創(chuàng)新設計（全國通用）高考數(shù)學二輪復習 專題八 數(shù)學思想方法 第2講 分類討論思想、轉化與化歸思想課件 理.ppt

第2講分類討論思想 轉化與化歸思想 高考定位分類討論思想 轉化與化歸思想近幾年高考每年必考 一般體現(xiàn)在解析幾何 函數(shù)與導數(shù)解答題中 難度較大 1 中學數(shù)學中可能引起分類討論的因素 1 由數(shù)學概念而引起的分類討論 如絕對值的定義 不等式的定義 二次函數(shù)的定義 直線的傾斜角等 2 由數(shù)學運算要求而引起的分類討論 如除法運算中除數(shù)不為零 偶次方根為非負數(shù) 對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求 指數(shù)運算中底數(shù)的要求 不等式中兩邊同乘以一個正數(shù) 負數(shù) 三角函數(shù)的定義域 等比數(shù)列 an 的前n項和公式等 3 由性質 定理 公式的限制而引起的分類討論 如函數(shù)的單調(diào)性 基本不等式等 4 由圖形的不確定性而引起的分類討論 如二次函數(shù)圖象 指數(shù)函數(shù)圖象 對數(shù)函數(shù)圖象等 5 由參數(shù)的變化而引起的分類討論 如某些含有參數(shù)的問題 由于參數(shù)的取值不同會導致所得的結果不同 或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等 2 常見的轉化與化歸的方法 轉化與化歸思想方法用在研究 解決數(shù)學問題時 思維受阻或尋求簡單方法或從一種狀況轉化到另一種情形 也就是轉化到另一種情境使問題得到解決 這種轉化是解決問題的有效策略 同時也是獲取成功的思維方式 常見的轉化方法有 1 直接轉化法 把原問題直接轉化為基本定理 基本公式或基本圖形問題 2 換元法 運用 換元 把式子轉化為有理式或使整式降冪等 把較復雜的函數(shù) 方程 不等式問題轉化為易于解決的基本問題 3 數(shù)形結合法 研究原問題中數(shù)量關系 解析式 與空間形式 圖形 關系 通過互相變換獲得轉化途徑 4 等價轉化法 把原問題轉化為一個易于解決的等價命題 達到化歸的目的 5 特殊化方法 把原問題的形式向特殊化形式轉化 并證明特殊化后的問題 結論適合原問題 6 構造法 構造 一個合適的數(shù)學模型 把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題 7 坐標法 以坐標系為工具 用計算方法解決幾何問題是轉化方法的一個重要途徑 8 類比法 運用類比推理 猜測問題的結論 易于確定 9 參數(shù)法 引進參數(shù) 使原問題轉化為熟悉的形式進行解決 10 補集法 如果正面解決原問題有困難 可把原問題的結果看做集合a 而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集u 通過解決全集u及補集 ua獲得原問題的解決 體現(xiàn)了正難則反的原則 熱點一分類討論思想的應用 微題型1 由性質 定理 公式的限制引起的分類 例1 1 1 設數(shù)列 an 的前n項和為sn 已知2sn 3n 3 求數(shù)列 an 的通項an 探究提高由性質 定理 公式的限制引起的分類整合法往往是因為有的數(shù)學定理 公式 性質是分類給出的 在不同的條件下結論不一致的情況下使用 如等比數(shù)列的前n項和公式 函數(shù)的單調(diào)性等 微題型2 由數(shù)學運算要求引起的分類 例1 2 1 不等式 x 2x 3 2的解集是 2 已知m r 求函數(shù)f x 4 3m x2 2x m在區(qū)間 0 1 上的最大值為 探究提高由數(shù)學運算要求引起的分類整合法 常見的類型有除法運算中除數(shù)不為零 偶次方根為非負 對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求 指數(shù)運算中底數(shù)的要求 不等式兩邊同乘以一個正數(shù) 負數(shù)問題 含有絕對值的不等式求解 三角函數(shù)的定義域等 根據(jù)相應問題中的條件對相應的參數(shù) 關系式等加以分類分析 進而分類求解與綜合 微題型3 由參數(shù)變化引起的分類 例1 3 2015 全國 卷 已知函數(shù)f x lnx a 1 x 1 討論f x 的單調(diào)性 2 當f x 有最大值 且最大值大于2a 2時 求a的取值范圍 探究提高由參數(shù)的變化引起的分類整合法經(jīng)常用于某些含有參數(shù)的問題 如含參數(shù)的方程 不等式 由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同 或對于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法 熱點二轉化與化歸思想 微題型1 換元法 例2 1 已知實數(shù)a b c滿足a b c 0 a2 b2 c2 1 則a的最大值是 探究提高換元法是一種變量代換 也是一種特殊的轉化與化歸方法 是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式 是將生疏 或復雜 的式子 或數(shù) 用熟悉 或簡單 的式子 或字母 進行替換 化生疏為熟悉 復雜為簡單 抽象為具體 使運算或推理可以順利進行 微題型2 特殊與一般的轉化 答案c 探究提高一般問題特殊化 使問題處理變得直接 簡單 特殊問題一般化 可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律 從而達到成批處理問題的效果 微題型3 常量與變量的轉化 例2 3 對任意的 m 2 函數(shù)f x mx2 2x 1 m恒為負 則x的取值范圍為 解析對任意的 m 2 有mx2 2x 1 m 0恒成立 即 m 2時 x2 1 m 2x 1 0恒成立 設g m x2 1 m 2x 1 則原問題轉化為g m 0恒成立 m 2 2 探究提高在處理多變元的數(shù)學問題時 我們可以選取其中的參數(shù) 將其看做是 主元 而把其它變元看做是常量 從而達到減少變元簡化運算的目的 微題型4 正與反的相互轉化 探究提高否定性命題 常要利用正反的相互轉化 先從正面求解 再取正面答案的補集即可 一般地 題目若出現(xiàn)多種成立的情形 則不成立的情形相對很少 從反面考慮較簡單 因此 間接法多用于含有 至多 至少 及否定性命題情形的問題中 1 分類討論思想的本質是 化整為零 積零為整 用分類討論的思維策略解數(shù)學問題的操作過程 明確討論的對象和動機 確定分類的標準 逐類進行討論 歸納綜合結論 檢驗分類是否完備 即分類對象彼此交集為空集 并集為全集 做到 確定對象的全體 明確分類的標準 分類不重復 不遺漏 的分析討論 常見的分類討論問題有 1 集合 注意集合中空集 討論 2 轉化與化歸思想遵循的原則 1 熟悉已知化原則 將陌生的問題轉化為熟悉的問題 將未知的問題轉化為已知的問題 以便于我們運用熟知的知識 經(jīng)驗和問題來解決 2 簡單化原則 將復雜問題化歸為簡單問題 通過對簡單問題的解決 達到解決復雜問題的目的 或獲得某種解題的啟示和依據(jù) 3