2018版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)離散型隨機變量及其分布列教師用書理新人教版.docx

第十二章 概率、隨機變量及其分布 12.4 離散型隨機變量及其分布列教師用書 理 新人教版1離散型隨機變量隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X，Y，表示，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量2離散型隨機變量的分布列及性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，X取每一個值xi(i1,2，n)的概率P(Xxi)pi，則表Xx1x2xixnPp1p2pipn稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時也用等式P(Xxi)pi，i1,2，n表示X的分布列(2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)pi0，i1,2，n；i1.3常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布若隨機變量X服從兩點分布，即其分布列為X01P1pp其中pP(X1)稱為成功概率(2)超幾何分布一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則P(Xk)，k0,1,2，m，其中mminM，n，且nN，MN，n，M，NN*.如果隨機變量X的分布列具有下表形式，X01mP則稱隨機變量X服從超幾何分布【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量()(2)離散型隨機變量的分布列描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象()(3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)X服從兩點分布()(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名演員，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布()(5)離散型隨機變量的分布列中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.()(6)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()1(教材改編)拋擲甲、乙兩顆骰子，所得點數(shù)之和為X，那么X4表示的事件是()A一顆是3點，一顆是1點B兩顆都是2點C甲是3點，乙是1點或甲是1點，乙是3點或兩顆都是2點D以上答案都不對答案C解析根據(jù)拋擲兩顆骰子的試驗結(jié)果可知，C正確2設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X0)等于()A0 B. C. D.答案C解析設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X0”表示試驗失敗，“X1”表示試驗成功，由p2p1，得p，故選C.3從標有110的10支竹簽中任取2支，設(shè)所得2支竹簽上的數(shù)字之和為X，那么隨機變量X可能取得的值有()A17個 B18個 C19個 D20個答案A解析X可能取得的值有3,4,5，19，共17個4從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設(shè)其中有X個紅球，則隨機變量X的分布列為X012P答案0.10.60.3解析X的所有可能取值為0,1,2，P(X0)0.1，P(X1)0.6，P(X2)0.3.X的分布列為X012P0.10.60.35.(教材改編)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)X是一個隨機變量，則P(X4)的值為_答案解析由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，故P(X4).題型一離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)例1(1)設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X101P23qq2則q等于()A1 B.C. D.答案C解析23qq21，q23q0，解得q.又由題意知0q2，q.(2)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求2X1的分布列解由分布列的性質(zhì)知020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表為X012342X113579從而2X1的分布列為2X113579P0.20.10.10.30.3引申探究1在本例(2)的條件下，求隨機變量|X1|的分布列解由(2)知m0.3，列表X01234|X1|10123P(1)P(X0)P(X2)0.20.10.3，P(0)P(X1)0.1，P(2)P(X3)0.3，P(3)P(X4)0.3.故|X1|的分布列為0123P0.10.30.30.32.若本例(2)中條件不變，求隨機變量X2的分布列解依題意知的值為0,1,4,9,16.P(0)P(X20)P(X0)0.2，P(1)P(X21)P(X1)0.1，p(4)P(X24)P(X2)0.1，P(9)P(X29)P(X3)0.3，P(16)P(X216)P(X4)0.3，014916P0.20.10.10.30.3思維升華(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2)求隨機變量在某個范圍內(nèi)的概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)各隨機變量對應(yīng)的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式設(shè)隨機變量X的分布列為P(X)ak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求P(X)；(3)求P(X)解(1)由分布列的性質(zhì)，得P(X)P(X)P(X)P(X)P(X1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)P(X)P(X)P(X)P(X1)345.(3)P(X)P(X)P(X)P(X).題型二離散型隨機變量的分布列的求法命題點1與排列組合有關(guān)的分布列的求法例2(2015重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列解(1)令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有P(A).(2)X的所有可能值為0,1,2，且P(X0)，P(X1)，P(X2).綜上知，X的分布列為X012P命題點2與互斥事件有關(guān)的分布列的求法例3(2015安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列解(1)記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A，P(A).(2)X的可能取值為200,300,400.P(X200)，P(X300)，P(X400)1P(X200)P(X300)1.故X的分布列為X200300400P命題點3與獨立事件(或獨立重復(fù)試驗)有關(guān)的分布列的求法例4(2016蚌埠模擬)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結(jié)果相互獨立(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”則P(Ak)，P(Bk)，k1,2,3,4,5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)222.(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列為X2345P思維升華求離散型隨機變量X的分布列的步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是求隨機變量所取值對應(yīng)的概率，在求解時，要注意應(yīng)用計數(shù)原理、古典概型等知識(2016湖北部分重點中學(xué)第一次聯(lián)考)連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，令第i次得到的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱k為你的幸運數(shù)字(1)求你的幸運數(shù)字為3的概率；(2)若k1，則你的得分為6分；若k2，則你的得分為4分；若k3，則你的得分為2分；若拋擲三次還沒找到你的幸運數(shù)字，則記0分，求得分的分布列解(1)設(shè)“連續(xù)拋擲3次骰子，和為6”為事件A，則它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均為2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有兩次均為1，一次為4.A1，A2，A3為互斥事件，則P(A)P(A1)P(A2)P(A3)C()3CCCC()2.(2)由已知得的可能取值為6,4,2,0，P(6)，P(4)()22C，P(2)，P(0)1.故的分布列為6420P題型三超幾何分布例5(2017濟南質(zhì)檢)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學(xué)當量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物根據(jù)現(xiàn)行國家標準GB30952012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標從某自然保護區(qū)2016年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)25,35(35,45(45,55(55,65(65,75(75,85頻數(shù)311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達到一級的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標的天數(shù)，求的分布列解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達到一級”為事件A，則P(A).(2)依據(jù)條件，服從超幾何分布，其中N10，M3，n3，且隨機變量的可能取值為0,1,2,3.P(k)(k0,1,2,3)P(0)，P(1)，P(2)，P(3).故的分布列為0123P思維升華(1)超幾何分布的兩個特點超幾何分布是不放回抽樣問題；隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)(2)超幾何分布的應(yīng)用條件兩類不同的物品(或人、事)；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這10名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動(每位同學(xué)被選到的可能性相同)(1)求選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率；(2)設(shè)X為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量X的分布列解(1)設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件A，則P(A).故選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率為.(2)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.P(Xk)(k0,1,2,3)P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).故隨機變量X的分布列是X0123P17離散型隨機變量的分布列典例某射手有5發(fā)子彈，射擊一次命中概率為0.9.如果命中就停止射擊，否則一直到子彈用盡，求耗用子彈數(shù)的分布列錯解展示現(xiàn)場糾錯解P(1)0.9，P(2)0.10.90.09，P(3)0.10.10.90.009，P(4)0.130.90.000 9，P(5)0.140.000 1.的分布列為12345P0.90.090.0090.000 90.000 1糾錯心得(1)隨機變量的分布列，要弄清變量的取值，還要清楚變量的每個取值對應(yīng)的事件及其概率(2)驗證隨機變量的概率和是否為1.1(2016太原模擬)某射手射擊所得環(huán)數(shù)X的分布列為X45678910P0.020.040.060.090.280.290.22則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)大于7”的概率為()A0.28 B0.88 C0.79 D0.51答案C解析根據(jù)X的分布列知，所求概率為0.280.290.220.79.2(2016岳陽模擬)設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列為X101P12qq2則q等于()A1 B1 C1 D1答案C解析由題意知即解得q1.3(2016鄭州模擬)已知隨機變量X的分布列為P(Xi)(i1,2,3,4)，則P(2X4)等于()A. B. C. D.答案B解析由分布列的性質(zhì)知，1，則a5，P(28且nN*)，其中女