選修4-4坐標(biāo)系與參數(shù)方程2012高考復(fù)習(xí).doc

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 內(nèi)容概述 ：本專題是解析幾何初步、平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化。坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)。在坐標(biāo)系中，可以用有序?qū)崝?shù)組確定點(diǎn)的位置，進(jìn)而用方程刻畫幾何圖形。為便于用代數(shù)的方法刻畫幾何圖形或描述自然現(xiàn)象，需要建立不同的坐標(biāo)系。極坐標(biāo)系是與直角坐標(biāo)系不同的坐標(biāo)系，對于有些幾何圖形，選用這些坐標(biāo)系可以使建立的方程更加簡單。參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的又一種表示形式。某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更方便。學(xué)習(xí)參數(shù)方程有助于學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)解決問題中數(shù)學(xué)方法的靈活多變。（1）了解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況。（2）了解坐標(biāo)系的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化。（3）能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形（如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓）的極坐標(biāo)方程。（4）了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義。（5）能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程。1. 極坐標(biāo)系極坐標(biāo)是用“距離”與“角度”來刻畫平面上點(diǎn)的位置的坐標(biāo)形式。極點(diǎn)、極軸、長度單位、角度單位和它的方向構(gòu)成極坐標(biāo)系的四要素，缺一不可。規(guī)定：當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極坐標(biāo)可以取任意值。平面直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的區(qū)別：在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對（x，y）是一一對應(yīng)的，可是在極坐標(biāo)系中，雖然一個(gè)有序?qū)崝?shù)對只能與一個(gè)點(diǎn)P對應(yīng)，但一個(gè)點(diǎn)P卻可以與無數(shù)多個(gè)有序?qū)崝?shù)對對應(yīng)，極坐標(biāo)系中的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對極坐標(biāo)不是一一對應(yīng)的。極坐標(biāo)系中，點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式。如果規(guī)定，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)表示，同時(shí)，極坐標(biāo)表示的點(diǎn)也是唯一確定的?！纠?】在極坐標(biāo)系中，描出點(diǎn)，并寫出點(diǎn)M的統(tǒng)一極坐標(biāo)。2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化：（1）互化的前提：極點(diǎn)與直角坐標(biāo)的原點(diǎn)重合；極軸與x軸的正方向重合； 兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位。（2）互化公式，注：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,方程兩邊同乘,使之出現(xiàn)2是常用的方法.【例2】極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為 ( ) A. B. x2 +（y+）2 = C. x2 +（y）2 = D. （x）2 + y2 = 【例3】化下列方程為直角坐標(biāo)方程,并說明表示的曲線. (1) (2）3. 簡單曲線的極坐標(biāo)方程1極坐標(biāo)方程的定義：在極坐標(biāo)系中，如果平面曲線C上任一點(diǎn)的極坐標(biāo)中至少有一個(gè)滿足方程，并且坐標(biāo)適合方程的點(diǎn)都在曲線C上，那么方程叫做曲線C的極坐標(biāo)方程。(由于都有明確的幾何特征，有些曲線所蘊(yùn)含的運(yùn)動(dòng)規(guī)律用極坐標(biāo)方程表示更簡潔)圓心在（，0）半徑為的圓的極坐標(biāo)方程為： 以極點(diǎn)為圓心半徑等于r的圓的極坐標(biāo)方程為 : (是定值，是任意的)（1）過極點(diǎn)，極角為的射線的極坐標(biāo)方程： （2）過極點(diǎn)，極角為的射線的極坐標(biāo)方程： 直線極坐標(biāo)議程可以用表示極坐標(biāo)系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？ 為了彌補(bǔ)這個(gè)不足，可以考慮允許極徑可以取全體實(shí)數(shù)。則上面的直線的極坐標(biāo)方程可以表示為：或【例4】極坐標(biāo)方程（）=0（0）表示的圖形是（ ）（A）兩個(gè)圓 （B）兩條直線（C）一個(gè)圓和一條射線 （D）一條直線和一條射線【例5】過極點(diǎn)且關(guān)于極軸的傾斜角是的直線的極坐標(biāo)方程是_過點(diǎn)且與極軸垂直的直線方程為（ ）A. B. C. D. 過點(diǎn)且與平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是（ ）A. B. C. D. 過點(diǎn)且與極軸所成的角為的直線的極坐標(biāo)方程是 4.參數(shù)方程：參數(shù)方程是以參變量為中介來表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，是曲線在同一坐標(biāo)系下的又一種表示形式參數(shù)方程實(shí)際上是一個(gè)方程組，其中，分別為曲線上點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。定義：一般地，在直角坐標(biāo)系中，一動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x和y同時(shí)可以獨(dú)立地表示成第三個(gè)變量t的函數(shù)。即且滿足(1)對于a，b中的任何一個(gè)t1，則得到的(x1，y1)點(diǎn)都在曲線C上；(2)曲線上的任意一點(diǎn)P(x0，y0)的坐標(biāo)x0，y0通過在a，b上可求得一個(gè)t.那么上述方程叫曲線C的參數(shù)方程。相對參數(shù)方程而言，過去的方程就叫做曲線C的直角坐標(biāo)方程，簡稱普通方程。直線的參數(shù)方程問題：已知一條直線過點(diǎn)，傾斜角為求這條直線的方程.解：直線的普通方程為把它變形成進(jìn)一步整理令該比例的比值為，即【問題】：已知一條直線過點(diǎn)，傾斜角為求這條直線的方程.解：在直線上任取一點(diǎn)M(x,y),則設(shè)是直線的單位方向向量，則因?yàn)樗源嬖趯?shí)數(shù)使即于是即過點(diǎn)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為參數(shù)的幾何意義所以,直線參數(shù)方程中參數(shù)的絕對值等于直線上動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離.利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,簡化求直線上兩點(diǎn)間的距離.，只有時(shí)，才具有此幾何意義?！窘Y(jié)論】【例6市摸底23題】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線與交于兩點(diǎn)，求解：在10cos的兩邊同乘以，得210cos，則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2y210x，3分將曲線C1的參數(shù)方程代入上式，得(6t)2t210(6t)，整理，得t2t240，設(shè)這個(gè)方程的兩根為t1，t2，則t1t2，t1t224，所以|AB|t2t1|310分高考是在第（22）、（23）、（24）三題中任選一題做答，如果你掌握極坐標(biāo)參數(shù)方程內(nèi)容，建議你選擇“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”，因?yàn)樵擃}較容易得滿分同時(shí)，由于極坐標(biāo)與參數(shù)方程近三年考題的難易程度都差不多，因而預(yù)計(jì)2012年的考題的難易程度也不會(huì)有太大的變動(dòng)（08新課標(biāo)卷）已知曲線C1：（為參數(shù)），曲線C2：（t為參數(shù)）（）指出C1，C2各是什么曲線，并說明C1與C2公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若把C1，C2上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都壓縮為原來的一半，分別得到曲線寫出的參數(shù)方程與公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)和C公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否相同？說明你的理由解：（）是圓，是直線的普通方程為，圓心，半徑的普通方程為因?yàn)閳A心到直線的距離為，所以與只有一個(gè)公共點(diǎn)（）壓縮后的參數(shù)方程分別為：（為參數(shù)）； ：（t為參數(shù)）化為普通方程為：，：，聯(lián)立消元得，其判別式，所以壓縮后的直線與橢圓仍然只有一個(gè)公共點(diǎn)，和與公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相同評注：本題較為綜合的考查了參數(shù)方程和普通方程之間的轉(zhuǎn)化，在研究圖象的伸縮變換時(shí)用參數(shù)方程比較容易得到。而判斷兩曲線的位置關(guān)系則用普通方程通過解方程組得到較好。（09新課標(biāo)卷）已知曲線C： （t為參數(shù)）， C：（為參數(shù)）。（1）化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；（2）若C上的點(diǎn)P對應(yīng)的參數(shù)為，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求中點(diǎn)到直線 （t為參數(shù)）距離的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解：（）由曲線：（為參數(shù)）得，兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為：為圓心是，半徑是1的圓由曲線：（為參數(shù)）得，兩式平方相加消去參數(shù)，得曲線的普通方程為： 為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓（）因?yàn)樯系狞c(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)為，故，又為上的點(diǎn)，所以，故中點(diǎn)為由：（為參數(shù)）消去參數(shù)知，為直線，則到的距離從而當(dāng)，時(shí)，取得最小值（10新課標(biāo)卷）已知直線C1（t為參數(shù)），C2（為參數(shù)）（）當(dāng)=時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；（）過坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線。解：（）因?yàn)橹本€：（為參數(shù)）表示過定點(diǎn)，傾斜角為的直線，所以當(dāng)時(shí)，的普通方程為，圓：（為參數(shù)）是圓心在圓點(diǎn)半徑為的圓，的普通方程為聯(lián)立方程組 ，解得與的交點(diǎn)為，（）由（）的普通方程為，即（或由直接消去參數(shù)可得）又直線垂直，所以直線的方程為聯(lián)立方程組，解得點(diǎn)坐標(biāo)為，為的中點(diǎn)，故當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），由得，即，兩式平方相加得，點(diǎn)軌跡的普通方程為故點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓（11新課標(biāo)卷）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)）M是C1上的動(dòng)點(diǎn)，P點(diǎn)滿足,P點(diǎn)的軌跡為曲線C2()求C2的方程()在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與C1的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求.解：（）設(shè)，則由條件，得，即由于點(diǎn)在上，所以 ，即，從而的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)）得，兩式平方相加得普通方程為，即，從而，又，所以曲線的極坐標(biāo)方程為，同理，曲線的極坐標(biāo)方程為射線與的交點(diǎn)的極徑為，射線與的交點(diǎn)的極徑為根據(jù)極徑的幾何意義，得【2012省聯(lián)考題】在平面直角坐標(biāo)系 中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的方程為