【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二章 2.8函數(shù)與方程強(qiáng)化訓(xùn)練 理 北師大版(1).DOC

2.8函數(shù)與方程1 函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義函數(shù)yf(x)的圖像與橫軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)稱為這個函數(shù)的零點(diǎn)(2)幾個等價關(guān)系方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)若函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值符號相反即f(a)f(b)0)的圖像與零點(diǎn)的關(guān)系000)的圖像與x軸的交點(diǎn)(x1,0)，(x2,0)(x1,0)無交點(diǎn)零點(diǎn)個數(shù)2103 用二分法求方程實數(shù)解的過程其中：“初始區(qū)間”是一個兩端函數(shù)值反號的區(qū)間；“m”的含義：取新區(qū)間，一個端點(diǎn)是原區(qū)間的中點(diǎn)，另一端是原區(qū)間兩端點(diǎn)中的一個，新區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值反號；“n”的含義：方程解滿足要求的精度；“p”的含義：選取區(qū)間內(nèi)的任意一個數(shù)作為方程的近似解1 判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)()(2)函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖像連續(xù)不斷)，則f(a)f(b)0.()(3)二次函數(shù)yax2bxc(a0)在b24ac0時沒有零點(diǎn)()(4)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值()(5)函數(shù)y2sin x1的零點(diǎn)有無數(shù)多個()(6)函數(shù)f(x)kx1在1,2上有零點(diǎn)，則1k.()2 (2013天津)函數(shù)f(x)2x|log0.5 x|1的零點(diǎn)個數(shù)為()a1 b2 c3 d4答案b解析當(dāng)0x1時，f(x)2xlog0.5x12xlog2x1，令f(x)0得log2xx，由ylog2x，yx的圖像知在(1，)上有一個交點(diǎn)，即f(x)在(1，)上有一個零點(diǎn)，故選b.3 (2013重慶)若abc，則函數(shù)f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間()a(a，b)和(b，c)內(nèi) b(，a)和(a，b)內(nèi)c(b，c)和(c，)內(nèi) d(，a)和(c，)內(nèi)答案a解析由于ab0，f(b)(bc)(ba)0.因此有f(a)f(b)0，f(b)f(c)0.f(x)在其定義域上是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù)f()e40，f(0)e040320，f()e20，f()f()1時，f(x)單調(diào)遞減，因為f(3)ln 310，f(4)ln 420，所以該函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間(3,4)內(nèi)，所以k3.題型一函數(shù)零點(diǎn)的判斷和求解例1(1)函數(shù)f(x)ex2x3的零點(diǎn)所在的一個區(qū)間是()a. b.c. d.(2)(2012湖北)函數(shù)f(x)xcos x2在區(qū)間0,4上的零點(diǎn)個數(shù)為()a4 b5c6 d7思維啟迪(1)利用零點(diǎn)存在性定理判斷；(2)函數(shù)零點(diǎn)的確定問題答案(1)c(2)c解析(1)由于函數(shù)f(x)的圖像在r上是連續(xù)的，且fe2()3e40，即f0；f(0)e020320，fe23e220，ff(1)0，故函數(shù)f(x)ex2x3的一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是.(2)當(dāng)x0時，f(x)0.又因為x0,4，所以0x216.因為5160，f(x)2x3x在r上是增函數(shù)而f(2)2260，f(1)2130，f(1)2350，f(2)226100，f(1)f(0)0，即f(x)0有兩個不相等的實數(shù)根，若實數(shù)a滿足條件，則只需f(1)f(3)0即可f(1)f(3)(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.檢驗：(1)當(dāng)f(1)0時，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a1.(2)當(dāng)f(3)0時，a，此時f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1,3上有兩個實數(shù)根，不合題意，故a.綜上所述，a1.思維升華解決二次函數(shù)的零點(diǎn)問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關(guān)系；(3)利用二次函數(shù)的圖像列不等式組已知f(x)x2(a21)x(a2)的一個零點(diǎn)比1大，一個零點(diǎn)比1小，求實數(shù)a的取值范圍解方法一設(shè)方程x2(a21)x(a2)0的兩根分別為x1，x2(x1x2)，則(x11)(x21)0，x1x2(x1x2)10，由根與系數(shù)的關(guān)系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a1.方法二函數(shù)圖像大致如圖，則有f(1)0，即1(a21)a20，2a0)，則原方程可變?yōu)閠2ata10，(*)原方程有實根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有兩個正實根t1，t2，則解得1a22；若方程(*)有一個正實根和一個負(fù)實根(負(fù)實根，不合題意，舍去)，則f(0)a10，解得a0)，則a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，當(dāng)且僅當(dāng)t1時取等號，故a22.思維升華對于“af(x)有解”型問題，可以通過求函數(shù)yf(x)的值域來解決已知定義在r上的函數(shù)yf(x)滿足f(x2)f(x)，當(dāng)1x1時，f(x)x3，若函數(shù)g(x)f(x)loga|x|至少有5個零點(diǎn)，則a的取值范圍是()a(1,5) b(0，)5，)c(0，5，) d，1(1,5答案b解析依題意知函數(shù)f(x)的周期為2，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出函數(shù)yf(x)與函數(shù)yloga|x|的圖像，如圖所示，結(jié)合圖像，可知要使函數(shù)g(x)f(x)loga|x|至少有5個零點(diǎn)，則有0a0)(1)若yg(x)m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個相異實根思維啟迪(1)yg(x)m有零點(diǎn)即yg(x)與ym的圖像有交點(diǎn)，所以可以結(jié)合圖像求解；(2)g(x)f(x)0有兩個相異實根yf(x)與yg(x)的圖像有兩個不同交點(diǎn)，所以可利用它們的圖像求解規(guī)范解答解(1)方法一g(x)x22e，等號成立的條件是xe，故g(x)的值域是2e，)，3分因而只需m2e，則yg(x)m就有零點(diǎn)6分方法二作出g(x)x (x0)的大致圖像如圖3分可知若使yg(x)m有零點(diǎn)，則只需m2e.6分(2)若g(x)f(x)0有兩個相異實根，即g(x)與f(x)的圖像有兩個不同的交點(diǎn)，作出g(x)x (x0)的大致圖像如圖8分f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其圖像的對稱軸為xe，開口向下，最大值為m1e2.10分故當(dāng)m1e22e，即me22e1時，g(x)與f(x)有兩個交點(diǎn)，即g(x)f(x)0有兩個相異實根m的取值范圍是(e22e1，)12分溫馨提醒(1)求函數(shù)零點(diǎn)的值，判斷函數(shù)零點(diǎn)的范圍及零點(diǎn)的個數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍等問題，都可利用方程來求解，但當(dāng)方程不易甚至不可能解出時，可構(gòu)造兩個函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行求解(2)本題的易錯點(diǎn)是確定g(x)的最小值和f(x)的最大值時易錯要注意函數(shù)最值的求法方法與技巧1 函數(shù)零點(diǎn)的判定常用的方法有(1)零點(diǎn)存在性定理；(2)數(shù)形結(jié)合；(3)解方程f(x)0.2 研究方程f(x)g(x)的解，實質(zhì)就是研究g(x)f(x)g(x)的零點(diǎn)3 轉(zhuǎn)化思想：方程解的個數(shù)問題可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點(diǎn)的個數(shù)問題；已知方程有解求參數(shù)范圍問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題失誤與防范1 函數(shù)f(x)的零點(diǎn)是一個實數(shù)，是方程f(x)0的根，也是函數(shù)yf(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)2 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理是零點(diǎn)存在的一個充分條件，而不是必要條件；判斷零點(diǎn)個數(shù)還要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、對稱性或結(jié)合函數(shù)圖像a組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：40分鐘)一、選擇題1 方程log3xx30的解所在的區(qū)間是()a(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4)答案c解析設(shè)f(x)log3xx3，則f(2)log3210，f(x)0在(2,3)有零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，f(x)0的零點(diǎn)在(2,3)內(nèi)2 方程|x22x|a21(a0)的解的個數(shù)是()a1 b2 c3 d4答案b解析(數(shù)形結(jié)合法)a0，a211.而y|x22x|的圖像如圖，y|x22x|的圖像與ya21的圖像總有兩個交點(diǎn)3 若關(guān)于x的方程x2mx10有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是()a(1,1) b(2,2)c(，2)(2，) d(，1)(1，)答案c解析方程x2mx10有兩個不相等的實數(shù)根，m240，m2或m2.4 已知三個函數(shù)f(x)2xx，g(x)x2，h(x)log2xx的零點(diǎn)依次為a，b，c，則()aabc bacbcbac dcab答案b解析由于f(1)10，且f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)故f(x)2xx的零點(diǎn)a(1,0)g(2)0，g(x)的零點(diǎn)b2；h10，且h(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，h(x)的零點(diǎn)c，因此ac0時，f(x)2 015xlog2 015x，則在r上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個數(shù)為_答案3解析函數(shù)f(x)為r上的奇函數(shù)，因此f(0)0，當(dāng)x0時，f(x)2 015xlog2 015x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，)內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)f(x)在r上的零點(diǎn)的個數(shù)為3.7 已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點(diǎn)，則實數(shù)m的取值范圍是_答案(0,1)解析畫出f(x)的圖像，如圖由于函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點(diǎn)，結(jié)合圖像得：0m0的解集是_答案x|x0，即(4x22x6)02x2x30，解集為x|x1三、解答題9 已知函數(shù)f(x)x3x2.證明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.證明令g(x)f(x)x.g(0)，g()f()，g(0)g()0)，則t2mt10.當(dāng)0，即m240，m2時，t1；m2時，t1(不合題意，舍去)，2x1，x0符合題意當(dāng)0，即m2或m2時，t2mt10有兩正根或兩負(fù)根，即f(x)有兩個零點(diǎn)或沒有零點(diǎn)這種情況不符合題意綜上可知，m2時，f(x)有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)為x0.b組專項能力提升(時間：30分鐘)1 已知x1，x2是函數(shù)f(x)ex|ln x|的兩個零點(diǎn)，則()a.x1x21 b1x1x2ec1x1x210 dex1x210答案a解析在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)yex與y|ln x|的圖像，結(jié)合圖像不難看出，它們的兩個交點(diǎn)中，其中一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(0,1)，另一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)屬于區(qū)間(1，)，即在x1，x2中，其中一個屬于區(qū)間(0,1)，另一個屬于區(qū)間(1，)不妨設(shè)x1(0,1)，x2(1，)，則有ex1|ln x1|ln x1(e1,1)，ex2|ln x2|ln x2(0，e1)，ex2ex1ln x2ln x1ln x1x2(1,0)，于是有e1x1x2e0，即x1x21.2 若直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)p，q滿足條件：p，q都在函數(shù)yf(x)的圖像上；p，q關(guān)于原點(diǎn)對稱則稱點(diǎn)對p，q是函數(shù)yf(x)的一對“友好點(diǎn)對”(點(diǎn)對p，q與q，p看作同一對“友好點(diǎn)對”)已知函數(shù)f(x)則此函數(shù)的“友好點(diǎn)對”有()a0對 b1對 c2對 d3對答案c解析函數(shù)f(x)的圖像及函數(shù)f(x)x24x(x0)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖像如圖所示，則a，b兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)一定在函數(shù)f(x)x24x(x0)的圖像上，故函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對”有2對，選c.3 若方程k(x2)3有兩個不等的實根，則k的取值范圍是_答案(，解析作出函數(shù)y1和y2k(x2)3的圖像如圖所示，函數(shù)y1的圖像是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的圓在x軸上方的半圓(包括端點(diǎn))，函數(shù)y2的圖像是過定點(diǎn)p(2,3)的直線，點(diǎn)a(2,0)，kpa.直線pb是圓的切線，由圓心到直線的距離等于半徑得，2，得kpb.由圖可知當(dāng)kpbkkpa時，兩函數(shù)圖像有兩個交點(diǎn)，即原方程有兩個不等實根所以k.4 已知關(guān)于x的二次方程x22mx2m10.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1,0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1,2)內(nèi)，求m的取值范圍；(2)若方