【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】（山東專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十二章算法初步、推理與證明、復(fù)數(shù)12.5數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案 理 新人教A版.doc

12.5數(shù)學(xué)歸納法考綱要求1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題1數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取_時(shí)命題成立(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kk0，kn*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)_時(shí)命題也成立2應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)特別注意：(1)數(shù)學(xué)歸納法證明的對(duì)象是與_有關(guān)的命題(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可1用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(nn，n3)，第一步應(yīng)驗(yàn)證()an1 bn2cn3 dn42用數(shù)學(xué)歸納法證明12222n12n21(nn*)的過(guò)程中，在驗(yàn)證n1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為()a1 b12c1222 d1222233已知f(n)，則()af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)4用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1n(n1)”，由nk(k1)不等式成立，推證nk1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是_5已知數(shù)列an中，a1，an1，則數(shù)列的前5項(xiàng)為_(kāi)，猜想它的通項(xiàng)公式是_一、用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式【例1】nn*，求證：1.方法提煉用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是第二步由nk到nk1的過(guò)渡，要設(shè)法將待證式與歸納假設(shè)建立聯(lián)系，即借助于已經(jīng)學(xué)過(guò)的公式、定理或運(yùn)算法則進(jìn)行恒等變形，把nk1時(shí)的表達(dá)式拼湊出歸納假設(shè)的形式，再把運(yùn)用歸納假設(shè)后的式子進(jìn)行變形、證明請(qǐng)做演練鞏固提升2二、用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an(n1,2，)(1)證明：an對(duì)一切正整數(shù)n都成立；(2)令bn(n1,2，)，判斷bn與bn1的大小，并說(shuō)明理由方法提煉用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)常常要用到放縮法，即在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上，通過(guò)放大或縮小技巧變換出要證明的目標(biāo)不等式事實(shí)上，在合理運(yùn)用歸納假設(shè)后，可以使用證明不等式的任何方法證明目標(biāo)式成立請(qǐng)做演練鞏固提升3三、用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題【例3】用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸n邊形的對(duì)角線的條數(shù)為f(n)n(n3)(n3)方法提煉用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k個(gè)變成k1個(gè)時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來(lái)分析；事實(shí)上，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問(wèn)題的一大技巧請(qǐng)做演練鞏固提升1四、歸納猜想證明【例4】設(shè)數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2，3，.(1)當(dāng)a12時(shí)，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個(gè)通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)a13時(shí)，證明對(duì)所有的n1，有ann2.方法提煉“歸納猜想證明的模式”，是不完全歸納法與數(shù)學(xué)歸納法綜合運(yùn)用的解題模式，這種方法在解決探索性、存在性問(wèn)題時(shí)起著重要作用，它的證題模式是先由歸納推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的正確性，這種思維方式是推動(dòng)數(shù)學(xué)研究與發(fā)展的重要方式請(qǐng)做演練鞏固提升5數(shù)學(xué)歸納法解題步驟要求【典例】(14分)(2012湖北高考)(1)已知函數(shù)f(x)rxxr(1r)(x0)，其中r為有理數(shù)，且0r1，求f(x)的最小值；(2)試用(1)的結(jié)果證明如下命題：設(shè)a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)若b1b21，則a1b1a2b2；(3)請(qǐng)將(2)中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式(x)x1.規(guī)范解答：(1)f(x)rrxr1r(1xr1)，令f(x)0，解得x1.當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1，)內(nèi)是增函數(shù)故函數(shù)f(x)在x1處取得最小值f(1)0.(4分)(2)由(1)知，當(dāng)x(0，)時(shí)，有f(x)f(1)0，即xrrx(1r)若a1，a2中有一個(gè)為0，則a1b1a2b2成立；若a1，a2均不為0，又b1b21，可得b21b1, 于是在中令x，rb1，可得b1b1(1b1)，即a1b1a2(1b1)，亦即a1b1a2b2.綜上，對(duì)a10，a20，b1，b2為正有理數(shù)且b1b21，總有a1b1a2b2.(8分)(3)(2)中命題的推廣形式為：設(shè)a1，a2，an為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bn為正有理數(shù)若b1b2bn1，則a1b1a2b2anbn.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：()當(dāng)n1時(shí)，b11，有a1a1，成立(10分)()假設(shè)當(dāng)nk時(shí)，成立，即若a1，a2，ak為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bk為正有理數(shù)，且b1b2bk1，則a1b1a2b2akbk.當(dāng)nk1時(shí)，已知a1，a2，ak，ak1為非負(fù)實(shí)數(shù)，b1，b2，bk，bk1為正有理數(shù)，且b1b2bkbk11，此時(shí)0bk11，即1bk10，于是().(12分)因1，由歸納假設(shè)可得a1a2ak，從而.又因(1bk1)bk11，由得(1bk1)ak1bk1a1b1a2b2akbkak1bk1，從而a1b1a2b2akbkak1bk1.故當(dāng)nk1時(shí)，成立由()()可知，對(duì)一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立(14分)答題指導(dǎo)：解決數(shù)學(xué)歸納法中“歸納猜想證明”問(wèn)題及不等式證明時(shí)，有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：1歸納整理不到位得不出正確結(jié)果，從而給猜想造成困難2證明nk到nk1這一步時(shí)，忽略了假設(shè)條件去證明，造成不是純正的數(shù)學(xué)歸納法3不等式證明過(guò)程中，不能正確合理地運(yùn)用分析法、綜合法來(lái)求證另外需要熟練掌握數(shù)學(xué)歸納法中幾種常見(jiàn)的推證技巧，只有這樣，才能快速正確地解決問(wèn)題1平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且每三個(gè)圓都不相交于同一點(diǎn)，則這n個(gè)圓將平面分成不同的區(qū)域有()a2n個(gè) b2n個(gè)cn2n2個(gè) dn2n1個(gè)2已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí)，若已假設(shè)nk(k2且k為偶數(shù))時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證()ank1時(shí)等式成立bnk2時(shí)等式成立cn2k2時(shí)等式成立dn2(k2)時(shí)等式成立3設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”，那么，下列命題總成立的是()af(1)1成立，則f(10)100成立b若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立c若f(2)4成立，則f(1)1成立d若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立4在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)的第一個(gè)值為n0_.5設(shè)數(shù)列a1，a2，an，中的每一項(xiàng)都不為0.證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任何nn*，都有.參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1(1)第一個(gè)值n0(n0n*)(2)nk12(1)正整數(shù)基礎(chǔ)自測(cè)1c2c3d42n1解析：當(dāng)nk1時(shí)，1n1，左邊增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為2n112n2n112n2n1項(xiàng)5，an考點(diǎn)探究突破【例1】證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊1，右邊.左邊右邊(2)假設(shè)nk時(shí)等式成立，即1，則當(dāng)nk1時(shí)，.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立綜合(1)，(2)可知，對(duì)一切nn*，等式成立【例2】(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，a12，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(kn*)時(shí)，ak成立那么當(dāng)nk1時(shí)，ak12ak222k32(k1)1.當(dāng)nk1時(shí)，ak1成立綜上，an對(duì)一切正整數(shù)n都成立(2)解：1.故bn1bn.【例3】證明：(1)三角形沒(méi)有對(duì)角線，n3時(shí)，f(3)0，命題成立(2)假設(shè)nk(k3)時(shí)，命題成立，即f(k)k(k3)，則當(dāng)nk1時(shí)，凸k邊形由原來(lái)的k個(gè)頂點(diǎn)變?yōu)閗1個(gè)頂點(diǎn)，對(duì)角線條數(shù)增加k1條f(k1)f(k)k1k(k3)k1(k1)(k1)3當(dāng)nk1時(shí)命題成立，由(1)，(2)可知對(duì)任何nn且n3，命題恒成立【例4】解：(1)由a12，得a2a12a113，由a23，得a3a222a214，由a34，得a4a323a315，由此猜想an的一個(gè)通項(xiàng)公式：ann1(n1)(2)證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a1312，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，ak1(k1)2.根據(jù)和，對(duì)于所有n1，都有ann2.演練鞏固提升1c解析：n2時(shí)，分成4部分，可排除d；n3時(shí)，分成8部分，可排除a；n4時(shí)，分成14部分，可排除b，故選c.2b解析：n為正偶數(shù)，若nk，則下一個(gè)正偶數(shù)為nk2，故選b.3d解析：f(4)16，說(shuō)明當(dāng)k4時(shí)，f(k)k2成立f(k)k2成立時(shí)，f(k1)(k1)2成立，說(shuō)明nk時(shí)f(n)n2成立能推出nk1時(shí)，f(n)n2成立，根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可得當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立44解析：凸多邊形要有對(duì)角線，至少也是四邊形，n04.5證明：先證必要性設(shè)數(shù)列an的公差為d.若d0，則所述等式顯然成立若d0，則.再證充分性(數(shù)學(xué)歸納法)設(shè)所述的等式對(duì)一切nn*都成