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1 基礎拓撲學講義 部分習題解答二 基礎拓撲學講義 部分習題解答二 P 28 Ex1 設 fXY 是映射 下列條件是等價的 1 fXY 是連續(xù)映射 2 若 是Y的一組拓撲基 內(nèi)每個成員的反像 為X的開集 3 f Af A 對于X的任意子集A 4 11 fBfB 對于Y的任意子集B 5 Y內(nèi)任意閉集的反像為X的閉集 證證 1 2 5 1 書本上定理 1 1 已證 2 3 設A為X的子集 顯然 f Af A 因此只 需證明若xAA 則點 f x為 f A的聚點 事實上 設 N是 f x在Y中的一個鄰域 我們可以找到 內(nèi)的開集B 使得 f xBN 集合 1 fB 是X的開集 從而是x的一 個鄰域 但xAA 故 1 fB 必含有A的點 因此B含有 f A的點 從而N含有 f A的點 故 f x為 f A的聚點 3 4 由 3 得 11 f fBf fBB 于是有 11 fBfB 4 5 設B是Y的閉集 因 111 fBfBfB 2 故 1 fB 是X的閉集 Ex2 設B是Y的子集 i BY 是包含映射 fXB 是一映射 證明f連續(xù) ifXY 連續(xù) 證證 因i和f均連續(xù) 故 ifXY 連續(xù) 設V是B的開集 因B是Y的子集 故存在Y的 開集U 有 1 VUBiU 而if 連續(xù) 故 1111 ifUfiUfV 是X的開集 所以f連續(xù) Ex3 若 fXY 是同胚映射 AX 則 fA AY 是 嵌入映射 證證 只需證 fA Af A 是同胚映射 而 fA一一 顯然 fA跟它的逆映射的連續(xù)性由上題可以得到 Ex7 設 fXY 是滿的連續(xù)映射 其中X是可分的 證明Y也是可分的 證證 因X是可分的 故存在X的可數(shù)稠密子集A 有 AX 而f是滿的連續(xù)映射 由第 1 題的 2 可知 f Af Af XY 于是Y也是可分的 P 29 3 Ex8 證明恒等映射 Cf id 是連續(xù)映射 但 不是同胚映射 證證 因 fC 故 f 中的任何一個開集都是 C 的開集 因此 Cf id 是連續(xù)映射 而 fC 從而 1 id 不連續(xù) 于是id不是同胚映射 Ex9 規(guī)定 11 0 1 fEE 為 0 1 1 xx f x xx 將它作為 2 的子空間 Y 則投射 p XYx yx 是開映射但不是閉映射 因為X是閉集 但 0 p X 不 是 的閉集 4 例例 2 閉映射不是開映射 1 1 r 規(guī)定為 1 0 1 1 1 x r xx x x 0 當 0 xxd時

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