連續(xù)介質(zhì)力學(xué)習(xí)題二.doc

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)習(xí)題二二變形與運(yùn)動(dòng)2-1 如果物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持任意兩點(diǎn)間的距離不變，則稱這樣的運(yùn)動(dòng)為剛體運(yùn)動(dòng)，試證：物體的運(yùn)動(dòng)若為剛體運(yùn)動(dòng)，則參考構(gòu)形中的物質(zhì)點(diǎn)變換到當(dāng)前構(gòu)形中的空間位置時(shí)，必滿足：，其中為正常正交仿射量。2-2 現(xiàn)取物質(zhì)坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系為同一個(gè)直角坐標(biāo)系，其單位基向量為，有一物體的變形為：，試寫出以下各量：1）變形梯度張量和變形梯度張量之逆；2）右，左Cauchy-Green張量；并計(jì)算和的三個(gè)主不變量；3）寫出和的特征方程，并求出三個(gè)特征值和相應(yīng)的特征方向和。4）試給出極分解中的左伸長(zhǎng)張量和正交張量的矩陣表示。X3X2X1x2x1x3題2-2圖XYaabb題2-3圖2-3 現(xiàn)取物質(zhì)坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系X，Y，Z，空間坐標(biāo)系為圓柱坐標(biāo)系，令z軸與Z軸重合，與X軸重合，圖示長(zhǎng)方體發(fā)生純彎曲，變形滿足，且存在逆關(guān)系：， ，試寫出以下各量：1）變形梯度張量和變形梯度張量之逆；2）右，左Cauchy-Green張量；并計(jì)算和的三個(gè)主不變量；3）寫出和的特征方程，并求出三個(gè)特征值和相應(yīng)的特征方向和。2-4 現(xiàn)取空間坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系，其單位基向量為，有一物體的小變形位移場(chǎng)為，試求：（1）P（0，2，-1）點(diǎn)的小應(yīng)變張量，小轉(zhuǎn)動(dòng)張量及其反偶矢量； （2）求P點(diǎn)在方向上的線應(yīng)變； （3）求P點(diǎn)在和二方向上的直角的變化量。2-5 現(xiàn)取物質(zhì)坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系為同一個(gè)直角坐標(biāo)系，其單位基向量為，有一物體的變形為，試證明：當(dāng)A,B,C很小時(shí)，此位移場(chǎng)僅為一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，并求出轉(zhuǎn)動(dòng)矢量。2-6 取物質(zhì)坐標(biāo)系和空間坐標(biāo)系為同一個(gè)直角坐標(biāo)系，其單位基向量為，有一物體的運(yùn)動(dòng)為：， ， 試求物質(zhì)和空間速度分量。2-7 對(duì)不可壓縮材料，試證Green應(yīng)變的跡滿足： ，故當(dāng)為小量時(shí)，為二階小量。2-8 試證：物體的運(yùn)動(dòng)為剛體運(yùn)動(dòng)的充要條件是變形率張量（Killing定理）。2-9試證物質(zhì)旋率的反偶矢量可寫為，其中和分別為隨體坐標(biāo)系中的逆變基和協(xié)變基。2-10 如果速度場(chǎng)為勢(shì)的梯度，即存在光滑標(biāo)量場(chǎng)，使得，試證有：，因此加速度場(chǎng)也是某勢(shì)函數(shù)的梯度。2-11 在Euler描述下，考慮速度滿足的定常流動(dòng)，其中為常仿射量，如果加速度場(chǎng)是勢(shì)函數(shù)的梯度，試證：（1）是對(duì)稱仿射量；（2）物質(zhì)旋率的反偶矢量滿足，其中為變形率張量。2-12 在習(xí)