三階系統(tǒng)綜合分析與設(shè)計.doc

課程設(shè)計任務(wù)書課程設(shè)計任務(wù)書 學(xué)生姓名 學(xué)生姓名 專業(yè)班級 專業(yè)班級 指導(dǎo)教師 指導(dǎo)教師 工作單位 工作單位 自動化學(xué)院自動化學(xué)院 題題 目目 三階系統(tǒng)綜合分析與設(shè)計三階系統(tǒng)綜合分析與設(shè)計 初始條件 初始條件 某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖 1 所示 4 2 sss K sR sC 8 25 ss sR sC 0 e M 4 2 sss K 圖 1 圖 2 要求完成的主要任務(wù)要求完成的主要任務(wù) 包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求 以及說明書撰寫等具體 要求 1 試繪制隨根軌跡 2 當 6 為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時 K 3 求取主導(dǎo)極點阻尼比為 0 7 時的 K 值 以下取這個值 4 分別求取位置誤差系數(shù) 速度誤差系數(shù) 加速度誤差系數(shù)及輸入信號為 單位階躍信號 斜坡信號及單位加速度信號時的穩(wěn)態(tài)誤差 2 2 1 ttttr 5 用 Matlab 繪制單位階躍相應(yīng)曲線 6 繪制 Bode 圖和 Nyquist 曲線 求取幅值裕度和相角裕度 7 如在比較點與開環(huán)傳遞函數(shù)之間加 1 個非線性環(huán)節(jié) 如圖 2 所示 其中 試求取非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù) 并根據(jù)負倒描述函數(shù)和7 1 7 0 0 Me Nyquist 圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 8 認真撰寫課程設(shè)計報告 時間安排 時間安排 任務(wù)時間 天 審題 查閱相關(guān)資料 1 分析 計算 1 5 編寫程序 1 撰寫報告 1 論文答辯 0 5 指導(dǎo)教師簽名 指導(dǎo)教師簽名 年年 月月 日日 系主任 或責任教師 簽名 系主任 或責任教師 簽名 年年 月月 日日 武漢理工大學(xué) 自動控制原理 課程設(shè)計說明書 目錄 摘要 1 1 設(shè)計意義及要求 2 1 1 設(shè)計意義 2 1 2 設(shè)計要求 2 2 設(shè)計過程 3 2 1 繪制根軌跡 3 2 1 1 理論計算 3 2 1 2 MATLAB 繪制根軌跡 4 2 2 極點 6 時的 K 值的求取 4 2 3 主導(dǎo)極點阻尼比為 0 7 時的 K 值求取 5 2 4 穩(wěn)態(tài)誤差 6 2 4 1 系統(tǒng)的誤差系數(shù)分析 6 2 4 2 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 6 2 5 用 MATLAB繪制單位階躍響應(yīng)曲線 6 2 6 繪制 BODE圖和 NYQUIST曲線 求取幅值裕度和相角裕度 7 2 6 1 繪制 Bode 圖 7 2 6 2 繪制 Nyquist 曲線 8 2 6 3 幅值裕度和相角裕度 9 2 7 系統(tǒng)加入非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析 9 2 7 1 非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)的求取 10 2 7 2 負倒描述函數(shù)的求取 11 2 7 3 系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)及原理 12 2 7 4 系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷 13 結(jié)束語 14 參考文獻 15 摘要摘要 自動控制原理 是為了培養(yǎng)學(xué)生統(tǒng)籌運用自動控制原理課程中所學(xué)的理論知識 掌握反饋控制系統(tǒng)的基本理論和基本方法 對工程實際系統(tǒng)進行完整的全面的分析和 綜合而開設(shè)的重要教學(xué)環(huán)節(jié) 此次課程設(shè)計可以鍛煉學(xué)生的動手能力和解決問題的原 因 把課本知識運用的實際中 同時也以更為自主創(chuàng)新的形式檢驗了學(xué)生對所學(xué)知識 的掌握程度 三階系統(tǒng)是以三級微分方程為運動方程的控制系統(tǒng) 在控制工程中 三階系統(tǒng)非 常普遍 其動態(tài)性能指標的確定是比較復(fù)雜 在工程上常用閉環(huán)主導(dǎo)極點的概念對三 級系統(tǒng)進行分析 或直接用 MATLAB 軟件進行高級系統(tǒng)分析 在課程設(shè)計中 我們不僅 要掌握用 MATLAB 繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡和和系統(tǒng)響應(yīng)曲線 用系統(tǒng)的閉環(huán)主導(dǎo)極點來估 算三階系統(tǒng)的動態(tài)性能 還要掌握 BODE 圖和 Nyquist 曲線的繪制 以及在比較點與開 環(huán)傳遞函數(shù)之間加一個非線性環(huán)節(jié)后用負倒描述函數(shù)和 Nyquist 曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定 性 關(guān)鍵字關(guān)鍵字 三階系統(tǒng) 閉環(huán)主導(dǎo)極點 MATLAB 1 設(shè)計意義及要求 1 1 設(shè)計意義 本次設(shè)計主要是讓學(xué)生將自動控制原理中所學(xué)的理論知識與實踐結(jié)合起來 對工程實 際系統(tǒng)進行完整全面分析和綜合 掌握利用 MATLAB 對控制理論進行分析 研究和仿 真技能 提高分析問題和解決問題的能力 本次的課程設(shè)計是對我們平時學(xué)習(xí)的理論 知識的一個檢驗 也是讓我們更加熟練的運用 MATLAB 軟件 更好的解決自動控制方 面的一些問題 1 2 設(shè)計要求 初始條件 初始條件 某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 4 2 sss K sR sC 8 25 ss sR sC 0 e M 4 2 sss K 圖 1 圖 2 要求完成的主要任務(wù)要求完成的主要任務(wù) 包括課程設(shè)計工作量及其技術(shù)要求 以及說明書撰寫等具體 要求 1 試繪制隨根軌跡 2 當 6 為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時 K 3 求取主導(dǎo)極點阻尼比為 0 7 時的 K 值 以下取這個值 4 分別求取位置誤差系數(shù) 速度誤差系數(shù) 加速度誤差系數(shù)及輸入信號 為單位階躍信號 斜坡信號及單位加速度信號時的穩(wěn) 2 2 1 ttttr 態(tài)誤差 5 用 Matlab 繪制單位階躍相應(yīng)曲線 6 繪制 Bode 圖和 Nyquist 曲線 求取幅值裕度和相角裕度 7 如在比較點與開環(huán)傳遞函數(shù)之間加 1 個非線性環(huán)節(jié) 如圖 2 所示 其 中 試求取非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù) 并根據(jù)負倒描述7 1 7 0 0 Me 函數(shù)和 Nyquist 圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性 8 認真撰寫課程設(shè)計報告 2 設(shè)計過程 2 1 繪制根軌跡 某單位反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 4 2 sss K sR sC 2 1 1 理論計算 1 根軌跡的起點和終點 根軌跡起于開環(huán)極點 包括無限極點 終于開環(huán)零點 包 括無限零點 根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可得 系統(tǒng)的開環(huán)極點分別為 0 2 4 開環(huán) 零點為無限遠 2 根軌跡的分支數(shù) n 3 m 0 所以分支數(shù)為 3 且它們是連續(xù)的并且對稱于實 軸 3 根軌跡在實軸上的分布 實軸上的某一個區(qū)域 若其右邊開環(huán)零 極點的個數(shù) 之和為奇數(shù) 則該區(qū)域必是根軌跡 因此實軸上 4 2 0 必為根軌跡 4 根軌跡的漸進線 漸近線與實軸的交點 2 即 mn zp m j j n i i a 11 與實軸的交點為 2 j0 與實軸的交角為 3 5 33 1212 k mn k a k 0 1 2 5 確定根軌跡的分離點 分離點的方程為 因此可以求得分0 4 1 2 11 ddd 離點 d 0 85 d 3 15 不合題意 舍去 6 根軌跡與虛軸的交點 由開環(huán)傳遞函數(shù)寫出系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為 0Kss 86s 23 將代入上式 可得實部方程為 虛部方程為 js 06 2 k 08 3 jj 解得 所以與虛軸的交點為 22 0 22 0jj 3 420 4822 k 2 1 2 MATLAB 繪制根軌跡 MATLAB 為繪制根軌跡編程如下 num 48 den 1 6 8 0 rlocus num den 繪制出的根軌跡如圖 1 所示 14 12 10 8 6 4 2024 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Root Locus Real Axis seconds 1 Imaginary Axis seconds 1 圖 1 閉環(huán)根軌跡 根據(jù)理論計算和 MATLAB 繪制的根軌跡示意圖 可以知道理論計算和 MATLAB 繪制 的根軌跡完全相符 從而可以知道所繪制的根軌跡是正確的 2 2 極點 6 時的 K 值的求取 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 086s 23 Kss 將閉環(huán)極點 s 6 代入方程式中 從而可以得到 所以當 6 為閉環(huán)系統(tǒng)的一個48 k 極點時 等于 48 k 2 3 主導(dǎo)極點阻尼比為 0 7 時的 K 值求取 當主導(dǎo)極點阻尼比為 0 7 時 先做出的等阻尼比線 使這條直線與負實軸7 0 方向的夾角為cos 此直線的斜率為 k tan 1 02 在 1 7 0cos 1 6 45 6 45 MATLAB 中畫出此直線 并能找到與根軌跡的交點 s 即是滿足的閉環(huán)主導(dǎo)極點 1 7 0 之一 編寫的此程序為 k 1 02 x 25 5 y k x plot x y hold on num 48 den 1 6 8 0 rlocus num den 25 20 15 10 505 30 20 10 0 10 20 30 Root Locus Real Axis seconds 1 Imaginary Axis seconds 1 圖2 由圖 2 我們可以得出 s 0 753 j0 768 由根軌跡的對稱性 可求得另一個極點為 1 0 753 j0 768 由幅值條件可知 閉環(huán)極點 s 對應(yīng)的根軌跡的增益為 2 s 1 K s s 2 s 4 0 753 j0 768 1 247 j0 768 3 247 j0 768 5 27 111 經(jīng)驗證 s 和滿足主導(dǎo)極點的條件 另一極點實部的模比主導(dǎo)極點實部的模大三倍 12 s 以上 不是主導(dǎo)極點 所以該系統(tǒng)可近似成一個由主導(dǎo)極點構(gòu)成的二階系統(tǒng)傳遞函數(shù) 為 對應(yīng)的系統(tǒng)的開環(huán)增益為 K K 8 0 66 r 2 4 穩(wěn)態(tài)誤差 2 4 1 系統(tǒng)的誤差系數(shù)分析 位置誤差系數(shù) 00 5 27 lim lim 2 4 ss KpG s H s s ss 速度誤差系數(shù) 00 5 27 lim lim0 66 2 4 ss KvsG s H ss s ss 加速度誤差系數(shù) 22 00 5 27 lim lim0 2 4 ss Kas G s H ss s ss 2 4 2 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析 當輸入為 r t 1 t 時 穩(wěn)態(tài)誤差為 e 11ss 當輸入為 r t 2t 時 穩(wěn)態(tài)誤差為 e 2 2ss 當輸入為 r t t 時 穩(wěn)態(tài)誤差為 e 3 2 3ss 則當輸入為 r t r t r t r t 時 總的穩(wěn)態(tài)誤差為 123 e e e e ss1ss2ss3ss 2 5 用 Matlab 繪制單位階躍響應(yīng)曲線 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 27 5 86 27 5 23 sss s 16 1s51 1 s 16 1 ssss ss s2s s 2 21 21 2 nn 2 2 n 0 1 1 1 1 p K 03 3 66 0 22 v K 0 22 a K 其分子系數(shù)為 5 27 分母系數(shù)分別為 1 6 8 5 27 利用 MATLAB 程序可編以下程序 num 5 27 den 1 6 8 5 27 step num den 在 MATLAB 程序中輸入此程序 運行后得到單位階躍響應(yīng)曲線如圖 3 所示 0123456789 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 Step Response Time seconds Amplitude 圖 3 單位階躍響應(yīng)曲線 2 6 繪制 Bode 圖和 Nyquist 曲線 求取幅值裕度和相角裕度 2 6 1 繪制 Bode 圖 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 SSs sG 86 27 5 23 其分子系數(shù)為 5 27 分母系數(shù)分別為 1 6 8 0 利用 MATLAB 程序可編以下程序 num 5 27 den 1 6 8 0 bode num den 在 MATLAB 程序中輸入此程序 運行后得到 Bode 圖如圖 4 所示 150 100 50 0 50 Magnitude dB 10 2 10 1 10 0 10 1 10 2 270 225 180 135 90 Phase deg Bode Diagram Frequency rad s 圖 4 Bode 圖 2 6 2 繪制 Nyquist 曲線 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 SSs sG 86 27 5 23 可得其分子系數(shù)其分子系數(shù)為 5 27 分母系數(shù)分別為 1 6 8 0 利用 MATLAB 程序 可編以下程序 num 5 27 den 1 6 8 0 nyquist num den 在 MATLAB 程序中輸入此程序 運行后得到 Nyquist 如圖 5 所示 其中 Nyquist 圖與實軸的交點 將代入開環(huán)傳遞函數(shù)中 令虛部等于 0 得到 js 2 83 此時曲線與負實軸的交點為 0 11 j0 1 0 9 0 8 0 7 0 6 0 5 0 4 0 3 0 2 0 10 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 Nyquist Diagram Real Axis Imaginary Axis 圖 5 Nyquist 曲線 2 6 3 幅值裕度和相角裕度 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 SSs sG 86 27 5 23 可得其分子系數(shù)其分子系數(shù)為 5 27 分母系數(shù)分別為 1 6 8 0 利用 MATLAB 程序可編以下程序 num 5 27 den 1 6 8 0 mag phase w bode num den gm pm margin mag phase w 在 MATLAB 程序中輸入此程序并運行后得到結(jié)果 相角裕度和幅值裕度分別為 63 8621pm 9 1082gm 2 7 系統(tǒng)加入非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性分析 2 7 1 非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)的求取 由下圖可知非線性環(huán)節(jié)為有死區(qū)的繼電特性 其描述函數(shù)的推導(dǎo)過程為 首先從死區(qū)與滯環(huán)繼電非線性環(huán)節(jié)分析 注意到滯環(huán)與輸入信號及其變化率的關(guān) 系 通過作圖法獲得如圖 6 所示 ty 8 25 ss sR sC 0 e M 4 2 sss K 輸出的數(shù)學(xué)表達式為 ty t tM t ty 2 21 1 0 0 0 mhh x y M 0 1 2 2 1 2 t 0 x 1 2 2 1 2 2 t 圖 6 死區(qū)滯環(huán)繼電特性和正弦響應(yīng)曲線 圖 6 中 由于非線性特性導(dǎo)致產(chǎn)生不同線性變化的區(qū)間端點為 ty A h arcsin 1 A mh arcsin 2 由圖 6 可見 為奇對稱函數(shù) 而非奇函數(shù) 由式 ty ttdtyB sin 2 0 1 ttdtyA cos 2 0 1 得到 1 2 cos 2 cos 22 1 0 1 m A Mh ttdMttdtyA 22 0 1 1 1 2 sin 2 sin 22 1A h A mhM ttdMttdtyB 死區(qū)滯環(huán)繼電特性的描述函數(shù)為 hAm A Mh j A h A mh A M AN 1 2 1 1 2 2 22 取 m 1 得死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為 hA A h A M AN 1 4 2 根據(jù)已知條件可得 代入上式中可得到此非線性系統(tǒng)的描述函數(shù) 7 0 0 eh7 1 M 22 7 0 1 8 6 1 4 AAA h A M AN 2 7 2 負倒描述函數(shù)的求取 由死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)為 hA A h A M AN 1 4 2 取 則 A h u 1 1 4 2 uuu h M uNAN 對求導(dǎo)數(shù) uN 2 2 2 2 2 1 214 1 1 4 u u h M u u u h M du udN 由極值條件的得解0 du udN 2 1 M m A h u 又當時 當時 故為 N A 的極大值點 m AAh 0 du udN m AA 0 du udN m A 極大值為 55 1 2 h M AN m 所以可得到負倒函數(shù)的極大值 65 0 1 m AN 負倒函數(shù)的極小值 1 1 NhN 負倒函數(shù)曲線如圖 7 所示 1 AN 0 11 0 65 AN 1 G j 0 圖 7 系統(tǒng)的和曲線 G AN 1 2 7 3 系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)及原理 由于要求 G s 具有低通特性 故其極點均應(yīng)位于 s 的左半平面 當非線性特性采 用描述函數(shù)近似等效時 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 0 1 jGAN 即 1 AN jG 在復(fù)平面上繪制曲線和曲線時 曲線上箭頭表示隨 A 增大 G 1 AN 1 AN 的變化方向 1 AN 若曲線和曲線無交點 表明無的正實數(shù)解 以下為兩種 G 1 AN 0 1 jGAN 可能形式 a 曲線包圍曲線 對于非線性環(huán)節(jié)具有任一確定振幅 A 的正弦輸入信號 G 1 AN j0 點被曲線包圍 此時系統(tǒng)不穩(wěn)定 A 將增大 并最終使 A 增大到極 1 AN G 限位置或使系統(tǒng)發(fā)生故障 b 曲線不包圍曲線 對于非線性環(huán)節(jié)的具有任一確定振幅的正弦信號 G 1 AN 點不被曲線包圍 此時系統(tǒng)穩(wěn)定 A 將減小 并最終使 A 1 Im 1 Re ANAN G 減小為零或使非線性環(huán)節(jié)的輸入值為某定值 或位于該定值附近較小的范圍 綜上可得非線性環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù) 若曲線不