空間兩直線的位置關(guān)系.pptVIP

2 1 2 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 教學(xué)目的 1 會(huì)判斷兩條直線的位置關(guān)系 學(xué)會(huì)用圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言表示三種位置關(guān)系 2 理解公理四 并能運(yùn)用公理四證明線線平行 3掌握空間兩直線的位置關(guān)系 掌握異面直線的概念 會(huì)用反證法和異面直線的判定定理證明兩直線異面 4 掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念 能求出一些較特殊的異面直線所成的角 復(fù)習(xí)引入 1 同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置關(guān)系 2 在同一平面內(nèi) 同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系 1 相交 有且僅有一個(gè)公共點(diǎn) 2 平行 在同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn) 互相平行 提出問題 空間中的兩條直線呢 1 空間中兩條直線的位置關(guān)系 觀察 觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線 想一想 它們相交嗎 平行嗎 共面嗎 觀察上方體的棱所在直線 回答類似的問題 思考 我們把具有上述特征的兩條直線取個(gè)怎樣的名字才好呢 異面直線的定義 我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線 skewlines 想一想 怎樣通過圖形來表示異面直線 為了表示異面直線a b不共面的特點(diǎn) 作圖時(shí) 通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托 如下圖 想一想 做一做 1 已知M N分別是長(zhǎng)方體的棱C1D1與CC1上的點(diǎn) 那么MN與AB所在的直線是異面直線嗎 2 下圖是一個(gè)正方體的展開圖 如果將它還原成正方體 那么AB CD EF GH這四條線段所在直線是異面直線的有幾對(duì) 想一想 做一做 三對(duì) AB與CDAB與GHEF與GH 3 空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種 沒有 只有一個(gè) 沒有 共面 不共面 共面 空間中兩條直線的位置關(guān)系 2 空間兩平行直線 提出問題 在同一平面內(nèi) 如果兩條直線都與第三條直線平行 那么這兩條直線互相平行 在空間中 是否有類似的規(guī)律 公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性 在平面 空間這個(gè)性質(zhì)都適用 公理4作用 判斷空間兩條直線平行的依據(jù) a bc b a c 符號(hào)表示 設(shè)空間中的三條直線分別為a b c 若 想一想 空間中 如果兩條直線都與第三條直線垂直 是否也有類似的規(guī)律 例題示范 例1 在空間四邊形ABCD中 E F G H分別是AB BC CD DA的中點(diǎn) 求證 四邊形EFGH是平行四邊形 分析 欲證EFGH是一個(gè)平行四邊形 只需證EH FG且EH FG E F G H分別是各邊中點(diǎn) 連結(jié)BD 只需證 EH BD且EH BDFG BD且FG BD 例題示范 例1 在空間四邊形ABCD中 E F G H分別是AB BC CD DA的中點(diǎn) 求證 四邊形EFGH是平行四邊形 變式一 在例2中 如果再加上條件AC BD 那么四邊形EFGH是什么圖形 E H F G 分析 在例題2的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等 菱形 變式二 空間四面體A BCD中 E H分別是AB AD的中點(diǎn) F G分別是CB CD上的點(diǎn) 且 求證 四邊形ABCD為梯形 A B C D E H F G 分析 需要證明四邊形ABCD有一組對(duì)邊平行 但不相等 3 等角定理 提出問題 在平面上 我們?nèi)菀鬃C明 如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 在空間中 結(jié)論是否仍然成立呢 觀察思考 如圖 ADC與 A D C ADC與 A B C 的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行 這兩組角的大小關(guān)系如何 3 等角定理 定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 3 等角定理 定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行 那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 定理的推論 如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行 那么這兩條直線所成的銳角 或直角 相等 4 異面直線所成的角 如圖 已知兩條異面直線a b 經(jīng)過空間任一點(diǎn)O作直線a a b b 我們把a(bǔ) 與b 所成的銳角 或直角 叫做異面直線a b所成的角 或夾角 為了簡(jiǎn)便 點(diǎn)O通常取在兩條異面直線中的一條上 例如 取在直線b上 然后經(jīng)過點(diǎn)O作直線a a a 和b所成的銳角 或直角 就是異面直線a與b所成的角 想一想 a 與b 所成角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)嗎 4 異面直線所成的角 如果兩條異面直線所成的角為直角 就說兩條直線互相垂直 記作a b 5 異面直線的判定定理 異面直線定理 連結(jié)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線 和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過此點(diǎn)的直線是異面直線 與是異面直線 例題示范 例2 如圖 已知正方體ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直線與直線BA 是異面直線 2 直線BA 和CC 的夾角是多少 3 哪些棱所在的直線與直線AA 垂直 解 1 由異面直線的判定方法可知 與直線 成異面直線的有直線 例題示范 例2 如圖 已知正方體ABCD A B C D 中 1 哪些棱所在直線與直線BA 是異面直線 2 直線BA 和CC 的夾角是多少 3 哪些棱所在的直線與直線AA 垂直 解 2 由可知 等于異面直線與的夾角 所以異面直線與的夾角為450 3 直線 與直線都垂直 例3 空間四邊形ABCD中 AB CD且AB與CD所成的角為30 E F分別是BC AD的中點(diǎn) 求EF與AB所成角的大小 思路分析 要求EF與AB所成的角 可經(jīng)過某一點(diǎn)作兩條直線的平行線 考慮到E F為中點(diǎn) 故可過E或F作AB的平行線 取AC的中點(diǎn) 平移AB CD 使已知角和所求的角在一個(gè)三角形中求解 解 取AC的中點(diǎn)G 連接EG FG 則EG AB GF CD 且由AB CD知EG FG GEF 或它的補(bǔ)角 為EF與AB所成的角 EGF 或它的補(bǔ)角 為AB與CD所成的角 AB與CD所成的角為30 EGF 30 或150 由EG FG知 EFG為等腰三角形 當(dāng) EGF 30 時(shí) GEF 75 當(dāng) EGF 150 時(shí) GEF 15 故EF與AB所成的角為15 或75 1 求異面直線所成的角 關(guān)鍵是將其中一條直線平移到某個(gè)位置使其與另一條直線相交 或?qū)蓷l直線同時(shí)平移到某個(gè)位置 使其相交 平移直線的方法有 直接平移 中位線平移 補(bǔ)形平移 2 求異面直線所成角的步驟 作 通過作平行線 得到相交直線 證 證明相交直線所成的角為異面直線所成的角 求 通過解三角形 求出該角 求異面直線的方法 答案 C 例4 長(zhǎng)方形ABCD A1B1C1D1中 AB 8 BC 6 在線段BD A1C1上各有一點(diǎn)P Q 在PQ上有一點(diǎn)M 且PM MQ 則M點(diǎn)的軌跡圖形的面積為 創(chuàng)新題型 答案 24 變式遷移4在正方體ABCD A1B1C1D1中 E F分別為棱AA1 CC1的中點(diǎn) 則在空間中與三條直線A1D1 EF CD都相交的直線 A 不存在B 有且只有兩條C 有且只有三條D 有無數(shù)條 解析 本小題主要考查立體幾何中空間直線相交問題 考查學(xué)生的空間想象能力 在EF上任意取一點(diǎn)M 直線A1D1與M確定一個(gè)平面 這個(gè)平面與CD有且僅有1個(gè)交點(diǎn)N 當(dāng)M取不同的位置就確定不同的平面 從而與CD有不同的交點(diǎn)N 而直線MN與這3條異面直線都有交點(diǎn)的 如下圖 答案 D 1 刻畫平面性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形進(jìn)行邏輯推理的基礎(chǔ) 三個(gè)公理是立體幾何作圖的依據(jù) 通過作圖 特別是截面圖 的訓(xùn)練 可加深對(duì)公理的掌握與理解 其中確定平面的公理2是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題的依據(jù) 規(guī)律總結(jié) 2 注意文字語(yǔ)言 數(shù)學(xué)圖形語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化與應(yīng)用 能夠從集合的角度闡述點(diǎn) 線 面之間的聯(lián)系 證明共點(diǎn) 共線或共面問題常用歸一法 如多線共點(diǎn)問題 先證明兩條直線交于一點(diǎn) 再證其余直線都經(jīng)過這點(diǎn) 3 異面直線是立體幾何的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一 對(duì)其定義要理解準(zhǔn)確 有關(guān)異面直線的論證 經(jīng)常要用反證法 異面直線所成的角 常通過平移 使兩異面直線移到同一個(gè)平面的位置上來求 4 平面幾何中有些概念和性質(zhì) 推廣到空間不一定正確 如 過直線外一點(diǎn)只能作一條直線與已知直線垂直 同垂直于一條直線的兩條直線平行 等在空間就不正確 而有些命題推廣到空間還是正確的 如平行線的傳遞性及關(guān)于兩角相等的定理等 所以將空間圖形問題類比平面圖形問題是本章復(fù)習(xí)的重要方法 如 1 公理4是平面內(nèi)平行傳遞性的推廣 2 等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形 3 從直線與直線 直線與平面的位置關(guān)系 類比聯(lián)想平面與平面的位置關(guān)系 4 兩個(gè)平面互相垂直與兩條直線互相垂直概念的類比 練一練 鞏固新知 P48頁(yè)練習(xí)1 2題 例3 如圖 是平面外的一點(diǎn)分別是的重心 求證 證明 連結(jié)分別交于 連結(jié) G H分別是 ABC ACD的重心 M N分別是BC CD的中點(diǎn) MN BD 又 GH MN 由公理4知GH BD 練習(xí)反饋 1 判斷 1 平行于同一直線的兩條直線平行 2 垂直于同一直線的兩條直線平行 3 過直線外一點(diǎn) 有且只有一條直線與已知直線平行 4 與已知直線平行且距離等于定長(zhǎng)的直線只有兩條 5 若一個(gè)角的兩邊分別與另一個(gè)角的兩邊平行 那么這兩個(gè)角相等 6 若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行 那么這兩組直線所成的銳角 或直角 相等 練習(xí)反饋 2 選擇題 1 a b是異面直線 是指 a b 且a不平行于b a 平面a b 平面b且a b a 平面a b 平面a 不存在平面a 能使a a且b a成立上述結(jié)論中 正確的是 A B C D 2 長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線與長(zhǎng)方體的棱所組成的異面直線有 A 2對(duì) B 3對(duì) C 6對(duì) D 12對(duì) C C 3 兩條直線a b分別和異面直線c d都相交 則直線a b的位置關(guān)系是 A 一定是異面直線 B 一定是相交直線 C 可能是平行直線 D 可能是異面直線 也可能是相交直線 4 一條直線和兩條異面直線中的一條平行 則它和另一條的位置關(guān)系是 A 平行 B 相交 C 異面 D 相交或異面 3 兩條直線互相垂直 它們一定相交嗎 答 不一定 還可能異面 D D 4 垂直于同一直線的兩條直線 有幾種位置關(guān)系 答 三種 相交 平行 異面 5 畫兩個(gè)相交平面 在這兩個(gè)平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為 1 平行直線 2 相交直線 3 異面直線 6 選擇題 1 分別在兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是 A 異面 B 平行 C 相交 D 以上都有可能 2 異面直線a b滿足a a b b a b l