第三章——導數(shù)及應(yīng)用.doc

周至五中 巨海斌第三章導數(shù)及其應(yīng)用高考導航考綱要求備考策略1.導數(shù)的概念及其幾何意義(1)了解導數(shù)的概念的實際背景；(2)理解導數(shù)的幾何意義.2.導數(shù)的運算(1)能根據(jù)導數(shù)定義，求函數(shù)yC(C為常數(shù))，yx，yx2，yx3，y，y的導數(shù)；(2)能利用基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的復(fù)合函數(shù))的導數(shù).3.導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導數(shù)的關(guān)系，能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；(2)了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次).4.生活中的優(yōu)化問題會利用導數(shù)解決某些實際問題.5.定積分與微積分基本定理(1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念；(2)了解微積分基本定理的含義.導數(shù)是初等數(shù)學與高等數(shù)學的銜接點，也是研究函數(shù)的重要工具，湖南省2011年考查本章內(nèi)容的是第6、8、22題，共計23分，占總分的15%以上.一般以選擇、填空題的形式考查導數(shù)的運算與導數(shù)的幾何意義或微積分的知識；對于導數(shù)的綜合應(yīng)用，則主要是和函數(shù)、不等式、方程等聯(lián)系在一起以解答題的形式進行考查，例如一些不等式恒成立、參數(shù)的取值范圍、方程根的個數(shù)、不等式的證明等問題.復(fù)習時采用以下應(yīng)對策略：1.重視對導數(shù)定義的理解，熟練掌握求導公式和運算法則，以及求積分公式，這是基礎(chǔ).2.加強利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等方法與步驟規(guī)范化訓練，這是基本功.3.專項訓練利用導數(shù)解答不等式恒成立、參數(shù)的取值范圍、方程根的個數(shù)、不等式的證明、實際應(yīng)用等問題，以便達到識型、合法、能解的目的.知識網(wǎng)絡(luò)3.1導數(shù)的概念與運算考點詮釋重點：導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何、物理意義及其應(yīng)用.難點：對導數(shù)定義的理解，特別是對表達式f(x0)的理解及運用；簡單復(fù)合函數(shù)求導.典例精析題型一導數(shù)的概念【例1】(1)設(shè)f(x)在xx0附近有定義，且1，求f(x0)的值；(2)設(shè)函數(shù)f(a)3，求的值.【思路分析】由導數(shù)的定義可得f(x0)的極限表達式，借此可尋找導數(shù)與極限之間的聯(lián)系.【解析】(1)令2hx，則122f(x0)，所以f(x0).(2) 22f(a)6.【方法歸納】定義是數(shù)學知識的基礎(chǔ)，“回到定義去”是解決數(shù)學問題的基本策略.本例主要考查導數(shù)的概念、極限的運算以及代數(shù)式的變形，其中導數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵.注意導數(shù)是函數(shù)值增量與自變量增量比值的極限(自變量增量無限趨近于零時)，解題時必須把握好增量的對應(yīng)性，即函數(shù)值增量必須是相應(yīng)自變量的函數(shù)值的差值.【舉一反三】1.物體在某一受力狀態(tài)下的位移s(t)(單位：m)與運動時間t(單位：s)的關(guān)系為：s(t)t3(t0).(1)利用導數(shù)的定義求s(t)；(2)求該物體在t2秒時的瞬時速度v(2).【解析】(1)ss(tt)s(t)(tt)3t3t(3t23ttt2)，3t23ttt2，s(t)(3t23ttt2)3t2.(2)該物體在2秒時的瞬時速度就是s(t)在t2處的導數(shù)，v(2)s(2)32212(m/s).題型二求已知函數(shù)的導數(shù)【例2】 求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yx2sin x；(2)y3xex2xe；(3)y；(4)ysin32x.【思路分析】(1)(2)利用積的導數(shù)運算法則；(3)利用商的導數(shù)運算法則求導；(4)是一個復(fù)合函數(shù)，首先找出中間量u2x，vsin u，yv3，然后利用復(fù)合函數(shù)求導法則求導.【解析】(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(3xex)(2x)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.(4)y3(sin 2x)2(sin 2x)6sin22xcos 2x.【方法歸納】理解和掌握求導法則和公式的結(jié)構(gòu)規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件.運算過程出現(xiàn)失誤，原因是不能正確理解求導法則，特別是商的求導法則.求導過程中符號判斷不清，也是導致錯誤的原因，從本例可以看出，深刻理解和掌握導數(shù)的運算法則，再結(jié)合給定函數(shù)本身的特點，才能準確有效地進行求導運算.【舉一反三】2.求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)yln(x)；(2)y(x22x3)e2x；(3)y.【解析】(1)y(x)(1).(2)y(2x2)e2x2(x22x3)e2x2(x2x2)e2x.(3)y()()x (1x).題型三導數(shù)的幾何意義及應(yīng)用【例3】已知函數(shù)f(x)x3x16.(1)求曲線yf(x)在點(2，6)處的切線的方程；(2)直線l為曲線yf(x)的切線，且經(jīng)過原點，求直線l的方程及切點坐標；(3)如果曲線yf(x)的某一切線與直線yx3垂直，求切點坐標與切線的方程.【思路分析】已知切點的坐標求切線的方程，可利用導數(shù)求出過切點的切線的斜率，再用點斜式即可求出切線的方程.【解析】(1)可判定點(2，6)在曲線yf(x)上.f(x)(x3x16)3x21，f(x)在點(2，6)處的切線的斜率為kf(2)13，即y13x32.(2)設(shè)切點為(x0，y0)，則直線l的斜率為f(x0)3x1，直線l的方程為y(3x1)(xx0)xx016，又直線l過點(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，k3(2)2113.直線l的方程為y13x，切點坐標為(2，26).(3)切線與直線y3垂直，切線的斜率為k4.設(shè)切點的坐標為(x0，y0)，則f(x0)3x14，x01，或切線方程為y4(x1)14或y4(x1)18.即y4x18或y4x14.【方法歸納】根據(jù)條件列方程或方程組是解決該問題的主要方法，靈活運用xx0處的導數(shù)就是該點處的切線的斜率是解決有關(guān)切線問題的關(guān)鍵.由導數(shù)的幾何意義可知，點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)(xx0)f(x0).若不知道切點坐標，應(yīng)根據(jù)導數(shù)的幾何意義列方程求出切點坐標.【舉一反三】3.設(shè)曲線y在點(3,2)處的切線與直線axy10垂直，則a等于( B )A.2 B.2 C. D.【解析】y，ky|x3，又k(a)1，a2，故選B.體驗高考(2011大綱全國)曲線ye2x1在點(0,2)處的切線與直線y0和yx圍成的三角形的面積為()A. B. C. D.1【解析】依題意得ye2x(2)2e2x，y|x02e202，曲線ye2x1在點(0,2)處的切線方程是y22x，即y2x2.在坐標系內(nèi)畫出直線y2x2，y0與yx，注意到直線y2x2與yx的交點坐標是(，)，直線y2x2與x軸的交點坐標是(1,0)，結(jié)合圖形不難得知，這三條直線所圍成的三角形的面積等于1，故選A.【舉一反三】(2011山東)若f(x)x22x4ln x，則f(x)0的解集為( C )A.(0，) B.(1,0)(2，)C.(2，) D.(1,0)【解析】因為f(x)2x2，所以解不等式組得x2，故選C.3.2導數(shù)的應(yīng)用(一)考點詮釋重點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，極值與最值的求法.難點：f(x)與f(x)在某個區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系.典例精析題型一導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性【例1】已知函數(shù)yx3ax6的一個單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，求a的值及函數(shù)的其他單調(diào)區(qū)間.【思路分析】函數(shù)f(x)的一個單調(diào)區(qū)間是(1，)，則f(1)0.【解析】y3x2a.函數(shù)的一個遞增區(qū)間為(1，)，1是方程y0的一個根，312a0，a3.y3x23.由3x230，得x1或x1，(1，)，(，1)是函數(shù)的遞增區(qū)間.由3x230，得1x1，(1,1)是函數(shù)的一個遞減區(qū)間.綜上所述，a的值為3，函數(shù)的遞增區(qū)間為(，1)和(1，)，遞減區(qū)間為(1,1).【方法歸納】判斷函數(shù)的單調(diào)性時，先要明確函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，再解不等式f(x)0.f(x)0的解對應(yīng)的區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；f(x)0的解對應(yīng)的區(qū)間就是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，這種方法只對可導函數(shù)適用.【舉一反三】1.討論函數(shù)yx3ax的單調(diào)性.【解析】由題意知，y3x2a.當a0時，y0，則函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當a0時，若x(，)，則y0，此時函數(shù)單調(diào)遞減；若x(，)或(，)時，則y0，此時函數(shù)單調(diào)遞增.所以當a0時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當a0時，函數(shù)在(，)和(，)上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減.題型二導數(shù)與函數(shù)的極值【例2】(2011安徽)設(shè)f(x)，其中a為正實數(shù).(1)當a時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍.【思路分析】對函數(shù)f(x)求導，(1)中令f(x)0，求根列表得極值點；(2)由單調(diào)性轉(zhuǎn)化為不等式恒成立來求解.【解析】f(x)ex.(1)當a時，若f(x)0，則4x28x30，解得x1，x2，結(jié)合可知：x(，)(，)(，)f(x)0,0f(x)極大值極小值所以x1是極小值點，x2是極大值點.(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f (x)在R上不變號，結(jié)合與條件a0，知ax22ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0，由此并結(jié)合a0，知0a1.【方法歸納】求函數(shù)的極值應(yīng)先求導數(shù).對于多項式函數(shù)f(x)來講，f(x)在點xx0處取極值的必要條件是f(x)0.但是，當x0滿足f(x0)0時，f(x)在點xx0處卻未必取得極值，只有在x0的兩側(cè)f(x)的導數(shù)異號時，x0才是f(x)的極值點.并且如果f(x)在x0兩側(cè)滿足“左正右負”，則x0是f(x)的極大值點，f(x0)是極大值；如果f(x)在x0兩側(cè)滿足“左負右正”，則x0是f(x)的極小值點，f(x0)是極小值.【舉一反三】2.已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1時取得極值，且f(1)1.(1)試求常數(shù)a，b，c的值；(2)試判斷x1是函數(shù)的極小值點還是極大值點，并說明理由.【解析】(1)f(x)3ax22bxc.因為x1是函數(shù)f(x)的極值點，所以x1是方程f(x)0，即3ax22bxc0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系，得 又f(1)1，所以abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，所以當f(x)x20時，有x1或x1；當f(x)x20時，有1x1.所以函數(shù)f(x)x3x在(，1)和(1，)上是增函數(shù)，在(1,1)上是減函數(shù).所以當x1時，函數(shù)取得極大值f(1)1；當x1時，函數(shù)取得極小值f(1)1.題型三導數(shù)與函數(shù)的最值【例3】求函數(shù)f(x)ln(1x)x2在區(qū)間0,2上的最大值和最小值.【思路分析】先求出函數(shù)f(x)在0,2上的極值，再求出f(0)、f(2)，比較大小便可得出最大、最小值.【解析】f(x)x，令x0，化簡為x2x20，解得x12或x21，其中x12舍去.又由f(x)x0，且x0,2，得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1)，同理， 得知函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)，所以f(1)ln 2為函數(shù)f(x)的極大值.又因為f(0)0，f(2)ln 310，f(1)f(2)，所以，f(0)0為函數(shù)f(x)在0,2上的最小值，f(1)ln 2為函數(shù)f(x)在0,2上的最大值.【方法歸納】求函數(shù)f(x)在某閉區(qū)間a，b上的最值，首先需求函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值，然后將f(x)的各個極值與f(x)在閉區(qū)間上的端點的函數(shù)值f(a)、f(b)比較，才能得出函數(shù)f(x)在a，b上的最值.【舉一反三】3.已知f(x)ax32ax2b(a0)，是否存在正實數(shù)a，b使得f(x)在區(qū)間2,1上的最大值是5，最小值是11？若存在，求出a，b的值及相應(yīng)函數(shù)f(x)；若不存在，請說明理由.【解析】假設(shè)存在正實數(shù)a，b滿足條件，f(x)ax32ax2b(a0)，f(x)3ax24axax(3x4)，令f(x)0，得x10，x22,1，因為a0，則f(x)、f(x)的情況如下：x2,0)0(0,1f(x)0f(x)極大值因此f(0)必為最大值，f(0) 5，得b5，f(2)16a5，f(1)a5，f(1)f(2)，f(2)16a511，a1，故存在正實數(shù)a1，b5滿足題意，且f(x)x32x25.體驗高考(2011北京)已知函數(shù)f(x)(xk)2e.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對于任意的x(0，)，都有f(x)，求k的取值范圍.【解析】(1)f(x)(x2k2)e.令f(x)0，得xk.當k0時，f(x)與f(x)的情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)4k2e10所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，k)和(k，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(k，k).當k0時，f(x)與f(x)的情況如下：x(，k)k(k，k)k(k，)f(x)00f(x)04k2e1所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k)和(k，)，單調(diào)遞增區(qū)間是(k，k).(2)當k0時，因為f(k1)e，所以不會有x(0，)，f(x).當k0時，由(1)知f(x)在(0，)上的最大值是f(k).所以x(0，)，f(x)等價于f(k)，解得k0.故當x(0，)，f(x)時，k的取值范圍是，0).【舉一反三】(2011江西)設(shè)f(x)x3x22ax.(1)若f(x)在(，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求a的取值范圍；(2)當0a2時，f(x)在1,4上的最小值為，求f(x)在該區(qū)間上的最大值.【解析】(1)由f(x)x2x2a(x)22a，當x，)時，f(x)的最大值為f()2a.令2a0，得a，所以當a時，f(x)在(，)上存在單調(diào)遞增區(qū)間.(2)令f(x)0，得兩根x1，x2.所以f(x)在(，x1)，(x2，)上單調(diào)遞減，在(x1，x2)上單調(diào)遞增.當0a2時，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值為f(x2).又f(4)f(1)6a0，即f(4)f(1)，所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)8a，得a1，x22，從而f(x)在1,4上的最大值為f(2).3.3導數(shù)的應(yīng)用(二)考點詮釋重點：會利用導數(shù)證明不等式，研究函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)問題，解決實際生活中的優(yōu)化問題.難點：構(gòu)造新函數(shù)的方法，實際問題中函數(shù)關(guān)系式的確立等.典例精析題型一利用導數(shù)證明不等式【例1】已知mR，函數(shù)f(x)(x2mxm)ex.(1)若函數(shù)沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍；(2)當m0時，求證：f(x)x2x3.【思路分析】(1)函數(shù)f(x)無零點，即x2mxm0無解，利用0解得m的取值范圍；(2)令g(x)f(x)x2x3，證明g(x)的最小值大于或等于0即可.【解析】(1)由已知條件f(x)0無解，即x2mxm0無實根，則m24m0，解得0m4，故實數(shù)m的取值范圍是(0,4).(2)證明：當m0時，f(x)x2ex，則有f(x)x2x3x2(exx1).令g(x)f(x)x2x3，則由g(x)，g(x)隨x變化情況可知，gmin(x)g(0)0，所以對于xR，g(x)g(0)0，即f(x)x2x30，故f(x)x3x2.【方法歸納】利用導數(shù)證明不等式時要考慮構(gòu)造新的函數(shù)，利用新函數(shù)的單調(diào)性或最值解決不等式的證明問題.比如要證明對xa，b都有f(x)g(x)，可設(shè)h(x)f(x)g(x)，只要利用導數(shù)說明h(x)在a，b上的最小值為0即可.【舉一反三】1.已知函數(shù)f(x)x2ln x.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上的值域；(2)求證：當x1時，f(x)x3.【解析】(1)由已知f(x)x，當x1，e時，f(x)0，因此f(x)在 1，e上為增函數(shù).故f(x)maxf(e)1，f(x)minf(1)，因而f(x)在區(qū)間1，e上的值域為，1.(2)證明：令F(x)f(x)x3x3x2ln x，則F(x)x2x2，因為x1，所以F(x)0，故F(x)在(1，)上為減函數(shù).又F(1)0，故當x1時，F(xiàn)(x)0恒成立，即f(x)x3.題型二導數(shù)與方程的解(函數(shù)的零點)【例2】已知函數(shù)f(x)x2aln x在(1,2上是增函數(shù)，g(x)xa在(0,1)上為減函數(shù).(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)求證：當x0時，方程f(x)g(x)2有唯一解.【思路分析】(1)根據(jù)f(x)、g(x)的單調(diào)性，求出a的取值范圍，從而確定a的值，代入求得其解析式；(2)要證方程有唯一解，把它轉(zhuǎn)化為函數(shù)有唯一零點，數(shù)形結(jié)合可證.【解析】(1)f(x)2x，依題意f(x)0，x(1,2，即a2x2，x(1,2.上式恒成立，a2.又g(x)1，依題意g(x)0，x(0,1)，即a2，x(0,1).上式恒成立，a2.由得a2.f(x)x22ln x，g(x)x2.(2)證明：由(1)可知，方程f(x)g(x)2，即x22ln xx220.設(shè)h(x)x22ln xx22，則h(x)2x1，當h(x)0時，(1)(2x2x2)0，解得x1.令h(x)0，由x0，解得x1.令h(x)0，由x0，解得0x1.列表分析：x(0,1)1(1，)h(x)0h(x)遞減極小值遞增可知h(x)在x1處有一個最小值0，當x0且x1時，h(x)0，h(x)0在(0，)上只有一個解.即當x0時，方程f(x)g(x)2有唯一解.【方法歸納】研究方程的根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等，并借助函數(shù)的大致圖象判斷方程根的情況，這是導數(shù)這一工具在研究方程中的重要應(yīng)用.【舉一反三】2.已知f(x)ax2(aR)，g(x)2ln x.(1)討論函數(shù)F(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)g(x)在區(qū)間，e上有兩個不相等的解，求a的取值范圍.【解析】(1)F(x)2ax，x0.當a0時，F(xiàn)(x)的遞增區(qū)間為(，)，遞減區(qū)間為(0，)；當a0時，F(xiàn)(x)的遞減區(qū)間為(0，).(2)ax22ln x，x，e，a.設(shè)h(x)，則h(x).令24ln x0，得x，h(x)maxh()，h()ln 2，h(e)，數(shù)形結(jié)合知ln 2a.題型三用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題【例3】已知某廠生產(chǎn)x件產(chǎn)品的成本為c25 000200xx2(元).(1)要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？(2)若產(chǎn)品以每件500元售出，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？【思路分析】本題已經(jīng)直接給出了函數(shù)關(guān)系式，可用導數(shù)求最值的方法直接求解.【解析】(1)設(shè)平均成本為y元，則y200(x0)，y(200).令y0，得x11 000，x21 000(舍去).當在x1 000附近左側(cè)時，y0；在x1 000附近右側(cè)時，y0；故當x1 000時，y取得極小值.由于函數(shù)只有一個點使y0，且函數(shù)在該點有極小值，那么函數(shù)在該點取得最小值，因此要使平均成本最低，應(yīng)生產(chǎn)1 000件產(chǎn)品.(2)利潤函數(shù)為L500x(25 000200x)300x25 000.所以L(300x25 000)300.令L0，得x6 000，當x在6 000附近左側(cè)時，L0；當x在6 000附近右側(cè)時，L0，故當x6 000時，L取得極大值.由于函數(shù)只有一個使L0的點，且函數(shù)在該點有極大值，那么函數(shù)在該點取得最大值.因此，要使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)6 000件產(chǎn)品.【方法歸納】在求實際問題中的最大值或最小值時，一般先設(shè)自變量、因變量，建立函數(shù)關(guān)系式，并確定其定義域，利用求函數(shù)最值的方法求解，注意結(jié)果應(yīng)與實際情況相符合，用導數(shù)求解實際問題中的最大(小)值，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值點，那么根據(jù)實際意義該極值點就是最值點.【舉一反三】3.統(tǒng)計表明，某種型號的汽車在勻速行駛時，每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/小時)的函數(shù)解析式可以表示為：yx3x8(0x120).已知甲、乙兩地相距100千米.(1)當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？(2)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？【解析】(1)設(shè)汽車以x千米/小時的速度行駛時，其經(jīng)過甲地的耗油量為f(x)(x3x8)(0x120)，f(40)17.5(升)，因此從甲地到乙地要耗油17.5升.(2)f(x).又0x120，令f(x)0，解得x80，當0x80時，f(x)0；當80x120時，f(x)0.則當x80時，f(x)取到最小值f(80)11.25(升).因此當汽車以80千米/小時行駛時耗油最少，最少耗油量為11.25升.體驗高考(2011山東)某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計厚度，長度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為 立方米，且l2r.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為c(c3)千元.設(shè)該容器的建造費用為y千元.(1)寫出y關(guān)于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費用最小時的r.【解析】(1)設(shè)容器的容積為V，由題意知Vr2lr3，又V，故lr(r).由于l2r，因此0r2.所以建造費用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3),0r2.由于c3，所以c20，當r30時，r.令m，則m0，所以y(rm)(r2rmm2). 若0m2，即c，當rm時，y0；當r(0，m)時，y0；當r(m,2)時，y0.所以rm是函數(shù)y的極小值點，也是最小值點.若m2，即3c，當r(0,2)時，y0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以r2是函數(shù)y的最小值點.綜上所述，當3c時，建造費用最小時r2；當c時，建造費用最小時r.【舉一反三】(2011江蘇)在平面直角坐標系xOy中，已知點P是函數(shù)f(x)ex(x0)的圖象上的動點，該圖象在點P處的切線l交y軸于點M，過點P作l的垂線交y軸于點N.設(shè)線段MN的中點的縱坐標為t，則t的最大值是(e).【解析】設(shè)點P的坐標為(x0，e)，則切線l的方程為yee (xx0)，則過點P的l的垂線m的方程為ye(xx0)，令x0，得M(0，ex0e)，所以te，得t(1x0)( )，令t0，得x01，當0x01時，t0，te單調(diào)遞增；當x01時，t0，te單調(diào)遞減，所以當x01時，t取最大值，為(e).3.4定積分與微積分基本定理考點詮釋重點：定積分的概念、幾何意義，會求簡單函數(shù)的定積分，利用定積分解決一些簡單問題.難點：利用定積分求面積，定積分的應(yīng)用.典例精析題型一求常見函數(shù)的定積分【例1】(1)(ex2x)dx等于()A.1 B.e1 C.e D.e1(2) dx等于()A.2ln 2 B.2ln 2 C.ln 2 D.ln 2(3)設(shè)f(x)若f(f(1)1，則a.【思路分析】利用常用函數(shù)的求導公式及定積分的性質(zhì)，找到被積函數(shù)的原函數(shù)，即可求解.【解析】(1)因為(ex)ex，(x2)2x，所以(e1)(e00)e.故選C.(2)ln 4ln 2ln 22ln 22ln 2ln 2ln 2.故選D.(3)f(1)lg 10，ff(1)f(0)0a3.a31，即a1.【方法歸納】(1)一般情況下，只要能找到被積函數(shù)的原函數(shù)，就能求出定積分的值；(2)當被積函數(shù)是分段函數(shù)時，應(yīng)對每個區(qū)間分段積分，再求和；(3)對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，應(yīng)先去掉絕對值符號后積分；(4)當被積函數(shù)具有奇偶性時，可用以下結(jié)論：若f(x)是偶函數(shù)，則若f(x)是奇函數(shù)，則【舉一反三】1.求下列定積分：(1)(2)(3)【解析】題型二利用定積分計算曲邊梯形的面積【例2】求拋物線y22x與直線y4x所圍成的平面圖形的面積.【思路分析】首先畫出圖象，求出它們的交點坐標，選擇合適的積分變量，確定積分上、下限，最后求出面積.【解析】方法一：如圖，由得交點A(2,2)，B(8，4)，則S()dx4x()dx18.方法二：S(4y)dy18.【方法歸納