（全國通用）2019屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.3 圓的方程學(xué)案.doc

9.3圓的方程最新考綱考情考向分析掌握確定圓的幾何要素，掌握圓的標(biāo)準方程與一般方程.以考查圓的方程，與圓有關(guān)的軌跡問題、最值問題也是考查的熱點，屬中檔題題型主要以選擇、填空題為主，要求相對較低，但內(nèi)容很重要，有時也會在解答題中出現(xiàn).圓的定義與方程定義平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡叫做圓方程標(biāo)準式(xa)2(yb)2r2(r0)圓心為(a，b)半徑為r一般式x2y2dxeyf0充要條件：d2e24f0圓心坐標(biāo)：半徑r知識拓展1確定圓的方程的方法和步驟確定圓的方程主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準方程或一般方程(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a，b，r或d，e，f的方程組(3)解出a，b，r或d，e，f代入標(biāo)準方程或一般方程2點與圓的位置關(guān)系點和圓的位置關(guān)系有三種已知圓的標(biāo)準方程(xa)2(yb)2r2，點m(x0，y0)(1)點在圓上：(x0a)2(y0b)2r2；(2)點在圓外：(x0a)2(y0b)2r2；(3)點在圓內(nèi)：(x0a)2(y0b)20.()(4)方程x22axy20一定表示圓()(5)若點m(x0，y0)在圓x2y2dxeyf0外，則xydx0ey0f0.()(6)方程(xa)2(yb)2t2(tr)表示圓心為(a，b)，半徑為t的圓()題組二教材改編2p132a組t3(2018南昌模擬)以點(3，1)為圓心，并且與直線3x4y0相切的圓的方程是()a(x3)2(y1)21b(x3)2(y1)21c(x3)2(y1)21d(x3)2(y1)21答案a3p124a組t4圓c的圓心在x軸上，并且過點a(1,1)和b(1,3)，則圓c的方程為_答案(x2)2y210解析設(shè)圓心坐標(biāo)為c(a,0)，點a(1,1)和b(1,3)在圓c上，|ca|cb|，即，解得a2，圓心為c(2,0)，半徑|ca|，圓c的方程為(x2)2y210.題組三易錯自糾4若方程x2y2mx2y30表示圓，則m的取值范圍是()a(，)(，)b(，2)(2，)c(，)(，)d(，2)(2，)答案b解析將x2y2mx2y30化為圓的標(biāo)準方程得2(y1)22.由其表示圓可得20，解得m2.5若點(1,1)在圓(xa)2(ya)24的內(nèi)部，則實數(shù)a的取值范圍是()a1a1 b0a1或a1 da4答案a解析點(1,1)在圓內(nèi)，(1a)2(a1)24，即1a0)，又圓與直線4x3y0相切，1，解得a2或a(舍去)圓的標(biāo)準方程為(x2)2(y1)21.故選a.題型一圓的方程典例 (1)過點a(4,1)的圓c與直線xy10相切于點b(2，1)，則圓c的方程為_答案(x3)2y22解析方法一由已知kab0，所以ab的中垂線方程為x3.過點b且垂直于直線xy10的直線方程為y1(x2)，即xy30，聯(lián)立，解得所以圓心坐標(biāo)為(3,0)，半徑r，所以圓c的方程為(x3)2y22.方法二設(shè)圓方程為(xa)2(yb)2r2(r0)，因為點a(4,1)，b(2,1)都在圓上，故又因為1，解得a3，b0，r，故所求圓的方程為(x3)2y22.(2)已知圓c經(jīng)過p(2,4)，q(3，1)兩點，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓c的方程為_答案x2y22x4y80或x2y26x8y0解析設(shè)圓的方程為x2y2dxeyf0(d2e24f0)，將p，q兩點的坐標(biāo)分別代入得又令y0，得x2dxf0.設(shè)x1，x2是方程的兩根，由|x1x2|6，即(x1x2)24x1x236，得d24f36，由解得d2，e4，f8或d6，e8，f0.故所求圓的方程為x2y22x4y80或x2y26x8y0.思維升華 (1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程(2)待定系數(shù)法若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準方程，求出a，b，r的值；選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于d，e，f的方程組，進而求出d，e，f的值跟蹤訓(xùn)練 (2017廣東七校聯(lián)考)一個圓與y軸相切，圓心在直線x3y0上，且在直線yx上截得的弦長為2，則該圓的方程為_答案x2y26x2y10或x2y26x2y10解析方法一所求圓的圓心在直線x3y0上，設(shè)所求圓的圓心為(3a，a)，又所求圓與y軸相切，半徑r3|a|，又所求圓在直線yx上截得的弦長為2，圓心(3a，a)到直線yx的距離d，d2()2r2，即2a279a2，a1.故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法二設(shè)所求圓的方程為(xa)2(yb)2r2，則圓心(a，b)到直線yx的距離為，r27，即2r2(ab)214.由于所求圓與y軸相切，r2a2，又所求圓的圓心在直線x3y0上，a3b0，聯(lián)立，解得或故所求圓的方程為(x3)2(y1)29或(x3)2(y1)29，即x2y26x2y10或x2y26x2y10.方法三設(shè)所求圓的方程為x2y2dxeyf0，則圓心坐標(biāo)為，半徑r.在圓的方程中，令x0，得y2eyf0.由于所求圓與y軸相切，0，則e24f.圓心到直線yx的距離為d，由已知得d2()2r2，即(de)2562(d2e24f)又圓心在直線x3y0上，d3e0.聯(lián)立，解得或故所求圓的方程為x2y26x2y10或x2y26x2y10.題型二與圓有關(guān)的最值問題典例 已知點(x，y)在圓(x2)2(y3)21上，求xy的最大值和最小值解設(shè)txy，則yxt，t可視為直線yxt在y軸上的截距，xy的最大值和最小值就是直線與圓有公共點時直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時在y軸上的截距由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得t1或t1.xy的最大值為1，最小值為1.引申探究1在本例的條件下，求的最大值和最小值解可視為點(x，y)與原點連線的斜率，的最大值和最小值就是與該圓有公共點的過原點的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時的斜率設(shè)過原點的直線的方程為ykx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即1，解得k2或k2，的最大值為2，最小值為2.2在本例的條件下，求的最大值和最小值解，求它的最值可視為求點(x，y)到定點(1,2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，3)到定點(1,2)的距離與半徑的和或差又圓心到定點(1,2)的距離為，的最大值為1，最小值為1.思維升華 與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解(2)與圓上點(x，y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法形如u型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(a，b)和點(x，y)的直線的斜率的最值問題；形如taxby型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題；形如(xa)2(yb)2型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點(a，b)的距離的平方的最值問題跟蹤訓(xùn)練 已知點p(x，y)在圓c：x2y26x6y140上(1)求的最大值和最小值；(2)求xy的最大值與最小值解(1)方程x2y26x6y140可變形為(x3)2(y3)24.表示圓上的點p與原點連線的斜率，顯然當(dāng)po(o為原點)與圓相切時，斜率最大或最小，如圖所示設(shè)切線方程為ykx，即kxy0，由圓心c(3,3)到切線的距離等于半徑2，可得2，解得k，所以的最大值為，最小值為.(2)設(shè)xyb，則b表示動直線yxb在y軸上的截距，顯然當(dāng)動直線yxb與圓(x3)2(y3)24相切時，b取得最大值或最小值，如圖所示由圓心c(3,3)到切線xyb的距離等于圓的半徑2，可得2，即|b6|2，解得b62，所以xy的最大值為62，最小值為62.題型三與圓有關(guān)的軌跡問題典例 (2017濰坊調(diào)研)已知圓x2y24上一定點a(2,0)，b(1,1)為圓內(nèi)一點，p，q為圓上的動點(1)求線段ap中點的軌跡方程；(2)若pbq90，求線段pq中點的軌跡方程解(1)設(shè)ap的中點為m(x，y)，由中點坐標(biāo)公式可知，p點坐標(biāo)為(2x2,2y)因為p點在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24，故線段ap中點的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)pq的中點為n(x，y)，在rtpbq中，|pn|bn|.設(shè)o為坐標(biāo)原點，連接on，則onpq，所以|op|2|on|2|pn|2|on|2|bn|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段pq中點的軌跡方程為x2y2xy10.思維升華 求與圓有關(guān)的軌跡問題時，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程(4)代入法：找到要求點與已知點的關(guān)系，代入已知點滿足的關(guān)系式等跟蹤訓(xùn)練 (2017河北衡水中學(xué)調(diào)研)已知rtabc的斜邊為ab，且a(1,0)，b(3,0)求：(1)直角頂點c的軌跡方程；(2)直角邊bc的中點m的軌跡方程解(1)方法一設(shè)c(x，y)，因為a，b，c三點不共線，所以y0.因為acbc，所以kackbc1，又kac，kbc，所以1，化簡得x2y22x30.因此，直角頂點c的軌跡方程為x2y22x30(y0)方法二設(shè)ab的中點為d，由中點坐標(biāo)公式得d(1,0)，由直角三角形的性質(zhì)知|cd|ab|2.由圓的定義知，動點c的軌跡是以d(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于a，b，c三點不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點)所以直角頂點c的軌跡方程為(x1)2y24(y0)(2)設(shè)m(x，y)，c(x0，y0)，因為b(3,0)，m是線段bc的中點，由中點坐標(biāo)公式得x，y，所以x02x3，y02y.由(1)知，點c的軌跡方程為(x1)2y24(y0)，將x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此動點m的軌跡方程為(x2)2y21(y0)利用幾何性質(zhì)巧設(shè)方程求半徑典例 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的交點都在圓c上，求圓c的方程思想方法指導(dǎo) 本題可采用兩種方法解答，即代數(shù)法和幾何法(1)一般解法(代數(shù)法)：可以求出曲線yx26x1與坐標(biāo)軸的三個交點，設(shè)圓的方程為一般式，代入點的坐標(biāo)求解析式(2)巧妙解法(幾何法)：利用圓的性質(zhì)，知道圓心一定在圓上兩點連線的垂直平分線上，從而設(shè)圓的方程為標(biāo)準式，簡化計算，顯然幾何法比代數(shù)法的計算量小，因此平時訓(xùn)練多采用幾何法解題規(guī)范解答解一般解法(代數(shù)法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(32，0)，(32，0)，設(shè)圓的方程是x2y2dxeyf0(d2e24f0)，則有解得故圓的方程是x2y26x2y10.巧妙解法(幾何法)曲線yx26x1與y軸的交點為(0,1)，與x軸的交點為(32，0)，(32，0)故可設(shè)c的圓心為(3，t)，則有32(t1)2(2)2t2，解得t1.則圓c的半徑為3，所以圓c的方程為(x3)2(y1)29.1已知點a(4，5)，b(6，1)，則以線段ab為直徑的圓的方程為()a(x1)2(y3)229b(x1)2(y3)229c(x1)2(y3)2116d(x1)2(y3)2116答案b解析由題意可知a(4，5)，b(6，1)，則以線段ab為直徑的圓的圓心為點，即(1，3)，半徑為，故以線段ab為直徑的圓的方程是(x1)2(y3)229.故選b.2圓心在y軸上，且過點(3,1)的圓與x軸相切，則該圓的方程是()ax2y210y0 bx2y210y0cx2y210x0 dx2y210x0答案b解析根據(jù)題意，設(shè)圓心坐標(biāo)為(0，r)，半徑為r，則32(r1)2r2，解得r5，可得圓的方程為x2y210y0.3(2017豫北名校聯(lián)考)圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對稱的圓的方程是()a(x)2(y1)24 b(x)2(y)24cx2(y2)24 d(x1)2(y)24答案d解析設(shè)圓(x2)2y24的圓心(2,0)關(guān)于直線yx對稱的點的坐標(biāo)為(a，b)，則有解得a1，b，從而所求圓的方程為(x1)2(y)24.故選d.4(2017福建廈門聯(lián)考)若a，則方程x2y2ax2ay2a2a10表示的圓的個數(shù)為()a0 b1c2 d3答案b解析方程x2y2ax2ay2a2a10表示圓的條件為a24a24(2a2a1)0，即3a24a40，解得2a2.所以點q在圓c外，所以|mq|max426，|mq|min422.(2)可知表示直線mq的斜率，設(shè)直線mq的方程為y3k(x2)，即kxy2k30，則k.因為直線mq與圓c有交點，所以2，可得2k2，所以的最大值為2，最小值為2.13已知圓c：(x3)2(y4)21，設(shè)點p是圓c上的動點記d|pb|2|pa|2，其中a(0,1)，b(0，1)，則d的最大值為_答案74解析設(shè)p(x0，y0)，d|pb|2|pa|2x(y01)2x(y01)22(xy)2.xy為圓上任一點到原點距離的平方，(xy)max(51)236，dmax74.14(2017運城二模)已知圓c截y軸所得的弦長為2，圓心c到直線l：x2y0的距離為，且圓c被x軸分成的兩段弧長之比為31，則圓c的方程為_答案(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22解析設(shè)圓c的方程為(xa)2(yb)2r2，則點c到x軸、y軸的距離分別為|b|，|a|.由題意可知或故所求圓c的方程為(x1)2(y1)22或(x1)2(y1)22.15(2017廣東七校聯(lián)考)圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0，b0)對稱，則的最小值是()a2 b.c4 d.答案d解析由圓