PML完美匹配層之中文翻譯.doc

我們考慮在三維無界空間中傳播的時變波場u，并假定該波場的源和初始擾動被限定在矩形區(qū)域中，表示為（。）。在之外，我們進(jìn)一步假定波場的傳播速度c是一個常量；因此，所有在三維無界空間里傳播的波都是由中發(fā)出的。在內(nèi)部，波場u滿足我們希望截斷無界外區(qū)，從而把計算區(qū)域限定在有限計算域里。這種情況下，我們希望確保所有從發(fā)出所傳播的波沒有惡意的反射（spurious reflection）。因此，我們用三個維度上厚度分別為L1 L2 L3的完美匹配層來包裹，以此吸收從里發(fā)出的波。在吸收層內(nèi)部，u滿足修正后的波動方程，該波動方程的解在吸收層內(nèi)隨著傳播距離按指數(shù)規(guī)律進(jìn)行衰減。根據(jù)論文1,2，我們用u來表示做拉普拉斯變換后的u，定義為在之外u滿足亥姆霍茲方程接下來，我們引進(jìn)坐標(biāo)變換，把自然坐標(biāo)x（i）變換到拉普拉斯變換域下的坐標(biāo)x（i）在吸收層內(nèi)部，阻尼曲線是正的，而在為零。如果我們要求u做拉普拉斯變換后的u滿足坐標(biāo)變換后的亥姆霍茲方程那么，眾所周知，此時在內(nèi)的波場u仍然保持不變，而在吸收層內(nèi)的u將隨距離呈指數(shù)規(guī)律快速衰減；因此吸收層是完美匹配的。事實上PML修正后的亥姆霍茲方程時標(biāo)準(zhǔn)的，但難點在于如何把（2.7）變回到時間域而不引入高階導(dǎo)數(shù)或太多輔助量從（2.6）坐標(biāo)變換中可以發(fā)現(xiàn)，關(guān)于x（i）的偏導(dǎo)數(shù)和關(guān)于x（i）的偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)系，即如下所示我們現(xiàn)在讓r（i）表示（i）和s接下來，按照（2.8），我們可以根據(jù)拉普拉斯變換后的且滿足坐標(biāo)變換后的亥姆霍茲方程（2.7）得到自然坐標(biāo)x（i）的亥姆霍茲方程從（2.9），可以得出下列代數(shù)恒等式結(jié)合（2.10）和（2.11），得到自然自然坐標(biāo)系下變形的亥姆霍茲方程接下來我們引入輔助函數(shù)以及向量=（1 2 3）T我們用輔助函數(shù)以及向量把（2.12）表示成一種簡明的形式后，逆變換回時間域，就得到了PML修正波動方程（2.13）在內(nèi)部，阻尼曲線（i）以及輔助函數(shù)以及向量消失，因此（2.13）回歸到（2.1），因為PML公式只要求在吸收層中存在的標(biāo)量以及1 2 3，而且沒有高階導(dǎo)數(shù)，因此它的實現(xiàn)不僅簡明，而且花費極小。在二維空間里，（3） 3消失，因此PML簡化為（2.14），很明顯這里只需要兩個輔助函數(shù)在選擇阻尼曲線的時候，之前較為無端（只設(shè)定為正），因為它可以使常數(shù)，也可以是線性函數(shù)，還可以是二次型。而在我們的的計算區(qū)域，我們始終用（2.15）來表示阻尼曲線。因為這個阻尼曲線函數(shù)在截面x（i）=a（i）處處二次可微，無需特別的傳播條件，而常量取決于離散化和均勻的狄拉克雷或黎曼邊界條件截斷的那一層