(電大復習)經(jīng)濟數(shù)學基礎12（專）

經(jīng)濟數(shù)學 基礎 12 復習資料 一、 單項選擇題 1下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ） (A) siny x x (B) 2y x x (C) 22xxy (D) cosy x x 正確答案： A 2下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（ ） (A) siny x x (B) 1ln1xy x(C) eexxy (D) 2y x x 正確答案： B 3下列各函數(shù)對中，（ ）中的兩個函數(shù)相等 A. 2( ) ( ) , ( )f x x g x x B. 2 1( ) , ( ) 11xf x g x xxC. 2( ) l n , ( ) 2 l nf x x g x x D. 22( ) s i n c o s , ( ) 1f x x x g x 正確答案： D 4下列結論中正確的是（ ） (A) 周期函數(shù)都是有界函數(shù) (B) 基本初等函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) (C) 奇函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱 (D) 偶函數(shù)的圖形關于坐標原點對稱 正確答案： C 5下列極限存在的是（ ） A 22lim 1xxx B01lim 21xx C limsinx xD 10limexx正確答案： A 6已知 ( ) 1s inxfx x，當（ ）時， )(xf 為無窮小量 A. 0x B. 1x C. x D. x 正確答案： A 7當 x 時，下列變量為無窮小量的是（ ） A ln(1 )x B 21xxC 21ex Dxxsin正確答案： D 8函數(shù) 1 1 2 ,0(),0x xfx xkx 在 x = 0 處連續(xù)，則 k = ( ) A -2 B -1 C 1 D 2 正確 答案： B 9.曲線 sinyx在點 )0,( 處的切線斜率是（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 21(D) 1 正確答案： D 10曲線 11y x在點（ 0, 1）處的切線斜率為 （ ）。 A21B 12C312 ( 1)xD312 ( 1)x正確答案： B 11 若 ( ) cos 2f x x ，則 ()2f （ ） A 0 B 1 C 4 D -4 正確 答案： C 12 下 列函數(shù)在 區(qū)間 ( , ) 上單調(diào)減少的是 （ ） (A) xcos (B) 2 x (C) x2 (D) 2x 正確答案： B 13 下列結論正確的是 （ ） (A) 若0( ) 0fx ，則0x必是 )(xf 的極值點 (B) 使 ()fx 不存在的點0x，一定是 )(xf 的極值點 (C) 0x是 )(xf 的極值點，且0()fx存在，則必有0( ) 0fx (D) 0x是 )(xf 的極值點，則0x必是 )(xf 的駐點 正確答案： C 14 設某商品的需求函數(shù)為 2( ) 10e pqp ，則當6p 時，需求彈性為（ ） A 35e B 3 C 3 D 12正確 答案： B 15若函數(shù) 1() xfxx， ( ) 1 ,g x x 則 ( 2)fg ( ) A -2 B -1 C -1.5 D 1.5 正確答案： A 16函數(shù) 1ln( 1)y x的連續(xù)區(qū)間是（ ） A 1 2 2 （ ， ） （ ， ） B 1 2 2 ， ） （ ， ） C 1（ ， ） D 1， ） 正確答案： A 17設 ln( ) d xf x x cx，則 )(xf =（ ） A xlnln BxxlnC21 lnxx D x2ln 正確答案： C 18下列積分值為 0 的是（ ） A- sin dx x xB 1-1eed2xxx C 1-1eed2xxx D ( c o s ) dx x x 正確答案： C 19 若 )(xF 是 )(xf 的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是 ( ) A ( ) d ( )xa f x x F xB ( ) d ( ) ( )xa f x x F x F aC ( ) d ( ) ( )ba F x x f b f aD ( ) d ( ) ( )ba f x x F b F a 正確答案： B 20.設 (1 2)A ， ( 1 3)B ， I 是單位矩陣，則TA B I （ ） A 2325B 1236C 1326D 2235正確答案： A 21.設 BA, 為同階方陣，則下列命題正確的是（ ） . A.若 AB O ，則必有 AO或 BO B.若 AB O ，則必有 AO , BO C.若秩 ()AO ,秩 ()BO ，則秩 ()AB O D. 1 1 1()A B A B 正確答案： B 22當條件（ ）成立時 ，n元線性方程組 AX b有解 A. ()r A n B. ()r A n C. ()r A n D. bO 正確答案： D 23.設線性方程組 AX b 有惟一解，則相應的齊次方程組 AX O （ ） A無解 B只有 0 解 C有非0 解 D解不能確定 正確答案： B 24. 設線性方程組 AX b 的增廣矩陣為 1 3 2 1 40 1 1 2 60 1 1 2 60 2 2 4 1 2，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 正確答案： B 25. 若線性方程組的增廣矩陣為 112 6 0A ，則當 （ ）時線性方程組無解 (A) 3 (B) 3 (C) 1 (D) 1 正確答案： A 26. 設 0 4 51 2 3006A，則 ()rA （ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 正確答案： D 27.設線性方程 組mnA X b 有無窮多解的充分必要條件是（ ） A ( ) ( )r A r A m B ( ) ( )r A r A n C mn D ()r A n 正確答案： B 28設線性方程組 AX b 有唯一解，則相應的齊次方程組 AX O （ ） A只有零 解 B有非零解 C無解 D解不能確定 正確答案： A 29.設 A 為 23 矩陣， B 為 32 矩陣，則下列運算中（ ）可以進行 A AB B ABT C A+B D BAT 正確答案： A 30. 設 是可逆矩陣，且 A AB I ，則 1A （ ） . A B 1 B C IB D 1()I AB 正確答案： C 31.設需求量 q對價格 p的函數(shù)為 ( ) 3 2q p p ,則需求彈性為 Ep=( )。 A32ppB. 32ppC. 32ppD. 32pp正確答案： D 32.在無窮積分中收斂的是（ ） A. 0 xe dxB. 1 31 dxxC. 211 dxx D. 0 sin xdx 正確答案： C 33. 設 A為 3 4矩陣 ,B為 5 2矩陣 ,且乘積矩陣TTAC B 有意義 ,則 C為 ( )矩陣 . A.4 2 B. 2 4 C. 3 5 D. 5 3 正確答案： B 34. 線性方程組 12122123xxxx的解的情況是（ ） A.無解 B.只有 0解 C.有唯一解 D.有無窮多解 正確答案： A 二、填空題 1 函數(shù) 24ln( 1)xyx的定義域是 正確答案： ( 1,2 2函數(shù)2 14 1yx x的定義域是 . 正確答 案： 2 , 1) ( 1 , 2 U 3 若函數(shù) 2( 1 ) 2 6f x x x，則 ()fx 正確答案： 2 5x 4設 1 0 1 0()2xxfx ，則函數(shù)的圖形關于 對稱 正確答案： y 軸 5已知需求函數(shù)為 20 233qp，則收入函數(shù))(qR = . 正確答案： 23102qq6 sinlimxxxx 正確答案： 1 7 已知 2 1 0() 10x xfx xax ，若 )(xf 在( , ) 內(nèi)連續(xù)，則 a 正確答案： 2 8 曲線 2( ) 1f x x 在 )2,1( 處的切線斜率是 正確答案：219過曲線 2e xy 上的一點（ 0， 1）的切線方程為 . 正確答案： 21yx 10 函數(shù) 3( 2)yx 的駐點是 正確答案： 2x 11 設 1 2 32 5 130Aa，當 a 時，是對稱矩陣 正確答案： 1 12已知 ta n( ) 1 xfxx，當 時，)(xf 為無窮小量 正確答案： 0x 13 齊次線性方程組 0AX （ A 是 nm ）只有零解的充分必要條件是 正確答案： ()r A n 14若 ( ) d ( )f x x F x c ，則 e (e )dxxfx = . 正確答案： (e )xFc 15 0 3edx x= 正確答案：3116 設線性方程組 AX b ，且 1 1 1 60 1 3 20 0 1 0At，則 _t 時，方程組有唯一解 正確答案： 1 17設齊次線性方程組11m n n mA X O ，且 )(Ar = r n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于 正確答案： n r 18線性方程組 AX b 的增廣矩陣 化成階梯形矩陣后為 1 2 0 1 00 4 2 1 10 0 0 0 1Ad則當d= 時，方程組 AX b 有無窮多解 . 正確答案： -1 19. 已知齊次線性方程組 AX O 中 A 為 53 矩陣，則 ()rA 正確答案： 3 20.函數(shù) 11 xfx e 的間斷點是 正確答案： 0x 21.若 222xf x d x x C ，則 fx 正確答案： 2 ln 2 4x x 三、微積分計算題 1已知 22 sinx x ，求 y 解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 2 2 2( 2 s i n ) ( 2 ) s i n 2 ( s i n )x x xy x x x 2 2 22 l n 2 s i n 2 c o s ( )xxx x x 222 l n 2 s i n 2 2 c o sxxx x x 2設 2c o s 2 s i nxyx，求 y 解； 2s i n 2 2 l n 2 2 c o sxxy x x 3設 23ln e xyx，求 y 解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 23( l n ) ( e )xyx 32 ln 3e xxx 4設 s ine ta nxyx，求 yd 解：由導數(shù)運算法則和復合函數(shù)求導法則得 s i nd d ( e t a n )xyx s i nd ( e ) d ( t a n )x x s i n21e d ( s i n ) dc o sx xxx s i n21e c o s d dc o sx x x xx s i n 21( e c o s ) dc o sx xxx 5 2e01 d1 ln xxx解： 2e11 d1 ln xxx= 2e11 d ( 1 l n )1 l n xx = 2e12 1 ln x=2( 3 1) 6計算21sindx xx 解 21s i n1 1 1d s i n d ( ) c o sx xcx x x x 7計算 2dx xx解 2 d 22 2 d ( ) 2l n 2x xxx xcx 8計算 sin dx x x 解 s i n d c o s c o s d c o s s i nx x x x x x x x x x c 9計算 ( 1) ln dx x x 解 ( 1) ln dx x x = 221 1 ( 1 )( 1 ) l n d22 xx x xx = 221 ( 2 ) l n24xx x x x c10計算 1221e dx xx解 1221e dx xx= 211 1221 11e d ( ) e e exxx 11 2e11 d1 ln xxx解 2e11 d1 ln xxx= 2e11 d ( 1 l n )1 l n xx = 2e12 1 ln x= 2( 3 1) 12 20 cos 2 dx x x解： 20 cos 2 dx x x = 201 sin 22 xx -201 sin 2 d2 xx = 201 cos 24 x =12 13 e10 ln ( 1)dxx e 1 e 1e1000l n ( 1 ) d l n ( 1 ) d1xx x x x xx = e101e 1 (1 )d1 xx = e10e 1 l n ( 1 ) xx eln =1 四、代數(shù)計算題 1設矩陣1 1 0 11 2 1 , 22 2 3 5AB ，求 1AB 解：因為 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 01 2 1 0 1 0 0 1 1 1 1 02 2 3 0 0 1 0 4 3 2 0 1 1 1 0 1 0 00 1 1 1 1 00 0 1 6 4 11 1 0 1 0 00 1 0 5 3 10 0 1 6 4 1 1 0 0 4 3 10 1 0 5 3 10 0 1 6 4 1 即 1 4 3 15 3 16 4 1A 所以 1 4 3 1 1 55 3 1 2 66 4 1 5 9AB 2 設矩陣 0 1 32273 4 8A ，I是 3 階單位矩陣，求1()IA 解：由矩陣減法運算得 1 0 0 0 1 3 1 1 30 1 0 2 2 7 2 3 70 0 1 3 4 8 3 4 9IA 利用初等行變換得 1 1 3 1 0 0 1 1 3 1 0 02 3 7 0 1 0 0 1 1 2 1 03 4 9 0 0 1 0 1 0 3 0 1 1 1 3 1 0 0 1 1 0 2 3 30 1 1 2 1 0 0 1 0 3 0 10 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 3 20 1 0 3 0 10 0 1 1 1 1即 11 3 2( ) 3 0 11 1 1IA 3. 設矩陣 A = 1 0 21 2 0， B = 631241，計算 (AB)-1 解 因為 AB = 1 0 21 2 0631241= 2141(AB I ) = 2 1 1 0 2 1 1 04 1 0 1 0 1 2 1 112 0 1 1 10220 1 2 10 1 2 1 所以 (AB)-1= 1122214.解矩陣方程 2 3 13 4 2X 。 解：由 2 3 13 4 2X ，得 12 3 13 4 2X 2 3 1 0 1 1 1 13 4 0 1 3 4 0 11 1 1 1 1 0 4 30 1 3 1 0 1 3 3 所以， 12 3 1 4 3 1 23 4 2 3 2 2 1X 5求線性方程組 1 3 41 2 3 41 2 3 4203 2 02 5 3 0x x xx x x xx x x x 的一般解 解：因為系數(shù)矩陣 1 0 2 1 1 0 2 11 1 3 2 0 1 1 12 1 5 3 0 1 1 1A 1 0 2 10 1 1 10 0 0 0所以一般解為 1 3 42 3 42x x xx x x （其中3x，4x是自由元） 6當 取何值時，線性方程組 1 2 31 2 31312451x x xx x xxx 有解？并求一般解 解 因為增廣矩陣 1 1 1 12 1 41 0 5 1A 1 1 1 10 1 6 20 1 6 2 1 0 5 10 1 6 20 0 0 所以，當 =0 時，線性方程組有無窮多解，且一般解為： 13235162xx (x3 是自由未知量 五、應用題 1 投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為 36（萬元），且邊際成本為 ( ) 2 4 0C x x （萬元 /百臺）。試求產(chǎn)量由 4 百臺增至 6 百臺時總 成本的增量，及產(chǎn)量多少時，可使平均成本達到最低？ :解 當產(chǎn)量由 4 百臺增至 6 百臺時，總成本的增量為 6 26 44( ) ( 2 4 0 ) 4 0 1 0 0C x x d x x x （萬元） 又200 () 4 0 3 6 3 6( ) 4 0x C x d x c xxC x xx x x 令236( ) 1 0Cx x ，解得 6x 。 2已知某產(chǎn)品的邊際成本 ( ) 4 3C q q （萬元 /百臺）， q 為產(chǎn)量（百臺），固定成本為 18（萬元），求最低平均成本 解：總得成本函數(shù)為 2( ) d ( 4 3 ) d 2 3 1 8C C q q q q q q 平均成本函數(shù)為 ( ) 1 823CqCqqq2182C q ，令21820C q ，解得 3x （百臺） 因為平均成本存在最小值，且駐點唯一，所以，當產(chǎn)量為 300 臺時，可使平均成本達到最低。 最低平均成本 為 18( 3 ) 2 3 3 93C （萬元 /百臺） 3生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 ( ) 8C x x (萬元 /百臺 )，邊際收入為 ( ) 1 0 0 2R x x （萬元 /百臺），其中 x為產(chǎn)量，問 (1) 產(chǎn)量為多少時，利潤最大？ (2) 從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn) 2 百臺，利潤有什么變化？ 解 （ 1）邊際利潤函數(shù)為 ( ) ( ) ( )L x R x C x ( 1 0 0 2 ) 8 1 0 0 1 0x x x 令 ( ) 0Lx 得 10x （百臺） 又 10x 是 Lx( ) 的唯一駐點，根據(jù)問題的實際意義可知 Lx( ) 存在最大值，故 10x 是 Lx( ) 的最大值點，即當產(chǎn)量為 10（百臺）時，利潤最大 （ 2）利潤函數(shù) 1 2 1 21 0 1 0( ) d ( 1 0 0 1 0 ) dL L x x x x 2 1 210(1 0 0 5 ) 2 0xx 即從利潤 最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn) 2 百臺，利潤將減少 20 萬元 4已知某產(chǎn)品的邊際成本 2C （元 /件），固定成本為 0，邊際收益 1 2 0 .0 2R x x 。問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn) 50 件，利潤將會發(fā)生什么變化？ 解：因為邊際利潤 1 2 0 . 0 2 2 1 0 0 . 0 2L x R x C x x x 令 0Lx ，得 500x 。 500x 是唯一駐點，而該問題確實存在最大值。所以，當產(chǎn)量為 500 件時，利潤最大。 當產(chǎn)量由 500 件增加至 550 件時，利潤改變量為 550 2 5 5 0500500 1 0 0 . 0 2 1 0 0 . 0 15 0 0 5 2 5 2 5L x d x x x 即利潤將減少 25 元。 5.設生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 ( ) 3C x x (萬元 )，其中 x 為產(chǎn)量，單位：百噸銷售 x 百噸時的邊際收入為 ( ) 1 5 2R x x （萬元 /百噸），求： (1) 利潤最大時的產(chǎn)量； (2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎 上再生產(chǎn) 1 百噸，利潤會發(fā)生什么變化？ 解： (1) 因為邊際成本為 ( ) 1Cx ，邊際利潤( ) ( ) ( ) 1 4 2L x R x C x x 令 ( ) 0Lx ，得 7x 由該題實際意義可知， 7x 為利潤函數(shù) ()Lx 的極大值點，也是最大值點 . 因此，當產(chǎn)量為 7 百噸時利潤最大 . (2) 當產(chǎn)量由 7 百噸增加至 8 百噸時，利潤改變量為 8 8277 (1 4 2 ) d (1 4 )1 1 2 6 4 9 8 4 9 1L x x x x （萬元） 即當產(chǎn)量由 7 百噸增加至 8 百噸時，利潤將減少 1 萬元。 6設生 產(chǎn)某種產(chǎn)品 x 個單位時的成本函數(shù)為：2( ) 1 0 0 6C x x x（萬元） ,求： 當 10x 時的總成本和平均成本； 當產(chǎn)量 x 為多少時，平均成本最小？ 解： 因為總成本、平均成本和邊際成本分別為： 2( ) 1 0 0 6C x x x 100( ) 6C x xx ， 所以， 2(1 0 ) 1 0 0 1 1 0 6 1 0 2 6 0C 100( 1 0 ) 1 1 0 6 2 610C ， 2100( ) 1Cx x 令 ( ) 0Cx ，得 10x （ 10x 舍去），可以驗證 10x 是 ()Cx的最小值點，所以當 10x 時，平均成本最小。 7.某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件的成本函數(shù)為2( ) 0 . 5 3 6 9 8 0 0C q q q（元） .為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為 多少？ 解：因為 Cq( )=Cq( )= 98000 .5 3 6qq（ 0q ） ()Cq = 9800( 0 . 5 3 6 )qq=298000.5 q 令 ()Cq =0，即298000.5 q =0，得q1=140，q2= -140（舍去）。 q1=140 是Cq( )在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在 最小值 。 所以q1=140 是平均成本函數(shù)Cq( )的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為 140 件 . 此 時的平均成本為 C( )= 98000 . 5 1 4 0 3 6140 =176 （元 /件） 8已知某產(chǎn)品的銷售價格p（單位：元件）是銷量q（單位：件）的函數(shù) 4002qp，而總成本為( ) 1 0 0 1 5 0 0C q q （單位：元），假設生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出，求產(chǎn)量為多少時，利潤最大？最大利潤是多少？ 解：由已 知條件可得收入函數(shù) 2( ) 4 0 02qR q p q q利潤函數(shù) 2( ) ( ) ( ) 4 0 0 ( 1 0 0 1 5 0 0 )2qL q R q C q q q23 0 0 1 5 0 02qq求導得 ( ) 3 0 0L q q 令 ( ) 0Lq 得 300q ，它是唯一的極大值點，因此是最大值點 此時最大利潤為 2300( 3 0 0 ) 3 0 0 3 0 0 1 5 0 0 4 3 5 0 02L 即產(chǎn)量為 300 件時利潤最大最大利潤是 43500 元 9. 設生 產(chǎn)某種產(chǎn)品 x 個單位時的成本函數(shù)為：2( )