2015年高中數(shù)學(xué)步步高大一輪復(fù)習(xí)講義(文科)第七章 74.doc

7.4歸納與類比1歸納推理：根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性，推斷該類事物中每一個(gè)事物都有這種屬性我們將這種推理方式稱為歸納推理(簡稱歸納)簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理歸納推理的基本模式：a、b、cM且a、b、c具有某屬性，結(jié)論：任意dM，d也具有某屬性2類比推理：由于兩類不同對(duì)象具有某些類似的特征，在此基礎(chǔ)上，根據(jù)一類對(duì)象的其他特征，推斷另一類對(duì)象也具有類似的其他特征，我們把這種推理過程稱為類比推理(簡稱類比)簡言之，類比推理是兩類事物特征之間的推理類比推理的基本模式：A：具有屬性a，b，c，d；B：具有屬性a，b，c；結(jié)論：B具有屬性d.(a，b，c，d與a，b，c，d相似或相同)3歸納推理和類比推理是最常見的合情推理，合情推理的結(jié)果不一定正確4演繹推理是根據(jù)已知的事實(shí)和正確的結(jié)論，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程1 判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確()(2)由平面三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)，這是一種合情推理()(3)在類比時(shí)，平面中的三角形與空間中的平行六面體作為類比對(duì)象較為合適()(4)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯(cuò)誤的()(5)一個(gè)數(shù)列的前三項(xiàng)是1,2,3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是ann(nN)()(6) 2， 3， 4， 6(a，b均為實(shí)數(shù))，則可以推測(cè)a35，b6.()2數(shù)列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28 B32 C33 D27答案B解析523,1156,20119，推出x2012，所以x32.3觀察下列各式：553 125,5615 625,5778 125，則52 011的后四位數(shù)字為()A3 125 B5 625 C0 625 D8 125答案D解析553 125,5615 625,5778 125,58390 625,591 953 125，可得59與55的后四位數(shù)字相同，由此可歸納出5m4k與5m(kN，m5,6,7,8)的后四位數(shù)字相同，又2 01145017，所以52 011與57后四位數(shù)字相同為8 125，故選D.4(2013陜西)觀察下列等式1211222312223261222324210照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為_答案12223242(1)n1n2(1)n1解析觀察等式左邊的式子，每次增加一項(xiàng)，故第n個(gè)等式左邊有n項(xiàng)，指數(shù)都是2，且正、負(fù)相間，所以等式左邊的通項(xiàng)為(1)n1n2.等式右邊的值的符號(hào)也是正、負(fù)相間，其絕對(duì)值分別為1,3,6,10,15,21，.設(shè)此數(shù)列為an，則a2a12，a3a23，a4a34，a5a45，anan1n，各式相加得ana1234n，即an123n.所以第n個(gè)等式為12223242(1)n1n2(1)n1.5設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有設(shè)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，_，_，成等比數(shù)列答案解析對(duì)于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為Tn，則T4a1a2a3a4，T8a1a2a8，T12a1a2a12，T16a1a2a16，因此a5a6a7a8，a9a10a11a12，a13a14a15a16，而T4，的公比為q16，因此T4，成等比數(shù)列.題型一歸納推理例1設(shè)f(x)，先分別求f(0)f(1)，f(1)f(2)，f(2)f(3)，然后歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明思維啟迪解題的關(guān)鍵是由f(x)計(jì)算各式，利用歸納推理得出結(jié)論并證明解f(0)f(1)，同理可得：f(1)f(2)，f(2)f(3)，并注意到在這三個(gè)特殊式子中，自變量之和均等于1.歸納猜想得：當(dāng)x1x21時(shí)，均為f(x1)f(x2).證明：設(shè)x1x21，f(x1)f(x2).思維升華(1)歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷出一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的范圍(2)歸納的前提是特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、經(jīng)驗(yàn)或試驗(yàn)的基礎(chǔ)之上的(3)歸納推理所得結(jié)論未必正確，有待進(jìn)一步證明，但對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論和科學(xué)的發(fā)現(xiàn)很有用(1)觀察下列等式11234934567254567891049照此規(guī)律，第五個(gè)等式應(yīng)為_(2)已知f(n)1(nN)，經(jīng)計(jì)算得f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，則有_答案(1)567891011121381(2)f(2n)(n2，nN)解析(1)由于112,234932,345672552,456789104972，所以第五個(gè)等式為56789101112139281.(2)由題意得f(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以當(dāng)n2時(shí)，有f(2n).故填f(2n)(n2，nN)題型二類比推理例2已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若ama，anb(nm1，m，nN)，則amn.類比等差數(shù)列an的上述結(jié)論，對(duì)于等比數(shù)列bn(bn0，nN)，若bmc，bnd(nm2，m，nN)，則可以得到bmn_.思維啟迪等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn類比時(shí)，等差數(shù)列的公差對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的公比，等差數(shù)列的加減法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列的乘除法運(yùn)算，等差數(shù)列的乘除法運(yùn)算對(duì)應(yīng)等比數(shù)列中的乘方開方運(yùn)算答案解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q.因?yàn)閍na1(n1)d，bnb1qn1，amn，所以類比得bmn思維升華(1)進(jìn)行類比推理，應(yīng)從具體問題出發(fā)，通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比，提出猜想其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵(2)類比推理常見的情形有平面與空間類比；低維的與高維的類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等(3)在進(jìn)行類比推理時(shí)，不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比，且要注意以下兩點(diǎn)：找兩類對(duì)象的對(duì)應(yīng)元素，如：三角形對(duì)應(yīng)三棱錐，圓對(duì)應(yīng)球，面積對(duì)應(yīng)體積等等；找對(duì)應(yīng)元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系，如：兩條邊(直線)垂直對(duì)應(yīng)線面垂直或面面垂直，邊相等對(duì)應(yīng)面積相等(1)給出下列三個(gè)類比結(jié)論：(ab)nanbn與(ab)n類比，則有(ab)nanbn；loga(xy)logaxlogay與sin()類比，則有sin()sin sin ；(ab)2a22abb2與(ab)2類比，則有(ab)2a22abb2.其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3(2)把一個(gè)直角三角形以兩直角邊為鄰邊補(bǔ)成一個(gè)矩形，則矩形的對(duì)角線長即為直角三角形外接圓直徑，以此可求得外接圓半徑r(其中a，b為直角三角形兩直角邊長)類比此方法可得三條側(cè)棱長分別為a，b，c且兩兩垂直的三棱錐的外接球半徑R_.答案(1)B(2)解析(1)錯(cuò)誤，正確(2)由平面類比到空間，把矩形類比為長方體，從而得出外接球半徑題型三演繹推理例3已知函數(shù)f(x)(a0，且a1)(1)證明：函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱；(2)求f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)的值思維啟迪證明本題依據(jù)的大前提是中心對(duì)稱的定義，函數(shù)yf(x)的圖像上的任一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上小前提是f(x)(a0且a1)的圖像關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱(1)證明函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，任取一點(diǎn)(x，y)，它關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1x，1y)由已知得y，則1y1，f(1x)，1yf(1x)，即函數(shù)yf(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(，)對(duì)稱(2)解由(1)知1f(x)f(1x)，即f(x)f(1x)1.f(2)f(3)1，f(1)f(2)1，f(0)f(1)1.則f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)3.思維升華演繹推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式為三段論，演繹推理的前提和結(jié)論之間有著某種蘊(yùn)含關(guān)系，解題時(shí)要找準(zhǔn)正確的大前提，一般地，若大前提不明確時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提已知函數(shù)yf(x)，滿足：對(duì)任意a，bR，ab，都有af(a)bf(b)af(b)bf(a)，試證明：f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)證明設(shè)x1，x2R，取x1x1f(x2)x2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x10，f(x2)f(x1)所以yf(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)高考中的合情推理問題典例：(1)(5分)(2013湖北)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10，第n個(gè)三角形數(shù)為n2n，記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n，k)(k3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)n2n，正方形數(shù) N(n,4)n2，五邊形數(shù) N(n,5)n2n，六邊形數(shù) N(n,6)2n2n可以推測(cè)N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)_.思維啟迪從已知的部分k邊形數(shù)觀察一般規(guī)律寫出N(n，k)，然后求N(10,24)解析由N(n,4)n2，N(n,6)2n2n，可以推測(cè)：當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，N(n，k)n2n，N(10,24)100101 1001001 000.答案1 000(2)(5分)若P0(x0，y0)在橢圓1(ab0)外，過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是1，那么對(duì)于雙曲線則有如下命題：若P0(x0，y0)在雙曲線1(a0，b0)外，過P0作雙曲線的兩條切線，切點(diǎn)為P1，P2，則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是_思維啟迪直接類比可得解析設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則P1，P2的切線方程分別是1，1.因?yàn)镻0(x0，y0)在這兩條切線上，故有1，1，這說明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線1上，故切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是1.答案1(3)(5分)在計(jì)算“1223n(n1)”時(shí)，某同學(xué)學(xué)到了如下一種方法：先改寫第k項(xiàng)：k(k1)k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得12(123012)，23(234123)，n(n1)n(n1)(n2)(n1)n(n1)相加，得1223n(n1)n(n1)(n2)類比上述方法，請(qǐng)你計(jì)算“123234n(n1)(n2)”，其結(jié)果為_思維啟迪根據(jù)兩個(gè)數(shù)積的和規(guī)律猜想，可以利用前幾個(gè)式子驗(yàn)證解析類比已知條件得k(k1)(k2)k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得123(12340123)，234(23451234)，345(34562345)，n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)以上幾個(gè)式子相加得：123234n(n1)(n2)n(n1)(n2)(n3)答案n(n1)(n2)(n3)溫馨提醒(1)合情推理可以考查學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力，在每年的高考中經(jīng)常會(huì)考到；(2)合情推理的結(jié)論要通過演繹推理來判斷是否正確方法與技巧1合情推理的過程概括為2演繹推理是從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況的結(jié)論的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段論數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行失誤與防范1合情推理是從已知的結(jié)論推測(cè)未知的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)與猜想的結(jié)論都要經(jīng)過進(jìn)一步嚴(yán)格證明2演繹推理是由一般到特殊的證明，它常用來證明和推理數(shù)學(xué)問題，注意推理過程的嚴(yán)密性，書寫格式的規(guī)范性3合情推理中運(yùn)用猜想時(shí)不能憑空想象，要有猜想或拓展依據(jù)A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)一、選擇題1(2012江西)觀察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，則a10b10等于()A28 B76 C123 D199答案C解析觀察規(guī)律，歸納推理從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知，等式右端的值，從第三項(xiàng)開始，后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和，照此規(guī)律，則a10b10123.2定義一種運(yùn)算“*”：對(duì)于自然數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(1)1*1=1，（2）（n+1）*1=n*1+1，則n*1等于 ()A.nB.n1C.n1D.n2答案A解析由(n1)*1n*11，得n*1(n1)*11(n2)*121*1+(n1).又1*1=1，n*1n3下列推理是歸納推理的是()AA，B為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|2a|AB|，則P點(diǎn)的軌跡為橢圓B由a11，an3n1，求出S1，S2，S3，猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式C由圓x2y2r2的面積r2，猜想出橢圓1的面積SabD科學(xué)家利用魚的沉浮原理制造潛艇答案B解析從S1，S2，S3猜想出數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn，是從特殊到一般的推理，所以B是歸納推理，故應(yīng)選B.4已知ABC中，A30，B60，求證：ab.證明：A30，B60，AB.ax2，則k，而0，所以k的最小值為.8在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，平面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于點(diǎn)E，則類比得到的結(jié)論是_答案解析易知點(diǎn)E到平面BCD與平面ACD的距離相等，故.三、解答題9已知等差數(shù)列an的公差d2，首項(xiàng)a15.(1)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn；(2)設(shè)Tnn(2an5)，求S1，S2，S3，S4，S5；T1，T2，T3，T4，T5，并歸納出Sn與Tn的大小規(guī)律解(1)由于a15，d2，Sn5n2n(n4)(2)Tnn(2an5)n2(2n3)54n2n.T15，T2422218，T3432339，T4442468，T54525105.S15，S22(24)12，S33(34)21，S44(44)32，S55(54)45.由此可知S1T1，當(dāng)n2時(shí)，SnTn.歸納猜想：當(dāng)n1時(shí)，SnTn；當(dāng)n2，nN時(shí)，Sn0ab”類比推出“若a，bC，則ab0ab”其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A0 B1 C2 D3答案C解析正確，錯(cuò)誤因?yàn)閮蓚€(gè)復(fù)數(shù)如果不全是實(shí)數(shù)，不能比較大小2設(shè)是R的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集若對(duì)于任意a，bA，有abA，則稱A對(duì)運(yùn)算封閉下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是()A自然數(shù)集 B整數(shù)集C有理數(shù)集 D無理數(shù)集答案C解析A錯(cuò)：因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法、除法不封閉；B錯(cuò)：因?yàn)檎麛?shù)集對(duì)除法不封閉；C對(duì)：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)：因?yàn)闊o理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉3平面內(nèi)有n條直線，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為_答案解析1條直線將平面分成11個(gè)區(qū)域；2條直線最多可將平面分成1(12)4個(gè)區(qū)域；3條直線最多可將平面分成1(123)7個(gè)區(qū)域；，n條直線最多可將平面