高二數(shù)學(xué)三角形中的數(shù)列問(wèn)題.doc

三角形中的數(shù)列問(wèn)題（研究性學(xué)習(xí)） 一、范例研究：設(shè)在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，范例1：已知a，b，c成等差數(shù)列（1）證明： ；（2）證明： ；（3）求角B的范圍.范例2：已知a，b，c成等比數(shù)列（1）證明：cos（AC）cosBcos2B1；（2）證明： ；（3）求角B的范圍.1、探索：運(yùn)用正弦定理對(duì)已知條件變形、轉(zhuǎn)化與延伸.（1）第一次探索a，b，c成等差數(shù)列 注：范例1（3）求角B的范圍請(qǐng)同學(xué)們自己思考（2）第二次探索a，b，c成等比數(shù)列 (第一階段的轉(zhuǎn)化與延伸) （第二階段轉(zhuǎn)化與延伸的開(kāi)始） （第二階段的轉(zhuǎn)化與延伸） 注：范例2的（2）、（3）小問(wèn)請(qǐng)同學(xué)們練習(xí)2、小結(jié)小結(jié)1：在ABC中，若a，b，c成等差數(shù)列，則有（1）2bac；（2） ；（3） .小結(jié)2：在ABC中，若a，b，c成等比數(shù)列，則有（1） ；（2） ；（3） .二、聯(lián)想聯(lián)想是探索的先驅(qū)，人們?cè)趯W(xué)習(xí)與研究中，總是在實(shí)踐中獲取真知，在認(rèn)知中產(chǎn)生聯(lián)想，進(jìn)而由聯(lián)想引發(fā)新的探索，由新的探索與發(fā)現(xiàn)促進(jìn)認(rèn)知的再次升華.注意到“等差數(shù)列”與“等比數(shù)列”僅一字之差，他們的性質(zhì)大多有驚人的相似之處.由此我們聯(lián)想到，上面已經(jīng)認(rèn)知的等差（或等比）數(shù)列條件下的三角等式兩邊，在等比（或等差）數(shù)列的條件下會(huì)是何種關(guān)系呢？循著“相等”與“不等”相互依存的辯證關(guān)系，我們可以斷言：一般情況下，等差（或等比）數(shù)列條件下的三角“等式”兩邊，在等比（或等差）數(shù)列條件下必是“不等”關(guān)系.我們需要進(jìn)一步了解的是，如此變更條件之后，上述等式兩邊是否具有確定的大小關(guān)系？上述不等式兩邊，是否具有相等關(guān)系？注意到等差數(shù)列與等比數(shù)列的密切聯(lián)系，我們由等差（比）數(shù)列的命題聯(lián)想等比（差）數(shù)列的情形.三、再探索立足于前面對(duì)范例1、范例2的證明與討論，對(duì)聯(lián)想中所提出的問(wèn)題進(jìn)行探索.1、第三次探索：解決聯(lián)想1提出的問(wèn)題在ABC中，若a，b，c成等比數(shù)列 得： ： 由第一次探索過(guò)程改造而成 ： 由第二次探索過(guò)程改造而成2、第四次探索：解決聯(lián)想2提出的問(wèn)題在ABC中，若a，b，c成等差數(shù)列 2bac （1）2bac 即 （2） ： 由第二次探索過(guò)程改造而成（3） 可由命題1的證明改造而成四、再認(rèn)知有比較才能鑒別（毛澤東語(yǔ)），有鑒別才能有更深層面的感悟和認(rèn)知.作為本節(jié)課的總結(jié)，我們對(duì)a，b，c成等差數(shù)列和a，b，c成等比數(shù)列的不同條件下的結(jié)論進(jìn)行比較，從中品悟三角形三邊成等差數(shù)列（或等比數(shù)列）的特性，以及在不同條件（a，b，c成等差數(shù)列或a，b，c成等比數(shù)列）下有關(guān)量之間的聯(lián)系.1、比較、品悟在ABC中，若a，b，c成 在ABC中，若a，b，c成等差數(shù)列，則有 等比數(shù)列，則有（1）2bac a+c （2） 2、點(diǎn)評(píng)：對(duì)于上面每一組對(duì)應(yīng)的命題，等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，在“等差”或“等比”的不同條件下展示出“相等”與“不等”（一般情況下）的個(gè)性，凸現(xiàn)著對(duì)偶范疇間既相互對(duì)立，又相互依存和相互聯(lián)系的辯證關(guān)系.五、總結(jié)與自我訓(xùn)練1、總結(jié)（1）聯(lián)想：親緣聯(lián)想：聯(lián)想“已知”或“目標(biāo)”的親密一方；對(duì)立聯(lián)想：聯(lián)想“已知”或“目標(biāo)”的對(duì)立一方.（2）收獲（思維、經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知等）2、練習(xí)：設(shè)在ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，1、若a，b，c依次成等比數(shù)列試求：（1）角B的取值范圍；（2）設(shè)tsinBcosB，求t的取值范圍；（3）設(shè) ，求y的取值范圍.2、若a,b,c成等比數(shù)列，且 3、若A,B,C成等差數(shù)列（1） 的取值范圍；（2）若最大邊長(zhǎng)與最小邊長(zhǎng)的比值為m，求m的取值范圍.參考答案：1、解：由題意得 （1）由余弦定理得由得又 由得 注意到 ，即所求B的取值范圍為 .（2） ， 即所求t的取值范圍為 .（3）設(shè)tsinBcosB，則 且 （ ） （ ） 即 即所求y的取值范圍為 .點(diǎn)評(píng)：在已知條件下求出角B的取值范圍，由此為求t及y的取值范圍奠定了必要基礎(chǔ).2、解：（1）由a,b,c成等比數(shù)列得 又 在ABC中由余弦定理得 （2）解法一（運(yùn)用正弦定理）在ABC中由正弦定理得 ， 由得 解法二（運(yùn)用三角形面積公式）：在ABC中由三角面積公式得 ， 由得 點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知式或目標(biāo)式為三角形邊角混合式時(shí)，通常首選正弦定理.但是，在條件適宜時(shí)利用三角形及其面積公式推理，也不免會(huì)收到出奇制勝的效果.本例解法二便是利用三角形面積公式解題成功的一個(gè)范例.3、解：由A,B,C成等差數(shù)列得2B=A+C又 （1） （運(yùn)用和差化積公式） 由得 即所求 的取值范圍為 （2）不妨設(shè)ABC，則 且A1所求m的取值范圍為（1，+）.點(diǎn)評(píng)：已知A,B,C成等差數(shù)列，既要想到