1-1求下列兩個微分方程的公共解.doc

第一章 緒論1-1求下列兩個微分方程的公共解。（1）（2）解 兩方程的公共解滿足條件，即，所以或。代入檢驗可知不符合，所以兩方程的公共解為。評注：此題是求解方程滿足一定條件的解，即求兩個微分方程的公共解。在求解時由于令其導(dǎo)數(shù)相等，很容易產(chǎn)生增解，因而要對所求結(jié)果回代原方程進行檢驗，舍去增解。1-2 求微分方程的直線積分曲線。解 設(shè)直線積分曲線為，則，代入原方程得，即，所以，可得或。因而所求直線積分曲線為或。評注：此題是求解方程的部分解，采用的是待定系數(shù)法。待定系數(shù)法是求解常微分方程常用的方法之一，有待定常數(shù)法和待定函數(shù)法。本題首先設(shè)出滿足題設(shè)條件的含有待定常數(shù)的解，然后代入原方程來確定待定常數(shù)，解決此類問題的關(guān)鍵在于正確地設(shè)出解的形式。1-3 微分方程，證明其積分曲線是關(guān)于坐標原點成中心對稱的曲線。 證 設(shè)滿足微分方程，只須證明也滿足方程即可。作變換，則證明滿足方程即可，代入方程兩端，并利用滿足此方程，得左=，=右故也滿足方程。評注：為了驗證也滿足方程，利用積分曲線的性質(zhì)，進行變量代換，將變換成后，問題就很容易解決了。1-4 物體在空氣中的冷卻速度與物體和空氣的溫差成正比，如果物體在20分鐘內(nèi)由100冷卻至60，那么，在多長時間內(nèi)，這個物體由100冷卻至30？假設(shè)空氣的溫度為20解 設(shè)物體在空氣中時刻的溫度為，則依牛頓冷卻定理得，其中是比例常數(shù)。兩邊積分，得通解為。由于初始條件為：故得，所以。將代入上式后即得：，即 。故當時，有，從中解出（分鐘），因此，在一小時內(nèi)，可使物體由100冷卻至30。評注：這是來自于物理學領(lǐng)域的問題，注意運用基本定律和定理來建立微分方程模型。1-5 求一曲線族，使它的切線介于坐標軸間的部分被切點分成相等的兩部分。解 解法1 設(shè)所求曲線方程為，過曲線上任一點的切線交軸于點，交軸于點，由題意，為的中點，不妨設(shè)，則切線斜率為，另一方面，曲線在點的切線的斜率為，得將變量分離，得到，兩邊積分得 ，因此，方程的通解為，即所求的曲線族為：。解法2 設(shè)所求的曲線為，過曲線上任一點的切線方程為，它與軸的交點分別為，由題可得，故這條曲線滿足方程，由可得方程的解為。1-6 求一曲線所滿足的微分方程，過該曲線上任何一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積等于常數(shù)。解 設(shè)所求曲線為，過曲線上任一點的切線方程為， 與兩坐標軸的截距分別為，由三角形的面積公式可得，整理可得，這就是所求曲線滿足的微分方程。1-7 求一曲線所滿足的微分方程，使該曲線上任一點的切線與該點的向徑夾角為零。解 設(shè)曲線為，過其上點切線斜率為，向徑的斜率為，由于二