【加密】數(shù)學(xué)運(yùn)算：容斥原理和抽屜原理重難點(diǎn)講解.docx

中公教育公考領(lǐng)域 第一品牌【加密】數(shù)學(xué)運(yùn)算：容斥原理和抽屜原理重難點(diǎn)講解容斥原理和抽屜原理是國(guó)家公務(wù)員考試行測(cè)科目數(shù)學(xué)運(yùn)算部分的“?？汀绷私獯藘煞N原理不僅可以提高做題效率，還可以提高自己的運(yùn)算能力，掃平所有此類計(jì)算。中公教育專家在此進(jìn)行詳細(xì)解讀。一、容斥原理在計(jì)數(shù)時(shí)，要保證無一重復(fù)，無一遺漏。為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，在不考慮重疊的情況下，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無遺漏又無重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。1.容斥原理1兩個(gè)集合的容斥原理如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B兩類，那么，先把A、B兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，發(fā)現(xiàn)既是A類又是B類的部分重復(fù)計(jì)算了一次，所以要減去。如圖所示。公式：AB=A+B-AB總數(shù)=兩個(gè)圓內(nèi)的-重合部分的【示例一】一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？數(shù)學(xué)得滿分人數(shù)A，語文得滿分人數(shù)B，數(shù)學(xué)、語文都是滿分人數(shù)AB，至少有一門得滿分人數(shù)AB。AB=15+12-4=23，共有23人至少有一門得滿分。2.容斥原理2三個(gè)集合的容斥原理如果被計(jì)數(shù)的事物有A、B、C三類，那么，將A、B、C三個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加后發(fā)現(xiàn)兩兩重疊的部分重復(fù)計(jì)算了1次，三個(gè)集合公共部分被重復(fù)計(jì)算了2次。如圖所示，灰色部分AB-ABC、BC-ABC、CA-ABC都被重復(fù)計(jì)算了1次，黑色部分ABC被重復(fù)計(jì)算了2次，因此總數(shù)ABC=A+B+C-（AB-ABC）-（BC-ABC）-（CA-ABC）-2ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC。即得到：公式：ABC=A+B+C-AB-BC-CA+ABC總數(shù)=三個(gè)圓內(nèi)的-重合兩次的+重合三次的【示例二】某班有學(xué)生45人，每人都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有25人，參加排球隊(duì)的有22人，參加游泳隊(duì)的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項(xiàng)都參加的有多少人？參加足球隊(duì)A，參加排球隊(duì)B，參加游泳隊(duì)C，足球、排球都參加的AB，足球、游泳都參加的CA，排球、游泳都參加的BC，三項(xiàng)都參加的ABC。三項(xiàng)都參加的有ABC=ABC-A-B-C+AB+BC+CA=45-25-22-24+12+9+8=3人。3.用文氏圖解題文氏圖又稱韋恩圖，能夠?qū)⑦壿嬯P(guān)系可視化的示意圖。從文氏圖可清晰地看出集合間的邏輯關(guān)系、重復(fù)計(jì)算的次數(shù)，最適合描述3個(gè)集合的情況?！纠}】某市對(duì)52種建筑防水卷材產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量抽檢，其中有8種產(chǎn)品的低溫柔度不合格，10種產(chǎn)品的可溶物含量不達(dá)標(biāo)，9種產(chǎn)品的接縫剪切性能不合格，同時(shí)兩項(xiàng)不合格的有7種，有1種產(chǎn)品這三項(xiàng)都不合格。則三項(xiàng)全部合格的建筑防水卷材產(chǎn)品有多少種？A.34 B.35 C.36 D.37中公解析：畫出文氏圖。低溫柔度、可溶物含量、接縫剪切性能不合格的一共有8+10+9=27種。在上述計(jì)算中，兩項(xiàng)不合格的產(chǎn)品（圖中灰色的部分）被重復(fù)計(jì)算了1次，三項(xiàng)不合格的產(chǎn)品（黑色的部分）被重復(fù)計(jì)算了2次。應(yīng)用容斥原理，不合格的產(chǎn)品共有27-17-21=18種，合格的有52-18=34種。二、抽屜原理能利用抽屜原理來解決的問題稱為抽屜問題。在行測(cè)考試數(shù)學(xué)運(yùn)算中，考查抽屜原理問題時(shí)，題干通常有“至少，才能保證”字樣。抽屜原理1將多于n件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品件數(shù)不少于2。（至少有2件物品在同一個(gè)抽屜）抽屜原理2將多于mn件的物品任意放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品的件數(shù)不少于m+1。（至少有m+1件物品在同一個(gè)抽屜）下面我們通過幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子來幫助理解這兩個(gè)抽屜原理?！臼纠弧繉?件物品放到3個(gè)抽屜里，要想保證任一個(gè)抽屜的物品最少，只能每個(gè)抽屜放一件，有5件物品，放了3件，還剩5-31=2件，這兩件只能分別放入兩個(gè)抽屜中，這樣物品最多的抽屜中也只有2件物品。即當(dāng)物品數(shù)比抽屜數(shù)多時(shí)，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜至少有2件物品?！臼纠繉?0件物品放到3個(gè)抽屜里呢？將22件物品放到5個(gè)抽屜里呢？同樣，按照前面的思路，要想保證任一個(gè)抽屜的物品數(shù)都最少，那么只能先平均放。103=31，則先每個(gè)抽屜放3件，還剩余1033=1件，隨便放入一個(gè)抽屜中，則這個(gè)抽屜中的物品數(shù)為3+1=4件。225=42，則先每個(gè)抽屜放4件，還剩余2245=2件，分別放入兩個(gè)抽屜中，則這兩個(gè)抽屜中的物品數(shù)為4+1=5件。即如果物體數(shù)大于抽屜數(shù)的m倍，那么至少有一個(gè)抽屜中的物品數(shù)不少于m+1。1.利用抽屜原理解題一般來說，求抽屜數(shù)、抽屜中的最多有幾件物品時(shí)采用抽屜原理，其解題流程如下：（1）找出題干中物品對(duì)應(yīng)的量；（2）合理構(gòu)造抽屜（簡(jiǎn)單問題中抽屜明顯，找出即可）；（3）利用抽屜原理1、抽屜原理2解題?！纠}1】把154本書分給某班的同學(xué)，如果不管怎樣分，都至少有一位同學(xué)會(huì)分得4本或4本以上的書，那么這個(gè)班最多有多少名學(xué)生？A.77B.54C.51D.50中公解析：此題答案為C。154本書 154件物品，同學(xué) 抽屜。找出物品對(duì)應(yīng)量、抽屜至少有一位同學(xué)會(huì)分得4本或4本以上的書 至少有一個(gè)抽屜中有不少于4本書。根據(jù)抽屜原理2，則有m+1=4，即m=3。1543=511，即n=51，那么這個(gè)班最多有51名學(xué)生。 利用抽屜原理22.考慮最差（最不利）情況抽屜問題所求多為極端情況，即從最差的情況考慮。對(duì)于“一共有n個(gè)抽屜，要有（取）多少件物品，才能保證至少有一個(gè)抽屜中有m個(gè)物體”，即求物品總數(shù)時(shí)，考慮最差情況這一方法的使用非常有效。具體思路如下：最差情況是盡量不能滿足至少有一個(gè)抽屜中有m個(gè)物品，因此只能將物品均勻放入n個(gè)抽屜中。當(dāng)物品總數(shù)=n（m-1）時(shí)，每個(gè)抽屜中均有m-1個(gè)物品，此時(shí)再多1個(gè)，即可保證有1個(gè)抽屜中有m個(gè)物品。因此物品總數(shù)為n（m-1）+1。【例題2】從一副完整的撲克牌中，至少抽出多少?gòu)埮?，才能保證至少有6張牌的花色相同？A.21B.22C.23D.24中公解析：此題答案為C。一副完整的撲克牌包括大王、小王；紅桃、方塊、黑桃、梅花各13張。至少抽