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三、函數(shù)的解析表達式 2020年1月15日星期三2時25分44秒一、函數(shù)的表示法（1）解析法：把兩個變量的函數(shù)關系，用一個等式來表示，這個等式叫做函數(shù)的解析表達式，簡稱解析式。例如：， 說明：解析式法的優(yōu)點是：函數(shù)關系清楚，容易從自變量的值求出其對應的函數(shù)值，便于用解析式來研究函數(shù)的性質(zhì)；中學里研究的主要是用解析式表示的函數(shù)。（2）列表法：列出表格來表示兩個變量的函數(shù)關系式。例如：數(shù)學用表中的平方表、平方根表、三角函數(shù)表，以及銀行里常用的“利息表”。（見課本P52頁表1 國民生產(chǎn)總值表）說明：列表法的優(yōu)點是：不必通過計算就知道當自變量取某些值時函數(shù)的對應值。（3）圖象法：用函數(shù)圖象表示兩個變量之間的關系。例如：氣象臺應用自動記錄器，描繪溫度隨時間變化的曲線就是用圖象法表示函數(shù)關系的。（見課本P53頁圖2-3 我國人口出生變化曲線）說明：圖象法的優(yōu)點是能直觀形象地表示出函數(shù)的變化情況。二、求函數(shù)解析式的方法1、待定系數(shù)法已知函數(shù)類型，求函數(shù)解析式，常用待定系數(shù)法； 基本步驟：設出函數(shù)的一般式（或頂點式等），代入已知條件，通過解方程（組）確定系數(shù)， 代入表達式求解。例1（1）已知一次函數(shù)滿足，圖象過點，求； （2）已知二次函數(shù)滿足，圖象過原點，求； （3）已知二次函數(shù)與軸的兩交點為，且，求； （4）已知二次函數(shù)，其圖象的頂點是，且經(jīng)過原點，解：（1）由題意設 ， 且圖象過點， （2）由題意設 ， ，且圖象過原點， （3）由題意設 ， 又， 得 （4）由題意設 ， 又圖象經(jīng)過原點， 得，例2、已知是一次函數(shù)，并且滿足，求函數(shù)的解析式。解：設，則，又，比較系數(shù)得解得，所以所求函數(shù)的解析為。2、配湊法與換元法：涉及復合函數(shù)的表達式時常用此法已知的解析式，求時，把用代替； 已知的解析式，求時，常用配湊法或換元法。湊配法：通過觀察、分析，將右端變?yōu)榻邮軐ο竦谋磉_式，然后用來替代接受對像，從而得 出函數(shù)的解析式，這種方法稱為湊配法。湊配法對變形能力和觀察能力有較高的要求， 其實質(zhì)仍是“換元”。換元法：是在解題過程中把某個式子看作一個整體，用一個字母去代替，實現(xiàn)變量替換，從而求出函數(shù)的解析式的方法。例3（1）已知，求； （2）已知，求解：（1） （2）法一配湊法： 法二換元法：令，則， 例4、已和，求函數(shù)的解析式。解：令即。注：運用換元法的關鍵在于選擇適當輔的輔助元，特別要注意換元前后未知數(shù)的取值范圍的變化，使求解的結果符合題意。3、分段函數(shù)解析式例5函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象如右圖所示，則求此函數(shù)的解析式。解：例6、已知是奇函數(shù)，且當時，求當時的解析式。解：當時，當x0，從而又是奇函數(shù)，；。4、消去法利用方程思想，采用解方程的方法消去不需要的函數(shù)式子，從而得到的表達式，此種方法稱為消去法，也稱為解方程法。例7、已知（其中都是非零常數(shù)且），求函數(shù)的解析式。解：，將，從而得由（1）（2）消去，即得，由于都是非零常數(shù)且，從而。5、構造法構造法就是在直接求解某一有困難時，可以根據(jù)已知條件，設計出“搭橋”“鋪墊”性的方案，使原問題獲解，或把原問題轉化為新問題去求解。例8、若和都是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，且方程有實數(shù)解，則 不可能是（ ）。A、B、C、D、解：構造函數(shù)，則，即，將各選項代入驗證，得無實數(shù)解。故選B。評析：一般情況下是兩個不同的函數(shù)，面且兩者之間也難以找到固定不變的內(nèi)在聯(lián)系，上述解法通過構造具體的簡單的函數(shù)使獲解，方法靈活。注：構造函數(shù)解決數(shù)學問題是有條件的，有的數(shù)學問題具備構造函數(shù)的條件；也有的數(shù)學問題無須用構造法即能夠解出，這時就不必要去“畫蛇添足”了。6、賦值法 通過取某些特殊值代入題設中的等式，可使問題具體化、簡單化，從而順利地找出規(guī)律，求出函數(shù)的解析式，此類方法稱之為賦值法。例9、設是R上的函數(shù)，且滿足，并且對任意實數(shù)有，求函數(shù)的解析式。解法1：令，則又，。解法2：令，得即又令，代入上式得。注：當所給函數(shù)方程含有兩個變量時，可對這兩個變量交替用特殊值代入，或使這兩個變量相等代入，再用已知條件，可求出未知的函數(shù)。至于取什么值，可根據(jù)題目的特征而定。7、遞推法例10、設是定義在N上的函數(shù)，滿足，對任意自然數(shù)有，求函數(shù)的解析式。解：，.令得，又，故，再在上式中令得. 各式相加得，。8、實際應用問題（直譯法）根據(jù)實際問題求函數(shù)的表達式，要注意函數(shù)的定義域是由函數(shù)的實際意義來決定的，所以在求函數(shù)的解析式問題時，千萬要注意使所求的解析式有意義，即寫出函數(shù)的定義域。例11把長為的鐵絲折成矩形，設矩形的一邊長為，面積為，求矩形面積與一邊長的函數(shù)關系式。解：設矩形一邊長為，則另一邊長為， （）說明：在解決實際問題時，求出函數(shù)解析式后，一定要寫出定義域。例12、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從2月1日起的300天內(nèi)，西紅柿售價與上市時間的關系用圖1的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖2的拋物線段表示： (I)寫出圖l表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式P=f(t)，寫出圖2表示的種植成本與上市 時間的函數(shù)關系式Q=g(t)； (II)認定市面上售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大? 解析： (I)由圖l可得市場售價與時間的關系為 由圖2可得種植成本與時間的函數(shù)關系為 （0t300）。 (II)設t時間的純收益為h(t)，由題意得h(t)=f(t)-g(t) 再求h(t)的最大值即可。 注：觀察圖1，知f(t)應是一個關于t的一次分段函數(shù)，觀察圖2可知g(t)是關于t的二次函數(shù)，可設為頂點式，即設g(t)=a(t-150)2+100。 三、練習題：1、已知二次函數(shù)的最大值等于13，且求函數(shù)的解析式。2、已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點和，求函數(shù)的解析式。3、已知，求函數(shù)的解析式。4已知，那么f(8)等于 A B8 C18 D5若，則方程的根 A B C2 D26、若的定義域是,則的定義域是（ ）A. B. C. D.7、已知,則（ ）A. B. C. D.8、已知的定義域為，則的定義域為？9、已知，求；10、已知，求；11、已知是一次函數(shù)，且滿足，求；12、已知滿足，求13、已知函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，周期，函數(shù)是奇函數(shù)又知在上是一次函數(shù)，在上是二次函數(shù)，且在時函數(shù)取得最小值證明：； 求的解析式；求在上的解析式14、我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采取價格調(diào)控等手段來達到節(jié)約用水的目的，某地用水收費的方法是：水費基本費超額費損耗費若每月用水量不超過最低限量時，只付基本費8元和每月每戶的定額損耗費元；若用水量超過時，除了付同上的基本費和定額損耗費外，超過部分每付元的超額費已知每戶每月的定額損耗費不超過5元該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費如下表所示：月份用水量水費（元）1239152291933根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求、四、參考答案1、解：，所以函數(shù)以為對稱軸，又函數(shù)的最大值等于13，從而設，將代入得，。2、解：由于函數(shù)的圖像經(jīng)過點和從而代入得，解得，從而所求函數(shù)的解析式為。3、解：由于（）從而。4、D 5、A 6、A 7、B 8、9、解：， （或）10、解：令（），則，11、解：設， 則， ，12、解： ， 把中的換成，得 ， 得，注：第（1）題用配湊法；第（2）題用換元法；第（3）題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第（4）題用方程組法13、解：是以為周期的周期函數(shù)，又是奇函數(shù)，當時，由題意可設，由得，是奇函數(shù)，又知在上是一次函數(shù)，可設，而