山東省聊城市2019屆高三數(shù)學(xué)一模試題理（含解析）.docx

山東省聊城市2019屆高三一模數(shù)學(xué)（理）試題一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)的定義域?yàn)榧?，集合，則（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域?yàn)樵偾蟮媒?【詳解】由得即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查集合的交集的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.2.設(shè)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出z=1+2i,再求復(fù)數(shù)的虛部得解.【詳解】，復(fù)數(shù)的虛部為.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的加法和除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的虛部的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知向量，若，則的值為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求出，再利用求出的值.【詳解】故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量平行的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.4.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得到，求出q的值，再求的值.【詳解】由題得 化為：解得則.故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.5.AQI是表示空氣質(zhì)量的指數(shù),AQI指數(shù)值越小,表明空氣質(zhì)量越好,當(dāng)AQI指數(shù)值不大于100時稱空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”.如圖是某地4月1日到12日AQI指數(shù)值的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),圖中點(diǎn)A表示4月1日的AQI指數(shù)值為201,則下列敘述不正確的是()A. 這12天中有6天空氣質(zhì)量為“優(yōu)良”B. 這12天中空氣質(zhì)量最好的是4月9日C. 這12天的AQI指數(shù)值的中位數(shù)是90D. 從4日到9日,空氣質(zhì)量越來越好【答案】C【解析】由圖可知,不大于100天有6日到11日,共6天,所以A對,不選. 最小的一天為10日,所以B對,不選.中位為是,C錯.從圖中可以4日到9日越來越小,D對.所以選C.6.設(shè)函數(shù)，若對于任意的，都有，則（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化簡已知得，由得x=是函數(shù)f(x)的對稱軸，得再求【詳解】由得x=是函數(shù)f(x)的對稱軸，得故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查三角函數(shù)求值，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.7.如圖，圓柱的軸截面為正方形，為弧的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接則異面直線與所成角即為，再利用余弦定理求得解.【詳解】取的中點(diǎn)，連接設(shè)則所以連接因?yàn)樗援惷嬷本€與所成角即為在中故選【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成角的計(jì)算，考查余弦定理，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.8.設(shè)函數(shù)，若為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由為奇函數(shù)得到，再分析得到函數(shù)在上為減函數(shù)且在上減函數(shù)且，又由則則有，即不等式的解集為【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，則即解可得則.又由在為增函數(shù)，其，則在上為減函數(shù)且則在上減函數(shù)且，又由則則有，即不等式的解集為故選： 【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知圓的半徑為，在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則過點(diǎn)的所有弦的長度都大于的概率為（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先分析得到點(diǎn)落在以為圓心，以為半徑的圓內(nèi)，再利用幾何概型求解.【詳解】如果過點(diǎn)的所有弦的長度都大于，則 則點(diǎn)落在以為圓心，以為半徑的圓內(nèi)，由幾何概型概率可得，過點(diǎn)的所有弦的長度都大于的概率為故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查圓和幾何概型的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.10.數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有如下問題：“今有芻甍（mng），下廣三丈，袤（mo）四丈；上袤二丈，無廣；高一丈，問：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬丈，長丈；上棱長丈，高丈，問它的體積是多少？”現(xiàn)將該楔體的三視圖給出，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為丈，則該楔體的體積為（單位：立方丈）（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先找到三視圖對應(yīng)的幾何體原圖，再求組合體的體積得解.【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是三棱柱，截去兩個三棱錐，如圖所示；結(jié)合圖中數(shù)據(jù)，計(jì)算該幾何體的體積為（立方丈）.【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖找?guī)缀误w原圖，考查組合體的體積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為為左支上的一個動點(diǎn)，若周長的最小值等于實(shí)軸長的倍，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先通過分析得到當(dāng)且僅當(dāng)共線，周長取得最小值，且為 可得解方程即得解.【詳解】由題意可得設(shè)由雙曲線的定義可得， 則的周長為當(dāng)且僅當(dāng)共線，取得最小值，且為由題意可得即，即則故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質(zhì)，考查雙曲線的離心率的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.12.已知函數(shù)若關(guān)于的方程無實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】關(guān)于的方程無實(shí)根等價于函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)，設(shè)直線與切與點(diǎn)求出切線方程為：由圖知函數(shù)的圖象與直線 無交點(diǎn)時實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù)的取值范圍為【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)所以關(guān)于的方程無實(shí)根等價于函數(shù)的圖象與直線無交點(diǎn)，設(shè)直線與切與點(diǎn)由由已知有：解得，則則切線方程為：由圖知：函數(shù)的圖象與直線 無交點(diǎn)時實(shí)數(shù)的取值范圍為實(shí)數(shù)的取值范圍為故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.二、填空題（本大題共4個小題，每題5分，共20分）13.若滿足約束條件，則的最大值為_【答案】14【解析】【分析】畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，再利用數(shù)形結(jié)合分析得解.【詳解】畫出約束條件表示的平面區(qū)域如圖所示，由圖形知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A時取得最大值，由解得代入計(jì)算，所以的最大值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線性規(guī)劃解答最值問題，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和數(shù)形結(jié)合分析推理能力.14.某校舉行“我愛我的祖國”征文比賽，從名獲得一等獎的同學(xué)中選出名同學(xué)發(fā)表獲獎感言，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，則不同發(fā)言順序的種數(shù)為_（用數(shù)字作答）【答案】96【解析】【分析】第一步：先選人，甲、乙至少有一人參加，有第二步，將人排序，有再利用乘法分步原理即得解.【詳解】第一步：先選人，甲、乙至少有一人參加，用間接法，有第二步，將人排序，有故不同發(fā)言順序的種數(shù)為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的前項(xiàng)的和等于_【答案】【解析】【分析】先利用項(xiàng)和公式求出n+1,再利用裂項(xiàng)相消法求和得解.【詳解】可得 時，上式對也成立，所以n+1,則前14項(xiàng)的和為 故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消法求和，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.16.拋物線的焦點(diǎn)為，動點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時，直線的方程為_【答案】或【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為求出，再計(jì)算得到，再利用基本不等式求出最小值及此時直線的方程得解.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時點(diǎn)坐標(biāo)為或，此時直線的方程為即或故答案為：或【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)和基本不等式，考查直線方程的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟第1721題為必考題，每一個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在梯形中，求；若求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)則，由余弦定理可得，解可得.由余弦定理可得（2），在中由余弦定理可得BC的值.【詳解】（1）設(shè)則，由余弦定理可得解可得，.由余弦定理可得，； 在中，由余弦定理可得，【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.在三棱柱中，平面平面， 證明：；求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）見解析； （2）【解析】【分析】(1)先證明平面（2）以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值為【詳解】(1)在三棱柱中，平面 平面，平面平面平面 以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量則，取得，設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查空間幾何元素位置關(guān)系的證明，考查空間線面角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化分析推理計(jì)算能力.19.已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)都在橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，求直線的方程；證明：平行四邊形的面積為定值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】(1)先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再利用點(diǎn)差法求得再寫出直線MN的方程得解；（2）設(shè)直線的方程為：與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)，先利用弦長公式求出，再求出點(diǎn)到直線的距離為， .【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，四邊形為平行四邊形，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，兩式相減可得，即，直線的方程為，即，證明設(shè)直線的方程為：與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)，將其代入得，即，又 ， ，四邊形為平行四邊形點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)在橢圓上，整理得 點(diǎn)到直線的距離為， 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓的弦長的計(jì)算和面積定值問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.20.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過的包裹收費(fèi)元；重量超過的包裹，除收費(fèi)元之外，超過的部分，每超出（不足時按計(jì)算）需再收元公司從承攬過的包裹中，隨機(jī)抽取件，其重量統(tǒng)計(jì)如下：公司又隨機(jī)抽取了天的攬件數(shù)，得到頻數(shù)分布表如下：以記錄的天的攬件數(shù)的頻率作為各攬件數(shù)發(fā)生的概率計(jì)算該公司天中恰有天攬件數(shù)在的概率；估計(jì)該公司對每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的用做其他費(fèi)用，目前前臺有工作人員人，每人每天攬件不超過件，每人每天工資元，公司正在考慮是否將前臺工作人員裁減人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對提高公司利潤有利？（同一組中的攬件數(shù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)值作代表）【答案】（1）； （2）該公司對每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為元；（3）公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利【解析】【分析】樣本中包裹件數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為，頻率為，可估計(jì)概率為，未來天中包裹件數(shù)在間的天數(shù)，故所求概率為；（2）先列出樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)表，再利用平均數(shù)的公式求快遞費(fèi)的平均值；（3）先求出若不裁員，公司平均每日利潤的期望值為（元），再求出若裁減人，公司平均每日利潤的期望值為（元），因故公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利.【詳解】樣本中包裹件數(shù)在內(nèi)的天數(shù)為，頻率為，可估計(jì)概率為，未來天中，包裹件數(shù)在間的天數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即，故所求概率為；樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為（元），故該公司對每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為元（3）根據(jù)題意及，攬件數(shù)每增加，可使前臺工資和公司利潤增加（元），將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得若不裁員，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）；若裁員人，則每天可攬件的上限為件，公司每日攬件數(shù)情況如下：故公司平均每日利潤的期望值為（元）因故公司將前臺工作人員裁員人對提高公司利潤不利【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的計(jì)算，考查平均值和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計(jì)算能力.21.已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；設(shè)，若不相等的兩個正數(shù)滿足，證明：【答案】（1）見解析； （2）見解析.【解析】【分析】(1)對a分和a0討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（2）得 ，再求出 ，不妨設(shè)，則，轉(zhuǎn)化為證明，令，再證明即得證.【詳解】 ，當(dāng)時，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， ， ，不妨設(shè)，則，所以只要證，令，t，在上單調(diào)遞減，【點(diǎn)睛】本題主要考利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值和證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.(二)選考題:共10分,請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做,則按所做的第一題計(jì)分.22.在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），傾斜角為的直線經(jīng)過點(diǎn)求曲線的普通方程和直線的參數(shù)方程；若直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn)，求的最大值【答案】（1）曲線的普通方程為，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）； （2）.【解析】【分析】由消去得，所以曲線的普通方程為，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）；（2）將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入到中并整理得： ，再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求出，再利用基本不等式求解.【詳解】由消去得，所以曲線的普通方程為，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），將直線的參數(shù)方程（為參數(shù)）代入到中并整理得： ，設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，同號 ，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等），的最大值為： 【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的參數(shù)方程，考查普通方程和參數(shù)方程的互化，考查直線參數(shù)方程t的幾何意義，考