等效“平擺線”在物理解題中的應(yīng)用——2013高考福建省物理壓軸題和2013北約自主招生壓軸題的思考.pdf

2 0 1 4年 第 1 期 物理 通報(bào) 解題 思路 與技 巧 等效 平擺線 在物理解題 中的應(yīng)用 2 0 1 3高考福建省 物理壓 軸題和 2 0 1 3北約 自主招 生壓軸題 的思考 周 華 長(zhǎng)樂(lè)第一 中學(xué)物理組 福建 福州 3 5 0 2 0 0 收稿 日期 2 0 1 3 0 6 1 5 2 0 1 3高考剛落下帷幕 今年福建省理科綜合物 理試題第 2 2 題和北約物理 自主招生第 1 2題相似 都不約而同地 考查 的是數(shù) 學(xué) 中的擺線 問(wèn)題 此前 2 0 0 8江蘇卷高考物理試題第 1 4題也考查 了擺線問(wèn) 題 擺線問(wèn)題在物理競(jìng)賽和 自主招生考試 中是一個(gè) 必備 的知識(shí) 點(diǎn) 只要 參 加 過(guò) 物 理 奧賽 和 自主 招 生 培 訓(xùn) 的 同學(xué) 就會(huì) 非 常 熟 悉 最 近 在 2 0 1 1年 第 2 8屆 全 國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試卷第 3 題 漸開(kāi)線 和第 4 題 中 平 擺線 有考 查 過(guò) 擺 線 是 一類 十 分 重要 的 曲 線 可 以分 為平 擺線 圓擺 線 漸開(kāi) 線三 大類 今年 福 建高考和北約 自主招生考查 的是平擺線 下 面就對(duì) 平 擺 線在 物理解 題 中 的應(yīng)用 做一 個(gè)總結(jié) 1 平擺 線 的數(shù) 學(xué)定 義和 參數(shù) 方程 擺線 為奇 妙 的數(shù)學(xué) 曲線 之一 平擺 線定 義是 一 個(gè) 圓在一 條定 直線 上滾 動(dòng) 時(shí) 圓周 上 一個(gè)定 點(diǎn) 的軌 跡稱為平擺線 也 叫做 等時(shí)曲線 或 旋 輪線 如 歷史上著名的 最速降線 就是平擺線 在 日常生活 中 自行車 馬車 火車等車輪上 的任一點(diǎn)隨車輛 的 前進(jìn) 而描 繪 出美妙 的旋 輪線 如 圖 1 所 示 為正 在平 直路 面 以速度 勻 速行 駛 的某 車輛 的一 只輪 子 輪子 的半 徑 為 r 以輪緣 上 某 時(shí)刻 與地 面 的接觸 點(diǎn) A 作 為 直 角坐 標(biāo) 系 的原 點(diǎn) 與 方 向?yàn)?z軸 建立 坐 標(biāo) 系 經(jīng) 時(shí)間 t 輪子 轉(zhuǎn) 過(guò) 的角 此 時(shí)輪 緣 A 點(diǎn) 的參 數(shù)方 程 為 r 0 r s i n O y r r c o s O 其中 O B A B r 為參數(shù) 本題圖中卻是 2 6 m s 當(dāng)時(shí)間 t 一7 s 時(shí)速度等于 3 9 9 6 3 5 m s 還 不 到 4 m s 而 此 題所 給 時(shí) 間 不 到 4 S 就達(dá) 到最 大 速度 了 計(jì) 算表 明 實(shí)際上 4 S 時(shí)速度 只有 3 9 2 6 7 3 m s 這個(gè) 圖像 應(yīng)該 怎 樣 畫(huà) 呢 筆者 借助于電子表格軟件繪 出其圖像如下 一一一一 f r 0 I s 圖 3 速度一 時(shí)間圖像 圖 1 利用積分 可知 一4 4 e 一1 用幾何畫(huà)板 也可以作出位移一 時(shí)問(wèn)圖像 如圖 4所示 f 0 十 1 1 l t 0 5 1 O 1 5 圖 4 位移一 時(shí)問(wèn)圖像 2 O 1 4年 第 1 期 物理 通報(bào) 解題 思路 與技 巧 2 平擺線 的等 效性 運(yùn)動(dòng) 學(xué)和 動(dòng) 力學(xué)原 理 對(duì) 于平 擺 線 在 物 理 學(xué) 中完 全 可 以看 作 是 圓 在 直線 上滾 動(dòng) 即可將 平擺 線 的運(yùn) 動(dòng) 可 看成 勻 速 直線 運(yùn) 動(dòng)和勻 速 圓周 運(yùn) 動(dòng) 的合 運(yùn) 動(dòng) 而作 為對(duì) 應(yīng) 的 漸 開(kāi)線 在物 理學(xué) 中完 全可 以看 作 是 直 線 在 圃 上滾 動(dòng) 即可將 漸 開(kāi) 線 的運(yùn) 動(dòng) 可 看 成勻 速 圓周 運(yùn) 動(dòng) 和勻 速直 線運(yùn) 動(dòng) 的合運(yùn) 動(dòng) 根據(jù)力與運(yùn)動(dòng)的關(guān)系 在具體情況 中 只要對(duì)物 體運(yùn) 動(dòng)進(jìn) 行受 力分 析 就 能 找 出對(duì)應(yīng) 的勻 速 直 線 的 分運(yùn) 動(dòng) 的合 力 為零 做 勻 速 圓周 的分 運(yùn) 動(dòng) 受 到 一個(gè) 大小 恒定 而方 向不 斷隨 速度 變化 的 向心 力 3 平擺 線原 理在 物理 解題 中 的應(yīng)用 下面就以 2 0 1 3年 高考福建 省理綜第 2 2題 和 2 0 1 3 年北約 自主招生第 1 2 題為例 講解等效平擺線 在 物理 解題 中的應(yīng)用 例 l l 2 0 1 3 年高 考福 建卷 第 2 2 題 如 圖 2 a 空 問(wèn)存 在一 范 圍 足夠 大 的 垂 直 于 x O y平 面 向外 的 勻 強(qiáng)磁 場(chǎng) 磁感 應(yīng) 強(qiáng) 度 為 B 讓 質(zhì) 量 為 I T l 電荷量 為 q q 0 的粒子 從坐 標(biāo)原 點(diǎn) 0沿 O y平 面 以不 同 的初速 度 和方 向入射 到 該 磁 場(chǎng) 中 不 計(jì) 重 力 和粒 子 間的影 響 1 若粒 子 以初速 度 7J 沿 Y軸 正 向入射 恰 好 能 經(jīng)過(guò) 3 5 軸 的 A n O 點(diǎn) 求 7 J 的大小 2 己知 一粒 子 的初 速 度大小 為 v v 為 使該粒子能經(jīng)過(guò) A n 0 點(diǎn) 其入射角 粒子初速 度 與 軸正 向的夾 角 有幾 個(gè) 并 求 出對(duì) 應(yīng) 的 s i n 0 值 3 如 圖 2 b 若 在此 空 間再加 入沿 y軸 正 向 大小 為 E的勻 強(qiáng) 電場(chǎng) 一 粒子從 0點(diǎn) 以初 速度 沿 Y軸正向發(fā)射 研究表明 粒子在 x O y平面內(nèi)做周期 性 運(yùn) 動(dòng) 且 在 任 一時(shí) 刻 粒 子速 度 的 z分量 與 其 所在 位置 的 Y坐 標(biāo)成 正 比 比例 系數(shù) 與 場(chǎng) 強(qiáng) 大小 E 無(wú)關(guān) 求 該粒 子運(yùn) 動(dòng)過(guò)程 中的最 大速度 值 6 4 bJ 圖 2 標(biāo) 準(zhǔn)答案 給 出的原 解如 下 1 帶電粒子以速率 在勻強(qiáng)磁場(chǎng) B中做勻速 圓周 運(yùn) 動(dòng) 半 徑為 R 有 q v B 簧 1 當(dāng)粒子沿 Y軸正向入射 轉(zhuǎn)過(guò)半個(gè)圓周至A點(diǎn) 該圓 周半 徑 為 R 有 R 一 號(hào) 2 將式 2 代 入式 1 得 7 J1 一磐 3 一 2 如 圖 3 O和 A 兩 點(diǎn)處 于 同一 圓周 上 且 圓 心 在 一 號(hào)的 直 線 上 半 徑 為 R 當(dāng) 給 定 一 個(gè) 初 速 率 時(shí) 有 2 個(gè) 人射 角 分 別在 第 1 2象 限 有 s i n0 4 由式 1 4 解得 s i n 0 5 2 J I l 圖 3 3 粒 子在 運(yùn) 動(dòng)過(guò) 程 中僅 電 場(chǎng) 力做 功 因 而 在 軌道的最高點(diǎn)處速率最大 用 Y 表示其 Y坐標(biāo) 由 2 0 1 4年 第 1期 物理 通報(bào) 解題 思路 與技 巧 動(dòng)能 定理 有 q E 一 1舢 2 1 m 6 由題 知 有 k y 7 若 E一0時(shí) 粒子 以初 速度 沿 Y軸正 向入射 有 q v B m 一 k R o 9 由式 6 9 解得 一 其實(shí)第 3 問(wèn)中 粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡就是擺線 命 題人為了降低難度 給出了 研究表明 粒子在 x O y 平面內(nèi)做周期性運(yùn)動(dòng) 且在任一時(shí)刻 粒子速度 的 X 分量 與其所在位置的Y坐標(biāo)成正 比 比例系數(shù)與 場(chǎng) 強(qiáng) 大小 E無(wú) 關(guān) 這 一 條件 希 望 引 導(dǎo)學(xué) 生 能 得 出 正確結(jié) 論 其實(shí) 根據(jù)牛頓經(jīng)典力學(xué) 中力與運(yùn)動(dòng) 的關(guān)系可 知 只要物 體 的受 力情況 和 初始情 況 確定 其 以后 的 任一狀態(tài)都是可以預(yù)知的 所以這些條件是多余 的 是否正確還有待商榷 下面筆者用平擺線的等效性 運(yùn) 動(dòng)學(xué) 和 動(dòng)力 學(xué)原 理解 決第 3 問(wèn) 解 因?yàn)槌?始 時(shí) z 軸 方 向 的速度 為零 可 等效 為 一 個(gè)沿 z軸 的勻速 運(yùn)動(dòng) 和 沿 一 z軸 的勻 速運(yùn) 動(dòng) 設(shè)其速度大小均為 z 且恰好可使 B E q 即 E 一百 初始時(shí) 把沿 一 軸的速度 與 合成 在原 點(diǎn) 0處帶電粒子受力和運(yùn)動(dòng)分析如圖 4 因?yàn)檠?X 軸 的勻 速運(yùn) 動(dòng) 的 速 度 口 產(chǎn) 生 的 洛倫 茲 力 與 電場(chǎng) 力 E q抵消 帶電粒子的受力等效成只受一個(gè)洛倫茲力 臺(tái) B作用 這個(gè)力提供向心力使粒子沿 圖中虛線 的 圓做 勻 速 圓周 運(yùn) 動(dòng) 因此 粒 子 的 運(yùn) 動(dòng)可 看 成 一 個(gè) 以 速度 大小 為 合 的順 時(shí)針 勻 速 圓周 運(yùn) 動(dòng) 和 一個(gè) 以速 度大小為 z 的沿 軸的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成 g q t 一 0 1 g 例 4 且 合一 何 一 很顯然當(dāng)勻速 圓周運(yùn)動(dòng)到最 高點(diǎn)時(shí) 合與 z 同向 速度達(dá)最大值 大小為 一 合 一 百E 詈 m 一 2 十 合 一 百 十 I百 十 例 2 2 0 1 3 北 約 自主招 生第 1 2題 如 圖 5所 示 在一豎直平面 內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場(chǎng) 磁感應(yīng)強(qiáng)度 B 的方 向垂 直該 豎 直 平 面朝 里 豎 直平 面 中 n b兩 點(diǎn) 在 同一水 平線 上 兩點(diǎn)相 距 Z 帶 電荷量 q 0 質(zhì) 量 為 i 的質(zhì)點(diǎn) P 以初速度 從 n對(duì)準(zhǔn) b射出 略去 空氣阻力 不考慮 P與地面接觸的可能性 設(shè)定 q i 和 B 均 為不 可改 取 的給定量 1 若無(wú)論 l 取什么值 均可使 P經(jīng) 直線運(yùn)動(dòng) 通過(guò) b點(diǎn) 試問(wèn) 應(yīng)取什么值 2 若 為第 1 問(wèn)可取值之外的任意值 則 l 取 哪些值 可使 P 必定會(huì) 經(jīng) 曲線 運(yùn)動(dòng)通 過(guò) b點(diǎn) 3 對(duì)每一個(gè)滿足第 2 問(wèn)要求的 z 值 計(jì)算各 種可 能 的曲線運(yùn) 動(dòng) 對(duì)應(yīng) 的 P 從 a 到 b所 經(jīng)過(guò) 的時(shí) 間 4 對(duì)每一個(gè)滿足第 2 問(wèn)要求的 z 值 試問(wèn) P 能否從 a靜止釋放后也可以通過(guò) b點(diǎn) 若能 再求 P 在 n而 后 運(yùn) 動(dòng) 過(guò) 程 中 可 達(dá) 到 的最 大 運(yùn) 動(dòng) 速 率 X X X a 一 6 一 z B 圖 5 6 5 2 0 1 4年 第 1期 物理 通報(bào) 解題 思路 與技 巧 解析 1 當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從 a勻速直線運(yùn)動(dòng)到b時(shí)滿足 條 件 即 mg q vo B 得 出速度 一 且為 正 電荷 2 這 一 問(wèn)就 是 典 型 的平 擺 線 運(yùn) 動(dòng) 可將 初 速 度 等效成 為 和 的合 成 初 始 時(shí) 和 共 線 取 正號(hào) 時(shí)與 同 向 取負(fù) 號(hào)時(shí) 與 反 向 可 寫(xiě) 成 一 其初始 時(shí) 的受力 分析 和運(yùn) 動(dòng)分 析如 圖 6 a 只畫(huà) 出 取正 號(hào)時(shí) 圓周 運(yùn)動(dòng) 若 取 負(fù) 號(hào) 時(shí) 圓周 軌跡在 下 方 不影 響解 題 所 以下面 就 以取 正 號(hào) 分 析 所 以質(zhì) 點(diǎn) 的運(yùn) 動(dòng)可 看 成一 個(gè) 以速度 大 小 為 的勻 速 圓周 運(yùn) 動(dòng)和一 個(gè) 的勻速 直線 運(yùn)動(dòng) 的合成 圓周運(yùn) 動(dòng) 的周期 與速 度 無(wú)關(guān) T 2 rim 一 當(dāng)粒 子第 次 回到直線 n 6上 時(shí) 恰好 到 達(dá) b點(diǎn) z w o nt n 一 一 1 2 3 B B a B 一一一 一一一一一一一一 b 0 B b 圖 6 3 由 2 易知 a到 b的時(shí) 間為 T 一 一 1 2 3 4 解 決此 問(wèn)與 上 面 的方 法 一 樣 只需 要 把 初 速度為零等效一個(gè)沿 方向的 和與 方 向相反 一 66一 的 一 質(zhì) 點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng) 等效 為一個(gè) 沿 方 向的速度 大 小 為 口 的勻速 直線 運(yùn)動(dòng) 和 以速 度 大小 為 的勻 速 圓周運(yùn) 動(dòng) 的合成 如 圖 6 b 所 示 圓周 運(yùn) 動(dòng) 的周 期 與速度 無(wú) 關(guān) 仍 為 T 害 當(dāng)粒 子第 z 次 回到直線 n 6上 時(shí) 恰 好到達(dá) b點(diǎn) z W o n丁 一 一 1 2 3 所 以可 以通過(guò) b點(diǎn) 當(dāng)勻 速 圓周 運(yùn) 動(dòng) 到最 低 點(diǎn) 時(shí) 兩 分速 度 方 向相 同 速度最 大 即 2 一 在 1 7世紀(jì) 大批卓越的物理學(xué)家 數(shù)學(xué)家 如伽 利略 帕斯卡 托里拆利 笛卡兒 費(fèi)爾馬 伍任 瓦里 斯 惠更 斯 約翰 伯努 里 萊 布 尼 茲 牛頓 等 等 熱 心 于研究 這一 曲線 的 性 質(zhì) 所 以各 大考 試 中 出現(xiàn) 試 題是歷史發(fā)展的必然 在平時(shí)的教學(xué)中我們教師不 要 忘記物 理學(xué) 史 對(duì)一 些 歷 史 上 重 要 的研 究 方 法 和 思維還是很有必要 向?qū)W生介紹 讓學(xué)生領(lǐng)略大師們 是如何去研究復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的 在分析物體做復(fù)雜運(yùn)動(dòng)時(shí) 如能揭示出其運(yùn)動(dòng) 的數(shù)學(xué)原 理 和客觀 背 景 能夠 將 物 體 運(yùn) 動(dòng)規(guī) 律 的 本 質(zhì)表現(xiàn)出來(lái) 物理情景就會(huì)更為明朗 也會(huì)使抽象 的 數(shù) 學(xué)變 得有 生活 意義 參 考 文 獻(xiàn)