高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4.1 曲邊梯形面積與定積分課堂探究 新人教B版選修22.doc

高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.4.1 曲邊梯形面積與定積分課堂探究 新人教b版選修2-2探究一 求曲邊梯形的面積1求曲邊梯形的面積時要按照分割近似代替求和取極值這四個步驟進(jìn)行2近似代替時，可以用每個區(qū)間的右端點(diǎn)的函數(shù)值代替，也可用每個區(qū)間的左端點(diǎn)的函數(shù)值代替3求和時要用到一些常見的求和公式，例如：123n，1222n2等【典型例題1】 用曲邊梯形面積的計算方法求由直線x0，x1，y0及曲線y3x所圍成圖形的面積思路分析：嚴(yán)格按照分割近似代替求和取極限這四個步驟進(jìn)行計算求解解：(1)分割：把區(qū)間0,1等分成n個小區(qū)間(i1,2，n)每個小區(qū)間的長度為x，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，其面積記為si(i1,2，n)(2)近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積sifx3(i1)(i1,2，n)(3)求和：si(i1)12(n1).(4)取極限：s (i1) .故所求面積等于.探究二 用定積分的定義求定積分用定積分的定義求定積分與求曲邊梯形的面積的步驟是相同的，即分割近似代替求和取極限其中，被積函數(shù)就是曲邊梯形的曲邊對應(yīng)的函數(shù)，積分的上、下限分別是曲邊梯形中垂直于x軸的兩條直線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，面積的值就是相應(yīng)定積分的值【典型例題2】 用定義求定積分(x22x)dx.解：設(shè)f(x)x22x.將區(qū)間0,1平均分成n等份，則xi.第i個區(qū)間為(i1,2,3，n)取i，則f(i)f22i2i，于是f(i)xi；sn(i)xi.當(dāng)n時，sn，即sn，所以(x22x)dxsn.探究三 定積分幾何意義的應(yīng)用1定積分f(x)dx的幾何意義是：介于xa，xb之間，x軸上、下相應(yīng)曲邊平面圖形面積的代數(shù)和，其中x軸上方部分面積為正，x軸下方部分的面積為負(fù)2定積分幾何意義的應(yīng)用主要有兩個方面：一是將求平面圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)的函數(shù)的定積分問題；二是將一些求特殊函數(shù)的定積分問題轉(zhuǎn)化為求相應(yīng)平面圖形的面積問題3求定積分值的時候，要注意結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性求解【典型例題3】 用定積分的幾何意義求下列定積分的值：(1)xdx；(2)dx；(3)sin xdx；(4)cos xdx.思路分析：畫出相應(yīng)被積函數(shù)的圖象，再根據(jù)定積分的幾何意義求解解：(1)定積分xdx的值就是由直線yx，x1，x2，y0所圍成圖形的面積，這里恰好是一個直角梯形，其面積為s(12)1，于是xdx.(2)被積函數(shù)y表示的曲線是圓心在原點(diǎn)，半徑為2的上半圓，由定積分的幾何意義知定積分計算的是半圓的面積，所以有dx2.(3)函數(shù)ysin x在區(qū)間，上是一個奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱(如圖)，由在x軸上方和下方面積相等的兩部分構(gòu)成，故該區(qū)間上定積分的值為面積的代數(shù)和，等于0，即sin xdx0. (4)由函數(shù)ycos x圖象(如圖)的對稱性可知，x軸上方和下方的面積相等，所以cos xdx0.探究四 定積分性質(zhì)的簡單應(yīng)用應(yīng)用定積分的性質(zhì)可以解決定積分的計算問題，但要注意這些性質(zhì)的逆用和變形應(yīng)用【典型例題4】 求解下列各題：(1)若f(x)g(x)dx2，g(x)dx3，則4f(x)dx_.(2)已知f(x)dx5，f(x)dx4，則f(x)dx_.思路分析：利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行求解解析：(1)由于f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx，所以f(x)dxf(x)g(x)dxg(x)dx2(3)5，于是4f(x)dx4f(x)dx4520.(2)由于f(x)dxf(x)dxf(x)dx，因此f(x)dxf(x)dxf(x)dx541，故f(x)dxf(x)dx1.答案：(1)20(2)1探究五 易錯辨析易錯點(diǎn)：對定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系理解不清而出錯【典型例題5】 用定積分表示曲線ysin x與直線x，x0，y0所圍成圖形的面積錯解：所求面積為sin xdx.錯因分析