【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章立體幾何8．5空間中的垂直關(guān)系教學(xué)案 新人教B版.doc

8.5空間中的垂直關(guān)系1以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定2能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題1直線與平面垂直(1)直線和平面垂直的定義：如果一條直線ab和一個(gè)平面()相交于點(diǎn)(o)，并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)(o)的_直線都垂直，我們就說(shuō)這條直線l和這個(gè)平面互相垂直，記作_，直線ab叫做平面()的_，平面叫做直線l的_(2)直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的_垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直符號(hào)表示：a，b，abp，_l.(3)推論1：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面推論2：如果兩條直線垂直于_，那么這兩條直線平行符號(hào)表示：a，bab；其作用：證明_平行與作平行線(4)過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面與已知直線垂直2平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的定義：如果兩個(gè)相交平面的交線與第三個(gè)平面垂直，又這兩個(gè)平面與第三個(gè)平面相交所得的兩條交線互相垂直，就稱這兩個(gè)平面互相垂直(2)平面與平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的一條_，則兩個(gè)平面互相垂直符號(hào)表示：a，a.(3)平面與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于_的直線垂直于另一個(gè)平面符號(hào)表示：，l，a，ala.其作用：證明線面垂直與作面的垂線1“直線l垂直于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“l(fā)”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充要條件d既不充分又不必要條件2(2012北京模擬)已知如圖，六棱錐pabcdef的底面是正六邊形，pa平面abc.則下列結(jié)論不正確的是()acd平面pafbdf平面pafccf平面pabdcf平面pad3設(shè)，為彼此不重合的三個(gè)平面，l為直線，給出下列命題：若，則；若，且l，則l；若直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面垂直；若內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等，則平面平行于平面.上面命題中，真命題的序號(hào)為_(kāi)(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))4在三棱柱abca1b1c1中，aa1平面abc，acbcaa12，acb90，e為bb1的中點(diǎn)，a1de90，求證：cd平面a1abb1.一、直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 如圖所示，在四棱錐pabcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e是pc的中點(diǎn)求證：(1)cdae；(2)pd平面abe.方法提煉證明直線和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理；(2)利用面面垂直的性質(zhì)定理；(3)利用結(jié)論：ab，ab；(4)利用結(jié)論：a，a.請(qǐng)做演練鞏固提升1,3二、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 在如圖所示的幾何體中，四邊形abcd是正方形，ma平面abcd，pdma，e，g，f分別為mb，pb，pc的中點(diǎn)，且adpd2ma.(1)求證：平面efg平面pdc；(2)求三棱錐pmab與四棱錐pabcd的體積之比方法提煉1證明平面與平面垂直，主要方法是判定定理，通過(guò)證明線面垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)，從而把問(wèn)題再轉(zhuǎn)化成證明線線垂直加以解決2線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化是解決有關(guān)垂直證明題的指導(dǎo)思想，其中線線垂直是最基本的，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中起穿針引線的作用，線面垂直是紐帶，可以把線線垂直與面面垂直聯(lián)系起來(lái)請(qǐng)做演練鞏固提升2要善于挖掘圖形中存在的關(guān)系及添加輔助線【典例】 (12分)(2012課標(biāo)全國(guó)高考)如圖，三棱柱abca1b1c1中，側(cè)棱垂直底面，acb90，acbcaa1，d是棱aa1的中點(diǎn)(1)證明：平面bdc1平面bdc；(2)平面bdc1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比規(guī)范解答：(1)由題設(shè)知bccc1，bcac，cc1acc，所以bc平面acc1a1.(2分)又dc1平面acc1a1，所以dc1bc.由題設(shè)知a1dc1adc45，所以cdc190，即dc1dc.(4分)又dcbcc，所以dc1平面bdc.又dc1平面bdc1，故平面bdc1平面bdc.(6分)(2)設(shè)棱錐bdacc1的體積為v1，ac1.由題意得v111.(8分)又三棱柱abca1b1c1的體積v1，(10分)所以(vv1)v111.故平面bdc1分此棱柱所得兩部分體積的比為11.(12分)答題指導(dǎo)：解決垂直問(wèn)題時(shí)，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分，在備考時(shí)要高度關(guān)注：(1)缺乏空間想象能力，找不出應(yīng)該垂直的線和面；(2)對(duì)幾何體體積、面積及線面角的計(jì)算不準(zhǔn)確；(3)不善于挖掘圖形中存在的關(guān)系，缺乏通過(guò)添加輔助線解題的能力另外要重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的積累、解題過(guò)程的規(guī)范，并且要善于使用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行表達(dá)1已知，為不重合的兩個(gè)平面，直線m，那么“m”是“”的()a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充分必要條件 d既不充分也不必要條件2下列命題中錯(cuò)誤的是()a如果平面平面，那么平面內(nèi)一定存在直線平行于平面b如果平面不垂直于平面，那么平面內(nèi)一定不存在直線垂直于平面c如果平面平面，平面平面，l，那么l平面d如果平面平面，那么平面內(nèi)所有直線都垂直于平面3如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，efac，ab，ceef1.(1)求證：af平面bde；(2)求證：cf平面bde.4(2012北京高考)如圖1，在rtabc中，c90，d，e分別為ac，ab的中點(diǎn)，點(diǎn)f為線段cd上的一點(diǎn)將ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如圖2. 圖1圖2(1)求證：de平面a1cb；(2)求證：a1fbe；(3)線段a1b上是否存在點(diǎn)q，使a1c平面deq？說(shuō)明理由參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1(1)任何l垂線垂面(2)兩條相交直線la，lb(3)同一個(gè)平面線線2(2)垂線(3)它們交線基礎(chǔ)自測(cè)1b2d解析：a中，cdaf，af面paf，cd面paf，cd平面paf成立；b中，abcdef為正六邊形，dfaf.又pa面abcdef，df平面paf成立；c中，cfab，ab平面pab，cf平面pab，cf平面pab；而d中cf與ad不垂直，故選d.3解析：中l(wèi)也滿足；中與可能相交4證明：連接a1e，ec，acbc2，acb90，ab2.設(shè)adx，則bd2x，a1d24x2，de21(2x)2，a1e2(2)21.a1de90，a1d2de2a1e2.x.d為ab的中點(diǎn)cdab.又aa1cd，且aa1aba，cd平面a1abb1.考點(diǎn)探究突破【例1】 證明：(1)pa底面abcd，pacd.又accd，cd平面pac.而ae平面pac，cdae.(2)pa底面abcd，paab.又abad，ab平面pad.而pd平面pad，abpd.又由abc60，paabbc，得paac.e是pc的中點(diǎn)，aepc.由(1)知aecd，ae平面pcd.aepd.由，得pd平面abe.【例2】 (1)證明：由已知ma平面abcd，pdma，得pd平面abcd.又bc平面abcd，所以pdbc.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，所以bcdc.又pddcd，因此bc平面pdc.在pbc中，因?yàn)間，f分別為pb，pc的中點(diǎn)，所以gfbc，因此gf平面pdc.又gf平面efg，所以平面efg平面pdc.(2)解：因?yàn)閜d平面abcd，四邊形abcd為正方形，不妨設(shè)ma1，則pdad2，所以vpabcds正方形abcdpd.由于da面mab，且pdma，所以da即為點(diǎn)p到平面mab的距離，vpmab122，所以vpmabvpabcd14.演練鞏固提升1a解析：根據(jù)面面垂直的判定定理可知若m，m，反之則不一定成立2d解析：對(duì)于命題a，在平面內(nèi)存在直線l平行于平面與平面的交線，則l平行于平面，故命題a正確對(duì)于命題b，若平面內(nèi)存在直線垂直于平面，則平面與平面垂直，故命題b正確對(duì)于命題c，設(shè)m，n，在平面內(nèi)取一點(diǎn)p不在l上，過(guò)p作直線a，b，使am，bn.，am，則a，al，同理有bl.又abp，a，b，l.故命題c正確對(duì)于命題d，設(shè)l，則l，但l.故在內(nèi)存在直線不垂直于平面，即命題d錯(cuò)誤3證明：(1)設(shè)ac與bd交于點(diǎn)g.因?yàn)閑fag，且ef1，agac1，所以四邊形agef為平行四邊形所以afeg.因?yàn)閑g平面bde，af平面bde，所以af平面bde.(2)連接fg.因?yàn)閑fcg，efcg1，且ce1，所以四邊形cefg為菱形所以cfeg.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，所以bdac.又因?yàn)槠矫鎍cef平面abcd，且平面acef平面abcdac，所以bd平面acef.所以cfbd.又bdegg，所以cf平面bde.4解：(1)因?yàn)閐，e分別為ac，ab的中點(diǎn)，所以debc.又因?yàn)閐e平面a1cb，所以de平面a1cb.(2)由已知得acbc且debc，所以deac.所以dea1d，decd.所以de平面a1dc.而a1f平面a1dc，所以dea1f.又因?yàn)閍1fcd，所以a1f平面bcde.