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解析幾何綜合題訓練【練習一】1直線（I）證明與相交；（II）證明與的交點在橢圓解：（）反證法.假設與不相交，則與平行，有代入，得.此與為實數(shù)的事實相矛盾.從而即與相交.（）由方程組解得交點P的坐標（x,y）為而即P(x,y)在橢圓.2已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點分別為的左右頂點，而且的左右頂點分別是的左右焦點。（1）求雙曲線的方程；（2）若直線：與雙曲線恒有兩個不同的交點，且（為坐標原點），求的取值范圍。解：由題意知，橢圓的焦點，頂點， 雙曲線中， 的方程為：聯(lián)立，得，且，設，則，又，即，即，由得的范圍為3（2011江西高考文科19）已知過拋物線的焦點，斜率為的直線交拋物線于（）兩點，且（1）求該拋物線的方程；（2）為坐標原點，為拋物線上一點，若，求的值【思路點撥】（1）首先將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，結合韋達定理可得，再結合拋物線的定義可求出P的值.（2）結合第一問所求，解出A,B坐標，結合條件式解出C點的坐標，將其帶入拋物線方程可得的值.【精講精析】解析：（1）直線AB的方程是 所以：，由拋物線定義得：，所以p=4，拋物線方程為：（2） 由p=4，化簡得，從而,從而A(1,),B(4,)設=，又因為，即8（4），即，解得4.OF2F1AXY（2010安徽高考理科19）已知橢圓經(jīng)過點，對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，離心率。 (1)求橢圓的方程；(2)求的角平分線所在直線的方程；(3)在橢圓上是否存在關于直線對稱的相異兩點？若存在，請找出；若不存在，說明理由。【命題立意】本題主要考查橢圓的定義及標準方程，橢圓的簡單性質，點關于直線的對稱性等知識，考查考生在解析幾何的基本思想方法方面的認知水平，探究意識，創(chuàng)新意識和綜合運算求解能力【思路點撥】（1）設出橢圓的標準方程，再根據(jù)題設條件構建方程（組）求解；（2）根據(jù)角平分線的性質求出直線的斜率或直線上的一個點的坐標，進而求得直線的方程；（3）先假設橢圓上存在關于直線對稱的相異兩點，在此基礎之上進行推理運算，求解此兩點，根據(jù)推理結果做出判斷?！疽?guī)范解答】（1）設橢圓的方程為（），由題意，又，解得：橢圓的方程為（2）方法1：由（1）問得，又，易得為直角三角形，其中設的角平分線所在直線與x軸交于點，根據(jù)角平線定理可知：，可得，直線的方程為：，即。方法2：由（1）問得，又，直線的方程為：，即。（3）假設橢圓上存在關于直線對稱的相異兩點、，令、，且的中點為，又，兩式相減得: ,即（3），又在直線上，（4）由（3）（4）解得：，所以點與點是同一點，這與假設矛盾，故橢圓上不存在關于直線對稱的相異兩點。5若橢圓的左右焦點分別為，線段被拋物線的焦點分成的兩段，過點C(-1,0)且以向量為方向向量的直線交橢圓于不同兩點A,B，滿足(1) 求橢圓的離心率；(2) 當三角形OAB的面積最大時，求橢圓的方程。解： ()由題意知：4() 設橢圓方程為依題意知直線l的方程為：y=k(x+1)消y得設由得當且僅當時，取最大值此時，將點A的坐標代入得：=5故橢圓方程為：6已知兩定點，滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于兩點（）求的取值范圍；（）如果，且曲線上存在點，使，求的值和 的面積.解：（）由雙曲線的定義可知，曲線是以為焦點的雙曲線的左支，且，易知故曲線的方程為3設，由題意建立方程組消去，得又已知直線與雙曲線左支交于兩點，有 解得5 依題意得 整理后得或但 故直線的方程為8（）設，由已知，得，又，點將點的坐標代入曲線的方程，得得，但當時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意.點的坐標為到的距離為的面積127.雙曲線方程的一條漸近線為x+2y=0，其左焦點到右準線的距離為(I )求雙曲線的方程；(II)過點A(，0)作斜率不為0的直線，交雙曲線的右支于點C，交雙曲線的左支于點D，過點D作x軸的垂線，交雙曲線于點M，證明直線MC過定點解：(I)由已知得即雙曲線方程為（4分）（II）證明：設直線CD的方程為，直線MC的方程為設C（，），D（，），則由已知得M（，-）（5分） （6分）（8分）由題可知是2個方程的根 解得代入簡化整理即直線MC的方程為：直線MC恒過定點（2，0）8.（2010北京高考文科9）已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是，離心率是，直線與橢圓C交與不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.（）求橢圓C的方程；（）若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標；（）設Q（x,y）是圓P上的動點，當變化時，求y的最大值.【命題立意】本題考查了求橢圓方程，直線與圓的位置關系，函數(shù)的最值。要求學生掌握橢圓標準中的關系，離心率.直線與圓相切問題轉化為圓心到直線的距離等于半徑來求解.第（）問中最大值的求法用到了三角代換，體現(xiàn)了數(shù)學中的轉化與化歸思想.【思路點撥】由焦點可求出，再利用離心率可求出。直線與圓的位置關系轉化為圓心到直線的距離.【規(guī)范解答】（）因為，且，所以所以橢圓C的方程為.（）由題意知由 得所以圓P的半徑為.由，解得.所以點P的坐標是（0，）.（）由（）知，圓P的方程.因為點在圓P上。所以由圖可知。設，則當，即，且，取最大值2.【方法技巧】（1）直線與圓的位置關系：時相離；時相切；時相交；（2）求無理函數(shù)的最值時三角代換是一種常用的去根號的技巧.練習二1. （2011福建卷理科17）(本小題滿分13分)已知直線：y=x+m，mR.（I）若以點M（2,0）為圓心的圓與直線相切與點P，且點P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線關于x軸對稱的直線為，問直線與拋物線C：x2=4y是否相切？說明理由.【思路點撥】（1）由題意畫出圖形，結合圖形求出圓的半徑，然后寫出圓的標準方程；（2）由的方程求得的方程，將的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，得一元二次方程，然后依據(jù)對應判別式的正負，來判定兩者能否相切.【精講精析】解法1：（I）依題意，點的坐標為.因為所以解得，即點坐標為.從而圓的半徑故所求圓的方程為.()因為直線的方程為，所以直線的方程為.由得.當，即時，直線與拋物線C相切；當，即時，直線與拋物線C不相切.綜上，當時，直線與拋物線相切；當時，直線與拋物線C不相切.解法2：（I）設所求圓的半徑為，則圓的方程可設為.依題意，所求圓與直線相切于點，則解得所以所求圓的方程為.（II）同解法1.2（2011湖南高考文科T21）（本小題滿分13分）已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1.（）求動點P的軌跡C的方程；（）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡C相交于點A，B，與軌跡C相交于點D，E，求的最小值.【精講精析】（I）設動點的坐標為，由題意為化簡得當、所以動點P的軌跡C的方程為（II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為由，得設則是上述方程的兩個實根，于是 因為，所以的斜率為設則同理可得故當且僅當即時，取最小值16200905153.已知圓，坐標原點為O.圓C上任意一點A在x軸上的射影為點B，已知向量.（1）求動點Q的軌跡E的方程；（2）當時，設動點Q關于x軸的對稱點為點P，直線PD交軌跡E于點F（異于P點），證明：直線QF與x軸交于定點，并求定點坐標.解：（1）設，3分，這就是軌跡E的方程.4分（2）當時，軌跡為橢圓，方程為5分設直線PD的方程為代入，并整理，得 由題意，必有，故方程有兩上不等實根.設點由知，7分直線QF的方程為當時，令得，將代入整理得，再將代入，計算，得x=1，即直線QF過定點（1，0）當k=0時，（1，0）點12分4.已知可行域的外接圓與軸交于點，橢圓以線段 為長軸，離心率 (1)求圓及橢圓的方程； (2)設橢圓的右焦點為，點為圓上異于的動點，過原點作直線垂線交直線于點判斷直線與圓的位置關系，并給出證明5.設直線l:y=k(x+1)與橢圓（a0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點。 （）證明：； （）若，OAB的面積取得最大值時橢圓方程。解：（）依題意，直線顯然不平行于坐標軸，故可化為將 代入，消去，得1分由直線與橢圓相交于兩個不同的點，得=2分化簡整理即得（）4分 （）A（x1，y1），B（x2，y2），由，得5分因為，得6分由聯(lián)立，解得7分OAB的面積=上式取等號的條件是，即9分當時，由解得；當時，由解得。將及這兩組值分別代入，均可解出11分經(jīng)驗證，滿足（）式。所以，OAB的面積取得最大值時橢圓方程是12分6.如圖所示，已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長是短軸長的3倍且經(jīng)過點平行于的直線在軸上的截距為，且交橢圓于兩不同點 (1)求橢圓的方程； (2)求的取值范圍； (3)求證：直線與軸始終圍成一個等腰三角形7.（2010廣東高考理科20） 已知雙曲線的左、右頂點分別為A1,A2，點，是雙曲線上不同的兩個動點（1） 求直線A1P與A2 Q交點的軌跡E的方程；（2） 若過點H(O, h)（h1）的兩條直線l1和l2與軌跡E都只有一個交點，且 ,求h的值?！久}立意】本題為解析幾何綜合問題，主要考察點的軌跡方程、直線與圓錐曲線的位置關系.【思路點撥】（1）利用交軌法求點的軌跡方程； （2）利用互相垂直的兩條直線的斜率互為負倒數(shù)的關系，設出l1和l2 的方程，代入曲線方程后，利用其判別式為零求出的值.【規(guī)范解答】（1）因為A1,A2 分別為的左、右頂點，所以、， .兩式相乘得：，又因為點在雙曲線上，所以，代入上式，求得點的軌跡方程為：.(2)設 ，因為，所以可設 .將 代入得：即： ，因為與只有一個交點，所以 ，即 （1）同理，將 代入，因為與只有一個交點，可得：， -（2）由（1）、（2）得，解得，所以，即 8（2011安徽高考理科21）若，點A的坐標為（1,1），點B在拋物線上運動，點Q滿足，經(jīng)過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足,求點P的軌跡方程.【思路點撥】設出點坐標，通過，等中間量建立方程，消去中間量，的點的軌跡方程【精講精析】解：由知Q,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設P(x,y),Q(x,),M(x,x),則即 再設由，即解得 將式代入式，消去，得 又點B在拋物線上，所以，再將式代入，得因為，兩邊同時除以得故所求點P的軌跡方程為.練習三1. 已知直線與橢圓相交于、兩點，是線段上的一點，且點M在直線上 （1）求橢圓的離心率； （2）若橢圓的焦點關于直線的對稱點在單位圓上，求橢圓的方程。解：（1）由知是的中點， 設、兩點的坐標分別為 由 得： 點的坐標為 又點的直線上： （2）由（1）知，不妨設橢圓的一個焦點坐標為，設關于直線 的對稱點為， 則有 解得： 由已知， ， 。所求的橢圓的方程為2.（2010福建高考文科9）已知拋物線C：過點A （1 , -2）.（I）求拋物線C 的方程，并求其準線方程；（II）是否存在平行于OA（O為坐標原點）的直線L，使得直線L與拋物線C有公共點，且直線OA與L的距離等于？若存在，求直線L的方程；若不存在，說明理由.【解答】（I）將代入，得，故所求的拋物線方程為，其準線方程為；（II）假設存在符合題意的直線，其方程為，由得，因為直線與拋物線C有公共點，所以，解得。另一方面，由直線OA與直線的距離等于可得，由于，所以符合題意的直線存在，其方程為.3.過橢圓的左焦點F任作一條與兩坐標軸都不垂直的弦AB，若點M在軸上，且使得MF為的一條內角平分線，則稱點M為該橢圓的“左特征點”.（）求橢圓的“左特征點”M的坐標；（）試根據(jù)（）中的結論猜測：橢圓的“左特征點”M是一個怎樣的點？并證明你的結論.解（1）設為橢圓的左特征點，橢圓的左焦點為，可設直線的方程為.并將它代入得：，即.設，則，（3分）被軸平分，.即.即，.（5分）于是.，即.（7分）（2）對于橢圓.于是猜想：橢圓的“左特征點”是橢圓的左準線與軸的交點. （9分）證明：設橢圓的左準線與軸相交于M點，過A，B分別作的垂線，垂足分別為C，D.據(jù)橢圓第二定義：于是即.，又均為銳角，.的平分線.故M為橢圓的“左特征點”. （12分）4.（2010浙江高考文科22）已知m是非零實數(shù)，拋物線（p0）的焦點F在直線上. （I）若m=2，求拋物線C的方程；（II）設直線與拋物線C交于A、B，A,的重心分別為G,H求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.【命題立意】本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線、點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.【思路點撥】（1）求出拋物線的焦點坐標代入到直線方程中可出求；（2）把點在圓外轉化為點到圓心的距離大于半徑.【規(guī)范解答】()因為焦點F(,0)在直線l上，得又m=2,故.所以拋物線C的方程為.（2）設A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y22m3ym40，由于m0，故4m64m40，且有y1y22m3，y1y2m4，設M1，M2分別為線段AA1，BB1的中點，由于可知G（），H（），所以所以GH的中點M為.設R是以線段GH為直徑的圓的半徑，則設拋物線的準線與x軸交點N，則.故N在以線段GH為直徑的圓外.【方法技巧】（1）設而不求思想在解決圓錐曲線問題時較常用，一般設出后，通過聯(lián)立方程組，消元，利用韋達定理，得到（或），再整體代入；（2）點與圓的位置關系問題，一是看點到圓心的距離；二是代入到圓的方程中驗證.5.設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點。 （I）若M是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值； （II）設過定點（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，且AOB為鈍角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍。解：（I）由已知2分 所以當有最小值為-7；當有最大值為1。 （II）設點 直線AB方程： 有 9分因為為鈍角，所以 12分解得，此時滿足方程有兩個不等的實根14分故直線l的斜率k的取值范圍 6.如圖，已知雙曲線 (a0，b0)其右準線交x軸于點A，雙曲線虛軸的下端點為B，過雙曲線的右焦點F（c,0）作垂直于x軸的直線交雙曲線于點P，若點D滿足：（O為原點）且（0）（）求雙曲線的離心率；（）若a2，過點B的直線l交雙曲線于M、N兩點，問在y軸上是否存在定點C，使為常數(shù)，若存在，求出C點的坐標，若不存在，請說明理由.解（）B(0,-b)，A(2 D為線段FP的中點 1分(c,即A、B、D共線 2分而,(得a=2be= 4分（）a=2而e=雙曲線方程為5分B(0,-1)假設存在定點C(0,n)使為常數(shù)u，設MN的方程為y=kx-1 由代入得由題意得得 設M( 8分而=整理得：48-=0 10分對滿足解得n=4,u=17故存在y軸上的定點C(0,4),使為常數(shù)17 12分7.已知點A(2,0)，B(2,0)，動點P滿足|4.(1)求動點P的軌跡C的方程；(2)過點B的直線l與軌跡C交于M、N兩點，試問：在x軸上是否存在定點F，使為常數(shù)？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由.解：(1)設P(x，y)，則(2x，y)，(2x，y)，依題意有(2x)(2x)y2，化簡得x2y22.4分(2)假設存在定點F(m,0)，使為常數(shù).當直線l與x軸不垂直時，設l：yk(x2)，(1k2)x24k2x4k220，依題意k21，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則于是(x1m，y1)(x2m，y2)(k21)x1x2(2k2m)(x1x2)4k2m2m24m2.8分要使是與k無關的常數(shù)，當且僅當m1，此時1.當直線lx軸時，可得M(2，)，N(2，)，若m1，則(1，)(1，)1.所以在x軸上存在定點F(1,0)，使為常數(shù).12分8.（2011山東高考文科22）（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點.（）求的最小值；（）若，（i）求證：直線過定點；（ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由.【精講精析】（）由題意:設直線,由消y得:,設A、B,AB的中點E,則由韋達定理得: =,即,所以中點E的坐標為,因為O、E、D三點在同一直線上，所以，即，解得，所以=,當且僅當時取等號,即的最小值為2.（）（i）證明:由題意知:n0,因為直線OD的方程為,所以由得交點G的縱坐標為,又因為,且，所以,又由（）知: ,所以解得,所以直線的方程為,即有,令得,y=0,與實數(shù)k無關,所以直線過定點(-1,0).（ii）假設點，關于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上,又在線段AB的中垂線上,由（i）知點G,所以點B,又因為直線過定點(-1,0),所以直線的斜率為，又因為，所以解得或，又因為,所以舍去,即，此時k=1，m=1，E（），.AB的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標為，圓半徑為，圓的方程為.綜上所述, 點，關于軸對稱,此時的外接圓的方程為: .練習四1（2011廣東高考理科19）設圓C與兩圓中的一個內切，另一個外切.（1）求C的圓心軌跡L的方程.（2）已知點且P為L上動點，求的最大值及此時點P的坐標.【精講精析】（1）設兩圓 圓心分別為,兩圓相離，由題意得|CF1|CF2|=4，從而得動圓的圓心C的軌跡是雙曲線.且，所以，所求軌跡L的方程為.（2）直線MF的方程為，由方程組解得或由題意可得當P的坐標為時，的值最大，最大值為=2.2.（2011天津高考文科18）設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2.點滿足 （）求橢圓的離心率； （）設直線PF2與橢圓相交于A，B兩點，若直線PF2與圓相交于M，N兩點，且，求橢圓的方程.【精講精析】 （）【解析】設，因為，所以，整理得（舍）或 （）【解析】由（）知，可得橢圓方程為，直線FF2的方程為A，B兩點的坐標滿足方程組消去并整理，得.解得，得方程組的解不妨設，所以 于是圓心到直線PF2的距離，整理得，得（舍），或所以橢圓方程為3.已知橢圓左、右焦點分別為F1、F2，點，點F2在線段PF1的中垂線上。 （1）求橢圓C的方程； （2）設直線與橢圓C交于M、N兩點，直線F2M與F2N的傾斜角分別為，且，求證：直線過定點，并求該定點的坐標。解：（1）由橢圓C的離心率得，其中，橢圓C的左、右焦點分別為又點F2在線段PF1的中垂線上解得 4分 （2）由題意，知直線MN存在斜率，設其方程為由消去設則且 8分由已知，得化簡，得 10分整理得直線MN的方程為，因此直線MN過定點，該定點的坐標為（2，0） 12分4.（2011新課標全國高考文科20）在平面直角坐標系xOy中，曲線與坐標軸的交點都在圓C上（）求圓C的方程；（）若圓C與直線交于A，B兩點，且，求a的值.【思路點撥】第（1）問，求出曲線與坐標軸的3個交點，然后通過3個點的坐標建立方程或方程組求得圓C的方程;第（2）圓，設，利用直線方程與圓的方程聯(lián)立，化簡，最后利用待定系數(shù)法求得的值.【精講精析】（）曲線與坐標軸的交點為（0,1）（3故可設圓的圓心坐標為（3，t）則有+解得t=1,則圓的半徑為.所以圓的方程為.（）設其坐標滿足方程組c消去y得到方程由已知可得判別式=56-16a-40由韋達定理可得， 由可得又.所以2 由可得a=-1,滿足0，故a=-1.5.（2010江蘇高考8）在平面直角坐標系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T（）的直線TA、TB與此橢圓分別交于點M、，其中m0,。（1）設動點P滿足,求點P的軌跡；（2）設，求點T的坐標；（3）設,求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）。【命題立意】本題主要考查求曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程及其相關的基礎知識?？疾檫\算求解能力和探究問題的能力。【思路點撥】（1）設出P點的坐標，然后代入，化簡即可；(2) 點T為直線MT和NT的交點；（3）聯(lián)立直線MAT、直線NBT和橢圓方程，求出M和N的坐標，從而求出直線MN的方程,進而求證結論.【規(guī)范解答】（1）設點P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡得。故所求點P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點T的坐標為。（3）點T的坐標為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時考慮到，解得：、。方法一：當時，直線MN方程為： 令，解得：。此時必過點D（1，0）；當時，直線MN方程為：，與x軸交點為D（1，0）。所以直線MN必過x軸上的一定點D（1，0）。方法二：若，則由及，得，此時直線MN的方程為，過點D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點。因此，直線MN必過軸上的點（1，0）。6.（2011廣東文科T21）在平面直角坐標系中，直線交軸于點A.設是上一點，M是線段OP的垂直平分線上一點，且滿足MPO=AOP.（1）當點P在上運動時，求點M的軌跡E的方程；（2）已知T（1，-1）.設H是E 上動點,求+的最小值，并給出此時點H的坐標；（3）過點T（1，-1）且不平行于y軸的直線與軌跡E有且只有兩個不同的交點，求直線的斜率k的取值范圍.【精講精析】（1）如圖1，可得直線l：x=-2與x軸交于點A（-2，0），設P（-2，m）， 當m=0時，點P與點A重合，這時OP的垂直平分線為x=-1，由AOP=MPO=得M(-1,0), 當m0時，設M（）（i）若x0-1，由MPO=AOP得MPOA，有y0=m，又=，OP的中點為（-1，），OP的垂直平分線為y-=，而點M在OP的垂直平分線上，y0,又,于是.即.（ii）若，如圖1，由MPO=AOP得點M為OP的垂直平分線與x軸的交點，在中，令y=0，有,點M的軌跡E的方程為y2=4（x+1）（x-1）和y=0（x-1）.（2）由（1）知軌跡E為拋物線 =4（x+1）（x-1）與射線y=0（x-1），而拋物線=4（x+1）（x-1）的頂點為B（-1，0），焦點為O（0，0），準線為x=-2，當點H在拋物線 =4（x+1）（x-1）上時，作HG垂直于準線x=-2于點G，由拋物線的定義得則HO=HG,則HO+HT=HT+HG，作TF垂直于準線x=-2于點F，則HT+HGTF，又T(1，-1)，得TF=3，在 =4（x+1）(x-1)中，令y=-1得x=-34，即當點H的坐標為（-，-1）時，HO+HT的最小值為3.當點H在射線y=0（x-1）上時，HO+HT|TF|，|HO|+|HT|的最小值為3，此時點H的坐標為（3）由（2）得kBT=-12，由圖2得當直線L1的斜率k或k0時，直線與軌跡E有且只有兩個不同的交點.直線的斜率k的取值范圍是（-，12（0，+）.7.（2010浙江高考文科22）已知m是非零實數(shù)，拋物線（p0）的焦點F在直線上. （I）若m=2，求拋物線C的方程；（II）設直線與拋物線C交于A、B，A,的重心分別為G,H求證：對任意非零實數(shù)m,拋物線C的準線與x軸的交點在以線段GH為直徑的圓外.【命題立意】本題主要考查拋物線幾何性質，直線與拋物線、點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.【思路點撥】（1）求出拋物線的焦點坐標代入到直線方程中可出求；（2）把點在圓外轉化為點到圓心的距離大于半徑.【規(guī)范解答】()因為焦點F(,0)在直線l上，得又m=2,故.所以拋物線C的方程為.（2）設A(x1,y1) , B(x2,y2)，由消去x，得y22m3ym40，由于m0，故4m64m40，且有y1y22m3，y1y2m4，設M1，M2分別為線段AA1，BB1的中點，由于可知G（），H（），所以所以GH的中點M為.設R是以線段GH為直徑的圓的半徑，則設拋物線的準線與x軸交點N，則.故N在以線段GH為直徑的圓外.【方法技巧】（1）設而不求思想在解決圓錐曲線問題時較常用，一般設出后，通過聯(lián)立方程組，消元，利用韋達定理，得到（或），再整體代入；（2）點與圓的位置關系問題，一是看點到圓心的距離；二是代入到圓的方程中驗證.8.（2010湖南高考文科19）為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8Km的A、B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A、B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖4）?？疾旆秶紸、B兩點的距離之和不超過10Km的區(qū)域。（I） 求考察區(qū)域邊界曲線的方程：（II） 如圖4所示，設線段 是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區(qū)域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍。問：經(jīng)過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？【命題立意】把直線和圓錐曲線的關系問題放在生活實際中考查充分體現(xiàn)了知識的應用性。能很好的體現(xiàn)學生應用知識的能力，而且打破了解析幾何的固定命題模式?！舅悸伏c撥】題目的闡述比較新穎，把求曲線的方程闡述成求區(qū)域的邊界。不受表面闡述所干擾，還是利用定義法求軌跡即可。第二問是數(shù)列問題，巧妙地把解析幾何和數(shù)列的求和結合起來。【規(guī)范解答】 (1) 設邊界曲線上點P的坐標為（x,y），則由|PA|+|PB|=10知，點P在以A,B為焦點，長軸為2a=10的橢圓上。此時短半軸長.所以考察區(qū)域邊界曲線（如圖）的方程為. (2) 易知過點P1,P2的直線方程為，因此點A到直線P1P2的距離為設經(jīng)過n年，點A恰好落在冰川邊界線上，則利用等比數(shù)列求和公式可得解得n=5，即經(jīng)過5年，點A恰好在冰川邊界線上。【練習五】1. （2011福建卷文科18）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A.（）求實數(shù)b的值；（II）求以點A為圓心，且與拋物線C的準線相切的圓的方程.【思路點撥】（1）直線與拋物線方程聯(lián)立，然后相切即判別式，解之得b的值；（2）求出A點坐標，找出圓心和半徑，寫出圓的標準方程即可.【精講精析】(1)由得. 因為直線與拋物線C相切，所以，解得.(2)由（1）可知，故方程即為，解得.將其代入，得故點A（2,1）.因為圓A與拋物線C的準線相切，所以圓A的半徑等于圓心A到拋物線的準線的距離，即，所以圓A的方程為2.設橢圓的離心率為=,點是橢圓上的一點,且點到橢圓兩焦點的距離之和為4（）求橢圓的方程；（）橢圓上一動點關于直線的對稱點為,求的取值范圍解（）依題意知, , 所求橢圓的方程為 （）設點關于直線的對稱點為， 6分 解得：， 8分 10分 點在橢圓:上, 則的取值范圍為 12分3.（2011江蘇高考18）如圖，在平面直角坐標系中，M、N分別是橢圓的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k（1）當直線PA平分線段MN，求k的值；（2）當k=2時，求點P到直線AB的距離d；（3）對任意k0，求證：PAPB【思路點撥】本題考查的是直線與橢圓的位置關系，解決本題的關鍵是正確的聯(lián)立方程結合已知進行轉化求解.【精講精析】由題意知，故,所以線段MN的中點的坐標為，由于直線PA平分線段MN，故直線PA過線段MN的中點，又直線PA過坐標原點，所以.（2）直線PA的方程為，代入橢圓方程得，解得，因此,于是,直線AC的斜率為，所以直線AB的方程為，因此.（3）解法一：將直線PA的方程為代入，解得，記，則，于是故直線AB的斜率為，直線AB的方程為，代入橢圓方程得，解得，或，因此，于是直線PB的斜率為， 因此，所以.解法二：設，則，.設直線PB，AB的斜率分別為.因為C在直線AB上，所以 ，從而 ，因此，所以.4.（2011北京高考理科T19）(14分)已知橢圓.過點作圓的切線交橢圓G于A,B兩點.（）求橢圓G的焦點坐標和離心率；（）將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值.【思路點撥】（）根據(jù)標準方程可求出焦點坐標和離心率；（）先討論切線斜率不存在時的兩種情況，當斜率存在時，聯(lián)立切線方程與橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式可表示出|AB|，再求|AB|的最大值.【精講精析】（）由已知得，所以，所以橢圓G的焦點坐標為，離心率為.（）由題意知，.當m=1時，切線的方程為x=1，點A,B的坐標分別為，此時；當m=-1時，同理可得；當|m|1時，設切線的方程為.由得.設A,B兩點的坐標分別為.又由與圓相切，得，即.所以.由于當時，當且當時，.所以|AB|的最大值為2.5.（2011北京高考文科T19）(14分)已知橢圓的離心率為，右焦點為，斜率為1的直線與橢圓G交于A,B兩點，以AB為底邊作等腰三角形PAB，頂點為.（）求橢圓G的方程；（）求的面積. 【思路點撥】（）利用a,b,c的關系及離心率求出a,b，代入標準方程；（）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用韋達定理，設而不求，整體代入.【精講精析】（）由已知得，解得.又，所以橢圓G的方程為.（II）設直線的方程為，由得，.設A,B的坐標分別為，AB中點為，則.因為AB是等腰的底邊，所以.所以PE的斜率，解得.此時方程為，解得，所以.所以.此時，點到直線AB：的距離，所以的面積.6.（2011江西高考理科20）是雙曲線E：上一點，M，N分別是雙曲線E的左、右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值.【思路點撥】（1）表示出直線PM，PN的斜率，根據(jù)直線PM，PN的斜率之積為，得，進而求得離心率.（2）首先根據(jù)直線與雙曲線的位置關系結合，將C點坐標用A,B兩點坐標表示出來，再將C點坐標代入雙曲線方程，即得的關系式，從而求得的值.【精講精析】練習六1.（2011浙江高考理科8）已知橢圓（0）與雙曲線有公共的焦點，的一條漸近線與以 的長軸為直徑的圓相交于兩點，若 恰好將線段三等分，則（A） （B） 13 （C） （D）2【思路點撥】關鍵是找出關于的關系建立方程組從而求解.【精講精析】選C.解法一：由雙曲線1知漸近線方程為，又橢圓與雙曲線有公共焦點，橢圓方程可化為，聯(lián)立直線與橢圓方程消得，又將線段AB三等分，解之得.解法二：由雙曲線1知漸近線方程為,設漸近線與橢圓（0）的交點分別為,則,即,又由在上,所以有,又由橢圓（0）與雙曲線有公共的焦點可得,由解得,故選C.2.（2011陜西高考文科T17）（本小題滿分12分）設橢圓: 過點（0，4），離心率為（）求的方程；（）求過點（3，0）且斜率為的直線被所截線段的中點坐標【思路點撥】（）由橢圓過已知點和橢圓離心率可以列出方程組，解方程組即可，也可以分步求解；（）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關系；然后利用中點坐標公式求解【精講精析】（）將點（0，4）代入的方程得, b=4,又 得，即， 的方程為（）過點且斜率為的直線方程為，設直線與的交點為A，B，將直線方程代入的方程，得，即，解得， AB的中點坐標，即所截線段的中點坐標為注：用韋達定理正確求得結果，同樣給分3.（2011陜西高考理科T17）（本小題滿分12分）如圖，設P是圓上的動點，點D是P在軸上投影，M為PD上一點，且（）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程；（）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度【思路點撥】（1）動點M通過點P與已知圓相聯(lián)系，所以把點P的坐標用點M的坐標表示，然后代入已知圓的方程即可；（2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關系；結合兩點的距離公式計算【精講精析】（）設點M的坐標是，P的坐標是，因為點D是P在軸上投影，M為PD上一點，且，所以，且，P在圓上，整理得，即C的方程是（）過點（3，0）且斜率為的直線方程是，設此直線與C的交點為，將直線方程代入C的方程得：，化簡得，所以線段AB的長度是，即所截線段的長度是4.（2010天津高考理科20）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；（2） 設直線與橢圓相交于不同的兩點，已知點的坐標為（），點在線段的垂直平分線上，且，求的值.【命題立意】本小題主要考察橢圓的標準方程和幾何性質，直線的方程，平面向量等基礎知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質及數(shù)形結合的思想，考查運算和推理能力?！舅悸伏c撥】（1）建立關于a,b的方程組求出a,b；（2）構造新的一元二次方程求解?！疽?guī)范解答】（1）由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1，所以橢圓的方程為。(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設B點的坐標為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點的坐標滿足方程組由方程組消去整理，得由得設線段AB是中點為M，則M的坐標為以下分兩種情況：（1）當k=0時，點B的坐標為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當k時，線段AB的垂直平分線方程為（后邊的Y改為小寫）令x=0，解得由整理得綜上5.（2010遼寧高考理科20）設橢圓C：的右焦點為F，過點F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線l的傾斜角為60o,.(I) 求橢圓C的離心率；(II) 如果|AB|=，求橢圓C的方程.【命題立意】本題考查了直線的點斜式方程，考查了橢圓的離心率，橢圓的標準方程，考查了圓錐曲線中的弦長問題，以及推理運算能力.【思路點撥】（I）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去x,解出兩個交點的縱坐標，利用這兩個縱坐標間的關系，得出a、b、c間的關系，求出離心率. （II）利用弦長公式表示出|AB|，再結合離心率和，求出a、b，寫出橢圓方程.【規(guī)范解答】6.（2011浙江高考理科21）（本題滿分15分）已知拋物線，圓的圓心為點M（）求點M到拋物線的準線的距離；（）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程.【思路點撥】（）利用拋物線的幾何性質可直接解決；（）考查直線與拋物線、圓的位置關系等基礎知識，利用過M，P兩點的直線垂直于AB這一幾何條件建立關系式即可解出【精講精析】（）解：由題意可知，拋物線的準線方程為：所以圓心M（0,4）到拋物線的距離是 （）解：設P(x0, x02)，A（）B（），由題意得設過點P的圓C2的切線方程為y-x0=k(x- x0) 即， 則 即 設PA，PB的斜率為，則是上述方程的兩根，所以 ，將代入得，由于是此方程的根，故所以而由MPAB,得，解得即點P的坐標為，所以直線的方程為.7.（2011遼寧高考理科20）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D（I）設，求與的比值；（II）當e變化時，是否存在直線l，使得BOAN，并說明理由【思路點撥】（I）先利用離心率相同設出的方程和直線的方程，再求出的坐標，然后計算與的長度就可求出比值；（II）先考慮直線過原點的情況，再考慮直線不過原點的情況，此時利用斜率相等（即）建立等式關系，再考慮的因素，可得到關于的不等式，求解說明即可【精講精析】()因為的離心率相同，故依題意可設 ：，：，（， 設直線：，分別與，的方程聯(lián)立，求得 4分當時，分別用表示A，B的縱坐標，可知 :=. 6分 （）時的不符合題意時，當且僅當?shù)男甭逝c的斜率相等，即，解得 ，因為，又，所以，解得，所以當時，不存在直線，使得；當時，存在直線，使得. 12分8（2011湖南高考理科T21）（13分）如圖7，橢圓x軸被曲線：-b截得的線段長等于的長半軸長.（）求的方程；（）設與y軸的交點為M，過坐標原點O的直線l與相交于點A，B，直線MA，MB分別與相交于點D，E.（i）證明：MD；（ii）記的面積分別為.問：是否存在直線l，使得？請說明理由.【精講精析】（I）由題意知，從而，又，解得。故，的方程分別為。（II）（i）由