高考數(shù)學一輪復習 第七章 不等式 7.2 一元二次不等式及其解法課件 理.ppt

7 2一元二次不等式及其解法 基礎知識自主學習 課時作業(yè) 題型分類深度剖析 內容索引 基礎知識自主學習 1 三個二次 的關系 知識梳理 x xx2 x x r x x1 x x2 x a x b 0或 x a x b 0型不等式的解法 2 常用結論 x x a x xa x a x b 口訣 大于取兩邊 小于取中間 1 0 0 0 2 0 0 f x g x 0 0 且g x 0 以上兩式的核心要義是將分式不等式轉化為整式不等式 判斷下列結論是否正確 請在括號中打 或 1 若不等式ax2 bx c0 2 若不等式ax2 bx c 0的解集是 x1 x2 則方程ax2 bx c 0的兩個根是x1和x2 3 若方程ax2 bx c 0 a 0 沒有實數(shù)根 則不等式ax2 bx c 0的解集為r 4 不等式ax2 bx c 0在r上恒成立的條件是a 0且 b2 4ac 0 5 若二次函數(shù)y ax2 bx c的圖象開口向下 則不等式ax2 bx c 0的解集一定不是空集 1 教材改編 不等式x2 3x 10 0的解集是a 2 5 b 5 c 2 d 2 5 考點自測 答案 解析 2 設集合m x x2 3x 4 0 n x 0 x 5 則m n等于a 0 4 b 0 4 c 1 0 d 1 0 答案 解析 3 教材改編 y log2 3x2 2x 2 的定義域是 答案 解析 4 教材改編 若關于x的不等式ax2 bx 2 0的解集是 則a b 答案 解析 14 5 不等式x2 ax 4 0的解集不是空集 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 4 4 題型分類深度剖析 題型一一元二次不等式的求解 例1求不等式 2x2 x 3 0的解集 解答 命題點1不含參的不等式 例2解關于x的不等式 x2 a 1 x a 0 解答 命題點2含參不等式 引申探究 將原不等式改為ax2 a 1 x 1 0 求不等式的解集 解答 若a 0 原不等式等價于 x 11 當a 0時 解集為 x x 1 當a 1時 解集為 思維升華 含有參數(shù)的不等式的求解 往往需要對參數(shù)進行分類討論 1 若二次項系數(shù)為常數(shù) 首先確定二次項系數(shù)是否為正數(shù) 再考慮分解因式 對參數(shù)進行分類討論 若不易分解因式 則可依據(jù)判別式符號進行分類討論 2 若二次項系數(shù)為參數(shù) 則應先考慮二次項系數(shù)是否為零 確定不等式是不是二次不等式 然后再討論二次項系數(shù)不為零的情形 以便確定解集的形式 3 對方程的根進行討論 比較大小 以便寫出解集 跟蹤訓練1解下列不等式 1 0 x2 x 2 4 解答 2 求不等式12x2 ax a2 a r 的解集 解答 題型二一元二次不等式恒成立問題 命題點1在r上的恒成立問題 例3 1 若一元二次不等式2kx2 kx 0對一切實數(shù)x都成立 則k的取值范圍為a 3 0 b 3 0 c 3 0 d 3 0 答案 解析 k 0 2 設a為常數(shù) 對于 x r ax2 ax 1 0 則a的取值范圍是a 0 4 b 0 4 c 0 d 4 答案 解析 命題點2在給定區(qū)間上的恒成立問題 例4設函數(shù)f x mx2 mx 1 若對于x 1 3 f x m 5恒成立 求m的取值范圍 解答 要使f x m 5在x 1 3 上恒成立 有以下兩種方法 當m 0時 g x 在 1 3 上是增函數(shù) 所以g x max g 3 7m 6 0 當m 0時 6 0恒成立 當m 0時 g x 在 1 3 上是減函數(shù) 所以g x max g 1 m 6 0 所以m 6 所以m 0 命題點3給定參數(shù)范圍的恒成立問題 例5對任意m 1 1 函數(shù)f x x2 m 4 x 4 2m的值恒大于零 求x的取值范圍 解答 由f x x2 m 4 x 4 2m x 2 m x2 4x 4 令g m x 2 m x2 4x 4 由題意知在 1 1 上 g m 的值恒大于零 解得x3 故當x的取值范圍為 1 3 時 對任意的m 1 1 函數(shù)f x 的值恒大于零 思維升華 1 對于一元二次不等式恒成立問題 恒大于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上方 恒小于0就是相應的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方 另外常轉化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值 2 解決恒成立問題一定要搞清誰是主元 誰是參數(shù) 一般地 知道誰的范圍 誰就是主元 求誰的范圍 誰就是參數(shù) 跟蹤訓練2 1 已知函數(shù)f x x2 mx 1 若對于任意x m m 1 都有f x 0成立 則實數(shù)m的取值范圍是 答案 解析 2 已知不等式mx2 2x m 1 0 是否存在實數(shù)m對所有的實數(shù)x 使不等式恒成立 若存在 求出m的取值范圍 若不存在 請說明理由 解答 題型三一元二次不等式的應用 例6某商品每件成本價為80元 售價為100元 每天售出100件 若售價降低x成 1成 10 售出商品數(shù)量就增加x成 要求售價不能低于成本價 1 設該商店一天的營業(yè)額為y 試求y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng) f x 并寫出定義域 解析 2 若再要求該商品一天營業(yè)額至少為10260元 求x的取值范圍 解答 思維升華 求解不等式應用題的四個步驟 1 閱讀理解 認真審題 把握問題中的關鍵量 找準不等關系 2 引進數(shù)學符號 將文字信息轉化為符號語言 用不等式表示不等關系 建立相應的數(shù)學模型 3 解不等式 得出數(shù)學結論 要注意數(shù)學模型中自變量的實際意義 4 回歸實際問題 將數(shù)學結論還原為實際問題的結果 跟蹤訓練3甲廠以x千克 小時的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品 生產(chǎn)條件要求1 x 10 每小時可獲得的利潤是100 5x 1 元 1 要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元 求x的取值范圍 解答 即5x2 14x 3 0 又1 x 10 可解得3 x 10 即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時獲得的利潤不低于3000元 x的取值范圍是 3 10 2 要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤最大 問 甲廠應該選取何種生產(chǎn)速度 并求最大利潤 解答 典例 1 已知函數(shù)f x x2 ax b a b r 的值域為 0 若關于x的不等式f x 0恒成立 則實數(shù)a的取值范圍是 轉化與化歸思想在不等式中的應用 思想與方法系列14 函數(shù)的值域和不等式的解集轉化為a b滿足的條件 不等式恒成立可以分離常數(shù) 轉化為函數(shù)值域問題 9 a a 3 答案 解析 思想方法指導 1 由題意知f x x2 ax b f x 的值域為 0 即x2 2x a 0恒成立 即當x 1時 a x2 2x g x 恒成立 而g x x2 2x x 1 2 1在 1 上單調遞減 g x max g 1 3 故a 3 實數(shù)a的取值范圍是 a a 3 課時作業(yè) a x 1 x 2 b x x 1或x 2 c x 12 1 不等式 x 1 2 x 0的解集為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a 1 3 b 1 3 c 2 2 d 1 2 2 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 若集合a x ax2 ax 1 0 則實數(shù)a的取值范圍是a a 0 a 4 b a 0 a 4 c a 0 a 4 d a 0 a 4 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 a 3 1 3 b 3 1 2 c 1 1 3 d 3 1 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 已知不等式x2 2x 3 0的解集為a 不等式x2 x 6 0的解集為b 不等式x2 ax b 0的解集為a b 那么a b等于a 3b 1c 1d 3 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 若關于x的不等式x2 2ax 8a20 的解集為 x1 x2 且x2 x1 15 則a等于 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解得a 6 b 5 不等式x2 bx a 0即為x2 5x 6 0 解集為 2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8 已知函數(shù)f x x2 ax b2 b 1 a r b r 對任意實數(shù)x都有f 1 x f 1 x 成立 當x 1 1 時 f x 0恒成立 則b的取值范圍是a 12c b2d 不能確定 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由f 1 x f 1 x 知f x 圖象的對稱軸為直線x 1 由f x 的圖象可知f x 在 1 1 上為增函數(shù) x 1 1 時 f x min f 1 1 2 b2 b 1 b2 b 2 令b2 b 2 0 解得b2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 若不等式 2 x2 2ax a 1有唯一解 則a的值為 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 設f x 是定義在r上的以3為周期的奇函數(shù) 若f 1 1 f 2 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 已知f x 是定義域為r的偶函數(shù) 當x 0時 f x x2 4x 那么 不等式f x 2 5的解集是 答案 解析 x 7 x 3 令x0 x 0時 f x x2 4x f x x 2 4 x x2 4x 又f x 為偶函數(shù) f x f x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 得 5 x 0 即f x 5的解集為 5 5 由于f x 向左平移兩個單位即得f x 2 故f x 2 5的解集為 x 7 x 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 設二次函數(shù)f x ax2 bx