廣東省廣州市高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班綜合測試試題（一）（廣州一模）理 新人教A版.doc

試卷類型：a2014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)（理科） 2014.3本試卷共4頁，21小題， 滿分150分考試用時120分鐘注意事項(xiàng)：1答卷前，考生務(wù)必用2b鉛筆在“考生號”處填涂考生號。用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己所在的市、縣/區(qū)、學(xué)校以及自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上。用2b鉛筆將試卷類型（a）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。2選擇題每小題選出答案后，用2b鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時，請先用2b鉛筆填涂選做題題號對應(yīng)的信息點(diǎn)，再作答。漏涂、錯涂、多涂的，答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。參考公式：錐體的體積公式，其中是錐體的底面積，是錐體的高 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1已知是虛數(shù)單位，若，則實(shí)數(shù)的值為a b c d2在中，角，所對的邊分別為，若，則為a b c d3圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為a bc d4若函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，則實(shí)數(shù)的取值范圍為a b c d圖1分?jǐn)?shù)頻率/組距50607080901000.0100.0150.0200.0250.03005某中學(xué)從某次考試成績中抽取若干名學(xué)生的分?jǐn)?shù)，并繪制成如圖1的頻率分布直方圖樣本數(shù)據(jù)分組為，若用分層抽樣的方法從樣本中抽取分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)16個，則其中分?jǐn)?shù)在范圍內(nèi)的樣本數(shù)據(jù)有a5個 b6個 c8個 d10個6已知集合，則集合中的元素個數(shù)為a2 b3 c4 d57設(shè)，是兩個非零向量，則使成立的一個必要非充分條件是a b c d 8設(shè)，為整數(shù)（），若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為若，則的值可以是a2011 b2012 c2013 d2014二、填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分（一）必做題（913題）9若不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的值為 10執(zhí)行如圖2的程序框圖，若輸出，則輸入的值為 圖2開始結(jié)束輸入否是輸出11一個四棱錐的底面為菱形，其三視圖如圖3所示，則這個四棱錐的體積是 11正（主）視圖側(cè)（左）視圖圖3俯視圖452212設(shè)為銳角，若，則 13在數(shù)列中，已知，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，則 （二）選做題（1415題，考生只能從中選做一題） 14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）peabcd圖4o在極坐標(biāo)系中，直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為 15（幾何證明選講選做題） 如圖4，是圓的切線，切點(diǎn)為，直線與圓交于，兩點(diǎn)，的平分線分別交弦，于，兩點(diǎn)，已知，則的值為 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間17（本小題滿分12分）甲，乙，丙三人參加某次招聘會，假設(shè)甲能被聘用的概率是，甲，丙兩人同時不能被聘用的概率是，乙，丙兩人同時能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互獨(dú)立（1）求乙，丙兩人各自能被聘用的概率；（2）設(shè)表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人數(shù)與不能被聘用的人數(shù)之差的絕對值，求的分布列與均值（數(shù)學(xué)期望）圖518（本小題滿分14分）如圖5，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且滿足（1）求證：；（2）在棱上確定一點(diǎn)， 使，四點(diǎn)共面，并求此時的長；（3）求平面與平面所成二面角的余弦值19（本小題滿分14分）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為10，公差為2，等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，（1）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)第個正方形的邊長為，求前個正方形的面積之和（注：表示與的最小值）20（本小題滿分14分）已知雙曲線：的中心為原點(diǎn)，左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且滿足（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）證明：直線與直線的斜率之積是定值；（3）若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，過點(diǎn)作動直線與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，在線段上取異于點(diǎn)，的點(diǎn)，滿足，證明點(diǎn)恒在一條定直線上21（本小題滿分14分）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）定義：若函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為，則稱區(qū)間為函數(shù)的“域同區(qū)間”試問函數(shù)在上是否存在“域同區(qū)間”？若存在，求出所有符合條件的“域同區(qū)間”；若不存在，請說明理由42014年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測試（一）數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)說明：1參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據(jù)試題主要考查的知識點(diǎn)和能力比照評分標(biāo)準(zhǔn)給以相應(yīng)的分?jǐn)?shù) 2對解答題中的計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分?jǐn)?shù)不得超過該部分正確解答應(yīng)得分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯誤，就不再給分 3解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)4只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運(yùn)算共8小題，每小題，滿分40分 題號12345678答案abadbcda 二、填空題：本大題考查基本知識和基本運(yùn)算，體現(xiàn)選擇性共7小題，每小題，滿分30分其中1415題是選做題，考生只能選做一題題號9101112131415答案234或三、解答題：本大題共6小題，滿分80分 16（本小題滿分1）（本小題主要考查三角函數(shù)圖象的周期性、單調(diào)性、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和三角函數(shù)倍角公式等等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力）解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，所以即即解得（2）方法1：由（1）得所以所以的最小正周期為因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增， 即時，函數(shù)單調(diào)遞增 所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 方法2：由（1）得 所以分所以函數(shù)的最小正周期為分因?yàn)楹瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為， 所以當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增 即（）時，函數(shù)單調(diào)遞增所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 17（本小題滿分1）（本小題主要考查相互獨(dú)立事件、解方程、隨機(jī)變量的分布列與均值（數(shù)學(xué)期望）等知識，考查或然與必然的數(shù)學(xué)思想方法，以及數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力和應(yīng)用意識）解：（1）記甲，乙，丙各自能被聘用的事件分別為，由已知，相互獨(dú)立，且滿足 解得，所以乙，丙各自能被聘用的概率分別為， （2）的可能取值為1，3 因?yàn)?所以 所以的分布列為 所以 18（本小題滿分1）（本小題主要考查空間線面關(guān)系、四點(diǎn)共面、二面角的平面角、空間向量及坐標(biāo)運(yùn)算等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力）推理論證法：（1）證明：連結(jié)，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所?在正方體中，平面，平面，所以 因?yàn)?，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所以?）解：取的中點(diǎn)，連結(jié)，則 在平面中，過點(diǎn)作，則連結(jié)，則，四點(diǎn)共面 因?yàn)椋怨十?dāng)時，四點(diǎn)共面 （3）延長，設(shè)，連結(jié)， 則是平面與平面的交線過點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)，因?yàn)椋云矫嬉驗(yàn)槠矫?，所以所以為平面與平面所成二面角的平面角 因?yàn)椋?，所?在中，所以 即（蘇元高考吧： 廣東省數(shù)學(xué)教師qq群：179818939）因?yàn)?，所以所以所以故平面與平面所成二面角的余弦值為空間向量法：（1）證明：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，所以， 因?yàn)?，所以所?（蘇元高考吧： 廣東省數(shù)學(xué)教師qq群：179818939）（2）解：設(shè)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以所以存在?shí)數(shù)，使得因?yàn)?，所以所以，所以故?dāng)時，四點(diǎn)共面（3）解：由（1）知，設(shè)是平面的法向量，則即取，則，所以是平面的一個法向量而是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則1故平面與平面所成二面角的余弦值為第（1）、（2）問用推理論證法，第（3）問用空間向量法：（1）、（2）給分同推理論證法（3）解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為軸，軸，軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)是平面的法向量，則即取，則，所以是平面的一個法向量而是平面的一個法向量，設(shè)平面與平面所成的二面角為，則1故平面與平面所成二面角的余弦值為19（本小題滿分1）（本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、分組求和等知識，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識）解：（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為10，公差為2，所以，即因?yàn)榈缺葦?shù)列的首項(xiàng)為1，公比為2，所以，即（2）因?yàn)?，易知?dāng)時，下面證明當(dāng)時，不等式成立方法1：當(dāng)時，不等式顯然成立假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即則有這說明當(dāng)時，不等式也成立綜合可知，不等式對的所有整數(shù)都成立所以當(dāng)時，方法2：因?yàn)楫?dāng)時，所以當(dāng)時，所以則當(dāng)時， 當(dāng)時， 綜上可知，20（本小題滿分1）（本小題主要考查直線的斜率、雙曲線的方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想方法，以及推理論證能力和運(yùn)算求解能力）（1）解：設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可得解得 （2）證明：由（1）可知，直線，點(diǎn)設(shè)點(diǎn),，因?yàn)椋运砸驗(yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，即所以所以直線與直線的斜率之積是定值（3）證法1：設(shè)點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，則，即，設(shè)，則即整理，得由，得將，代入，得 將代入，得所以點(diǎn)恒在定直線上證法2：依題意，直線的斜率存在設(shè)直線的方程為，由消去得因?yàn)橹本€與雙曲線的右支交于不同兩點(diǎn)，則有設(shè)點(diǎn)，（蘇元高考吧： 廣東省數(shù)學(xué)教師qq群：179818939）由，得整理得1將代入上式得整理得 因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以 聯(lián)立消去得所以點(diǎn)恒在定直線上（本題（3）只要求證明點(diǎn)恒在定直線上，無需求出或的范圍）21（本小題滿分1）（本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的零點(diǎn)等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力、抽象概括能力與創(chuàng)新意識）解：（1）因