河南省洛陽市第二外國語學校高考數學 闖關密練特訓《97用向量方法證明平行與垂直》試題 理 新人教A版.doc

河南省洛陽市第二外國語學校2013屆高考數學 闖關密練特訓9-7用向量方法證明平行與垂直試題 理 新人教a版1.已知正方體abcda1b1c1d1中，e為側面cc1d1d的中心若zxy，則xyz的值為()a1b. c2d.答案c解析.xyz12.2若直線l的方向向量為a，平面的法向量為n，能使l的可能是()aa(1,0,0)，n(2,0,0)ba(1,3,5)，n(1，2,1)ca(0,2,1)，n(1,0，1)da(1，1,3)，n(0,3，1)答案b解析欲使l，應有na，na0，故選b.3二面角l等于60，a、b是棱l上兩點，ac、bd分別在半平面、內，acl，bdl，且abaca，bd2a，則cd的長等于()a.a b.a c2a da答案c解析如圖二面角l等于60，與夾角為60.由題設知，|a，|2a，|2|2|2|2|22224a2，|2a.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(4,5，x)，若a、b、c三向量共面，則|c|()a5 b6 c. d.答案c解析a、b、c三向量共面，存在實數、，使cab，(4，5，x)(2，4，32)，x5，|c|.5已知空間四邊形abcd的每條邊和對角線的長都等于a，點e、f分別是bc、ad的中點，則的值為()aa2 b.a2c.a2 d.a2答案c解析()()(a2cos60a2cos60)a2.故選c.6將邊長為1的正方形abcd沿對角線bd折成直二面角，若點p滿足，則|2的值為()a. b2c. d.答案d解析由題意，翻折后acabbc，abc60，|2|2|2|2|2211cos601cos451cos45.7(2012河南六市聯(lián)考)如圖，在平行四邊形abcd中，0,2 2 24，若將其沿bd折成直二面角abdc，則三棱錐abcd的外接球的體積為_答案解析因為abbd，二面角abdc是直二面角，所以ab平面bcd，abbc，addc.故abc，adc均為直角三角形取ac的中點m，則mamcmdmb，故點m即為三棱錐abcd的外接球的球心由222422224，ac2，r1.故所求球的體積為v.8(2011金華模擬)已知點a(4,1,3)，b(2，5,1)，c為線段ab上一點且，則點c的坐標為_答案(，1，)解析c為線段ab上一點，存在實數0，使，又(2，6，2)，(2，6，2)，(，2，)，c(，1，)9.如圖，正方體abcda1b1c1d1的棱長為1，e、f分別是棱bc、dd1上的點，如果b1e平面abf，則ce與df的和的值為_答案1解析以d1為原點，直線d1a1、d1c1、d1d為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則a(1,0,1)，b(1,1,1)，b1(1,1,0)，設dft，cek，則d1f1t，f(0,0,1t)，e(k,1,1)，要使b1e平面abf，易知abb1e，故只要b1eaf即可，(1,0，t)，(k1,0,1)，1kt0，kt1，即cedf1.10.(2012天津調研)如圖，四棱錐pabcd中，pa平面abcd，pb與底面所成的角為45，底面abcd為直角梯形，abcbad90，pabcad1.(1)求證：平面pac平面pcd；(2)在棱pd上是否存在一點e，使ce平面pab？若存在，請確定e點的位置；若不存在，請說明理由解析(1)證明：pa平面abcd，pb與平面abcd所成的角為pba45.ab1，由abcbad90，易得cdac，accd.又pacd，paaca，cd平面pac，又cd平面pcd，平面pac平面pcd.(2)分別以ab、ad、ap為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系p(0,0,1)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，設e(0，y，z)，則(0，y，z1)，(0,2，1)，y(1)2(z1)0(0,2,0)是平面pab的法向量，又(1，y1，z)，ce平面pab.(1，y1，z)(0,2,0)0，y1.將y1代入，得z.e是pd的中點，存在e點使ce平面pab，此時e為pd的中點.能力拓展提升11.二面角的棱上有a、b兩點，直線ac、bd分別在這個二面角的兩個半平面內，且都垂直于ab.已知ab4，ac6，bd8，cd2，則該二面角的大小為()a150 b45 c60 d120答案c解析由條件知，0，0，.|2|2|2|2222624282268cos，11696cos，(2)2，cos，120，所以二面角的大小為60.12在棱長為1的正方體ac1中，o1為b1d1的中點求證：(1)b1d平面acd1；(2)bo1平面acd1.證明建立如圖所示的空間直角坐標系，由于正方體的棱長為1，則b(1,0,0)，o1(，1)，d1(0,1,1)，c(1,1,0)，d(0,1,0)，b1(1,0,1)，(1,1，1)，(0,1,1)，(1,1,0)，(，1)(1)0，0，與不共線，平面acd1，b1d平面acd1.(2)0，平面acd1.又bo1平面acd1，bo1平面acd1.點評第(2)問還可以通過證明(其中o為ac中點)證明13在四棱錐pabcd中，pd底面abcd，底面abcd為正方形，pddc，e、f分別是ab、pb的中點(1)求證：efcd；(2)在平面pad內求一點g，使gf平面pcb，并證明你的結論解析(1)證明：pd底面abcd，四邊形abcd是正方形，ad、dc、pd兩兩垂直，如圖，以da、dc、dp所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設ada，則d(0,0,0)、a(a,0,0)、b(a，a,0)、c(0，a,0)、e(a，0)、p(0,0，a)、f(，).(，0，)，(0，a,0)0，即efcd.(2)設g(x,0，z)，則(x，z)，若使gf平面pcb，則由(x，z)(a,0,0)a(x)0，得x；由(x，z)(0，a，a)a(z)0，得z0.g點坐標為(，0,0)，即g點為ad的中點14(2011?？谡{研)在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，pad是等邊三角形，底面abcd是邊長為2的菱形，bad60，e是ad的中點，f是pc的中點(1)求證：be平面pad；(2)求證：ef平面pab；(3)求直線ef與平面pbe所成角的余弦值解析解法一：(1)e是ad中點，連接pe，ab2，ae1.be2ab2ae22abaecosbad41221cos603.ae2be2134ab2，beae.又平面pad平面abcd，交線為ad，be平面pad.(2)取pb中點為h，連接fh，ah，ae綊bc，又hf是pbc的中位線，hf綊bc，ae綊hf，四邊形ahfe是平行四邊形，efah，又ef平面pab，ah平面pab，ef平面pab.(3)由(1)知，bcbe，pebc，又pe，be是平面pbe內兩相交直線，bc平面pbe，又由(2)知，hfbc，hf平面pbe，feh是直線ef與平面pbe所成的角，易知bepe，在rtpeb中，eh，tanfeh，cosfeh.故直線ef與平面pbe所成角的余弦值為.解法二：容易證明ep，ea，eb兩兩垂直，建立空間直角坐標系exyz如圖易求bepe，則e(0,0,0)，a(1,0,0)，b(0，0)，c(2，0)，d(1,0,0)，p(0,0，)，因為f是pc的中點，則f(1，)(1)010000，即ebea，00000，即ebep，ea，ep是平面pad內的兩相交直線，eb平面pad.(2)取pb中點為h，連接fh，ah，則h(0，)，(1，)，(0，)(1,0,0)(1，)，又ef平面pab，ah平面pab，ef平面pab.(3)y軸平面pbe，z軸平面pbe，平面pbe的法向量為n(1,0,0)，(1，)，設直線ef與平面pbe所成角為，sin，cos，故直線ef與平面pbe所成角的余弦值為.15(2012遼寧理，18)如圖，直三棱柱abcabc，bac90，abacaa，點m、n分別為ab和bc的中點(1)證明：mn平面aacc；(2)若二面角amnc為直二面角，求的值解析(1)連結ab，ac，由已知bac90，abac，三棱柱abcabc為直三棱柱，所以m為ab中點又因為n為bc的中點，所以mnac.又mn平面aacc，ac平面aacc，因此mn平面aacc.(2)以a為坐標原點，分別以直線ab、ac、aa為x軸、y軸、z軸建立直角坐標系oxyz，如圖所示設aa1，則abbc，于是a(0,0,0)，b(，0,0)，c(0，0)，a(0,0,1)，b(，0,1)，c(0，1)，所以m(，0，)，n(，1)設m(x1，y1，z1)是平面amn的法向量，由得可取m(1，1，)設n(x2，y2，z2)是平面mnc的法向量由得可取n(3，1，)因為amnc為直二面角，所以mn0.即3(1)(1)20，解得.1在正三棱柱abca1b1c1中，h、f分別為ab、cc1的中點，各棱長都是4.(1)求證ch平面fa1b.(2)求證平面abb1a1平面fa1b.(3)設e為bb1上一點，試確定e的位置，使hebc1.解析在正三棱柱中，h為ab中點，chab，過h作hmab交a1b1于m，分別以直線ab、hc、hm為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則b(2,0,0)，c(0，2，0)，f(0,2，2)，a(2,0,0)，a1(2,0,4)，c1(0，2，4)(1)(0,2，0)，(2，2，2)，(2，2，2)，()，與不共線，平面fa1b，hc平面fa1b，hc平面fa1b.(2)平面abb1a1的一個法向量為n1(0,2，0)，設平面fa1b的一個法向量n(x，y，z)，則令x1得n(1,0,1)，nn10，nn1，平面abb1a1平面fa1b.(3)e在bb1上，設e(2,0，t)，(t0)，則(2,0，t)，(2,2，4)，hebc1，44t0，t1，e是bb1上靠近b點的四等分點(或bebb1)2如圖，已知矩形abcd，pa平面abcd，m、n、r分別是ab、pc、cd的中點求證：(1)直線ar平面pmc；(2)直線mn直線ab.解析證法1：(1)連接cm，四邊形abcd為矩形，crrd，bmma，cmar，又ar平面pmc，ar平面pmc.(2)連接mr、nr，在矩形abcd中，abad，pa平面ac，paab，ab平面pad，mrad，nrpd，平面pda平面nrm，ab平面nrm，則abmn.證法2：(1)以a為原點，ab、ad、ap所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設aba，adb，apc，則b(a,0,0)，d(0，b,0)，p(0,0，c)，c(a，b,0)，m、n、p分別為ab、pc、cd的中點，m(，0,0)，n(，)，r(，b,0)，(，b,0)，(，0，c)，(，b,0)，設，armc，ar平面pmc，ar平面pmc.(2)(0，)，(a,0,0)，0，mnab.3(2012天津理，17)如圖，在四棱錐pabcd中，pa平面abcd，acad，abbc，bac45，paad2，ac1.(1)證明：pcad；(2)求二面角apcd的正弦值；(3)設e為棱pa上的點，滿足異面直線be與cd所成的角為30，求ae的長分析因為acad，pa平面abcd，故以a為原點建立空間直角坐標系，寫出a、b、c、d、p的坐標(1)運用0證明pcad；(2)先求兩平面apc與平面dpc的法向量夾角的余弦值，再用平方關系求正弦值；(3)將異面直線所成的角通過平移轉化成向量與的夾角，利用向量夾角公式列等式解析如圖，以點a為原點建立空間直角坐標系，依題意得a