【步步高】高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)精講（課前準(zhǔn)備+課堂活動小結(jié)+課后練習(xí)）命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件導(dǎo)學(xué)案 文 新人教A版(1).doc

學(xué)案2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.能寫出一個命題的逆命題、否命題、逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系.2.理解必要條件、充分條件與充要條件的含義8自主梳理1命題用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用綈p和綈q分別表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是原命題：若p則q(pq)；逆命題：若q則p(qp)；否命題：若綈p則綈q(綈p綈q)；逆否命題：若綈q則綈p(綈q綈p)(2)四種命題間的關(guān)系(3)四種命題的真假性兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性兩個命題為逆命題或否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件與必要條件若pq，則p叫做q的充分條件；若qp，則p叫做q的必要條件；如果pq，則p叫做q的充要條件自我檢測1(2010湖南)下列命題中的假命題是()axr，lg x0 bxr，tan x1cxr，x30 dxr,2x0答案c解析對于c選項，當(dāng)x0時，030，因此xr，x30是假命題2(2010陜西)“a0”是“|a|0”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案a解析a0|a|0，|a|0a0，“a0”是“|a|0”的充分不必要條件3(2009浙江)“x0”是“x0”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件答案a解析對于“x0”“x0”，反之不一定成立，因此“x0”是“x0”的充分而不必要條件4若命題p的否命題為r，命題r的逆命題為s，則s是p的逆命題t的()a逆否命題 b逆命題c否命題 d原命題答案c解析由四種命題逆否關(guān)系知，s是p的逆命題t的否命題5(2011宜昌模擬)與命題“若am，則bm”等價的命題是()a若am，則bmb若bm，則amc若am，則bmd若bm，則am答案d解析因為原命題只與逆否命題是等價命題，所以只需寫出原命題的逆否命題即可探究點一四種命題及其相互關(guān)系例1寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷其真假(1)實數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2)等底等高的兩個三角形是全等三角形；(3)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并平分弦所對的弧解題導(dǎo)引給出一個命題，判斷其逆命題、否命題、逆否命題等的真假時，如果直接判斷命題本身的真假比較困難，則可以通過判斷它的等價命題的真假來確定解(1)逆命題：若一個數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)是實數(shù)真命題否命題：若一個數(shù)不是實數(shù)，則它的平方不是非負(fù)數(shù)真命題逆否命題：若一個數(shù)的平方不是非負(fù)數(shù)，則這個數(shù)不是實數(shù)真命題(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等底等高真命題否命題：若兩個三角形不等底或不等高，則這兩個三角形不全等真命題逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等底或不等高假命題(3)逆命題：若一條直線經(jīng)過圓心，且平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線真命題否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不過圓心或不平分弦所對的弧真命題逆否命題：若一條直線不經(jīng)過圓心或不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線真命題變式遷移1有下列四個命題：“若xy0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；“全等三角形的面積相等”的否命題；“若q1，則x22xq0有實根”的逆否命題；“不等邊三角形的三個內(nèi)角相等”的逆命題其中真命題的序號為_答案解析的逆命題是“若x，y互為相反數(shù)，則xy0”，真；的否命題是“不全等的三角形的面積不相等”，假；若q1，則44q0，所以x22xq0有實根，其逆否命題與原命題是等價命題，真；的逆命題是“三個內(nèi)角相等的三角形是不等邊三角形”，假探究點二充要條件的判斷例2給出下列命題，試分別指出p是q的什么條件(1)p：x20；q：(x2)(x3)0.(2)p：兩個三角形相似；q：兩個三角形全等(3)p：m2；q：方程x2xm0無實根(4)p：一個四邊形是矩形；q：四邊形的對角線相等解(1)x20(x2)(x3)0；而(x2)(x3)0x20.p是q的充分不必要條件(2)兩個三角形相似兩個三角形全等；但兩個三角形全等兩個三角形相似p是q的必要不充分條件(3)m2方程x2xm0無實根；方程x2xm0無實根m2. p是q的充分不必要條件(4)矩形的對角線相等，pq；而對角線相等的四邊形不一定是矩形，qp.p是q的充分不必要條件變式遷移2(2011邯鄲月考)下列各小題中，p是q的充要條件的是()p：m6；q：yx2mxm3有兩個不同的零點；p：1；q：yf(x)是偶函數(shù)；p：cos cos ；q：tan tan ；p：aba；q：ubua.a b c d答案d解析q：yx2mxm3有兩個不同的零點q：m24(m3)0q：m6p；當(dāng)f(x)0時，由qp；若，k，kz時，顯然cos cos ，但tan tan ；p：abap：abq：uaub.故符合題意探究點三充要條件的證明例3設(shè)a，b，c為abc的三邊，求證：方程x22axb20與x22cxb20有公共根的充要條件是a90.解題導(dǎo)引有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條件”“結(jié)論”是證明命題的充分性，由“結(jié)論”“條件”是證明命題的必要性證明要分兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性證明(1)必要性：設(shè)方程x22axb20與x22cxb20有公共根x0，則x2ax0b20，x2cx0b20，兩式相減可得x0，將此式代入x2ax0b20，可得b2c2a2，故a90，(2)充分性：a90，b2c2a2，b2a2c2.將代入方程x22axb20，可得x22axa2c20，即(xac)(xac)0.將代入方程x22cxb20，可得x22cxc2a20，即(xca)(xca)0.故兩方程有公共根x(ac)所以方程x22axb20與x22cxb20有公共根的充要條件是a90.變式遷移3已知ab0，求證：ab1的充要條件是a3b3aba2b20.證明(1)必要性：ab1，ab10.a3b3aba2b2(ab)(a2abb2)(a2abb2)(ab1)(a2abb2)0.(2)充分性：a3b3aba2b20，即(ab1)(a2abb2)0.又ab0，a0且b0.a2abb2(a)2b20.ab10，即ab1.綜上可知，當(dāng)ab0時，ab1的充要條件是a3b3aba2b20.轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)已知兩個關(guān)于x的一元二次方程mx24x40和x24mx4m24m50，且mz.求兩方程的根都是整數(shù)的充要條件【答題模板】解mx24x40是一元二次方程，m0. 2分另一方程為x24mx4m24m50，兩方程都要有實根，解得m，1 6分兩根為整數(shù)，故和與積也為整數(shù)，m為4的約數(shù)， 8分m1或1，當(dāng)m1時，第一個方程x24x40的根為非整數(shù)，而當(dāng)m1時，兩方程均為整數(shù)根，兩方程的根均為整數(shù)的充要條件是m1. 12分【突破思維障礙】本題涉及到參數(shù)問題，先用轉(zhuǎn)化思想將生疏復(fù)雜的問題化歸為簡單、熟悉的問題解決，兩方程有實根易想0.求出m的范圍，要使兩方程根都為整數(shù)可轉(zhuǎn)化為它們的兩根之和與兩根之積都是整數(shù)【易錯點剖析】易忽略一元二次方程這個條件隱含著m0，不易把方程的根都是整數(shù)轉(zhuǎn)化為兩根之和與兩根之積都是整數(shù)1研究命題及其關(guān)系時，要分清命題的題設(shè)和結(jié)論，把命題寫成“如果，那么”的形式，當(dāng)一個命題有大前提時，必須保留大前提，只有互為逆否的命題才有相同的真假性2在解決充分條件、必要條件等問題時，要給出p與q是否可以相互推出的兩次判斷，同時還要弄清是p對q而言，還是q對p而言還要分清否命題與命題的否定的區(qū)別3本節(jié)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010天津模擬)給出以下四個命題：若ab0，則a0或b0；若ab，則am2bm2；在abc中，若sin asin b，則ab；在一元二次方程ax2bxc0中，若b24ac0，則方程有實數(shù)根其中原命題、逆命題、否命題、逆否命題全都是真命題的是()a b c d答案c解析對命題，其原命題和逆否命題為真，但逆命題和否命題為假；對命題，其原命題和逆否命題為假，但逆命題和否命題為真；對命題，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為真；對命題，其原命題、逆命題、否命題、逆否命題全部為假2(2010浙江)設(shè)0x，則“xsin2x1”是“xsin x1”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件答案b解析0x，0sin x1.xsin x1xsin2x1，而xsin2x1xsin x1.故選b.3(2009北京)“2k(kz)”是“cos 2”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件答案a解析由2k(kz)可得到cos 2.由cos 2得22k(kz)k(kz)所以cos 2不一定得到2k(kz)4(2011威海模擬)關(guān)于命題“若拋物線yax2bxc的開口向下，則x|ax2bxc0”的逆命題、否命題、逆否命題，下列結(jié)論成立的是()a都真 b都假c否命題真 d逆否命題真答案d解析本題考查四種命題之間的關(guān)系及真假判斷對于原命題：“若拋物線yax2bxc的開口向下，則x|ax2bxc0”，這是一個真命題，所以其逆否命題也為真命題，但其逆命題：“若x|ax2bxc0，則拋物線yax2bxc的開口向下”是一個假命題，因為當(dāng)不等式ax2bxc0，即拋物線的開口可以向上因此否命題也是假命題5(2011棗莊模擬)集合ax|x|4，xr，bx|x5”的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件答案b解析ax|4x4，若ab，則a4，a4a5，但a5a4.故選b.二、填空題(每小題4分，共12分)6“x10且x20”是“x1x20且x1x20”的_條件答案充要7(2011惠州模擬)已知p：(x1)(y2)0，q：(x1)2(y2)20，則p是q的_條件答案必要不充分解析由(x1)(y2)0得x1或y2，由(x1)2(y2)2 0得x1且y2，所以由q能推出p，由p推不出q, 所以填必要不充分條件8已知p(x)：x22xm0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為_答案3,8)解析因為p(1)是假命題，所以12m0，解得m3；又因為p(2)是真命題，所以44m0，解得m8.故實數(shù)m的取值范圍是3m8.三、解答題(共38分)9(12分)(2011許昌月考)分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假(1)若q1，則方程x22xq0有實根；(2)若ab0，則a0或b0；(3)若x2y20，則x、y全為零解(1)逆命題：若方程x22xq0有實根，則q1，為假命題否命題：若q1，則方程x22xq0無實根，為假命題逆否命題：若方程x22xq0無實根，則q1，為真命題(4分)(2)逆命題：若a0或b0，則ab0，為真命題否命題：若ab0，則a0且b0，為真命題逆否命題：若a0且b0，則ab0，為真命題(8分)(3)逆命題：若x、y全為零，則x2y20，為真命題否命題：若x2y20，則x、y不全為零，為真命題逆否命題：若x、y不全為零，則x2y20，為真命題(12分)10(12分)設(shè)p：實數(shù)x滿足x24ax3a20，其中a0，且綈p是綈q的必要不充分條件，求a的取值范圍解設(shè)ax|px|x24ax3a20，a0x|3axa，a0x|x2x60x|x22x80x|2x3x|x2x|x4或x2(4分)綈p是綈q的必要不充分條件，綈q綈p，且綈p綈q.則x|綈qx|綈p，(6分)而x|綈qrbx|4x2，x|綈prax|x3a或xa，a0，x|4x2x|x3a或xa，a0，(10分