浮點(diǎn)數(shù)的表示和精度.doc

浮點(diǎn)數(shù)的表示和精度(2009-12-17 17:03:57) 轉(zhuǎn)載標(biāo)簽： it分類：C/C+如果a0，那么1+a一定大于1嗎？在數(shù)學(xué)上，答案是肯定的。但在計(jì)算機(jī)上，答案就與a的大小和浮點(diǎn)數(shù)的精度有關(guān)了。在matalb上，可以作以下計(jì)算： a=1/252a = 2.220446049250313e-016 1+a1ans = 1 a=1/253a = 1.110223024625157e-016 1+a1ans = 0可見，當(dāng)a等于1/253時(shí)，1+a1是不成立的。1 浮點(diǎn)數(shù)IEEE754定義了單精度浮點(diǎn)數(shù)和雙精度數(shù)浮點(diǎn)數(shù)，即float和double。float有32bit，double有64bit。它們都包括符號(hào)位、指數(shù)和尾數(shù)。 符號(hào)位 指數(shù) 尾數(shù)float 31(1) 30-23(8) 22-0(23)double 63(1) 62-52(11) 51-0(52)符號(hào)位有1bit，0表示正、1表示負(fù)。設(shè)一個(gè)數(shù)的指數(shù)是e，指數(shù)部分的值是bias+e。加上一個(gè)bias是為了表示負(fù)數(shù)。 float的bias是127，double的bias是1023。指數(shù)全0或全1有特殊含義，不算正常指數(shù)。 * float的指數(shù)部分有8bit，可以取值1254，減掉127，得到對(duì)應(yīng)的指數(shù)范圍-126127。 * double的指數(shù)部分有11位，可以取值12046，減掉1023，得到對(duì)應(yīng)的指數(shù)范圍-10221023。這里的指數(shù)是以2為底的，同樣尾數(shù)也是二進(jìn)制的。IEEE754要求浮點(diǎn)數(shù)以規(guī)范形式存儲(chǔ)，即小數(shù)點(diǎn)前有1位非零數(shù)字。對(duì)于二進(jìn)制數(shù)，非零數(shù)字只有1。所以IEEE754在存儲(chǔ)時(shí)省略了這個(gè)小數(shù)點(diǎn)前面的1，只存儲(chǔ)小數(shù)點(diǎn)后面的位。2 誤差看個(gè)例子，設(shè)：double a=0.2;在PC上，我們可以看到a對(duì)應(yīng)的存儲(chǔ)區(qū)數(shù)據(jù)是：9A 99 99 99 99 99 C9 3FPC的數(shù)據(jù)是小尾的，即低位字節(jié)在后，將其寫成高位字節(jié)在前，得到：3F C9 99 99 99 99 99 9A可見符號(hào)位為0。指數(shù)位是0x3FC，即1020，減掉1023，得到指數(shù)-3。尾數(shù)是999999999999A。所以完整的數(shù)字就是16進(jìn)制的1.999999999999A乘上2-3。即：a=(1+9*(1/16+1/162+.+1/1612)+10/1613)*2-3(1/16+.+1/1612)可以用等比級(jí)數(shù)求和公式a1*(1-qn)/(1-q)計(jì)算，其中a1=1/16，q=1/16，n=12，因此：a=(1+9*(1-1/1612)/15+10/1613)*2-3用windows的計(jì)算器計(jì)算上式，得到a=0.2000 0000 0000 0000 1110 2230 2462 5157這也不是精確解，但已經(jīng)可以看到用double表示0.2時(shí)存在的誤差。這個(gè)例子說明在用有限字長的二進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù)表示任意實(shí)數(shù)a可能引入誤差。設(shè)實(shí)數(shù)a的指數(shù)為e，尾數(shù)位數(shù)為n，顯然：誤差1的最小浮點(diǎn)數(shù)。其中fl(1+)是1+的浮點(diǎn)表示。顯然double的機(jī)器精度是1/252。float的機(jī)器精度是1/223。 matlab內(nèi)部采用double，1+1/253對(duì)double來說就是1，所以1+1/253不會(huì)大于1。對(duì)于規(guī)范數(shù)來說，因?yàn)樾?shù)點(diǎn)前默認(rèn)有個(gè)1，所以float的有效數(shù)字是24bit，對(duì)應(yīng)8位十進(jìn)制有效數(shù)字； double的有效數(shù)字是53bit，對(duì)應(yīng)16位十進(jìn)制有效數(shù)字。4 特殊的浮點(diǎn)數(shù)前面提到浮點(diǎn)數(shù)的指數(shù)全0或全1有特殊含義，讓我們來看看這些特殊的浮點(diǎn)數(shù)： * 指數(shù)和尾數(shù)都是全0表示0。根據(jù)符號(hào)位不同可以分為+0和-0。 * 指數(shù)全0，尾數(shù)不為全0，這些數(shù)是非規(guī)范數(shù)，即尾數(shù)部分不假設(shè)前面存在小數(shù)點(diǎn)前的1?；蛘哒f這些數(shù)太接近0了，因?yàn)橹笖?shù)已經(jīng)不能再小，所以這些數(shù)不能寫成規(guī)范形式。例如：double數(shù)0000 0000 0000 0001的尾數(shù)是0 0000 0000 0001，即1/252，對(duì)應(yīng)的數(shù)是1/(252)*2-1022，即4.9406564584124654e-324。 * 指數(shù)全1，尾數(shù)全0表示無窮大，即inf。根據(jù)符號(hào)位不同可以分為+inf和-inf。 * 指數(shù)全1，尾數(shù)不為全0表示NaN，即Not a Number，不是數(shù)。尾數(shù)最高位為1的NaN被稱作QNaN（Quiet NaN）。尾數(shù)最高位為0的NaN被稱作SNaN（Signalling NaN）。通常用QNaN表示不確定的操作，用SNaN表示無效的操作。在計(jì)算機(jī)內(nèi)部，double就是一個(gè)64位數(shù)。從0x0000 0000 0000 00000xFFFF FFFF FFFF FFFF，每個(gè)64位數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)浮點(diǎn)數(shù)或NaN。我寫了一個(gè)小程序，按照64位無符號(hào)整數(shù)的順序打印出典型的浮點(diǎn)數(shù)。表格的第一列是浮點(diǎn)數(shù)的內(nèi)部表示。為了便于閱讀，按大尾順序輸出。第二列是對(duì)應(yīng)的浮點(diǎn)數(shù)。第三列是注釋，對(duì)于非規(guī)范數(shù)和規(guī)范數(shù)給出了由內(nèi)部表示計(jì)算數(shù)值的matlab算式。注意在 C/C+中，252要寫成pow(2.0,52.0)。0000 0000 0000 0000 0.0000000000000000e+000 +00000 0000 0000 0001 4.9406564584124654e-324 1/(252)*2-1022000F FFFF FFFF FFFF 2.2250738585072009e-308 .5*(1-.552)/(1-.5)*2-10220010 0000 0000 0000 2.2250738585072014e-308 1.0*2-10220010 0000 0000 0001 2.2250738585072019e-308 (1+1/252)*2(-1022)001F FFFF FFFF FFFF 4.4501477170144023e-308 (1+.5*(1-.552)/(1-.5)*2-10220020 0000 0000 0000 4.4501477170144028e-308 1.0*2-10213FF0 0000 0000 0000 1.0000000000000000e+000 1.03FF0 0000 0000 0001 1.0000000000000002e+000 1.0+1/(252)3FFF FFFF FFFF FFFF 1.9999999999999998e+000 1+.5*(1-.552)/(1-.5)4000 0000 0000 0000 2.0000000000000000e+000 1.0*217FEF FFFF FFFF FFFF 1.7976931348623157e+308 (1+.5*(1-.552)/(1-.5)*210237FF0 0000 0000 0000 1.#INF000000000000e+000 +INF7FF0 0000 0000 0001 1.#SNAN00000000000e+000 SNaN7FF7 FFFF FFFF FFFF 1.#SNAN00000000000e+000 SNaN7FF8 0000 0000 0000 1.#QNAN00000000000e+000 QNaN7FFF FFFF FFFF FFFF 1.#QNAN00000000000e+000 QNaN8000 0000 0000 0000 0.0000000000000000e+000 -08000 0000 0000 0001 -4.9406564584124654e-324 -(1/(252)*2-1022)800F FFFF FFFF FFFF -2.2250738585072009e-308 -(.5*(1-.552)/(1-.5)*2-1022)8010 0000 0000 0000 -2.2250738585072014e-308 -(1.0*2-1022)8010 0000 0000 0001 -2.2250738585072019e-308 -(1+1/252)*2(-1022)801F FFFF FFFF FFFF -4.4501477170144023e-308 -(1+.5*(1-.552)/(1-.5)*2-1022)8020 0000 0000 0000 -4.4501477170144028e-308 -(1.0*2-1021)BFF0 0000 0000 0000 -1.0000000000000000e+000 -1.0BFFF FFFF FFFF FFFF -1.9999999999999998e+000 -(1+.5*(1-.552)/(1-.5)C000 0000 0000 0000 -2.0000000000000000e+000 -(1.0*21)FFEF FFFF FFFF FFFF -1.7976931348623157e+308 -(1+.5*(1-.552)/(1-.5)*21023)FFF0 0000 0000 0000 -1.#INF000000000000e+000 -INFFFF0 0000 0000 0001 -1.#SNAN00000000000e+000 SNaNFFF7 FFFF FFFF FFFF -1.#SNAN00000000000e+000 SNaNFFF8 0000 0000 0000 -1.#IND000000000000e+000 QNaNFFFF FFFF FFFF FFFF -1.#QNAN00000000000e+000 QNaN從表中可以看到，double內(nèi)部表示的設(shè)計(jì)是很有規(guī)律的，按照對(duì)應(yīng)64位數(shù)的順序依次為 +0、正非規(guī)范數(shù)、正規(guī)范數(shù)、正無窮大、符號(hào)位為正的NaN、-0、負(fù)非規(guī)范數(shù)、負(fù)規(guī)范數(shù)、負(fù)無窮大、符號(hào)位為負(fù)的NaN。double內(nèi)部表示的設(shè)計(jì)保持了浮點(diǎn)數(shù)的有序性。即：如果正double數(shù)a正double數(shù)b，則a對(duì)應(yīng)的64位無符號(hào)整數(shù)b對(duì)應(yīng)的64位無符號(hào)整數(shù)。負(fù)數(shù)因?yàn)椴盍藗€(gè)符號(hào)，