2019年高中數學第二章平面向量2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角練習新人教A版.docx

2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角1.a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)a等于(C)(A)-1(B)0(C)1(D)2解析:因為a=(1,-1),b=(-1,2),則(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.故選C.2.已知向量a=(1,-2),b=(2m,1),若ab,則m的值為(B)(A)-1(B)1(C)-(D)解析:向量a=(1,-2),b=(2m,1),若ab,可得2m-2=0,解得m=1.故選B.3.已知|a|=1,b=(0,2),且ab=1,則向量a與b夾角的大小為(C)(A)(B)(C)(D)解析:因為|a|=1,b=(0,2),且ab=1,設a,b夾角為,所以cos =,所以=,所以向量a與b夾角的大小為.故選C.4.已知向量a=(1,-2),b=(x,4),且ab,則|a-b|等于(B)(A)5(B)3(C)2(D)2解析:因為ab,所以4+2x=0,所以x=-2,a-b=(1,-2)-(-2,4)=(3,-6),所以|a-b|=3.故選B.5.設向量a=(1,0),b=（,）,則下列結論中正確的是(C)(A)|a|=|b| (B)ab=(C)a-b與b垂直(D)ab解析:A項,因為|a|=1,|b|=,所以|a|b|.故A錯誤.B項,因為ab=1+0=,故B錯誤.C項,因為a-b=(1,0)-（,）=（,-） ,所以(a-b)b=（,-）（,）=-=0,所以a-b與b垂直,故C正確.D項,因為1-00,所以a不平行于b,故D錯誤.故選C.6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c滿足(c+a)b,c(a+b),則c等于(D)(A)（,）(B)（-,-）(C)（,） (D)（-,-）解析:設c=(m,n),則a+c=(1+m,2+n),a+b=(3,-1).由(c+a)b,得2(2+n)-(-3)(1+m)=0,由c(a+b),得3m-n=0.聯立,解得所以c=（-,-）.故選D.7.與向量a=（,）,b=（,-）的夾角相等,且模為1的向量是(B)(A)（,-）(B)（,-）或（-,）(C)（,-）(D)（,-）或（-,）解析:設與向量a=（,）,b=（,-）的夾角相等,且模為1的向量為(x,y),則解得或8. 若函數y=Asin(x+)（A0,0,|）在一個周期內的圖象如圖所示,M,N分別是這段圖象的最高點和最低點,且=0(O為坐標原點),則A等于(B) (A)(B)(C)(D)解析:由題意知M（,A）,N（,-A）,又因為=-A2=0,所以A=.故選B.9.已知a=(3,-2),a+b=(0,2),則|b|=.解析:因為a=(3,-2),a+b=(0,2),所以b=(a+b)-a=(-3,4),所以|b|=5.答案:510.已知向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),且ab,則a+b與a-b的夾角的大小是.解析:法一(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=1-1=0,所以a+b與a-b的夾角為.法二設=a=(cos ,sin ),=b=(cos ,sin ),則|=|=1.所以a+b與a-b分別表示以,為鄰邊的菱形OACB的兩條對角線所對應的向量,由菱形的對角線垂直知a+b與a-b的夾角為.答案:11.在平面直角坐標系xOy中,已知=(3,-1),=(0,2).若=0,=,則實數的值為.解析:由已知得=(-3,3),設C(x,y),則=-3x+3y=0,所以x=y.=(x-3,y+1).又=,即(x-3,y+1)=(0,2),所以由x=y得,y=3,所以=2.答案:212.已知a=(,2),b=(-3,5).(1)若a與b的夾角是鈍角,則;(2)若a與b的夾角是銳角,則.解析:(1)因為a,b的夾角為鈍角,所以ab=(,2)(-3,5)=-3+10.又當反向時,不存在,所以（,+）.(2)因為a,b的夾角為銳角,所以ab=|a|b|cos0,所以-3+100,所以.又當=-時,=0不合題意.所以的范圍為（-,-）（-,） .答案:(1)（,+）(2)（-,-)(-,)13.已知向量a=(1,2),b=(2,-2).(1)設c=4a+b,求(bc)a;(2)若a+b與a垂直,求的值;(3)求向量a在b方向上的投影.解:(1)因為a=(1,2),b=(2,-2).所以c=4a+b=(4,8)+(2,-2)=(6,6),所以bc=26-26=0,所以(bc)a=0.(2)a+b=(1,2)+(2,-2)=(2+1,2-2),由于a+b與a垂直,所以2+1+2(2-2)=0,所以=.(3)設向量a與b的夾角為,向量a在b方向上的投影為|a|cos ,所以|a|cos =|a|=-.14.已知a,b,c是同一平面內的三個向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=2,且ca,求c的坐標;(2)若|b|=,且a+2b與a-b垂直,求a與b的夾角.解:(1)由于a,b,c是同一平面內的三個向量,其中a=(1,2),且ca,可設c=a=(,2),則由|c|=2,可得=2,所以c=(2,4),或c=(-2,-4).(2)因為|b|=,且a+2b與a-b垂直,所以(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2=0,化簡可得ab=-,即cos =-,所以cos =-1,故a與b的夾角=.15.在平面直角坐標系中,O為坐標原點,已知向量a=(-1,2),又點A(8,0),B(n,t),C(ksin ,t)(0).(1)若a,且|=|,求向量;(2)若向量與向量a共線,當k4,且tsin 取最大值4時,求.解:(1)由題設知=(n-8,t),因為a,所以8-n+2t=0.又因為|=|,所以564=(n-8)2+t2=5t2,得t=8.當t=8時,n=24;當t=-8時,n=-8,所以=(24,8)或=(-8,-8).(2)由題設知=(ksin -8,t),因為與a共線,所以t=-2ksin +16,tsin =(-2ksin +16)sin =-2k(sin -)2+.因為k4,所以01,所以當sin =時,tsin 取得最大值.由=4,得k=8,此時=,=(4,8),所以=(8,0)(4,8)=32.16.在邊長為1的正方形ABCD中,M為BC的中點,點E在線段AB上運動,則的取值范圍是(C)(A),2(B)0,(C),(D)0,1解析: 如圖所示,以AB,AD分別為x,y軸建立平面直角坐標系,進而可得C(1,1),M(1,),設E(x,0)(0x1),=(1-x,1),=(1-x,),=(1-x)(1-x)+1=x2-2x+.因為0x1,所以當x=1時,()min=;當x=0時,()max=.17.在直角三角形ABC中,ACB=90,AC=BC=2,點P是斜邊AB上的一個三等分點,則+等于(A)(A)4(B)(C)-(D)0解析: 建立如圖所示平面直角坐標系,A(2,0),B(0,2),=(-2,2),當=(-,)時,由=(2,0)得=+=(,),所以+=(+)=(,)(2,2)=+=4;當=時,同理可得+=4,故選A.18.如圖,在24的方格紙中,若a和b是起點和終點均在格點的向量,則向量2a+b與a-b的夾角余弦值是.解析:由題意可設a=(2,-1),b=(3,2),所以2a+b=(7,0),a-b=(-1,-3),因此向量2a+b與a-b的夾角余弦值是=-.答案:-19. 如圖,已知在ABC中,A=,AB=2,AC=4,=,=,=,則的值為.解析:以A為原點,AC為x軸,AB為y軸建立平面直角坐標系,則C(4,0),B(0,2),E(2,0),F(0,1),由=可求D（1,）,所以=（）1,-）,=（-1,-）,則=-1+=-.答案:-20. 如圖所示,以坐標原點O為圓心的單位圓與x軸正半軸相交于點A,點B,P在單位圓上,且B（-,）,AOB=.(1)求的值;(2)設AOP=（）,=+,四邊形OAQP的面積為S,f()=(-1)2+S-1,求f()的最值及此時的值.解:(1)tan =-2,=-10.(2)由已知得P(cos ,sin ),又=+,|=|,所以四邊形OAQP為菱形