條對稱軸 是不是中心對稱圖形 返回 答案 答案有一條對稱軸即y軸 不是中心對稱圖形 2 影響拋物線開口大小的量是什么 是如何影響的 答案影響拋物線開口大小的量是參數(shù)p p值越大 拋物線的開口越大 反之 開口越小 題型探究重點突破 題型一拋物線的幾何性質 解析答案 反思與感悟 1 注意拋物線各元素間的關系 拋物線的焦點始終在對稱軸上 拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點 拋物線的準線始終與對稱軸垂直 拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點關于拋物線的頂點對稱 2 解決拋物線問題要始終把定義的應用貫徹其中 通過定義的運用 實現(xiàn)兩個距離之間的轉化 簡化解題過程 反思與感悟 跟蹤訓練1已知拋物線的對稱軸在坐標軸上 以原點為頂點 且經(jīng)過點m 1 2 求拋物線的標準方程和準線方程 解析答案 解 1 當拋物線的焦點在x軸上時 設其標準方程為y2 mx m 0 將點m 1 2 代入 得m 4 拋物線的標準方程為y2 4x 2 當拋物線的焦點在y軸上時 設其標準方程為x2 ny n 0 例2已知拋物線方程為y2 2px p 0 過此拋物線的焦點的直線與拋物線交于a b兩點 且ab 題型二拋物線的焦點弦問題 解析答案 反思與感悟 求ab所在的直線方程 所以直線ab的斜率存在 設為k 反思與感悟 消去x 整理得ky2 2py kp2 0 解析答案 解得k 2 反思與感悟 1 解決拋物線的焦點弦問題時 要注意拋物線定義在其中的應用 通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題 從而可借助根與系數(shù)的關系進行求解 2 設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論 反思與感悟 跟蹤訓練2已知直線l經(jīng)過拋物線y2 6x的焦點f 且與拋物線相交于a b兩點 1 若直線l的傾斜角為60 求ab的值 解析答案 若設a x1 y1 b x2 y2 則x1 x2 5 ab 5 3 8 x1 x2 p 解因為直線l的傾斜角為60 2 若ab 9 求線段ab的中點m到準線的距離 解設a x1 y1 b x2 y2 由拋物線定義知 x1 x2 p x1 x2 3 所以x1 x2 6 于是線段ab的中點m的橫坐標是3 解析答案 例3已知直線l y kx 1 拋物線c y2 4x 當k為何值時 直線l與拋物線c有 1 一個公共點 2 兩個公共點 3 沒有公共點 題型三直線與拋物線的位置關系 解析答案 反思與感悟 解析答案 反思與感悟 消去y 得k2x2 2k 4 x 1 0 當k 0時 方程 為一元二次方程 2k 4 2 4k2 當 0 即k 1且k 0時 直線l與拋物線c有兩個公共點 此時直線l與拋物線c相交 反思與感悟 當 0 即k 1時 直線l與拋物線c有一個公共點 此時直線l與拋物線c相切 當 1時 直線l與拋物線c沒有公共點 此時直線l與拋物線c相離 綜上所述 1 當k 1或k 0時 直線l與拋物線c有一個公共點 2 當k1時 直線l與拋物線c沒有公共點 直線與拋物線交點的個數(shù) 等價于直線方程與拋物線方程聯(lián)立得到的方程組解的個數(shù) 注意直線斜率不存在和得到的方程二次項系數(shù)為0的情況 反思與感悟 跟蹤訓練3如圖 過拋物線y2 x上一點a 4 2 作傾斜角互補的兩條直線ab ac交拋物線于b c兩點 求證 直線bc的斜率是定值 解析答案 返回 證明設kab k k 0 直線ab ac的傾斜角互補 kac k k 0 直線ab的方程是y k x 4 2 解析答案 返回 消去y后 整理得k2x2 8k2 4k 1 x 16k2 16k 4 0 a 4 2 b xb yb 是上述方程組的解 返回 所以直線bc的斜率為定值 當堂檢測 1 2 3 4 5 1 以x軸為對稱軸的拋物線的通徑 過焦點且與對稱軸垂直的弦 長為8 若拋物線的頂點在坐標原點 則其方程為 y2 8x或y2 8x 解析設拋物線y2 2px或y2 2px p 0 2 y 2p 8 p 4 解析答案 1 2 3 4 5 2 若拋物線y2 x上一點p到準線的距離等于它到頂點的距離 則點p的坐標為 解析由題意知 點p到焦點f的距離等于它到頂點o的距離 因此點p在線段of的垂直平分線上 解析答案 1 2 3 4 5 3 拋物線y 4x2上一點到直線y 4x 5的距離最短 則該點坐標為 解析因為y 4x2與y 4x 5不相交 設與y 4x 5平行的直線方程為y 4x m 解析答案 設此直線與拋物線相切 此時有 0 即 16 16m 0 m 1 1 2 3 4 5 4 經(jīng)過拋物線y2 2x的焦點且平行于直線3x 2y 5 0的直線l的方程是 6x 4y 3 0 解析答案 1 2 3 4 5 5 已知直線x y 1 0與拋物線y ax2相切 則a 解析答案 直線與拋物線相切 a 0且 1 4a 0 課堂小結 1 討論拋物線的幾何性質 一定要利用拋物線的標準方程 利用幾何性質 也可以根據(jù)待定系數(shù)法求拋物線的方程 2 直線與拋物線的相交弦問題共有兩類 一類是過焦點的弦 一類是不過焦點的弦 解決弦的問題 大多涉及到拋物線的弦長 弦的中點 弦的斜率 常用的辦法是將直線方程與拋物線方程聯(lián)立 轉化為關于x或y的一元二次方程 然后利用根與系數(shù)的關系 這樣避免求交點 尤其是弦的中點問題 還應注意 點差法 的運用 3 判斷直線與拋物線位置關系的兩種方法 1 幾何法 利用圖象 數(shù)形結合 判斷直線與拋物線的位置關系 但有誤差影響判斷的結果 2 代數(shù)法 設直線l的方程為y