運用幾何畫板.doc

運用幾何畫板，加強思想方法教學 張映姜 唐洪浪 （廣東省湛江師范學院數(shù)科院 廣東湛江 524048） 數(shù)學課程標準實施后，數(shù)學的思想和方法成為了數(shù)學課程的重要內(nèi)容。在數(shù)學課程標準中，特別強調(diào)數(shù)學的思想與方法，將基本的數(shù)學思想方法與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本能力、基本的情感并列，在初中數(shù)學中，圖形的變換成為課程的重要內(nèi)容，要求學生通過實例了解平移、旋轉(zhuǎn)、對稱變換，理解變換的性質(zhì)；在高中數(shù)學中，函數(shù)、數(shù)形結(jié)合仍是數(shù)學課程的重要思想方法。加強數(shù)學思想方法的教學仍然是當前數(shù)學教學的重要內(nèi)容。在高師院校，開設(shè)有數(shù)學思想方法概論選修課。如何正確地理解數(shù)學的思想和方法，加強數(shù)學思想方法的教學？我們認為，加強數(shù)學思想方法的教學，必須創(chuàng)設(shè)思想方法教學的條件。利用傳統(tǒng)的方法進行數(shù)學思想方法時，總會遇到較多的困難，如旋轉(zhuǎn)變換中難以突出旋轉(zhuǎn)角度與旋轉(zhuǎn)中心，明確地體現(xiàn)出旋轉(zhuǎn)變換的有關(guān)性質(zhì)。如果利用計算機中的優(yōu)秀軟件幾何畫板進行教學，不僅可以創(chuàng)設(shè)數(shù)學思想方法教學的環(huán)境，充分展示數(shù)學的思想與方法，而且還能讓學生運用幾何畫板進行數(shù)學思想方法的學習、研究、創(chuàng)造。這樣，幾何畫板不僅是教學的工具，而且也是學習的工具，更是研究、進行創(chuàng)作的工具。通過運用幾何畫板，揭示數(shù)學規(guī)律，充分體現(xiàn)數(shù)學思想和數(shù)學方法，把握數(shù)學的精髓。1利用幾何畫板中的坐標分離、軌跡構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的情境數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中相當重要的思想和方法。它的思想就是“化形為數(shù)，以數(shù)論形；或化數(shù)為形，以形論數(shù)”。下面以二次函數(shù)y=a x3bx2cxd圖象作法為例，說明利用幾何畫板中的軌跡功能畫出函數(shù)圖象的過程，構(gòu)建數(shù)形結(jié)合的教學情境，體現(xiàn)數(shù)學的思想和方法。通過對函數(shù)圖象的觀察，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)不同，圖象也不同，我們還可以通過函數(shù)圖象研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、周期性、奇偶性等重要特征。函數(shù)的圖象就是通過化（代）數(shù)為形，以形論數(shù)來體現(xiàn)的。例1 作出二次函數(shù)y= a x3bx2cxd (其中a，b，c，d為常數(shù))圖象 在幾何畫板的編輯窗口，建立坐標軸，在橫坐標軸上任取點C； 利用計算器分離出點C的橫坐標，并改寫為x ； 選定x，雙擊，出現(xiàn)計算器，利用計算器計算a x3bx2cxd的值，并記為y； 選定x，y，根據(jù)畫點根據(jù)(x,y)，作出點P； 選定點C，P，單擊構(gòu)造/軌跡，于是得到y(tǒng)= a x3bx2cxd的圖象。2利用幾何畫板中的變量構(gòu)建實驗情境著名數(shù)學家歐拉曾說過：“數(shù)學這門科學，需要觀察，也需要實驗?！睂嶒炇菙?shù)學研究中很重要的方法。利用信息技術(shù)構(gòu)建實驗情境，通過運用實驗方法，進行數(shù)學教學活動。對于函數(shù)，普通高中數(shù)學課程標準中特別指出：“通過二次函數(shù)等，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義?！币虼耍缍魏瘮?shù)等教學，特別是含參變數(shù)a，b，c的函數(shù)y= a x2bxc，運用幾何畫板，就立即可構(gòu)建實驗情境，引導學生觀察，方便學生研究、概括，通過研究參變數(shù)a，b，c對函數(shù)y= a x2bxc圖象的影響，發(fā)現(xiàn)兩者間制約的規(guī)律。下面利用幾何畫板，創(chuàng)設(shè)含參變數(shù)a，b，c的函數(shù)y= a x2bxc的實驗情境，并進行教學。例2 作函數(shù)y= a x2bxc的圖象及參變數(shù)對圖象影響的實驗研究分二步進行：先作函數(shù)的圖象；然后，研究考慮怎樣研究二次函數(shù)的性質(zhì)。 在幾何畫板的編輯窗口，建立坐標軸，在橫軸上任取點D，并利用計算器分離出點D的橫坐標，并改寫為x ； 在橫軸上任取點E，過點E作橫軸的垂線 j，在垂線上任取點A，B，C，并利用計算器分離出點A，B，C的縱坐標，并依次記為a，b，c； 選定a，b，c，x，雙擊，出現(xiàn)計算器，利用計算器計算ax2bxc的值，并記為y； 選定x，y，根據(jù)畫點根據(jù)(x,y)，作出點P； 選定點D，P，單擊構(gòu)造/軌跡，于是得到參變數(shù)的二次函數(shù)y= a x2bxc的圖象。依次選定垂線 j，點A，或點B，或點C，分別構(gòu)建動畫a，動畫b，動畫c三個動畫按鈕。由上可知，a，b，c都是參變數(shù)，可以隨意改變大小。利用參變數(shù)a，b，c，我們可以進行二次函數(shù)y= a x2bxc的實驗，發(fā)現(xiàn)圖象的開口方向、開口大小、對稱軸隨參變數(shù)a，b，c的變化而變化的情況： 單擊動畫a，發(fā)現(xiàn)：a的正負決定圖象的開口方向，|a|的大小決定其開口大??； 單擊動畫c，發(fā)現(xiàn)：c的大小只改變頂點位置，不改變圖象的其它性質(zhì)； 單擊動畫b，觀察發(fā)現(xiàn)：b的大小不影響圖象的形狀、開口方向以及開口大小。3 利用幾何畫板的標識向量和運動制作平移變換平移變換是數(shù)學圖形變換中重要變換之一。四邊形的平移、三角形的平移等是數(shù)學變換的重要內(nèi)容之一。數(shù)學課堂上經(jīng)常要進行幾何圖形的平移變換。平移不僅是初等數(shù)學中的學習內(nèi)容，也是高等數(shù)學中重要的方法。幾何畫板在平移方面，其功能是非常強大的，只要我們充分利用平移變換的技巧，就能充分體驗到平移變換的思想。例3 圖形的平移變換先作出圖形A，為了真實地反映其平移變換過程，可設(shè)置圖形內(nèi)部的填充色為灰色；然后確定標識向量DF，標識向量反映了平移的方向和長度；接著確定圖形A沿標識向量DF平移的結(jié)果：圖形A；最后，作出圖形平移變換的按鈕。如從ED的動畫按鈕，或從EF動畫按鈕。此時，桌面有圖A，圖形A，從ED或從EF畫按鈕。若分別單擊兩按鈕運動FD與運動FE，我們即可觀察到圖形的平移變換情況。4 利用幾何畫板中的標識角度制作旋轉(zhuǎn)變換 圖形的旋轉(zhuǎn)也是數(shù)學變換方法中重要內(nèi)容，同樣，數(shù)學課程改革后，圖形的旋轉(zhuǎn)變換也是中小學中重要的學習內(nèi)容。無論初等數(shù)學學習還是高等數(shù)學的學習，我們都要學習和把握旋轉(zhuǎn)變換思想。三角形的旋轉(zhuǎn)是數(shù)學旋轉(zhuǎn)變換中最基本的形式。我們可通過三角形的幾何旋轉(zhuǎn)，創(chuàng)設(shè)旋轉(zhuǎn)變換的學習情境。例4 做一個已知圖形的旋轉(zhuǎn)變換 在幾何畫板窗口內(nèi)畫一個圖形A；利用畫圓工具，在窗口內(nèi)畫圓D，在圓D上取三點E、F、G，并將點G拖至點E，F(xiàn)之間；按住鍵盤中shift鍵，依次選定GDE標識角度，另取一點H作為旋轉(zhuǎn)中心；接著選定圖形A（包括各頂點、邊及內(nèi)部），點擊菜單變換/旋轉(zhuǎn)作出現(xiàn)圖形A；最后依次選擇點G，E，做出動畫按鈕運動GE；或依次選擇點G、F，仿上，得到按鈕運動GF；只要單擊運動GE或運動GF按鈕，就會發(fā)現(xiàn)圖形在做旋轉(zhuǎn)變換。5利用幾何畫板中的反射實現(xiàn)對稱變換對稱變換是數(shù)學中最富有數(shù)學美的一種方法。新數(shù)學教材中，有許多內(nèi)容都體現(xiàn)對稱特征，反映數(shù)學的對稱美。為了體驗、掌握旋轉(zhuǎn)變換的特征，我們可利用幾何畫板的反射做出幾何圖形的對稱變換，創(chuàng)設(shè)對稱變換的教學情境。例5 做三角形ABC的對稱變換雙擊ABC一側(cè)的對稱直線DE，選擇ABC（包括頂點、邊），單擊菜單變換/反射，立即出現(xiàn)ABC； 直線AB與AB，直線BC與BC分別相交于直線DE上點F，G；利用菜單構(gòu)造/以圓心和一點劃圓作出圓弧BB ，圓弧CC；在圓弧BB上選定點I，連FI，GI，交圓弧AA于點J，圓弧CC于點L；利用畫板工具箱畫線工具，構(gòu)造IJL