特殊三角形復(fù)習(xí)——典型例題分析.doc

特殊三角形復(fù)習(xí)【內(nèi)容綜述】等腰三角形和直角三角形是兩種非常特殊的三角形，本講中通過一系列有關(guān)等腰三角形或直角三角形的問題的解決，既是復(fù)習(xí)有關(guān)三角形全等的知識(shí)，同時(shí)也是培養(yǎng)同學(xué)們分析、解決問題的能力。同學(xué)們通過學(xué)習(xí)下面問題的分析、解答過程，特別要注意體會(huì)如何根據(jù)題目的已知信息和圖形特征作出適當(dāng)?shù)妮o助線。這是學(xué)習(xí)本節(jié)的難點(diǎn)所在?！疽c(diǎn)講解】例1 如圖2-8-1,中，AB=AC，D為AB上一點(diǎn)，E為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=CE，DE交BC于G。求證：DG=EG。思路 因?yàn)镚DB和GEC不全等，所以考慮在GDB內(nèi)作出一個(gè)與GEC全等的三角形。證明：過D作DHAE，交BC于HAB=ACDB=DH又DB=CEDH=CE又DG=EG.說明 本題易明顯得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作EFBD，交BC的延長(zhǎng)線于F，證明DBGEFG，讀者不妨試一試。例2 如圖2-8-2，D為等邊ABC的內(nèi)部一點(diǎn)，DB=DA，BE=AB，DBE=DBC，求BED的度數(shù)。思路 從已知中知等邊ABC的每個(gè)內(nèi)角為60。所以要想辦法把BED和60這一信息產(chǎn)生聯(lián)系。解：連結(jié)DC由ABC是等邊三角形且BE=AB可得BE=BC又DBE=DBC,BD=BDDBEDBC,BED=BCDDB=DA，DC=DC，CB=CA，CBDCADBCD=ACD=BCA=60=30BED=30說明 證明兩角相等的重要思路之一就是證明這兩角所在的兩個(gè)三角形能全等。例3 如圖2-8-3，在ABC中，AB=AC，A=100,作B的平分線與AC邊交于E，求證：BC=AE+BE。 思路 要想辦法把AE+BE替換成一條線段a，然后只需證明BC=a。證明 延長(zhǎng)BE到F，使EF=AE，連結(jié)FC，作BEC的平分線交BC于G，由AB=AC，BAC=100，可知ABE=CBE=20因而 AEB=GEB=60于是 AEBGEB則有 EG=EA=EF又由 GEC=FEC=60所以 GECFEC所以 EFC=EGC=180100=80從而 BCF=80故 BC=BF=AE+BE例4 如圖2-8-4, P為等邊ABC內(nèi)任一點(diǎn)，PDAB于D，PEBC于E，PFAC于F。 求證：PD+PE+PF是定值。思路 考慮把PD+PE+PF用等邊ABC的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、高、面積等不變量表示出來。證明 連結(jié)PA、PB、PC，過A作AHBC于H。，又AB=BC=CA，PD+PE+PF=AH因?yàn)榈冗吶切蔚拇笮∫呀o定，則它的高也隨之確定。PD+PE+PF是定值。說明 題中的PD、PE、PF這三段都是點(diǎn)到線段的距離，故聯(lián)想到了三角形的面積，利用各個(gè)部分的面積之和等于整體的面積建立了等式關(guān)系。例5 如圖2-8-5，在ABC中，BFAC，CGAB，垂足分別是F、G，D是BC的中點(diǎn)，DEFG，垂足是E。求證：GE=EF。 思路 利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)，只需證明DG=DF。證明 連結(jié)DG、DF。DG是RtBCG的斜邊BC上的中線。，同理可證DG=DF又DEFG，GE=EF說明 若題目中作了三角形的高，就應(yīng)注意所形成的直角三角形這一圖形，如本題圖中的RtBGC和RtCFB。 例6 已知一個(gè)直角三角形的邊長(zhǎng)都是自然數(shù)，且周長(zhǎng)和面積的量數(shù)相等，求這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)。思路 列出三邊長(zhǎng)滿足的關(guān)系式，然后通過分析、討論得出三邊的長(zhǎng)度。解設(shè)三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，其中c為斜邊，則 由得,代入得，即ab0,ab4a4b8=0(a、b為自然數(shù))a4=1，2，4，8a=5，6，8，12； b=12，8，6，5； c=13，10，10，13三邊長(zhǎng)分別為6、8、10或5、12、13。說明 本題是用代數(shù)方法解幾何題，這種方法今后還大有用處，請(qǐng)讀者注意它。例7 如圖2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQAD于Q。求證：BP=2PQ。思路 在RtBPQ中，本題的結(jié)論等價(jià)于證明PBQ=30證明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAEACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ說明 本