山東省聊城市中考數(shù)學專題復習講義 圖形認識初步.doc

專題復習精品講義第四章 圖形認識初步本章小結小結1 本章內容概覽 本章的主要內容是多姿多彩的圖形，直線、射線、線段以及角等有關的概念及其性質其課標要求是： (1)理解線段、直線和射線的區(qū)別與聯(lián)系，會比較線段的大小，并進行計算 (2)理解角的概念，會比較角的大小，會進行角的度數(shù)的計算 (3)了解互余、互補的概念，理解它們的性質小結2 本章重點、難點：本章的重點是線段和角的概念及其相關的性質；難點是對平面圖形的概念及其相關性質的理解小結3 本章學法點津 1要通過直觀感知，具體操作、確認等實踐活動，區(qū)分圖形，探索出圖形的特征和性質，培養(yǎng)空間想象能力 2要注意多觀察、多分析實物，勤動手操作、勤動腦聯(lián)想，同時又要注意對圖形語言的理解和符號語言的運用 3要淡化概念識記、不能機械地套用公式模式，達到“在做中學，在學中做” 4要注重“簡單說理”推理能力的培養(yǎng)，養(yǎng)成言之有據(jù)的良好習慣知識網絡結構圖重點題型總結及應用題型一 計算幾何圖形的數(shù)量 1數(shù)直線條數(shù) 例1 已知n(n2)個點p1，p2，p3，pn在同一平面上，且其中沒有任何三點在同一直線上設sn表示過這n個點中的任意2個點所作的所有直線的條數(shù)，顯然，s2=1，s33，s46，s610，由此推斷，sn . 答案： 點撥經過第一個點可以引出(n1)條直線，經過第二個點可以新引出(n2)條直線，經過第三個點可以新引出(n3)條直線，所以n個點一共可以引出sn (n1)(n2)(n3)1條直線2數(shù)線段條數(shù) 例2 如圖441所示，c、d為線段ab上的任意兩點，那么圖中共有多少條線段?解：按照從左到右的順序去數(shù)線段條數(shù)，以a為一個端點的線段有3條：ac、ad、ab；以c為一個端點的新線段有2條：cd、cb；以d為一個端點的新線段有1條：db所以共有線段3216(條)點撥線段的條數(shù)與線段上固定點(包括線段兩個端點)的個數(shù)有密切聯(lián)系，線段上有n個點(包括線段兩個端點)時，共有線段條 例3 小明在看書時發(fā)現(xiàn)這樣一個問題：在一次聚會中，共有6人參加，如果每兩人都握一次手，共握幾次手呢?小明通過認真思考得出了答案為了解決一般問題，小明設計了下列圖表進行探究：參加人數(shù)2345握手示意圖握手次數(shù)121=3321=64321=10 請你根據(jù)上面圖表歸納出參加人數(shù)與握手次數(shù)之間關系的一般結論 分析：本題研究的是握手次數(shù)問題，但可以將此問題轉化成研究平面上的點構成線段的條數(shù)問題這里把每個人看作一個點，根據(jù)圖表中的信息，通過探究推理可得到問題的答案 解：若有6人參加，則共握手15次結論：若有n(n2，且n為整數(shù))人參加，則共握手(n1)(n2)(n3)4321 (次)點撥解決此類問題的關鍵是將實際問題抽象轉化為平面圖形的具體計數(shù)問題。再進行探究 3數(shù)直線分平面的塊數(shù) 例4 豆腐是我們生活中的常見食品，常被分割成長方體或正方體的小塊出售現(xiàn)請你用刀切豆腐，每次切三刀，能將豆腐切成多少塊? 分析：這三刀可以隨意切，不要拘泥于規(guī)范、常見切法從不同的角度下手，得到的小塊豆腐的塊數(shù)可能不同解：如圖442所示，能將豆腐切成4塊、6塊、7塊或8塊點撥在截一個幾何體之前應充分想象截面可能的形狀，然后實際操作，在比較想象結果與實際結果的差異的過程中，可以豐富我們的幾何直覺，積累數(shù)學活動經驗，同時培養(yǎng)我們的空間觀察能力題型二 兩角互補、互余定義及其性質的應用 例5 一個角的補角是這個角的4倍，求這個角的度數(shù)解：設這個角是x，則它的補角是(180x)由題意，得180x4 x，解得x36所以這個角是36點撥 本題主要考查補角定義的應用，數(shù)學中利用方程、轉化思想，可將“形”的問題轉化為“數(shù)”的問題研究，從而簡捷解決問題 例6 如果一個角的補角是120，那么這個角的余角是( ) a30 b60 c90 d150 解析：本題是對余角、補角的綜合考查，先根據(jù)這個角的補角是120，求出這個角是60，再求出它的余角是30 答案：a 例7 根據(jù)補角的定義和余角的定義可知，10的角的補角是170，余角是80；15的角的補角是165，余角是75；32的角的補角是148，余角是58. 觀察以上各組數(shù)據(jù)，你能得出怎樣的結論?請用任意角代替題中的10、15、32的角來說明你的結論 解：結論為：一個角的補角比這個角的余角大90 說明：設任意角是(090)，的補角是180，的余角是90，則 (180)(90)90.題型三 角的有關運算 例8 如圖443所示，ab和cd都是直線，aoe90，3=fod，12720，求2、3的度數(shù) 解：因為aoe90， 所以29019027206240 又因為aod180115240，3fod， 所以3aod7620 所以上26240，37620 例9 如圖444所示，ob、oc是aod內任意兩條射線，om平分aob，on平分cod，若mon，boc=，用、表示aod 解：因為mon，boc=， 所以bomconmonboc= 又om平分aob，on平分cod， 所以aobcod2bom2con =2(bomcon)2()， 所以aodaobcodboc2()=2. 例10 (1)用度、分、秒表示5412 (2)324424等于多少度? (3)計算：13322433 解：(1)因為01260012=72，0.2=6002=12， 所以5412=54712 (2)因為24=()2404，444=()444=074， 所以324424=32.74 (3)13322433(13282)3433=44823433 44(811)3433=442713433=4427103344273=44273.方法總結角的有關運算是指角的單位換算和角的加、減、乘、除運算角度制的單位是 60進制的，和計量時間的時、分、秒一樣加減時，要將度、分、秒分別相加、相減，分、秒逢60要進位，而相減不夠時要借1作60；度、分、秒形式乘一個數(shù)時，要將度、分、秒分別乘這個數(shù)，分、秒逢60進位；度、分、秒形式除以一個數(shù)時，也是將度、分、秒分別除以這個數(shù)，不過要將高位的余數(shù)轉化成低位，與原位上的數(shù)相加后再除以這個數(shù)題型四 鐘表的時針與分針夾角問題例11 15：25時鐘面上時針和分針所構成的角是 度解析：起始時刻定為15：00(下午3點整時，時針和分針構成的角是90)，終止時刻為15：25，從圖445中可以看出分針從12轉到5用了25分鐘，轉了625150，時針轉了0525125，所以15：25時鐘面上時針和分針所構成的角為15090 125475 答案：475點撥解決此類問題時要選擇恰當?shù)钠鹗紩r刻，注意時針和分針同時在運動，并牢記時針每分鐘轉o5=0.5，分針每分鐘轉6題型五 圖形的轉化例12 下列圖形中不是正方體的平面展開圖的是( )解析：通過折疊驗證四個選項，可得正確答案 答案：c點撥 立體圖形的平面展開圖是沿著立體圖形的一些棱將它剪開，把立體圖形展開成一個平面圖形一個正方體的平面展開圖中，在同一直線上相鄰的三個正方形中，首尾兩個正方形是正方體中相對的兩個面例13 如圖446所示，將標號為a、b、c、d的正方形沿圖中虛線剪開后，得到標號為p、q、m、n的四組圖形，試按照“哪個正方形剪開后得到哪組圖形”的對應關系填空：a與 對應；b與 對應；c與 對應；d與 對應解析：按照剪開的形狀，找出對應的圖形 答案：m，p，q，n題型六 方位角 例14 如圖447所示，我海軍的兩艘軍艦(分別在a、b兩處)同時發(fā)現(xiàn)了一艘敵艦，其中a艦發(fā)現(xiàn)它在北偏東15的方向上，b艦發(fā)現(xiàn)它在東北方向上，試畫出這艘敵艦的位置(用字母c表示)解：如圖448所示，分別以點a、點b為中心建立方位圖，表示東北方向的射線 be與表示北偏東15方向的射線ad的交點c即為這艘敵艦的位置點撥利用角度來描述方位，以正北、正南的方向為基準，先確定是北還是南，然后確定東、西方向，最后確定偏東(或西)的角度，注意東北方向是北偏東45思想方法歸納 1分類討論思想 分類討論，就是對問題所給對象的條件、結論、圖形等不能進行統(tǒng)一研究時，就需要將研究對象按某個標準分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答注意分類時要做到按同一標準且不重不漏 例1 已知線段ab8cm，在直線ab上畫線段bc，使它等于3cm，求線段ac的長 解：本題分兩種情況： 如圖449所示，當點c在線段ab的延長線上時， acabbc8311(crn)； 如圖4410所示，當點c在線段ab上時， ac=abbc835(cm) 所以線段ac的長為11 cm或5cm. 例2 經過任意三點中的兩點共可以畫出的直線條數(shù)是( ) a1或3 b3 c2 d1解析：這道題要分兩種情況考慮：一是這三點都在一條直線上時，就只能畫出一條直線；二是這三點不在同一條直線上時，此時共可以畫出三條直線 答案：a2數(shù)形結合思想數(shù)形結合思想就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化、抽象問題具體化，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的，線段、直線、角的重要性質也都是通過數(shù)形結合的思想體現(xiàn)的 例3 如圖4411所示放置的三角板，把三角板較長的直角邊從水平狀態(tài)開始，在平面上沿著直線bc滾動一周，求b點轉動的角度解：三角板轉動的路線如圖4412所示由圖可知第一次轉動90，第二次轉動 120，第三次沒動，所以b點轉動了210點撥解決本題的關鍵是明確角的變化情況，因此，可根據(jù)題意畫出從起點到終點轉動一圈的示意圖，然后根據(jù)圖形就很容易確定出b點轉動的角度了 3轉化思想 解決一個問題，往往是由未知向已知轉化，由陌生向熟悉轉化，由復雜向簡單轉化，轉化思想貫穿整個數(shù)學學習的始終 例4 將下列選項中的平面圖形繞直線l旋轉一周，可以得到如圖4413所示立體圖形的是( ) 解析：分析立體圖形可知，直線l應為初始旋轉的直角梯形垂直于兩底的腰所在直線 答案：b 點撥本題主要考查了同學們識別圖形的能力對于類似的圖形識別問題我們要能從所給立體圖形入手，分析形成它的基本圖形，把復雜的立體圖形轉化為平面圖形去認識、解決中考熱點聚焦 考點1 線段 考點突破：線段問題在中考題中一般難度不大，解題時要結合圖形，認真分析，問題便會迎刃而解 例1 （2011廣東佛山，12，3分）已知線段ab=6，若c為ab中點，則ac=3考點兩點間的距離分析由題意可知，線段ab=6，c為ab中點，所以，ac=bc，即ac=3；解答解：如圖，線段ab=6，c為ab中點，ac=bc，ac=3故答案為：3點評本題考查了兩點間的距離，牢記兩點間的中點到兩端點的距離相等（2011廣西崇左，5，2分）在修建崇欽高速公路時，有時需要將彎曲的道路改直，依據(jù)是 考點：線段的性質：兩點之間線段最短 分析：根據(jù)線段的性質：兩點之間線段最短解答 解答：解：在修建崇欽高速公路時，有時需要將彎曲的道路改直，依據(jù)是：兩點之間線段最短故答案為：兩點之間線段最短 點評：本題考查了兩點之間線段最短的性質，是基礎題，比較簡單如圖4414所示，點a、 b、c是直線l上的三個點，圖中共有線段的條數(shù)是( ) a1 b2 c3解析：圖中有線段ab、bc、ac 答案：c考點2 余角和補角 考點突破：此類題在中考中的考查為基礎性題目，一般為選擇題或填空題，只要牢記余角和補角的定義，便能準確求解 例2 （2011清遠，6，3分）已知35，則的余角是（）a.35 b.55 c.65 d.145考點：余角和補角.專題：計算題.分析：根據(jù)互為余角的兩個角的和為90度作答解答：解：根據(jù)定義的余角度數(shù)是903555故選點評：本題考查角互余的概念：和為90度的兩個角互為余角屬于基礎題，較簡單（2011南通）已知=20，則的余角等于70考點：余角和補角。分析：若兩個角的和為90，則這兩個角互余；根據(jù)已知條件可直接求出角的余角解答：解：=20，的余角=9020=70故答案為：70點評：本題考查了余角的定義，解題時牢記定義是關鍵 （2011福建福州，5，4分）下列四個角中，最有可能與70角互補的角是（）ab cd考點：余角和補角分析：根據(jù)互補的性質，與70角互補的角等于18070=110，是個鈍角；看下4個答案，哪個符合即可；解答：解：根據(jù)互補的性質得，70角的補角為：18070=110，是個鈍角；答案abc都是銳角，答案d是鈍角；答案d正確故選d點評：本題考查了角互補的性質，明確互補的兩角和是180，并能熟練求已知一個角的補角 例3 如果60，那么的余角的度數(shù)是( ) a30 b60 c90 d120 解析：的余角的度數(shù)為906030 答案：a30角的補角是( ) a30角 b60角 c90角 d150角解析：30角的補角度數(shù)為18030150 答案：d考點3 鐘表上的角度問題 考點突破：此類題是近幾年中考中的熱點問題，考查形式為選擇題或填空題解決此類問題需明確：在鐘表上，1分鐘分針走6，1小時時針走30 例4 從3時到6時，鐘表的時針旋轉角的度數(shù)是( ) a30 b60 c90 d120解析：從3時到6時共3小時，時針旋轉角的度數(shù)為30390 答案：c考點4 從不同方向看立體圖形 考點突破：從不同方向看立體圖形是中考的熱點問題，幾乎每套中考題中都會出現(xiàn)，解決問題時應發(fā)揮空間想象能力，把立體圖形轉化為平面圖形例5如圖4415所示四個幾何體中，從上面看得到的平面圖形是圓的幾何體共有( ) a1個 b2個 c3個 d4個 解析：題圖中從上面看得到的平面圖形是圓的幾何體是圓柱和球 答案：b例6如圖4416所示的幾何體是由7個大小相同的小正方體組成的，該幾何體從上面看得到的平面圖形為( )答案：c綜合驗收評估測試題一、選擇題1. 下列說法正確的是( )a平角是一條直線b周角是一條射線c用2倍的放大鏡看1 cm的線段，這條線段變成了2 cmd用2倍的放大鏡看30的角，這個角變成了602下列說法正確的是( )a直線ab與直線ba不是同一條直線b線段ab與線段ba不是同一條線段c射線oa與射線ao不是同一條射線d射線oa與射線ao是同一條射線3. 如圖4417所示，abcd，則ac與bd的大小關系是( )aacbd bacbd cacbd d不能確定4. 如果線段ab6 cm，bc=5cm，那么a、c兩點間的距離是( )a1 cm b55 cm c11 cm d11 cm或1 cm5. 若的補角是42，的余角是52，則和的大小關系是( )a b c d不能確定6. 如圖4418所示，115，aoc90，b、o、d三點在一條直線上，則3等于( )a75 b105 c15 d1657. 一個角和它的補角的度數(shù)比為18，則這個角的余角為( )a10 b20 c70 d808. 如圖4419所示，已知aocbod=78，boc 35，則aod等于( )a113 b121 c156 d86二、填空題9. 2930= 度，1825 度 分 秒10. 15分鐘時間，時鐘上的時針轉了 度，分針轉了 度11. 如圖4420所示，由點b觀測點a的方向是 12. 一個畫家有14個棱長為1米的正方體，他在地面上把它們擺成如圖4421所示的形式，然后他把露出的表面都涂上顏色，那么被