概率統(tǒng)計習題冊 浙大版.pdf

第一章 概率論的基本概念 一 第一章 概率論的基本概念 一 1 多選題 以下命題正確的是 ABAABa U AABBAb 則若 ABBAc 則若 BBABAd U則若 某學生做了三道題 i A 表示第i題做對了的事件 3 2 1 i 則至少做對了兩 道題的事件可表示為 133221321321321 AAAAAAbAAAAAAAAAaUUUU 321321321321133221 AAAAAAAAAAAAdAAAAAAcUUUUU 2 A B C為三個事件 說明下述運算關(guān)系的含義 6 5 4 3 2 1ABCCBACBACBACBAUU 3 個工人生產(chǎn)了三個零件 i A與 i A 3 2 1 i分別表示他生產(chǎn)的第i個零件 為正 次品的事件 試用 i A與 i A 3 2 1 i表示以下事件 全是正品 至 少有一個零件是次品 恰有一個零件是次品 至少有兩個零件是次品 4 下列命題中哪些成立 哪些不成立 BBABAUU BABAU CBACBA U BAAB ABABA 則若 ABBA 則若 二 二 1 選擇題 若事件A與B相容 則有 BPAPBAPa U ABPBPAPBAPb U 1 BPAPBAPc U 1 BPAPBAPd U 事件A與B互相對立的充要條件是 1 0 BAPABPbBPAPABPaU且 ABdBAABc U且 2 袋中有 12 個球 其中紅球 5 個 白球 4 個 黑球 3 個 從中任取 9 個 求此 9 球恰好有 4 個紅球 3 個白球 2 個黑球的概率 3 同一個月的概率是多少少有兩個同學的生日為寢室里的六個同學中至 4 在撲克牌游戲 共 52 張牌 A 最大 中 求以下事件的概率 A 以 A 為頭的同花順次五張牌 B其它的同花順次五張牌 C有四 張牌同點數(shù) D有三張牌同點數(shù)且另兩張牌也同點數(shù) E五張同花 F異花順次五張牌 H三張同點數(shù)且另兩張牌不同點數(shù) I五張中 有兩對 J五張中有一對 三 三 1 選擇題 已知0 BP且 21A A 則 成立 0 1 BAPa 2121 BABAPBAAPb U 0 21 BAAPc 1 21 BAAPd 若0 0 BPAP 且 APBAP 則 成立 BPABPa APBAPb BAc 相容 BAd 不相容 2 知 6 1 4 1 3 1 BAPABPAP 求 BAPU 3 種燈泡能用到 3000 小時的概率為 0 8 能用到 3500 小時的概率為 0 7 求一個已用到了 3000 小時的燈泡還可以再用 500 小時的概率 4 某市男性色盲發(fā)病率為 7 女性色盲發(fā)病率為 0 5 今有一人到醫(yī) 院求治色盲求此人為女性的概率 設(shè)該市性別結(jié)構(gòu)為男 女 0 502 0 498 5 有兩箱同類型的零件 第一箱裝 50 只 其中 10 只一等品 第二箱 裝 30 只 其中 18 只一等品 今從兩箱中任意挑出一箱 然后從該箱中取 零件兩次 每次任取一只 做不放回抽樣 求 第一次取到的零件是一等 品的概率 第一次取到的零件是一等品的條件下 第二次取到的也是一 等品的概率 四 四 1 選擇題 可能不止一個選項 對于事件A與B 以下命題正確的是 a若BA 互不相容 則BA 也互不相容 b若BA 相容 則BA 也相容 c若BA 獨立 則BA 也獨立 d若BA 對立 則 BA 也對立 若事件A與B獨立 且0 0 BPAP 則 成立 BPABPa APBAPb BAc 相容 BAd 不相容 2 知CBA 互相獨立 證明CBA 也互相獨立 3 設(shè)CBA 為互相獨立的事件 求證BAABBA U都與C獨立 4 一射手對同一目標進行四次獨立的射擊 若至少射中一次的概率為 81 80 求此射手每次射擊的命中率 5 甲 乙 丙三人同時各用一發(fā)子彈對目標進行射擊 三人各自擊中目 標的概率分別是 0 4 0 5 0 7 目標被擊中一發(fā)而冒煙的概率為 0 2 被擊 中兩發(fā)而冒煙的概率為 0 6 被擊中一發(fā)則必定冒煙 求目標冒煙的概率 6 袋中有a個黑球 b個白球 甲 乙 丙三人依次從袋中取出一個球 取后不放回 分別求出他們各自取到白球的概率 7 甲 乙 丙三個炮兵陣地向目標發(fā)射的炮彈數(shù)之比為 1 7 2 而 各地每發(fā)炮彈命目標的概率分別為 0 05 0 1 0 2 現(xiàn)在目標已被擊毀 試求目標是被甲陣地擊毀的概率 第二章 隨機變量及其分布 一 第二章 隨機變量及其分布 一 1 填空題 當 c 時 2 1 NkNckXPL 是隨機變量X的概率分布 當 c 時 2 1 1 NkNckYPL 是隨機變量Y的概率分布 當 c 時 0 2 1 LkkakYP k 是隨機變量Y的概率 分布 設(shè)某射手對某一目標進行獨立射擊 每次射擊的命中率均為p 若以X表示 射 擊 進 行 到 擊 中 目 標 為 止 時 所 需 的 射 擊 次 數(shù) 則X的 分 布 律 為 進行重復獨立試驗 設(shè)每次試驗成功的概率均為 3 4 用X表示直到試驗獲 得成功所需的試驗次數(shù) 則X的分布律為 把一枚質(zhì)量均勻的硬幣獨立地拋擲n次 以X表示此n次拋擲中落地后正面 朝上的次數(shù) 則X的分布律為 2 只同類型的零件中有 只次品 現(xiàn)在從中取 次 每次取 只 取 后不放回 以X表記取出的 只中的次品數(shù) 求X的分布律與分布函數(shù) 3 袋中有 6 個球 其中三個球上各印有 1 個點 兩個球上各印有 2 個點 一個球上印有 3 個點 從此袋中隨機地取出 3 個球 并以X表記取出的三個球 上點數(shù)之和 試求隨機變量X的分布律與分布函數(shù)及以下概率 64 64 64 64 XPXPXPXP 二 二 1 以下函數(shù)能否成為某隨機變量的概率密度 它其 0 0 cos 2 1 xx xf 它其 0 22 cos xx xf 它其 0 2 2222 yxyx xf 2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為 4 0 0 4 0 x xkx xf 試求 1 常數(shù)k 2 X的分布函數(shù) 3 概率 3 XP 3 設(shè)隨機變量X的概率密度為 它其 0 2 0 sin xxA xf 試求 1 常數(shù)A 2 X的分布函數(shù) 3 概率 4 4 XP 4 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為 0 0 0 x xeb xF x 試求 常數(shù)b 概率密度 xf 3ln2 ln xP 三 三 1 設(shè)隨機變量X的分布律如右 求 1 XU XV2 2 XW 的分布律 X1 p 0 4 0 3 0 2 0 1 2 已知隨機變量X的概率密度為 2 1 x x exf 求X的函數(shù)YX 2 的概率密度 3 設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X 以分計 服從參數(shù)為2 0 的指數(shù)分布 某顧客在窗口等待服務(wù) 若超過 分鐘 他就離開 他一個月 要到銀行 次 以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開的次數(shù) 寫出Y的分布 律 并求 1 YP 第三章 多維隨機變量及其分布 一 第三章 多維隨機變量及其分布 一 1 若隨機變量YX 獨立 分布函數(shù)分別為 yFxF YX 則 YX 的聯(lián)合 分布函數(shù)為 a a yFxFyxF YX b b yFxFyxF YX c c yFxFyxF YX d d yFxFyxF YX 2 設(shè)二維隨機變量 X Y取數(shù)組 1 2 1 0 1 3 1 2 1 3 0 1 的概 率分別為 a b 1 3 1 6 試求 X Y的聯(lián)合分布律 確定常數(shù) a 和 b 使X和Y相互獨立 X Y分別關(guān)于X和Y的邊緣分布律 3 甲 乙兩人獨立地各進行兩次射擊 假設(shè)甲的命中率為 0 2 乙的命中 率為 0 5 以 X Y 分別表示甲 乙的命中次數(shù) 試求 X Y 的聯(lián)合分布律 二 二 1 設(shè) X Y 為二維隨機變量 其聯(lián)合概率密度為 其它 1 0 0 yxcxy yxf 試求 1 常數(shù) c 2 P X 0 5 Y 0 7 P X 0 5 P Ya 已知 P A B 7 9 求常數(shù) a 3 設(shè)某班車起點站上車人數(shù) X 服從參數(shù)為 0 的泊松分布 每位乘客 在中途下車的概率為 p 0 p 1 乘客中途下車與否相互獨立 以 Y 表示在中途 下車的人數(shù) 求 1 在發(fā)時有 n 個乘客的條件下 中途有 m 人下車的概率 2 二維隨機變量 X Y 的概率分布 4 設(shè)隨機變量 X Y 相互獨立 X 具有概率密度 其它0 102 xx xf Y 服從 0 1 內(nèi)的均勻分布 試求 Z X Y 的概率密度函數(shù) 5 設(shè)隨機變量 X 與 Y 相互獨立 其概率密度分別為 00 0 2 2 1 x x x e x X f 0 0 0 2 2 x xe xf x 則 EX 2 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立 且都服從參數(shù)為25 0 p的兩點分布 并記 Z 不取奇數(shù) 取奇數(shù) YX YX 0 1 則X與Z的聯(lián)合分布為 Z的期望 EZ 3 游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光 電梯于每個整點的 5 分鐘 25 分鐘和 55 分鐘從底層起行 假設(shè)一游客在早八點第X分鐘到達底層候梯 且 60 0 UX 求該游客等候時間的數(shù)學期望 4 某工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X 以年計 服從指數(shù)分布 其概率密 度為 0 0 0 4 1 4 x xe xf x 工廠規(guī)定 出售的設(shè)備在售出一年之內(nèi)可以調(diào)換 若工廠售出一臺設(shè)備贏利 100 元 調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費 300 元 試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學期 望 5 設(shè)隨機變量 21 X X互相獨立 且其概率密度分別為 0 0 0 2 2 1 x xe xf x 0 0 0 4 4 2 x xe xf x 試求 1 21 XXE 2 22 2 21 XXE 6 設(shè) YX在G上服從均勻分布 其中G由x軸 y軸及直線1 yx圍 成 求EX 23 YXE XYE 7 設(shè)隨機變量YX 相互獨立 且 1 0 2 1 NYNX 試求隨機變量 32 YXZ的概率密度函數(shù) 二 二 1 選擇題 1 擲一對均勻的骰子 其點數(shù)之和的方差為 2 概率密度為 0 0 0 2 2 x xe xf x 的隨機變量X的方差為 3 設(shè)X與Y的相關(guān)系數(shù) 0 則 a X與Y相互獨立 b X與Y不一定相關(guān) c X與Y必不相關(guān) d X與Y必相關(guān) 4 設(shè)隨機變量X與Y的期望和方差存在 且 DYDXYXD 則下列 說法哪個是不正確的 a DYDXYXD b EYEXXYE c X與Y不相關(guān) d X與Y獨立 2 填空題 1 設(shè)隨機變量 X 的分布函數(shù)為 1 1 11 arcsin 2 1 1 0 x xxb x xF 則 b DX 2 設(shè)隨機變量X與Y相互獨立 并且 2 DYDXEYEX 則 2 YXE 3 設(shè)隨機變量X取11 與的概率都是 0 5 那么X關(guān)于原點的前四階矩 1 2 3 4 4 設(shè)隨機變量X的數(shù)學期望 EX 方差 2 DX 則由契比雪夫不等式 有 3XP 35 6 d 12 35 c 6 91 b 6 35 a 4 1 d 8 1 c 4 b 2 1 a 3 設(shè)隨機變量X的概率密度為 2 1 RXexf x 求DX 4 一門大炮不斷地對目標進行轟擊 假定目標被擊中 3 次才能摧毀 且各 次轟擊相互獨立 在每次轟擊中擊中目標的概率是 2 3 規(guī)定在 5 次以內(nèi)轟擊 到摧毀目標為止 而轟擊 5 次后必停止 求總共轟擊次數(shù)的期望與方差 5 在每次試驗中 事件A發(fā)生的概率為 0 5 利用契比雪夫不等式估計 在 1000 試驗中 事件A發(fā)生的次數(shù) X 在 400 600 之間的概率 6 設(shè) YX是二維隨機變量 已知 34 3 20 2 22 EYEYEXEX 5 0 XY 試求 YXDYXD 7 已知隨機變量X與Y都服從二項分布 B 20 0 1 并且X與Y的相關(guān) 系數(shù) xy 0 5 試求 X Y 的方差及X與XY 2的協(xié)方差 8 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度是偶函數(shù) 且 TP 4 在天平上重復稱量一重為 a 的物品 假設(shè)各次稱量結(jié)果相互獨立且同服 從正態(tài)分布 2 0 2 N 若以 n X表示n次稱量結(jié)果的平均值 問n至少取多大 使得 5 0 1 0 i i XP 2 設(shè)總體 4 12 NX 54321 XXXXX 是來自X的樣本 求 樣本均值與總體值之差的絕對值大于1的概率 15 max 54321 XXXXXP 10 min 54321 XXXXXP 3 設(shè)總體 2 0 2 NX 4321 XXXX 是來自X的樣本 求 2 43 2 21 43 100 1 2 20 1 XXXXZ 證明統(tǒng)計量Z服從自由度為2的 2 分布 第七章第七章 參數(shù)估計參數(shù)估計 1 設(shè)總體X服從負指數(shù)分布 其概率密度函數(shù)為 試求 的矩估計量 2 使用同一測量儀器對同一值進行了12次獨立測量 其結(jié)果如下 232 50 232 48 232 15 232 53 232 45 232 30 232 48 232 05 232 45 232 60 232 47 232 30 試用矩估計法估計測量值的真值和方差 設(shè)儀器無系統(tǒng)誤差 3 設(shè)總體X服從幾何分布 它的分布律為 L 2 1 1 1 kppkXP k n XXX 21 L是來自總體X的樣本 求p的極大似然估計量和矩估計量 4 設(shè)總體X的概率密度為 其它 0 10 1 xx xf n XXX 21 L是來自總體X的樣本 求分別用矩估計法和極大似然估計法求 的估計量 5 設(shè)總體X服從正態(tài)分布 1 N 21 X X是從此總體中抽取的一個樣本 試驗證下面三個估計量 1 211 3 1 3 2 XX 2 212 4 3 4 1 XX 3 213 2 1 2 1 XX 都是 的無偏估計 并指出哪一個估計量有效 6 設(shè) n XXX 21 L和 m YYY 21 L分 別 為 來 自 正 態(tài) 總 體 2 1 N和 2 2 N的樣本 其中 2 1 2 2 已知 試求常數(shù)dc 使YdXc 為 的無偏 估計量 并使其方差最小 7 設(shè)參數(shù) 的無偏估計量為 其方差 D依賴于樣本容量n 若 0 lim D n 試證 是 的相合估計量 8 設(shè)總體 1021 2 xxxuNXL 為其樣本的觀測值 試求參數(shù)u的置信 度為0 95的置信區(qū)間 其中 4 22 2 10 1 i i xx 9 隨機地取某種炮彈9發(fā)作試驗 測得炮口速度的樣本標準差11 s 米 秒 設(shè)炮口速度X服從 2 N 求這種炮彈的炮口速度的標準差和方 差的95 的置信區(qū)間 10 設(shè)兩總體YX 64 1 NX 36 2 NY相互獨立 從X中抽 取75 1 n的樣本 x 82 從Y中抽取50 2 n的樣本 76 y 試求 21 的 95 的置信區(qū)間 11 設(shè)兩總體YX 2 11 NX 2 22 NY相互獨立 從X中抽 取25 1 n的樣本 從Y中抽取16 2 n的樣本 算得96 63 2 1 s 05 49 2 2 s 試求兩總體方差比 2 2 2 1 的90 的置信區(qū)間 12 假定每次試驗時 出現(xiàn)事件A的概率p相同但未知 如果在60次獨立 試驗中 事件A出現(xiàn)15次 試求p的置信度為95 的置信區(qū)間 13 從一批某種型號電子管中抽出容量為10的樣本 計算的標準差 小時 45 s 設(shè)整批電子管壽命服從正態(tài)分布 試求出這批電子管壽命的標 準差的置信度為95 的單側(cè)置信上限 第第 八八 章章 假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗 1 某工作人員在某一個星期里 曾經(jīng)接見訪問者12次 所有這12次的訪問 恰巧都是在星期二或星期四 試求該事件的概率 是否可斷定他只在星期二或星 期四接見訪問者 若12次訪問沒有一次是在星期日 是否可以斷言星期日他根本 不會客 2 已知某煉鐵廠鐵水含碳量服從正態(tài)分布N 4 55 0 1082 現(xiàn)在測定了9 爐鐵水 其平均含碳量為4 484 如果估計方差沒有變化 可否認為現(xiàn)在生產(chǎn)之鐵 水平均含碳量仍為4 55 05 0 a 3 有一批槍彈 出廠時 其初速 2 00 Nv 其中秒米 950 0 秒米 10 0 經(jīng)過較長時間儲存 取9發(fā)進行測試 得樣本值 單位 米 秒 如下 914 920 910 934 953 945 912 924 940 據(jù)檢驗 槍彈經(jīng)儲存 其初速v仍服從正態(tài)分布 且10 0 可認為不變 問是否可 認為這批槍彈的初速v顯著降低 025 0 4 設(shè)在木材中抽出100根 測其小頭直徑 得到樣本平均數(shù)為cmx2 11 已 知標準差cm6 2 0 問該批木料小頭的平均直徑能否認為是在12cm以上 05 0 5 從一批燈泡中抽取50個燈泡的隨機樣本 算得樣本平均數(shù)1900 x小時 樣本標準差490 S小時 以 1 的水平 檢驗整批燈泡的平均使用壽命是否 為2000小時 6 某種導線的電阻服從正態(tài)分布 005 0 2 N 今從新生產(chǎn)的一批導線中抽 取9根 測其電阻 得008 0 S歐姆 對于05 0 能否認為這批導線電阻的標準 差仍為0 005 7 兩廠生產(chǎn)同一產(chǎn)品 其質(zhì)量指標假定都服從正態(tài)分布 標準規(guī)格的為均 值等于120 現(xiàn)從甲廠抽出5件產(chǎn)品 測得其指標值為 119 120 119 2 119 7 119 6 從乙廠抽出5件產(chǎn)品 測得其指標值