【精】新課標人教A版高中數(shù)學必修1全套教案

1 高中數(shù)學教案必修全套 （人教 A版） 【 必修 1教案 全套】 目 錄 第一章 函數(shù)與集合的概念 . 1 1.1 集合 . 2 1.1.1 集合的含 義與表示 . 2 1.1.2 集合間的基本關系 .13 1.1.3 集合的基本運算 .21 1.2 函數(shù)及其表示 .37 1.2.1 函數(shù)的概念 .37 1.2.2 函數(shù)的表示法 .50 1.3 函數(shù)的基本性質 .75 1.3.1 單調性與最大（?。┲?.75 1.3.2 奇偶性 .96 本章復習 . 104 第二章 基本初等函數(shù)（ ） . 116 2.1 指數(shù)函數(shù) . 117 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 . 117 第 1 課時 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 (1). 117 第 2 課時 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 (2). 125 第 3 課時 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 (3). 134 2.1.2 指數(shù)函數(shù)及其性質 . 143 第 1 課時 指數(shù)函數(shù)及其性質 (1) . 143 第 2 課時 指數(shù)函數(shù)及其性質 (2) . 152 第 3 課時 指數(shù)函數(shù)及其性質（ 3） . 158 2.2 對數(shù)函數(shù) . 169 2.2.1 對數(shù)與對數(shù)運算 . 169 第 1 課時 對數(shù)與對數(shù)運算 (1). 169 第 2 課時 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 (2). 177 第 3 課時 指數(shù)與指數(shù)冪的運算 (3). 185 2.3 冪函數(shù) . 203 第三章 函數(shù)的應用 . 210 3.1 函數(shù)與方程 . 210 3.1.1 方 程的根與函數(shù)的零點 . 210 第 2 課時 方程的根與函數(shù)的零點 . 218 3.1.2 用二分法求方程的近似解 . 224 3.2 函 數(shù)模型及其應用 . 235 3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型 . 235 第 2 課時 幾類不同增長的函數(shù)模型 . 243 3.2.2 函數(shù)模型的應用舉例 . 251 第 1 課時 函數(shù)模型的應用實例 . 251 第 2 課時 函數(shù)模型的應用舉例 . 256 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 1 第一章 函數(shù)與集合的概念 本章教材分析 通過本章的學習 ,使學生會使用最基本的集合 語言表示有關的數(shù)學對象 ,并能在自然語言、圖形語言、集合語言之間進行轉換 ,體會用集合語言表達數(shù)學內容的簡潔性、準確性 ,幫助學生學會用集合語言描述數(shù)學對象 ,發(fā)展學生運用數(shù)學語言進行交流的能力 .通過本章的學習 ,使學生不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關系 ,同時還會用集合與對應的語言刻畫函數(shù) ,為后續(xù)學習奠定基礎 .函數(shù)是高中數(shù)學的核心概念 ,本章把函數(shù)作為描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型來學習 ,強調結合實際問題 ,使學生感受運用函數(shù)概念建立模型的過程與方法 ,從而發(fā)展學生對變量數(shù)學的認識 ,培養(yǎng)學生的抽象概括能力 ,增強學生應用數(shù) 學的意識 . 課本力求緊密結合學生的生活經驗和已有數(shù)學知識 ,通過列舉豐富的實例 ,強調從實例出發(fā) ,讓學生對集合和函數(shù)概念有充分的感性認知基礎 ,再用集合與對應語言抽象出函數(shù)概念 .課本突出了集合和函數(shù)概念的背景教學 ,這樣比較符合學生的認識規(guī)律 .教學中要高度重視數(shù)學概念的背景教學 .課本盡量創(chuàng)設使學生運用集合語言和數(shù)學符號進行表達和交流的情境和機會 ,并注意運用 Venn圖表達集合的關系及運算 ,用圖象表示函數(shù) ,幫助學生借助直觀圖示認識抽象概念 .課本在例題、習題的教學中注重運用集合和函數(shù)的觀點研究、處理數(shù)學問題 ,這一觀點 ,一 直貫穿到以后的數(shù)學學習中 .在例題和習題的編排中 ,滲透了分類討論思想 ,讓學生體會到分類討論思想在生活中和數(shù)學中的廣泛運用 ,這是學生在初中階段所缺少的 .函數(shù)的表示是本章的主要內容之一 ,課本重視采用不同的表示法 (列表法、圖象法、分析法 ),目的是豐富學生對函數(shù)的認識 ,幫助理解抽象的函數(shù)概念 .在教學中 ,既要充分發(fā)揮圖象的直觀作用 ,又要適當?shù)匾龑W生從代數(shù)的角度研究圖象 ,使學生深刻體會數(shù)形結合這一重要數(shù)學方法 .課本將函數(shù)推廣到了映射 ,體現(xiàn)了由特殊到一般的思維規(guī)律 ,有利于學生對函數(shù)概念學習的連續(xù)性 . 在教學中 ,要堅持循序 漸進 ,逐步滲透數(shù)形結合、分類討論這方面的訓練 .對函數(shù)的三要素著重從函數(shù)的實質上要求理解 ,而對定義域、值域的繁難計算 ,特別是人為的過于技巧化的訓練不作提倡 ,要準確把握這方面的要求 ,防止拔高教學 .重視函數(shù)與信息技術整合的要求 ,通過電腦繪制簡單函數(shù)動態(tài)圖象 ,使學生初步感受到信息技術在函數(shù)學習中的重要作用 .為了體現(xiàn)課本的選擇性 ,在練習題安排上加大了彈性 ,教師應根據(jù)學生實際情況 ,合理地取舍 . 本章教學時間約需 13 課時 ,具體分配如下 (僅供參考 ): 1.1.1 集合的含義與表示 約 1 課時 1.1.2 集合間的基本關系 約 1 課時 1.1.3 集合的基本運算 約 2 課時 1.2.1 函數(shù)的概念 約 2 課時 1.2.1 函數(shù)的表示法 約 3 課時 1.3.1 單調性與最大 約 2 課時 1.3.2 奇偶性 約 1 課時 本章復習 約 1 課時 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 2 1.1 集合 1.1.1 集合的含義與表示 整體設計 教學分析 集合論是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要的基礎 .在高中數(shù)學中 ,集合的初步知識與其他內容有著密切的聯(lián)系 ,是學習、掌握和使用數(shù)學語言的基礎 .課本從學生熟悉的集合 (自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等 )出發(fā) ,結合實例給出元素、集合的含義 ,課本注重 體現(xiàn)邏輯思考的方法 ,如抽象、概括等 . 值得注意的問題 :由于本小節(jié)的新概念、新符號較多 ,建議教學時先引導學生閱讀課本 ,然后進行交流 ,讓學生在閱讀與交流中理解概念并熟悉新符號的使用 .在信息技術條件較好的學校 ,可以利用網絡平臺讓學生交流學習概念后的認識 ；也可以由教師給出問題 ,讓學生讀后回答問題 ,再由教師給出評價 .這樣做的目的是培養(yǎng)學生主動學習的習慣 ,提高閱讀與理解、合作與交流的能力 .在處理集合問題時 ,根據(jù)需要 ,及時提示學生運用集合語言進行表述 . 三維目標 1.通過實例了解集合的含義 ,體會元素與集合的 “屬于 ”關系 ,能選擇集合不同的語言形式描述具體的問題 ,提高語言轉換和抽象概括能力 ,樹立用集合語言表示數(shù)學內容的意識 . 2.了解集合元素的確定性、互異性、無序性 ,掌握常用數(shù)集及其專用符號 ,并能夠用其解決有關問題 ,提高學生分析問題和解決問題的能力 ,培養(yǎng)學生的應用意識 . 重點難點 教學重點 :集合的基本概念與表示方法 . 教學難點 :選擇恰當?shù)姆椒ū硎疽恍┖唵蔚募?. 課時安排 1 課時 設計方案（一） 教學過程 導入新課 思路 1.軍訓前學校通知 :8 月 15 日 8 點 ,高一年級學生到操場集合進行軍訓 .試問這個通知的對象是全體的高一學生還是個 別學生？ 在這里 ,集合是我們常用的一個詞語 ,我們感興趣的是問題中某些特定 (是高一而不是高二、高三 )對象的總體 ,而不是個別的對象 ,為此 ,我們將學習一個新的概念 集合 . 思路 2.首先教師提出問題 :在初中 ,我們已經接觸過一些集合 ,你能舉出一些集合的例子嗎 ?引導學生回憶、舉例和互相交流自己舉的例子 .與此同時 ,教師對學生的活動給予評價 .接著教師指出 :那么 ,集合的含義是什么呢 ?這就是我們這一堂課所要學習的內容 . 推進新課 新知探究 提出問題 請我們班的全體女生起立！接下來問 :“咱班的所有女生能不能構成一個集合??？ ” 下面請班上身高在 1.75 以上的男生起立！他們能不能構成一個集合啊？ 其實 ,生活中有很多東西能構成集合 ,比如新華字典里所有的漢字可以構成一個集合等等 .那么 ,大家能不能再舉出一些生活中的實際例子呢 ?請你給出集合的含義 . 如果用 A 表示高一 (3)班全體學生組成的集合 ,用 a 表示高一 (3)班的一位同學 ,b 是高一 (4)班的一位同學 ,那么 a、 b 與集合 A 分別有什么關系 ?由此看見元素與集合之間有什么關系？ 世界上最高的山能不能構成一個集合？ 世界上的高山能不能構成一個集合？ 問題說明集合中的元素具有什么性質？ 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 3 由實數(shù) 1、 2、 3、 1 組成的集合有幾個元素？ 問題說明集合中的元素具有什么性質？ 由實數(shù) 1、 2、 3 組成的集合記為 M,由實數(shù) 3、 1、 2 組成的集合記為 N,這兩個集合中的元素相同嗎？這說明集合中的元素具有什么性質？由此類比實數(shù)相等 ,你發(fā)現(xiàn)集合有什么結論？ 討論結果： 能 . 能 . 我們把研究的對象統(tǒng)稱為 “元素 ”,那么把一些元素組成的總體叫 “集合 ”. a 是集合 A 的元素 ,b 不是集合 A 的元素 .學生得出元素與集合的關系有兩種 :屬于和不屬于 . 能 ,是珠穆朗瑪峰 . 不能 . 確定性 .給定的集合 ,它的元素必須是 明確的 ,即任何一個元素要么在這個集合中 ,要么不在這個集合中 ,這就是集合的確定性 . 3 個 . 互異性 .一個給定集合的元素是互不相同的 ,即集合中的元素是不重復出現(xiàn)的 ,這就是集合的互異性 . 集合 M 和 N 相同 .這說明集合中的元素具有無序性 ,即集合中的元素是沒有順序的 .可以發(fā)現(xiàn) :如果兩個集合中的元素完全相同 ,那么這兩個集合是相等的 . 提出問題 閱讀課本 P3 中 :數(shù)學中一些常用的數(shù)集及其記法 .快速寫出常見數(shù)集的記號 . 活動： 先讓學生閱讀課本 ,教師指定學生展示結果 .學生寫出常用數(shù)集的記號后 ,教師強調 :通常情況下 ,大寫的英 文字母 N、 Z、 Q、 R 不能再表示其他的集合 ,這是專用集合表示符號 ,類似于 110、 119 等專用電話號碼一樣 .以后 ,我們會經常用到這些常見的數(shù)集 ,要求熟練掌握 . 討論結果： 常見數(shù)集的專用符號 . N:非負整數(shù)集 (或自然數(shù)集 )(全體非負整數(shù)的集合 )； N*或 N+:正整數(shù)集 (非負整數(shù)集 N 內排除 0 的集合 )； Z:整數(shù)集 (全體整數(shù)的集合 )； Q:有理數(shù)集 (全體有理數(shù)的集合 )； R:實數(shù)集 (全體實數(shù)的集合 ). 提出問題 前面所說的集合是如何表示的？ 閱讀課本中的相關內容 ,并思考 :除字母表示法和自然語言之外 ,還能用什么方 法表示集合？ 集合共有幾種表示法 ? 活動： 學生回顧所學的集合并作出總結 .教師提示可以用字母或自然語言來表示 . 教師可以舉例幫助引導 : 例如 ,24 的所有正約數(shù)構成的集合 ,把 24 的所有正約數(shù)寫在大括號 “”內 ,即寫出為 1,2,3,4,6,8,12,24的形式 ,這種表示集合的方法是列舉法 .注意： 大括號不能缺失 ；有些集合所含元素個數(shù)較多 ,元素又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律 ,在不至于發(fā)生誤解的情況下 ,亦可用列舉法表示 ,如 :從 1 到 100 的所有整數(shù)組成的集合 :1,2,3,100, 自然數(shù)集 N:0,1,2,3,4,n,； 區(qū)分 a 與 a:a表示一個集合 ,該集合只有一個元素 ,a 表示這個集合的一個元素 ；用列舉法表示集合時不必考慮元素的前后次序 ；相同的元素不能出現(xiàn)兩次 . 又例如 ,不等式 x-32 的解集 ,這個集合中的元素有無數(shù)個 ,不適合用列舉法表示 .可以表示為 x R|x-32或x|x-32,這種表示集合的方法是描述法 . 讓學生思考總結已經學習了的集合表示法 . 討論結果： 方法一 (字母表示法 ):大寫的英文字母表示集合 ,例如常見的數(shù)集 N、 Q,所有的正方形組成的集合記為 A 等 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 4 等 ； 方法二 (自然語言 ):用文字 語言來描述出的集合 ,例如 “所有的正方形 ”組成的集合等等 . 列舉法 :把集合中的全部元素一一列舉出來 ,并用大括號 “”括起來表示集合 ,這種表示集合的方法叫做列舉法 ； 描述法 :在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值 (或變化 )范圍 ,再畫一條豎線 ,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征 .這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法 .注 :在不致混淆的情況下 ,也可以簡寫成列舉法的形式 ,只是去掉豎線和元素代表符號 ,例如 :所有直角三角形的集合可以表示為 x|x 是直角三角形 ,也可以寫成 直角三角形 . 表示一個集合共有四種方法 :字母表示法 、 自然語言 、 列舉法 、 描述法 . 應用示例 思路 1 1.下列各組對象不能組成集合的是 ( ) A.大于 6 的所有整數(shù) B.高中數(shù)學的所有難題 C.被 3 除余 2 的所有整數(shù) D.函數(shù) y=x1圖象上所有的點 活動： 學生先思考、討論集合元素的性質 ,教師指導學生此類選擇題要逐項判斷 .判斷一組對象能否構成集合 ,關鍵是看是否滿足集合元素的確定性 . 在選項 A、 C、 D 中的元素符合集合的確定性 ；而選項 B中 ,難題沒有標準 ,不符合集合元素的確 定性 ,不能構成集合 . 答案： B 變式訓練 1.下列條件能形成集合的是 ( ) A.充分小的負數(shù)全體 B.愛好足球的人 C.中國的富翁 D.某公司的全體員工 答案： D 2.2007 浙江寧波高三第一次 “十校聯(lián)考 ”,理 1 在數(shù)集 2x,x2-x中 ,實數(shù) x 的取值范圍是 . 分析 :實數(shù) x 的取值滿足集合元素的互異性 ,則 2xx2-x,解得 x0 且 x3,實數(shù) x 的取值范圍是 x|x3. 答案： x|x3 點評： 本題主要考查集合的含義和元素的性質 .當所指的對象非常明確時就能構成集合 ,若元素不明確 ,沒有判斷的標準就不能構成集合 . 2.用列舉法表示下列集合 : (1)小于 10 的所有自然數(shù)組成的集合 ； (2)方程 x2=x 的所有實數(shù)根組成的集合 ； (3)由 120 以內的所有質數(shù)組成的集合 . 活動： 學生先思考或討論列舉法的形式 ,展示解答過程 .當學生出現(xiàn)錯誤時 ,教師及時加以糾正 .利用相關的知識先明確集合中的元素 ,再把元素寫入大括號 “”內 ,并用逗號隔開 .所給的集合均是用自然語言給出的 . 提示學生注意以下方面 : (1)自然數(shù)中包含零 ； (2)解一元二次方程有公式法和分解因式法 ,方程 x2=x 的根是 x=0,x=1； (3)除去 1 和本身外沒有其他約數(shù)的正整數(shù)是質數(shù) ,120 以內的所有質數(shù)是 2、 3、 5、 7、 11、 13、 17、 19. 解 ： (1)設小于 10 的所有自然數(shù)組成的集合為 A,那么 A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. (2)設方程 x2=x 的所有實數(shù)根組成的集合為 B,那么 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 5 A=0,1. (3)設由 120 以內的所有質數(shù)組成的集合為 C,那么 C=2,3,5,7,11,13,17,19. 點評： 本題主要 考查集合表示法中的列舉法 .通過本題可以體會利用集合表示數(shù)學內容的簡潔性和嚴謹性 ,以后我們盡量用集合來表示數(shù)學內容 . 如果一個集合是有限集 ,并且元素的個數(shù)較少時 ,通常選擇列舉法表示 ,其特點是非常顯明地表示出了集合中的元素 ,是常用的表示法 ； 列舉法表示集合的步驟 :(1)用字母表示集合 ；(2)明確集合中的元素 ；(3)把集合中所有元素寫在大括號 “”內 ,并寫成 A= 的形式 . 變式訓練 用列舉法表示下列集合 : (1)所有絕對值等于 8 的數(shù)的集合 A； (2)所有絕對值小于 8 的整數(shù)的集合 B. 答案： (1)A=-8,8； (2)B=-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7. 3.試分別用列舉法和描述法表示下列集合 : (1)方程 x2-2=0 的所有實數(shù)根組成的集合 ； (2)由大于 10 小于 20 的所有整數(shù)組成的集合 . 活動： 先讓學生回顧列舉法表示集合的步驟 ,思考描述法的形式 ,再找學生到黑板上書寫 .當學生出現(xiàn)錯誤時 ,教師指導學生書寫過程 .用描述法表示集合時 ,要用數(shù)學符號表示集合元素的特征 .大于 10 小于 20 的所有整數(shù)用數(shù)學符號可以表示為 10x20,x Z.(重點引導用描述法表示集合 ) 用 描述法表示集合時 ,用一個小寫英文字母表示集合中的元素 ,作為集合中元素的代表符號 ,找到集合中元素的共同特征 ,并把共同特征用數(shù)學符號來表達 ,然后寫在大括號 “”內 ,在大括號內先寫上集合中元素的代表符號及取值 (或變化 )范圍 ,再畫一條豎線 ,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征 . 在 (1)中利用條件中現(xiàn)有元素代表符號 x,集合中元素的共同特征就是滿足方程 x2-2=0. 在 (2)的條件中沒有元素代表符號 ,故要先設出 ,用一個小寫英文字母表示即可 ；集合中元素的共同特征有兩個 :一是大于 10 小于 20(用不等式表示 ),二是 整數(shù) (用元素與集合的關系符號 “ ”來表示 ). 解： (1)設方程 x2-2=0 的實根為 x,它滿足條件 x2-2=0,因此 ,用描述法表示為 A=x R|x2-2=0. 方程 x2-2=0 的兩個實數(shù)根為 2 , 2 ,因此 ,用列舉法表示為 A= 2 , 2 . (2)設大于 10 小于 20 的整數(shù)為 x,它滿足條件 x Z,且 10x20,因此 ,用描述法表示為 B=x Z|10x20. 大于 10 小于 20 的整數(shù)有 11,12,13,14,15,16,17,18,19,因此 ,用列舉法表示為 B=11,12,13,14,15,16,17,18,19. 描述法表示集合的步驟 :(1)用字母分別表示集合和元素 ；(2)用數(shù)學符號表達集合元素的共同特征 ；(3)在大括號內先寫上集合中元素的代表符號及取值 (或變化 )范圍 ,再畫一條豎線 ,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征 .并寫成 A=| 的形式 .描述法適合表示有無數(shù)個元素的集合 . 注意： 當集合中的元素個數(shù)較少時 ,通常用列舉法表示 ,否則用描述法表示 . 思路 2 1.(1)A=1,3,判斷元素 3,5 和集合 A 的關系 ,并用符號表示 . (2)所有素質好的人能否表示為集合 ? (3)A=2,2,4表示是否準確 ? 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 6 (4)A=太平洋 ,大西洋 ,B=大西洋 ,太平洋 是否表示同一集合 ? 活動： 如果學生沒有解題思路 ,讓學生思考以下知識 : (1)元素與集合的關系及其符號表示 ； (2)集合元素的性質 ； (3)兩個集合相同的定義 . 解： (1)根據(jù)元素與集合的關系有兩種 :屬于 ( )和不屬于 ( ),知 3 屬于集合 A,即 3 A,5 不屬于集合 A,即5 A. (2)由于素質好的人標準不可量化 ,不符合集合元素的確定性 ,故 A 不能表示為集合 . (3)表示不準確 ,不符合集合元素的互異性 ,應表示為 A=2,4. (4)因其元素相 同 ,A與 B表示同一集合 . 變式訓練 1.數(shù)集 3,x,x2-2x中 ,實數(shù) x 滿足什么條件 ? 解： 集合元素的特征說明 3,x,x2-2x中元素應滿足 ,23,2,322xxxxxx即,032,3,322xxxxx也就是,1,0,3xxx 即滿足 x-1,0,3. 2.方程 ax2+5x+c=0 的解集是 21,31,則 a=_,c=_. 分析 :方程 ax2+5x+c=0 的解集是 21,31,那么21、31是方程的兩根 , 即有,3121,53121aca 得-1,c-6,a 那么 a=-6,c=-1. 答案： 6 -1 3.集合 A 中的元素由關于 x 的方程 kx2-3x+2=0 的解構成 ,其中 k R,若 A 中僅有一個元素 ,求 k 的值 . 解： 由于 A 中元素是關于 x 的方程 kx2-3x+2=0(k R)的解 , 若 k=0,則 x=32,知 A 中有一個元素 ,符合題設 ； 若 k0,則方程為一元二次方程 , 當 =9-8k=0 即 k=89時 ,kx2-3x+2=0 有兩相等的實數(shù)根 ,此時 A 中有一個元素 . 綜上所述 k=0 或 k=89. 4.2006 山東高考 ,理 1 定義集合運算 :A B=z|z=xy(x+y),x A,y B,設集合 A=0,1,B=2,3,則集合 A B的所有元素之和為 ( ) A.0 B.6 C.12 D.18 分析 : x A, x=0 或 x=1. 當 x=0,y B時 ,總有 z=0； 當 x=1 時 , 若 x=1,y=2 時 ,有 z=6；當 x=1,y=3 時 ,有 z=12. 綜上所得 ,集合 A B的所有元素之和為 0+6+12=18. 答案： D 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 7 注意： 判斷元素與此集合的關系時 ,用列舉法表示的集合 ,只需觀察這個元素是否在集合中即可 .用符號 ,表示 ,注意這兩個符號的左邊寫元素 ,右邊寫集合 ,不能互換它們的位置 ,否則沒有意義 . 如果有明確的標準來判斷元素在集合中 ,那么這些元素就能構成集合 ,否則 不能構成集合 . 用列舉法表示的集合 ,直接觀察它們的元素是否完全相同 ,如果完全相同 ,那么這兩個集合就相等 ,否則不相等 . 2.用列舉法表示下列集合 : (1)小于 5 的正奇數(shù)組成的集合 ； (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然數(shù)組成的集合 ； (3)方程 x2-9=0 的解組成的集合 ； (4)15 以內的質數(shù) ； (5)x|x36 Z,x Z. 活動： 教師指導學生思考列舉法的書寫格式 ,并討論各個集合中的元素 .明確各個集合中的元素 ,寫在大括號內即可 . 提示學生 注意： (2)中滿足條件的數(shù)按從小到大排列時 ,從第二個數(shù)起 ,每 個數(shù)比前一個數(shù)大 3； (4)中除去 1 和本身外沒有其他的約數(shù)的正整數(shù)是質數(shù) ； (5)中 3-x 是 6 的約數(shù) ,6的約數(shù)有 1,2,3,6. 解： (1)滿足題設條件小于 5 的正奇數(shù)有 1、 3,故用列舉法表示為 1,3； (2)能被 3 整除且大于 4 小于 15 的自然數(shù)有 6、 9、 12,故用列舉法表示為 6,9,12； (3)方程 x2-9=0 的解為 -3、 3,故用列舉法表示為 -3,3； (4)15 以內的質數(shù)有 2、 3、 5、 7、 11、 13,故該集合用列舉法表示為 2,3,5,7,11,13； (5)滿足x36 Z 的 x 有 3-x=1 、 2 、 3 、 6,解之 ,得 x=2、 4、 1、 5、 0、 6、 -3、 9,故用列舉法表示為2,4,1,5,0,6,-3,9. 變式訓練 用列舉法表示下列集合 : (1)x2-4 的一次因式組成的集合 ； (2)y|y=-x2-2x+3,x R,y N； (3)方程 x2+6x+9=0 的解集 ； (4)20 以內的質數(shù) ； (5)(x,y)|x2+y2=1,x Z,y Z； (6)大于 0 小于 3 的整數(shù) ； (7)x R|x2+5x-14=0； (8)(x,y)|x N 且 1x4,y-2x=0； (9)(x,y)|x+y=6,x N,y N. 思路分析： 用列舉法表示集合的關鍵是找出集合中的所有元素 ,要注意不重不漏 ,不計次序地用 “,”隔開放在大括號內 . 解： (1)因 x2-4=(x-2)(x+2),故符合題意的集合為 x-2,x+2； (2)y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,即 y4.又 y N, y=0、 1、 2、 3、 4, 故 y|y=-x2-2x+3,x R,y N=0,1,2,3,4； (3)由 x2+6x+9=0 得 x1=x2=-3,方程 x2+6x+9=0 的解集為 -3； (4)20 以內的質數(shù) =2,3,5,7,11,13,17,19； (5)因 x Z,y Z,則 x=-1、 0、 1 時 ,y=0、 1、 -1, 那么 (x,y)|x2+y2=1,x Z,y Z=(-1,0),(0,1),(0,-1),(1,0)； 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 8 (6)大于 0 小于 3 的整數(shù) =1,2； (7)因 x2+5x-14=0 的解為 x1=-7,x2=2,則 x R|x2+5x-14=0=-7,2； (8)當 x N 且 1x6； (3)不等式 x-73 的解是 x10,則 不等式 x-73 的解集表示為 x|x10. 點評： 本題主要考查集合的描述法表示 .描述法適用于元素個數(shù)是有限個并且較多或無限個的集合 . 用 描述法表示集合時 ,集合元素的代表符號不能隨便設 ,點集的元素代表符號是 (x,y),數(shù)集的元素代表符號常用 x.集合中元素的公共特征屬性可以用文字直接表述 ,最好用數(shù)學符號表示 ,必須抓住其實質 . 變式訓練 用描述法表示下列集合 : (1)方程 2x+y=5 的解集 ； (2)小于 10 的所有非負整數(shù)的集合 ； (3)方程 ax+by=0(ab0)的解 ； (4)數(shù)軸上離開原點的距離大于 3 的點的集合 ； (5)平面直角坐標系中第、象限點的集合 ； (6)方程組1y-x1,yx 的解的集合 ； (7)1,3,5,7,； (8)x 軸上所有點的集合 ； (9)非負偶數(shù) ； (10)能被 3 整除的整數(shù) . 解： (1)(x,y)|2x+y=5； (2)x|0x3； (5)(x,y)|xyx+3 的全體實數(shù) ； (4)所有直角三角形 ； (5)美國 NBA 的著名籃球明星 ； (6)所有絕對值等于 6 的數(shù) ； (7)所有絕對值小于 3 的整數(shù) ； (8)中國男子足球隊中技術很差的隊員 ； (9)參加 2008 年奧運會的中國代表團成員 . 答案： (1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)能組成集合 ,(5)(8)不能組成集合 . 2.(口答 )說出下面集合中的元素 : (1)大于 3 小于 11 的偶數(shù) ； (2)平方等于 1 的數(shù) ； (3)15 的正約數(shù) . 答案： (1)其元素為 4,6,8,10； (2)其元素為 -1,1； (3)其元素為 1,3,5,15. 3.用符號或 填空 : (1)1_N,0_N,-3_N,0.5_N, 2 _N； (2)1_Z,0_Z,-3_Z,0.5_Z, 2 _Z； (3)1_Q,0_Q,-3_Q,0.5_Q, 2 _Q； (4)1_R,0_R,-3_R,0.5_R, 2 _R. 答案： (1) (2) (3) (4) 4.判斷正誤 : 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 10 (1)所有屬于 N 的元素都屬于 N*. ( ) (2)所有屬于 N 的元素都屬于 Z. ( ) (3)所有不屬于 N*的數(shù)都不屬于 Z. ( ) (4)所有不屬于 Q 的實數(shù)都屬于 R. ( ) (5)不屬于 N 的數(shù)不能使方程 4x=8 成立 . ( ) 答案： (1) (2) (3) (4) (5) 5.分別用列舉法、描述法表示方程組273y-2x2,y3x 的解集 . 解： 因273y-2x2,y3x 的解為-7.y3,x 用描述法表示該集合為 (x,y)|273y-2x2y3x ； 用列舉法表示該集合為 (3,-7). 拓展提升 問題 :集合 A=x|x=a+ 2 b,a Z,b Z,判斷下列元素 x=0、121、231與集合 A 之間的關系 . 活動： 學生先思考元素與集合之間有什么關系 ,書寫過程 ,將元素 x 化為 a+2b 的形式 ,再判斷 a、 b 是否為整數(shù) .描述法表示集合的優(yōu)點是突出顯示了集合元素的特征 ,那么判斷一個元素是否屬于集合時 ,轉化為判斷這個元素是否滿足集合元素的特征即可 . 解： 由于 x=a+b 2 ,a Z,b Z, 當 a=b=0 時 ,x=0. 0 A. 又121= 2 +1=1+ 2 , 當 a=b=1 時 ,a+b 2 =1+ 2 ,121 A. 又231= 3 + 2 , 當 a=3,b=1 時 ,a+b 2 = 3 + 2 ,而 3 Z, 231 A. 0 A,121 A,231 A. 點評： 本題考查集合的描述法表示以及元素與集合間的關系 . 課堂小結 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 11 本節(jié)學習了 :(1)集合的概念 ；(2)集合的表示法 ；(3)利用列舉法和描述法表示集合的步驟 . 作業(yè) 課本 P11習題 1.1A 組 2、 3、 4. 設計感想 集合語言是現(xiàn)代數(shù)學的基本語言 ,在高中數(shù)學課程中 ,它也是學習 、 掌握和使用數(shù)學語言的基礎 .由于集合的概念較難理解 ,因此設計時采用漸進式學習 ,而集合的列舉法和描述法的形式比較容易接受 ,在設計時注重讓學生自己學習 ,重點引導學生學習這兩種方法的應用 .同時通過解決一系列具體問題 ,使學生自己體會到集合各種表示法的優(yōu)缺點 ；針對不同問題 ,能選用合適集合表示法 .在練習過程中熟練掌握集合語言與自然語言的轉換 .教師在 教學過程 中時時監(jiān)控 ,對學生不可能解決的問題 ,如集合常見表示法的寫法 ,常見數(shù)集及其記法應直接給出 ,以避免出現(xiàn)不必要的混亂 .對學生解題過程中遇到的困難給予適當點撥 .引導學生養(yǎng)成良好學習習慣 ,最大限度地挖掘學生的學習潛力是我們教師的奮斗目標 . 備課資料 備選例題 【例 1】下面的 Venn 圖中反映的是四邊形、梯形、平行四邊形、菱形、正方形這五種幾何圖形之間的關系 ,問集合 A、 B、 C、 D、 E 分別是哪種圖形的集合？ 圖 1-1-2-6 思路分析： 結合 Venn 圖 ,利用平面幾何中梯形、平行四邊形、菱形、正方形的定義來確定 . 解： 梯形、平行四 邊形、菱形、正方形都是四邊形 ,故 A=四邊形 ；梯形不是平行四邊形、菱形、正方形 ,而菱形、正方形是平行四邊形 ,故 B=梯形 ,C=平行四邊形 ；正方形是菱形 ,故 E=正方形 , 即 A=四邊形 ,B=梯形 ,C=平行四邊形 ,D=菱形 ,E=正方形 . 【例 2】 2006 全國高中數(shù)學聯(lián)賽山東賽區(qū)預賽 ,3 設集合 A=x|x|2-3|x|+2=0,B=x|(a-2)x=2,則滿足 B A 的a 的值共有 ( ) A.2 個 B.3 個 C.4 個 D.5 個 分析 :由已知得 A=x|x|=1 或 |x|=2=-2,-1,1,2,集合 B是關于 x 的方程 (a-2)x=2 的解集 , B A, B= 或 B . 當 B= 時 ,關于 x 的方程 (a-2)x=2 無解 , a-2=0. a=2.當 B 時 ,關于 x 的方程 (a-2)x=2 的解 x=22a A, 22a=-2 或22a=-1 或22a=1 或22a=2. 解得 a=1 或 0 或 4 或 3,綜上所得 ,a的值共有 5 個 . 答案： D 【例 3】 2005 天津高考 ,文 1 集合 A=x|0x3 且 x N的真子集的個數(shù)是 ( ) A.16 B.8 C.7 D.4 分析 :A=x|0x3 且 x N=0,1,2,則 A 的真子集有 23-1=7 個 . 答案： C 【例 4】已知集合 A=x|1x3,B=x|(x-1)(x-a)=0,試判斷集合 B 是不是集合 A 的子集？是否存在實數(shù) a使 A=B成立？ 解析 :先在數(shù)軸上表示集合 A,然后化簡集合 B,由集合元素的互異性 ,可知此時應考慮 a 的取值是否為 1,要使 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 12 集合 B成為集合 A的子集 ,集合 B的元素在數(shù)軸上的對應點必須在集合 A對應的線段上 ,從而確 定字母 a 的分類標準 . 當 a=1 時 ,B=1,所以 B是 A 的子集 ；當 13 時 ,B不是 A的子集 .綜上可知 ,當 1a3 時 ,B是 A 的子集 . 由于集合 B最多只有兩個元素 ,而集合 A 有無數(shù)個元素 ,故不存在實數(shù) a,使 B=A. 點評： 分類討論思想 ,就是科學合理地劃分類別 ,通過 “各個擊破 ”,再求整體解決 (即先化整為零 ,再聚零為整 )的策略思想 .類別的劃分必須滿足互斥、無漏、最簡的要求 ,探索劃分的數(shù)量界限是分類討論的關鍵 . 思考 (1)空集中沒有元素 ,怎么還是集合 ? (2)符號 “ ”和 “ ”有什么區(qū)別 ? 剖析 :(1)疑點是總是對空集這個概念迷惑不解 ,并產生懷疑的想法 .產生這種想法的原因是沒有了解建立空集這個概念的背景 ,其突破方法是通過實例來體會 .例如 ,根據(jù)集合元素的性質 ,方程的解能夠組成集合 ,這個集合叫做方程的解集 .對于x1=0,x2+4=0 等方程來說 ,它們的解集中沒有元素 .也就是說確實存在沒有任何元素的集合 ,那么如何用數(shù)學符號來刻畫沒有元素的集合呢？為此引進了空集的概念 ,把不含任何元素的集合叫做空集 .這就是建立空集這個概念的背景 .由此看出 ,空集的概念是一個規(guī)定 .又例如 ,不等式 |x|0 的解集也是不含任何元素 ,就稱不等式 |x|0 的解集是空集 . (2)難點是經常把這兩個符號混淆 ,其突破方法是準確把握這兩個符號的含義及其應用范圍 ,并加以對比 .符號只能適用于元素與集合之間 ,其左邊只能寫元素 ,其右邊只能寫集合 ,說明左邊的元素屬于右邊的集合 ,表示元素與集合之間的關系 ,如 -1 Z,21 Z；符號 只能適用于集合與集合之間 ,其左右兩邊都必須寫集合 ,說明左邊的集合是右邊集合的子集 ,表示集合與集合之間的關系 ,如 1 1,0, x|x0. (設計者：王立青 ) 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 13 1.1.2 集合間的基本關系 整體設計 教學分析 課本從學生熟悉的集合 (自然數(shù)的集合、有理數(shù)的集合等 )出發(fā) ,通過類比實數(shù)間的大小關系引入集合間的關系 ,同時 ,結合相關內容介紹子集等概念 .在安排這部分內容時 ,課本注重體現(xiàn)邏輯思考的方法 ,如類比等 . 值得注意的問題 :在集合間的關系教學中 ,建議重視使用 Venn 圖 ,這有助于學生通過體會直觀圖示來理解抽象概念 ；隨著學習的深入 ,集合符號越來越多 ,建議教學時引導學生區(qū)分一些容易混淆的關系和符號 ,例如與 的區(qū)別 . 三維目標 1.理解集合之間包含與相等的含義 ,能識別給定集合的子集 ,能判斷給定集合間的關系 ,提高利用類比發(fā)現(xiàn)新結論的能力 . 2.在具體情境中 ,了解空集的含義 ,掌握并能使用 Venn圖表達集合的關系 ,加強學生從具體到抽象的思維能力 ,樹立數(shù)形結合的思想 . 重點難點 教學重點 :理解集合間包含與相等的含義 . 教學難點 :理解空集的含義 . 課時安排 1 課時 教學過程 導入新課 思路 1.實數(shù)有相等 、 大小關系 ,如 5=5,53 等等 ,類比實數(shù)之間的關系 ,你會想到集合之間有什么關系呢？(讓學生自由發(fā)言 ,教師不要急于作出判斷 ,而是繼續(xù)引導學生 ) 欲知誰正確 ,讓我們一起來觀察 、 研探 . 思路 2.復習元素與集合的關系 屬于與不屬于的關系 ,填空 :(1)0N；(2)2Q；(3)-1.5R. 類比實數(shù)的大小關系 ,如 52 ,則 N= 或 N . 當 N= 時 ,關于 x 的方程 ax=1 中無解 ,則有 a=0； 當 N 時 ,關于 x 的方程 ax=1 中有解 ,則 a0,此時 x=a1,又 N M,a1 M.a12. 0a21.綜上所得 ,實數(shù) a 的取值范圍是 a=0 或 0a21,即實數(shù) a 的取值范圍是 a|0a21 2.(1)分別寫出下列集合的子集及其個數(shù) : ,a,a,b,a,b,c. (2)由 (1)你發(fā)現(xiàn)集合 M 中含有 n 個元素 ,則集合 M 有 多少個子集？ 活動： 學生思考子集的含義 ,并試著寫出子集 .(1)按子集中所含元素的個數(shù)分類寫出子集 ；(2)由 (1)總結當n=0,n=1,n=2,n=3 時子集的個數(shù)規(guī)律 ,歸納猜想出結論 . 答案： (1) 的子集有 : ,即 有 1 個子集 ； a的子集有 : 、 a,即 a有 2 個子集 ； a,b的子集有 : 、 a、 b、 a,b,即 a,b有 4 個子集 ； a,b,c的子集有 : 、 a、 b、 c、 a,b、 a,c、 b,c、 a,b,c,即 a,b,c有 8 個子集 . (2)由 (1)可得 :當 n=0 時 ,有 1=20 個子集 ； 當 n=1 時 ,集合 M 有 2=21 個子集 ； 當 n=2 時 ,集合 M 有 4=22 個子集 ； 當 n=3 時 ,集合 M 有 8=23 個子集 ； 因此含有 n 個元素的集合 M 有 2n 個子集 . 變式訓練 已知集合 A 2,3,7,且 A 中至多有一個奇數(shù) ,則這樣的集合 A 有 ( ) A.3 個 B.4 個 C.5 個 D.6 個 分析 :對集合 A 所含元素的個數(shù)分類討論 . A= 或 2或 3或 7或 2,3或 2,7共有 6 個 . 答案： D 點評： 本題 主要考查子集的概念以及分類討論和歸納推理的能力 .集合 M 中含有 n 個元素 ,則集合 M 有 2n個子集 ,有 2n-1 個真子集 ,記住這個結論 ,可以提高解題速度 .寫一個集合的子集時 ,按子集中元素的個數(shù)來寫不易發(fā)生重復和遺漏現(xiàn)象 . 知能訓練 課本 P7 練習 1、 2. 【補充練習】 1.判斷正誤 : (1)空集沒有子集 . ( ) (2)空集是任何一個集合的真子集 . ( ) (3)任一集合必有兩個或兩個以上子集 . ( ) (4)若 B A,那么凡不屬于集合 A 的元素 ,則必不屬于 B. ( ) 分析 :關于判斷題應確實把握好概念的實質 . 解： 該題的 5 個命題 ,只有 (4)是正確的 ,其余全錯 . 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 17 對于 (1)、 (2)來講 ,由規(guī)定 :空集是任何一個集合的子集 ,且是任一非空集合的真子集 . 對于 (3)來講 ,可舉反例 ,空集這一個集合就只有自身一個子集 . 對于 (4)來講 ,當 x B時 必有 x A,則 x A 時也必有 x B. 2.集合 A=x|-1x3,x Z,寫出 A 的真子集 . 分析 :區(qū)分子集與真子集的概念 ,空集是任一非空集合的真子集 ,一個含有 n 個元素的子集有 2n 個 ,真子集有2n-1 個 ,則該題先找該集合元素 ,后找真子集 . 解： 因 -1x3,x Z,故 x=0,1,2, 即 a=x|-1x3,x Z=0,1,2. 真子集 : 、 1、 2、 0、 0,1、 0,2、 1,2,共 7 個 . 3.(1)下列命題正確的是 ( ) A.無限集的真子集是有限集 B.任何一個集合必定有兩個子集 C.自然數(shù)集是整數(shù)集的真子集 D.1是質數(shù)集的真子集 (2)以下五個式子中 ,錯誤的個數(shù)為 ( ) 1 0,1,2 1,-3=-3,1 0,1,2 1,0,2 0,1,2 0 A.5 B.2 C.3 D.4 (3)M=x|3x4,a=,則下列關系正確的是 ( ) A.a M B.a M C.a M D.a M 分析 :(1)該題要在四個選擇肢中找到符合條件的選擇肢 ,必須對概念把握準確 , 無限集的真子集有可能是無限集 ,如 N 是 R 的真子集 ,排除 A；由于 只有一個子集 ,即它本身 ,排除 B；由于 1不是質數(shù) ,排除 D. (2)該題涉及到的是元素與集合 ,集合與集合的關系 . 應是 1 0,1,2,應是 0,1,2,應是 0. 故錯誤的有 . (3)M=x|3x4,a=. 因 3a4,故 a 是 M 的一個元素 . a是 x|3x2m-1 即 m2m-1,得 m4. 綜上有 m4. 點評： 此問題解決要 注意： 不應忽略 ；找 A 中的元素 ；分類討論思想的運用 . 拓展提升 問題 :已知 A B,且 A C,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,則滿足上述條件的集合 A 共有多少個？ 活動： 學生思考 A B,且 A C 所表達的含義 .A B說明集合 A 是集合 B的子集 ,即集合 A 中元素屬于集合 B,同理有集合 A 中元素屬于集合 C.因此集合 A 中的元素是集合 B和集合 C 的公共元素 . 思路 1:寫出由集合 B和集合 C 的公共元素所組成的集合 ,得滿足條件的集合 A； 思路 2:分析題意 ,僅求滿足條件的集合 A的個數(shù) ,轉化為求集合 B和集合 C的公共元素所組成的集合的子集個數(shù) . 解法一： 因 A B,A C,B=0,1,2,3,4,C=0,2,4,8,由此 ,滿足 A B,有 : ,0,1,2,3,4, 0,1,0,2,2,3,2,4,0,3,0,4,1,2,1,3,1,4,3,4,0,2,4,0,1,2,0,1,3,0,1,4,1,2,3,1,2,4,2,3,4,0,3,4,0,1,2,3,1,2,3,4,0,1,3,4,0,2,3,1,3,4,0,1,2,4,0,2,3,4,0,1,2,3,4,共 25=32(個 ). 又滿足 A C 的集合 A 有 : ,0,2,4,8,0,2,0,4,0,8,2,4,2,8,4,8,0,2,4, 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 19 0,2,8,0,4,8,2,4,8,0,2,4,8,共 24=16(個 ). 其中同時滿足 A B,A C 的有 8 個 : ,0,2,4,0,2,0,4,2,4,0,2,4,實際上到此就可看出 ,上述解法太繁 . 解法二： 題目只求集合 A 的個數(shù) ,而未讓說明 A 的具體元素 ,故可將問題等價轉化為 B、 C 的公共元素組成集合的子集數(shù)是多少 .顯然公共元素有 0、 2、 4,組成集合的子集有 23=8(個 ). 點評： 有關集合間關系的問題 ,常用分類討論的思想來解決 ；關于集合的子集個數(shù)的結論要熟練掌握 ,其應用非常廣泛 . 課堂小結 本節(jié)課學習了 : 子集、真子集、空集、 Venn 圖等概念 ； 能判斷存在子集關系的兩個集合誰是誰的子集 ,進一步確定其是否是真子集 ； 清楚兩個集合包含關系的確定 ,主要靠其元素與集合關系來說明 . 作業(yè) 課本 P11習題 1.1A 組 5. 設計感想 本節(jié)教學設計注重引導學生通過類比來獲得新知 ,在實際教學中 , 要留給學生適當?shù)乃伎紩r間 ,使學生自己通過類比得到正確結論 .豐富學生的學習方式 、 改進學生的學習方法是高中數(shù)學課程追求的基本理 念 ,學生的數(shù)學學習活動不能僅限于對概念 、 結論和技能的記憶 、 模仿和接受 ,獨立思考 、 自主探索 、 合作交流 、 閱讀自學等都應成為學生學習數(shù)學的重要方式 . 備課資料 備選例題 【例 1】已知 A=y|y=x2-4x+6,x R,y N,B=y|y=-x2-2x+7,x R,y N,求 AB,并分別用描述法 、 列舉法表示它 . 解： y=x2-4x+6=(x-2)2+22,A=y|y2,y N, 又 y=-x2-2x+7=-(x+1)2+88, B=y|y8,y N. 故 AB=y|2y8=2,3,4,5,6,7,8. 【例 2】 2006 第十七屆 “希望杯 ”全國數(shù)學邀請賽 (高一 )第一試 ,1 設 S=(x,y)|xy0,T=(x,y)|x0 且 y0,則( ) A.S T=S B.S T=T C.ST=S D.ST= 分析 :S=(x,y)|xy0=(x,y)|x0 且 y0 或 x0 且 y1,B=x|x0,在數(shù)軸上表示出集合 A 與 B,并寫出由集合 A 與 B 中的所有元素組成的集合 C. 推進新課 新知探究 提出問題 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 22 通過上述問題中集合 A 與 B與集合 C 之間的關系 ,類比實數(shù)的加法運算 ,你發(fā)現(xiàn)了什么？ 用文字語言來敘述上述問題中 ,集合 A 與 B與集合 C 之間的關系 . 用數(shù)學符號來敘述上述問題中 ,集 合 A 與 B與集合 C 之間的關系 . 試用 Venn 圖表示 A B=C. 請給出集合的并集定義 . 求集合的并集是集合間的一種運算 ,那么 ,集合間還有其他運算嗎？ 請同學們考察下面的問題 ,集合 A 與 B與集合 C 之間有什么關系？ ( )A=2,4,6,8,10,B=3,5,8,12,C=8； ( )A=x|x 是國興中學 2007 年 9 月入學的高一年級女同學 ,B=x|x 是國興中學 2007 年 9 月入學的高一年級男同學 ,C=x|x 是國興中學 2007 年 9 月入學的高一年級同學 . 類比集合的并集 ,請給出集合的交集定 義？并分別用三種不同的語言形式來表達 . 活動： 先讓學生思考或討論問題 ,然后再回答 ,經教師提示、點撥 ,并對回答正確的學生及時表揚 ,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路 ,主要引導學生發(fā)現(xiàn)集合的并集和交集運算并能用數(shù)學符號來刻畫 ,用Venn 圖來顯示 . 討論結果： 集合之間也可以相加 ,也可以進行運算 ,但是為了不和實數(shù)的運算相混淆 ,規(guī)定這種運算不叫集合的加法 ,而是叫做求集合的并集 .集合 C 叫集合 A 與 B的并集 .記為 A B=C,讀作 A 并 B. 所有屬于集合 A 或屬于集合 B的元素所組成了集合 C. C=x|x A,或 x B. 如圖 1131 所示 . 一般地 ,由所有屬于集合 A 或屬于集合 B 的元素所組成的集合 ,稱為集合 A 與 B的并集 .其含義用符號表示為 A B=x|x A,或 x B,用 Venn 圖表示 ,如圖 1131 所示 . 集合之間還可以求它們的公共元素組成集合的運算 ,這種運算叫求集合的交集 ,記作 AB,讀作 A 交B.( )AB=C,( )A B=C. 一般地 ,由屬于集合 A 且屬于集合 B的所有元素組成的集合 ,稱為 A 與 B的交集 . 其含義用符號表示為 : AB=x|x A,且 x B. 用 Venn 圖表示 ,如圖 1132 所示 . 圖 1-1-3-2 應用示例 思路 1 1.設 A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求 A B,AB. 圖 1-1-3-3 活動： 讓學生回顧集合的表示法和交集、并集的含義 ,由于本例題難度較小 ,讓學生自己解決 ,重點是總結集合運算的方法 .根據(jù)集合并集、交集的含義 ,借助于 Venn 圖寫出 .觀察這兩個集合中的元素 ,或用 Venn 圖來表示 ,如圖 1133 所示 . 解： A B=4,5,6,8 3,5,7,8=3,4,5,6,7,8.AB=4,5,6,83,5,7,8=5,8. 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 23 點評： 本題主要 考查集合的并集和交集 .用列舉法表示的集合 ,運算時常利用 Venn 圖或直接觀察得到結果 . 本題易錯解為 A B=3,4,5,5,6,7,8,8.其原因是忽視了集合元素的互異性 .解決集合問題要遵守集合元素的三條性質 . 變式訓練 1.集合 M=1,2,3,N=-1,5,6,7,則 M N=_.MN=_. 答案： -1,1,2,3,5,6,7 2.集合 P=1,2,3,m,M=m2,3,P M=1,2,3,m,則 m=_. 分析 :由題意得 m2=1 或 2 或 m,解得 m=-1,1, 2 , 2 ,0.因 m=1 不合題意 ,故舍去 . 答案： -1, 2 , 2 ,0 3.2007 河南實驗中學月考 ,理 1 滿足 A B=0,2的集合 A 與 B的組數(shù)為 ( ) A.2 B.5 C.7 D.9 分析 : A B=0,2, A 0,2.則 A= 或 A=0或 A=2或 A=0,2.當 A= 時 ,B=0,2；當 A=0時 ,則集合 B=2或 0,2；當 A=2時 ,則集合 B=0或 0,2；當 A=0,2時 ,則集合 B= 或 0或 2或 0,2,則滿足條件的集合 A 與 B的組數(shù)為 1+2+2+4=9. 答案： D 4.2006 遼寧高考 ,理 2 設集合 A=1,2,則滿足 A B=1,2,3的集合 B的個數(shù)是 ( ) A.1 B.3 C.4 D.8 分析 :轉化為求集合 A 子集的個數(shù) .很明顯 3 A,又 A B=1,2,3,必有 3 B,即集合 B中至少有一個元素 3,其他元素來自集合 A 中 ,則集合 B的個數(shù)等于 A=1,2的 子集個數(shù) ,又集合 A 中含有 22=4 個元素 ,則集合 A有 22=4 個子集 ,所以滿足條件的集合 B共有 4 個 . 答案： C 2.設 A=x|-10,求 A B,AB. 答案： A B=R,AB=x|2x3. 2.設 A=x|2x-4=2,B=x|2x-4=0,求 A B,AB. 答案： A B=3,2,AB= . 3.2007 惠州高三第一次調研考試 ,文 1 設集合 A=x|-1x2,B=x|0x4,則 AB等于 ( ) A. 0,2 B. 1,2 C. 0,4 D. 1,4 分析 :在同一條數(shù)軸上表示出集合 A、 B,如圖 1135 所示 .由圖得 AB= 0,2 . 圖 1-1-3-5 答案： A 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 24 課本 P11例 6、 例 7. 思路 2 1.A=x|x0,C=x|x10,則 AB,B C,ABC分別是什么 ? 活動： 學生先思考集合中元素特征 ,明確集合中的元素 .將集合中元素利用數(shù)形結合在數(shù)軸上找到 ,那么運算結果尋求就 易進行 .這三個集合都是用描述法表示的數(shù)集 ,求集合的并集和交集的關鍵是找出它們的公共元素和所有元素 . 解： 因 A=x|x0,C=x|x10,在數(shù)軸上表示 ,如圖 1136 所示 ,所以 AB=x|00,ABC= . 圖 1-1-3-6 點評： 本題主要考查集合的交集和并集 .求集合的并集和交集時 ,明確集合中的元素 ；依據(jù)并集和交集的含義 ,借助于直觀 (數(shù)軸或 Venn 圖 )寫出結果 . 變式訓練 1.設 A=x|x=2n,n N*,B=x|x=2n,n N,求 AB,A B. 解： 對任意 m A,則有 m=2n=22n-1,n N*,因 n N*,故 n-1 N,有 2n-1 N,那么 m B, 即對任意 m A 有 m B,所以 A B. 而 10 B但 10 A,即 A B,那么 AB=A,A B=B. 2.求滿足 1,2 B=1,2,3的集合 B的個數(shù) . 解： 滿足 1,2 B=1,2,3的集合 B一定含有元素 3,B=3；還可含 1 或 2 其中一個 ,有 1,3,2,3；還可含 1和 2,即 1,2,3,那么共有 4 個滿足條件的集合 B. 3.設 A=-4,2,a-1,a2,B=9,a-5,1-a,已知 AB=9,求 a. 解： 因 AB=9,則 9 A,a-1=9 或 a2=9, a=10 或 a=3, 當 a=10 時 ,a-5=5,1-a=-9； 當 a=3 時 ,a-1=2 不合題意 . 當 a=-3 時 ,a-1=-4 不合題意 . 故 a=10,此時 A=-4,2,9,100,B=9,5,-9,滿足 AB=9. 4.2006 北京高考 ,文 1 設集合 A=x|2x+1-3 D.x|x1 分析 :集合 A=x|2x+13=x|x1, 觀察或由數(shù)軸得 AB=x|-3x1. 答案： A 2.設集合 A=x|x2+4x=0,B=x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a R,若 AB=B,求 a 的值 . 活動： 明確集合 A、 B 中的元素 ,教師和學生共同探討滿足 AB=B的集合 A、 B 的關系 .集合 A 是方程 x2+4x=0的解組成的集合 ,可以發(fā)現(xiàn) ,B A,通過分類討論集合 B 是否為空集 來求 a 的值 .利用集合的表示法來認識集合 A、 B均是方程的解集 ,通過畫 Venn 圖發(fā)現(xiàn)集合 A、 B的關系 ,從數(shù)軸上分析求得 a 的值 . 解： 由題意得 A=-4,0. AB=B, B A. B= 或 B . 當 B= 時 ,即關于 x 的方程 x2+2(a+1)x+a2-1=0 無實數(shù)解 , 則 =4(a+1)2-4(a2-1)0,解得 a2m-1, m2. 當 B 時 ,觀察圖 1-1-3-7: 圖 1-1-3-7 由數(shù)軸可得.512,12,121mmmm 解得 -2m3. 綜上所述 ,實數(shù) m 的取值范圍是 m2 或 -2m3,即 m3. 點評： 本題主要考查集合的運算、分類討論的思想 ,以及集合間關系的應用 .已知兩個集合的運算結果 ,求集合中參數(shù)的值時 ,由集合的運算結果確定它們的關系 ,通過 深刻理解集合表示法的轉換 ,把相關問題化歸為其他常見的方程、不等式等數(shù)學問題 .這稱為數(shù)學的化歸思想 ,是數(shù)學中的常用方法 ,學會應用化歸和分類討論的數(shù)學思想方法解決有關問題 . 知能訓練 課本 P11練習 1、 2、 3. 【補充練習】 1.設 a=3,5,6,8,B=4,5,7,8, (1)求 AB,A B. (2)用適當?shù)姆?( 、 )填空 : AB_A,B_AB,A B_A,A B_B,AB_A B. 解： (1)因 A、 B的公共元素為 5、 8,故兩集合的公共部分為 5、 8, 則 AB=3,5,6,84,5,7,8=5,8. 又 A、 B兩集合的元素 3、 4、 5、 6、 7、 8, 故 A B=3,4,5,6,7,8. (2)由文氏圖可知 AB A,B AB,A B A,A B B,AB A B. 2.設 A=x|x-2. 5.設 A=x|x 是平行四邊形 ,B=x|x 是矩形 ,求 A B. 解： 因矩形是平行四邊形 ,故由 A 及 B的元素組成的集合為 A B,A B=x|x 是平行四邊形 . 6.已知 M=1,N=1,2,設 A=(x,y)|x M,y N,B=(x,y)|x N,y M,求 AB,A B. 分析 :M、 N 中元素是數(shù) .A、 B中元素是平面內點集 ,關鍵是找其元素 . 解： M=1,N=1,2,則 A=(1,1),(1,2),B=(1,1),(2,1),故 AB=(1,1),A B=(1,1),(1,2), (2,1). 7.2006 江蘇高考 ,7 若 A、 B、 C 為三個集合 ,A B=BC,則一定有 ( ) A.A C B.C A C.AC D.A= 分析 :思路一 : (BC) B,(BC) C,A B=BC, A B B,A B C. A B C. A C. 思路二 :取滿足條件的 A=1,B=1,2,C=1,2,3,排除 B、 D, 令 A=1,2,B=1,2,C=1,2,則此時也滿足條件 A B=BC, 而此時 A=C,排除 C. 答案： A 拓展提升 觀察： (1)集合 A=1,2,B=1,2,3,4時 ,AB,A B這兩個運算結果與集合 A,B的關系 ； (2)當 A= 時 ,AB,A B這兩個運算結果與集合 A,B的關系 ； (3)當 A=B=1,2時 ,AB,A B這兩個運算結果與集合 A,B的關系 . 由 (1)(2)(3)你發(fā)現(xiàn)了什么結論？ 活動： 依據(jù)集合的交集和并集的含義寫出運算結果 ,并觀察與集合 A,B的關系 .用 Venn 圖來發(fā)現(xiàn)運算結果與集合 A,B的關系 .(1)(2)(3)中的集合 A,B均滿足 A B,用 Venn 圖表示 ,如圖 1138 所示 ,就可以發(fā)現(xiàn) AB,AB與集合 A,B的關系 . 圖 1-1-3-8 解： AB=A A B A B=B. 可用類似方法 ,可以得到集合的運算性質 ,歸納如下 : A B=B A,A (A B),B (A B)；A A=A,A =A,A B A B=B； AB=BA；(AB) A,(AB) B；AA=A；A = ；A B AB=A. 課堂小結 本節(jié)主要學習了 : 1.集合的交集和并集 . 2.通常借助于數(shù)軸或 Venn 圖來求交集和并集 . 作業(yè) 1.課外思考 :對于集合的基本運算 ,你能得出哪些運算規(guī)律？ 2.請你舉出現(xiàn)實生活中的一個實例 ,并說明其并集 、 交集和補集的現(xiàn)實含義 . 優(yōu)質 數(shù)學資源下載 /sxzyxz 27 3.書面作業(yè) :課本 P12習題 1.1A 組 6、 7、 8. 設計感想 由于本節(jié)課內容比較容易接受 ,也是歷年高考的必考內容之一 ,所以在教學設計上注重加強練習和拓展課本內容 .設計中通過借助于數(shù)軸或 Venn 圖寫出集合運算的結果 ,這是突破本節(jié)教學難點的有效方法 . (設計者：尚大志 ) 第 2 課時 導入新課 問題 :分別在整數(shù)范圍和實數(shù)范圍內解方程 (x-3)(x 3- )=0,其結果會相同嗎 ? 若集合 A=x|0x2,x Z,B=x|0x2,x R,則集合 A、 B相等嗎？ 學生回答后 ,教師指明 :在不同的范圍內集合中的元素會有所不同 ,這個 “范圍 ”問題就是本節(jié)學習的內容 ,引出課題 . 推進新課 新知探究 提出問題 用列舉法表示下列集合 : A=x Z|(x-2)(x+31)(x 2- )=0； B=x Q|(x-2)(x+31)(x 2- )=0； C=x R|(x-2)(x+31)(x 2- )=0. 問題中三個集合相等嗎？為什么？ 由此看 ,解方程時要注意什么？ 問題 ,集合 Z,Q,R 分別含有所解方程時所涉及的全部元素 ,這樣的集合稱為全集 ,請給出全集的定義 . 已知全集 U=1,2,3,A=1,寫出全集中不屬于集合 A 的所有元素組成的集合 B. 請給出補集的定義 . 用 Venn 圖表示 A. 活動： 組織學生充分討論、交流 ,使學生明確集合中的元素 ,提示學生注意集合中元素的范圍 . 討論 結果： A=2,B=