高中數學 第三章 導數及其應用 3.3 導數在研究函數中的應用 3.3.1 函數的單調性與導數課件 新人教A版選修11.ppt

3 3導數在研究函數中的應用3 3 1函數的單調性與導數 一 情境設置 過山車是一項富有刺激性的娛樂工具 那種風馳電掣 有驚無險的快感令不少人著迷 二 函數單調性定義 一般地 設函數y f x 的定義域為i 如果對于定義域i內某個區(qū)間d上的任意兩個自變量的值 當時 都有 那么就說函數f x 在區(qū)間d上是增函數 如果對于定義域i內某個區(qū)間d上的任意兩個自變量的值 當時 都有 那么就說函數f x 在區(qū)間d上是減函數 1 正確理解利用導數判斷函數的單調性的原理 重點 2 利用導數判斷函數單調性 難點 3 掌握利用導數判斷函數單調性的方法 如圖 1 表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數的圖象 圖 2 表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數的圖象 運動員從起跳到最高點 以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別 a a b b t t v h o o 1 2 探究點 函數的單調性與其導函數的關系 1 2 a a b b t t v h o o 運動員從起跳到最高點 離水面的高度h隨時間t的增加而增加 即h t 是增函數 相應地 從最高點到入水 運動員離水面的高度h隨時間t的增加而減少 即h t 是減函數 相應地 1 2 提示 這種情況是否具有一般性 1 觀察圖象 完成下列填空 圖 中的函數y x的導函數y 此函數的單調增區(qū)間為 圖 中的函數y x2的導函數y 此函數的單調增區(qū)間為 單調減區(qū)間為 圖 中的函數y x3的導函數y 此函數的單調增區(qū)間為 圖 中的函數y 的導函數y 此函數的單調減區(qū)間為 1 2x 0 3x2 0 0 0 2 根據 1 中的導函數與單調區(qū)間之間的關系 思考函數的單調性與導函數的正負有什么關系 提示 根據 1 中的結果可以看出 函數的單調區(qū)間與導函數的正負有關 當導函數在某區(qū)間上大于0時 此時對應的函數為增函數 當導函數在某區(qū)間上小于0時 此時對應的函數為減函數 思考 1 在區(qū)間 a b 上 如果f x 0 則f x 在該區(qū)間上單調遞增 反過來也成立嗎 提示 不一定成立 例如 f x x3在r上為增函數 但f 0 0 即f x 0是f x 在該區(qū)間上單調遞增的充分不必要條件 2 利用導數求函數單調區(qū)間時 能否忽視定義域 提示 首先需要確定函數的定義域 函數的單調區(qū)間是定義域的子集 規(guī)律總結 1 函數的單調性與其導數正負的關系 1 充分條件 注意f x 0 或f x 0 僅是函數f x 在某個區(qū)間上遞增 或遞減 的充分條件 2 恒成立 在區(qū)間 a b 內可導的函數f x 在區(qū)間 a b 上遞增 或遞減 的充要條件應是f x 0 或f x 0 x a b 恒成立且f x 在區(qū)間 a b 的任意子區(qū)間內都不恒等于0 3 常數函數 特別地 如果f x 0 那么函數y f x 在這個區(qū)間內是常數函數 2 利用導數研究函數單調性時應注意的四個問題 1 定義域 在利用導數討論函數的單調區(qū)間時 首先要確定函數的定義域 解決問題的過程只能在定義域內 通過討論導數的符號來判斷函數的單調區(qū)間 2 端點值 在對函數劃分單調區(qū)間時 除了必須確定使導數等于零的點外 還要注意在定義域內的間斷點 3 符號 如果一個函數的單調區(qū)間不止一個 這些單調區(qū)間之間不能用 連接 而只能用 逗號 或 和 字等隔開 4 常數函數 如果函數在某個區(qū)間上 恒有f x 0 則f x 為該區(qū)間上的常數函數 如f x 3 則f x 3 0 設f x x x 0 則f x 的單調增區(qū)間是 a 2 b 2 0 c d 0 c 即時訓練 例1已知導函數的下列信息 當1 x 4時 當x 4或x 1時 當x 4或x 1時 試畫出函數的圖象的大致形狀 當x 4或x 1時 可知在此區(qū)間內單調遞減 當x 4或x 1時 綜上 函數圖象的大致形狀如圖所示 y f x 變式訓練 2016 吉安高二檢測 函數y f x 在定義域內可導 其圖象如圖所示 記y f x 的導函數為y f x 則不等式f x 0的解集為 解析 由題意不等式f x 0的解集即函數y f x 的遞減區(qū)間為 2 3 答案 2 3 例2判斷下列函數的單調性 并求出單調區(qū)間 因此 函數在上單調遞增 單調遞減 單調遞增 單調遞減 根據導數確定函數的單調性步驟 1 確定函數f x 的定義域 2 求出函數的導數 3 解不等式f x 0 得函數單調遞增區(qū)間 解不等式f x 0 得函數單調遞減區(qū)間 提升總結 1 函數y x2 x 3 的減區(qū)間是 增區(qū)間是 2 0 2 0 2 函數f x cos2x的單調減區(qū)間是 k k k z 變式練習 求證函數f x 2x3 6x2 7在 0 2 內是減函數 變式練習 c 上 解析 f x x2 ax a 1 x 1 x a 1 當a 1 1 即a 2時 函數f x 在 1 上為增函數 不合題意 當a 1 1 即a 2時 函數f x 在 1 上為增函數 解 由已知得 因為函數在 0 1 上單調遞增 1 求可導函數f x 單調區(qū)間的步驟 1 求f x 2