中考數(shù)學(xué)壓軸題解題技巧.doc

中考數(shù)學(xué)壓軸題解題技巧數(shù)學(xué)壓軸題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋知識面最廣，綜合性最強(qiáng)的題型。綜合近年來各地中考的實(shí)際情況，壓軸題多以數(shù)學(xué)綜合題的形式出現(xiàn)，常見題型有兩類：函數(shù)型壓軸題和幾何形壓軸題。壓軸題考查知識點(diǎn)多，條件也相當(dāng)隱晦，這就要求學(xué)生有較強(qiáng)的理解問題、分析問題、解決問題的能力，對數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)方法有較強(qiáng)的駕馭能力，并有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力，當(dāng)然，還必須具有強(qiáng)大的心理素質(zhì)。下面從知識角度和技術(shù)角度談?wù)勚锌紨?shù)學(xué)壓軸題的解題技巧。先以2009年河南中考數(shù)學(xué)壓軸題為例：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.拋物線y=ax2+bx過A、C兩點(diǎn). (1)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.過點(diǎn)P作PEAB交AC于點(diǎn)E.過點(diǎn)E作EFAD于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G.當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長?連接EQ在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得CEQ是等腰三角形?請直接寫出相應(yīng)的t值.這是一道函數(shù)型壓軸題。函數(shù)型壓軸題主要有：幾何與函數(shù)相結(jié)合型、坐標(biāo)與幾何、方程與函數(shù)相結(jié)合型。這些壓軸題主要以函數(shù)為主線，涉及函數(shù)的圖象、方程、點(diǎn)的坐標(biāo)及線段長度、圖形面積等問題。先從知識角度來分析：（1）通過觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)，直線AD和軸平行，直線AB和軸平行，因此，A點(diǎn)與D點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，A點(diǎn)與B的橫坐標(biāo)相同，因此A的坐標(biāo)為（4,8）.知道了點(diǎn)A的坐標(biāo)，加上已知條件點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法很容易可以求出拋物線的解析式。此問在本題中占3分，解決此問的關(guān)鍵在于：多角度、全方位觀察圖形；熟練掌握待定系數(shù)法求拋物線解析式。（2）這是個(gè)動(dòng)態(tài)的問題，解決動(dòng)態(tài)問題的一個(gè)根本方法就是化動(dòng)為靜，動(dòng)靜結(jié)合。先看第一小問，當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長?我們通過觀察圖形，很容易能夠發(fā)現(xiàn)t的變化，會(huì)導(dǎo)致點(diǎn)P位置的變化，點(diǎn)P位置的變化會(huì)引起點(diǎn)E位置的變化，而E點(diǎn)位置的變化直接決定了線段EF位置和長度的變化，而線段EF位置和長度的變化決定了線段EG位置和長度的變化，我們看到，問題最終就是回歸到線段EG的長度之上。如果把整個(gè)這個(gè)變化的過程當(dāng)作是一個(gè)事件來看的話，事件的起因就是t的變化，而事件的結(jié)果就是線段EG的長度發(fā)生變化。換句話說就是因?yàn)閠的變化導(dǎo)致線段EG長度的變化。那么我們就可以把這個(gè)變化過程中的t當(dāng)作自變量，線段EG的長度就是t的函數(shù)。因此，求當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長?實(shí)際上就是求函數(shù)取最大值時(shí)自變量的值。因此本問的關(guān)鍵就是如何求線段EG長關(guān)于t的函數(shù)。而求線段EG長關(guān)于t的函數(shù)，實(shí)際上就是把t看作是一個(gè)常數(shù)，求線段EG的長。通過觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)，求線段EG的長，可以通過求點(diǎn)E、G的縱坐標(biāo)求得，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)可以通過點(diǎn)P的縱坐標(biāo)求得，點(diǎn)G的縱坐標(biāo)需要通過點(diǎn)E的橫坐標(biāo)求得，而點(diǎn)E的橫坐標(biāo)可以通過求線段PE的長度求得。思路如下圖所示：當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長?求線段EG長關(guān)于t的函數(shù)函數(shù)的觀點(diǎn)求點(diǎn)E和點(diǎn)G的縱坐標(biāo)坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間距離求線段的長求點(diǎn)的橫坐標(biāo)求線段的長解決此問的關(guān)鍵是：體會(huì)問題中涉及到的函數(shù)思想，利用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題。（）在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，CEQ的形狀不斷在發(fā)生變化，如果CEQ是等腰三角形，需要分三種情況進(jìn)行討論，即點(diǎn)C、E、G分別可能是等腰三角形頂角的頂點(diǎn)。解決此問的關(guān)鍵是：體會(huì)CEQ形狀不斷變化的特點(diǎn)，能夠想到存在的情況可能有三種，然后分別去求三種情況所對應(yīng)的t的值。詳細(xì)解題過程如下：解：(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，8） 1分將A (4，8)、C（8，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y=ax2+bx 8=16a+4b 得 0=64a+8b 解 得a=-,b=4拋物線的解析式為：y=-x2+4x 3分（2）在RtAPE和RtABC中，tanPAE=,即=PE=AP=tPB=8-t點(diǎn)的坐標(biāo)為（4+t，8-t）.點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為：-（4+t）2+4(4+t）=-t2+8. 5分EG=-t2+8-(8-t) =-t2+t.-0，當(dāng)t=4時(shí)，線段EG最長為2. 7分共有三個(gè)時(shí)刻. 8分t1=， t2=，t3= 11分從技術(shù)角度來分析： 壓軸題的出現(xiàn)是為了讓參加中考的學(xué)生成績更有區(qū)分度，所以并不是每一個(gè)同學(xué)都可以把壓軸題完整地做出來的。所以我們告誡所有參加中考的同學(xué)，不要一味地把時(shí)間都花在壓軸題上，一定要保證選擇、填空萬無一失，前面的解答題盡可能的檢查一遍。如果時(shí)間還有剩余，再靜下心來攻克壓軸題，這是技術(shù)方面的一個(gè)考慮。壓軸題并不可怕，所以情緒上要積極自信，沒有必要驚慌失措。就本題而言，如何才能讓自己多拿一些分?jǐn)?shù)呢？）做一問是一問。第一問對絕大多數(shù)同學(xué)來說，不是問題；第二問的兩小問都有難度，但是細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)第二小問和第一小問沒有特別大的聯(lián)系，因此如果第一小問不會(huì)解，切忌不可輕易放棄第二小問。事實(shí)上中考有較多的壓軸題并不是每一問之間都有聯(lián)系。）過程會(huì)多少寫多少，因?yàn)閿?shù)學(xué)解答題是按步驟給分的，拿第二小問來說，大部分同學(xué)都知道有3個(gè)時(shí)刻，可是因?yàn)閷懖怀鰜硐鄳?yīng)的t值，因此就放棄不寫了，殊不知，你只要回答有3個(gè)時(shí)刻就可以多得1分。和2009河南中考壓軸題類似的中考題有很多，多數(shù)情況下類似第二問會(huì)有這樣的問題：記圖形中的某個(gè)變化三角形的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)，并求當(dāng)t取何值時(shí)s最大，s最大值是多少？涉及到等腰三角形的討論類似的情況有直角三角形的問題。比如：（2009年濟(jì)南中考題的最后一題的第三問）若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）過點(diǎn)D作交軸于點(diǎn)連接、設(shè)的長為，的面積為求與之間的函數(shù)關(guān)系式試說明是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由（2009年遼寧朝陽中考題最后一題第二問）將沿著垂直于軸的線段折疊，（點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在上，點(diǎn)不與，重合）如圖，使點(diǎn)落在軸上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，與重疊部分的面積為i）試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式（包括自變量的取值范圍）；ii）當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大值是多少？iii）是否存在這樣的點(diǎn)，使得為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.再以2009年江西中考數(shù)學(xué)壓軸題為例：如圖1，在等腰梯形中，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，.（1）求點(diǎn)到的距離；（2）點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作交于點(diǎn)，過作交折線于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè).當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖2），的形狀是否發(fā)生改變？若不變，求出的周長；若改變，請說明理由；ADEBFC圖4（備用）ADEBFC圖5（備用）ADEBFC圖1圖2ADEBFCPNM圖3ADEBFCPNM當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)（如圖3），是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由. 這是一道幾何型壓軸題。常見的幾何型壓軸題以常見的三角形、四邊形（如正方形、等腰梯形等）、圓等知識為考查重點(diǎn)，貫穿幾何、代數(shù)及三角函數(shù)等知識，以證明題、計(jì)算題出現(xiàn)。先從知識角度來分析：（1）求點(diǎn)到直線的距離，一般的方法就是過這個(gè)點(diǎn)向直線作垂線段，然后利用勾股定理或者是解直角三角形的方法求垂線段的長度。（2）通過觀察點(diǎn)N的不同位置，可以發(fā)現(xiàn)的形狀并不發(fā)生變化。不需要說明理由，然后分別去求三角形的三邊長，最終求出三角形的周長。線段PM的長實(shí)際上就是線段EG的長，第一問已經(jīng)求出來了，線段MN的長就是線段AB的長，問題復(fù)雜就復(fù)雜在求線段PN的長上，求線段的長，我們最容易想到也是最常用的方法還是構(gòu)造直角三角形，然后使用勾股定理，因此過點(diǎn)P作于。通過畫草圖，可以看到當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形。和2009河南中考壓軸題一樣，為等腰三角形需要討論三種情況。詳細(xì)解題過程如下：解：（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)1分圖1ADEBFCG為的中點(diǎn)，在中，2分即點(diǎn)到的距離為3分（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀不發(fā)生改變，同理4分如圖2，過點(diǎn)作于，圖2ADEBFCPNMGH則在中，的周長=6分當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀發(fā)生改變，但恒為等邊三角形當(dāng)時(shí)，如圖3，作于，則類似，7分是等邊三角形，此時(shí)，8分圖3ADEBFCPNM圖4ADEBFCPMN圖5ADEBF（P）CMNGGRG 當(dāng)時(shí)，如圖4，這時(shí)此時(shí)，當(dāng)時(shí)，如圖5，則又因此點(diǎn)與重合，為直角三角形此時(shí)，綜上所述，當(dāng)或4或時(shí)，為等腰三角形.10分從技術(shù)角度來分析基本同上，比如求的周長，即使算不出來線段PN的長，最起碼可以求出另外兩邊的長，只要形成過程，就會(huì)給分。類似出現(xiàn)“是否發(fā)生改變？若不變，求出；若改變，請說明理由.” “若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由.”這樣的情況，幾乎都是千篇一律，一定是存在的，因此回答“存在”就會(huì)得分。與之類似的幾何型壓軸題在2009年全國各地市中考卷中屢見不鮮。比如：（2009年廣西南寧市中考題第25題第三問）在圖13-2的邊上是否存在一點(diǎn)，使得四邊形是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由總結(jié)以上兩種類型壓軸題的做題技巧，可以歸納如下： （一）態(tài)度上的技巧有相當(dāng)一部分同學(xué)對自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況沒有一個(gè)完整的全面的認(rèn)識，考試的時(shí)候往往會(huì)把重心都放在壓軸題上，不管前面的題做的怎么樣，反正就是最后一題不做完誓不罷休，可是結(jié)果呢？鈴聲響過，不但最后一題沒寫出來，前面的填空、選擇連一個(gè)都沒檢查，“撿了西瓜丟了芝麻”這樣最初的想法也變成了“既丟芝麻又丟西瓜”的結(jié)果。所以，我們建議參加中考的同學(xué)們，在心中一定要給壓軸題一個(gè)時(shí)間上的限制，如果超過你設(shè)置的上限，必須要停止，回頭認(rèn)真檢查前面的題。檢查訂正完之后，如果時(shí)間還有節(jié)余，大可以好好思考壓軸題怎么做?！胺艞壱彩且环N美”，“舍得舍得，有舍才會(huì)有得”。（二）知識上的技巧解數(shù)學(xué)壓軸題一般可以分為三個(gè)步驟：認(rèn)真審題，理解題意、探究解題思路、正確解答。審題是解題的開始，也是解題的基礎(chǔ)。一定要全面審視題目的所有條件和答題要求，以求正確、全面理解題意，在整體上把握試題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu)，以利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計(jì)。解數(shù)學(xué)壓軸題必須要有科學(xué)的分析問題的方法，要善于總結(jié)解數(shù)學(xué)壓軸題中所隱含的重要數(shù)學(xué)思想，如轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及方程的思想等。破除模式化、力求創(chuàng)新是近幾年中考數(shù)學(xué)試題的顯著特點(diǎn)，解答題體現(xiàn)得尤為突出，因此，切忌套用機(jī)械的模式尋求解題思路和方法，而應(yīng)從各個(gè)不同的側(cè)面、不同的角度，識別題目的條件和結(jié)論，認(rèn)識條件和結(jié)論之間的關(guān)系、圖形的幾何特征與數(shù)、式的數(shù)量、結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，謹(jǐn)