（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）非奇h矩陣的判定和迭代法的收斂性分析.pdf

青島科技大學(xué)碩士研究生畢業(yè)論文 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 摘要 非奇h 矩陣是一類很重要的特殊矩陣 在矩陣?yán)碚摵蛯?shí)際應(yīng)用中具有重要意 義 它在計(jì)算數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)物理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用 本 文研究了非奇h 矩陣的判定問題 改進(jìn)了近期的一些結(jié)果 并給出了一個(gè)新判據(jù) 同時(shí)研究了a o r 和g a o r 迭代法的收斂性問題和迭代矩陣特征值模的上界問題 本文共分為四個(gè)部分 第一部分為緒論和預(yù)備知識 主要介紹了論文的研究背景 本文的主要工作以及 相關(guān)的基礎(chǔ)知識 第二部分主要研究了非奇h 矩陣的判定問題 在3 1 節(jié)中 我們改進(jìn)了文獻(xiàn) 8 1 中 的結(jié)果 并通過引進(jìn)一類新的矩陣 得到了一個(gè)新的充分條件 在3 2 節(jié)中 我 們基于和口對角占優(yōu)矩陣給出了非奇h 矩陣的新判據(jù) 所得的結(jié)果包含了文獻(xiàn) 9 1 中結(jié)果 第三部分主要研究了a o r 和g a o r 迭代法的收斂性問題 4 1 節(jié)我們以系數(shù)矩陣 是雙口對角占優(yōu)矩陣為基礎(chǔ) 研究了a o r 迭代法的收斂性問題 我們首先給出 了迭代陣譜半徑的新上界 然后根據(jù)所求的上界來分析了a o r 迭代法的收斂性 4 2 節(jié)我們研究了系數(shù)矩陣是和口對角占優(yōu)矩陣的g a o r 迭代法的收斂性問題 第四部分主要研究了基于雙口對角占優(yōu)矩陣的迭代法的迭代矩陣特征值模的上 界 關(guān)鍵詞 和口對角占優(yōu)矩陣雙口對角占優(yōu)矩陣a o r 迭代法g a o r 迭代法收 斂性特征值模 t h ec r i t e r i o no fn o n s i n g ul ar h m 嗡t r i xa n dt h ec o n v e r g e n c e a n a iy s i so fi t e r a n o nm e t h o d a b s t r a c t n o n s i n g u l a rh m a t r i xi sa l li m p o r t a n ts p e c i a lc l a s so fm a t r i c e s w h i c hp l a y sa l l i m p o r t a n tr o l ei nm a t r i xt h e o r i e sa n da p p l i c a t i o n s s u c ha sc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c a lp h y s i c s c o n v e r g e n c eo fi t e r a t i o nm e t h o d s t a b i l i t yo fc o n t r o ls y s t e m s a n ds oo n i nt h i sp a p e r w es t u d yt h ec r i t e r i o no fh m a t r i x c o n v e r g e n c eo fa o ra n d g a o ri t e r a t i o nm e t h o d sa n dt h eu p p e rb o u n df o rm o d u l eo fe i g e n v a l u eo fi t e r a f i o n m a t r i x t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e sf o u rp a r t s p a r to n ei sm a i n l ya b o u tt h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e r t h ew o r k sw eh a v ed o n e a n dt h ei n t r o d u c t i o no fh m a t r i xa n di t e r a t i o nm e t h o d p a r tt w oi sa b o u tt h ec r i t e r i o n so fn o n s i n g u l a rh m a t r i x i n3 1 w ei m p r o v et h e r e s u l t si np a p e r 8 a n do b t a i nan e wc r i t e r i o n i n3 2 w eo b t a i nn e w c r i t e r i o n so f n o n s i n g u l a rh m a t r i xw h i c hi n c l u d e st h er e s u l t so fp a p e r 9 a c c o r d i n g t os u m 口d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i x p a r tt h r e ei sm a i n l ya b o u tt h ec o n v e r g e n c eo fi w r a f i o nm e t h o d i n4 1 w es t u d y t h ec o n v e r g e n c eo fa o ri t e r a t i o nm e t h o dw h o s ec o e f f i c i e n tm a t r i xi sad o u b l ea d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i x f i r s t l y w eo b t a i nn e w b o u n do ft h ei t e r a t i o nm a t r i x t h e n w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo fa o rm e t h o d i n4 2 w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo f g a o ri t e r a t i o nm e t h o dw h o s ec o e f f i c i e n tm a t r i xi sas u mo d i a g o n a l l yd o m i n a n t m a t r i x p a r tf o u ri sm a i n l ya b o u tt h eu p p e rb o u n d sf o rt h em o d u l eo fe i g e n v a l u eo f i t e r a t i o nm a t r i xb a s e do nd o u b l e 口d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i x k e yw o r d s s u m 口d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i xd o u b l e 口d i a g o n a l l yd o m i n a n t m a t r i xa o rm e t h o d g a o rm e t h o d c o n v e r g e n c em o d u l eo fe i g e n v a l u e 青島科技大學(xué)碩十研究生畢業(yè)論文 a 鳩 r 鳩 c l a 0 a 0 符號說明 自然數(shù)集合 1 2 矩陣 n 階實(shí)矩陣的集合 n 階復(fù)矩陣的集合 單位矩陣 矩陣a 是非負(fù)矩陣 矩陣a 是正矩陣 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的論文是我個(gè)人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的研究 成果 盡我所知 除了文中特別加以標(biāo)注和致謝中所羅列的內(nèi)容以外 論文中不包 含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 也不包含本人已用于其他學(xué)位申請的論文 或成果 與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均已在論文中做了明確的說 明并表示了謝意 申請學(xué)位論文與資料若有不實(shí)之處 本人承擔(dān)一切相關(guān)責(zé)任 本人簽名 鄉(xiāng)苦 同期 o1 9d7 年6 月侈日 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本學(xué)位論文作者完全了解青島科技大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 有權(quán) 保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤 允許論文被查閱和借閱 本人授權(quán)學(xué)?？梢詫W(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索 可以采 用影印 縮印或掃描等復(fù)制手段保存 匯編學(xué)位論文 本人離校后發(fā)表或使用學(xué)位 論文或與該論文直接相關(guān)的學(xué)術(shù)論文或成果時(shí) 署名單位仍然為青島科技大學(xué) 保 密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書 本學(xué)位論文屬于 保密口 在年解密后適用于本聲明 不保密口 請?jiān)谝陨戏娇騼?nèi)打 本人簽名 止刁弓告 導(dǎo)師簽名 坳 1 日期 口羅年 月 弓日 日期 o 口窄年石月 多日 4 9 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 1 1 選題背景 1 緒論 源自研究線性方程組的系數(shù)問題 數(shù)學(xué)家們首先發(fā)展了 行列式 而不是 矩 陣 矩陣 作為專業(yè)的數(shù)學(xué)術(shù)語 于1 8 4 8 年s y l v e s t e r 首次引入使用 矩陣代數(shù)起 源于1 8 5 5 年a c a y l e y 關(guān)于線性變換的工作 矩陣代數(shù)和行列式也因此而建立起了 聯(lián)系來 1 8 8 8 年p e a n o 引入了向量空間的現(xiàn)代定義后 人們更多關(guān)注與向量的研究 矩陣也被視為一種非常有用的記號 開頭熱衷的一陣之后便很少對矩陣進(jìn)行研究了 1 1 1 矩陣?yán)碚摵头椒òl(fā)展的黃金時(shí)期是 2 0 世紀(jì)4 0 年代以后 高速計(jì)算機(jī)的問世 和科學(xué)計(jì)算方法的不斷涌現(xiàn) 由于利用矩陣?yán)碚撆c方法來處理錯(cuò)綜復(fù)雜的問題時(shí) 具有描述問題表達(dá)簡潔 對問題的實(shí)質(zhì)刻畫深刻等優(yōu)點(diǎn) 因此引起了許多數(shù)學(xué)學(xué)者 工程技術(shù)人員和科技人員廣泛參與的興趣 眾多數(shù)學(xué)學(xué)者參與為矩陣?yán)碚摰陌l(fā)展提 供了有力的智力支持 而工程技術(shù)人員和科技人員的加入又為矩陣?yán)碚摵头椒ǖ膽?yīng) 用開辟了廣闊的前景 2 1 特殊矩陣是具有特殊性質(zhì)或特殊結(jié)構(gòu)的一類矩陣 在許多實(shí)際問題中具有廣泛的 應(yīng)用 如在均衡論 投入產(chǎn)出分析的研究中產(chǎn)生的m 矩陣 在控制論及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系 統(tǒng)的穩(wěn)定性 線性時(shí)滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中需要h 矩陣及正穩(wěn)定陣的理論 在求解 大型線性方程組中單調(diào)矩陣有著廣泛的應(yīng)用等等f 2l h 矩陣是近年來計(jì)算數(shù)學(xué)研究的較為熱門的一種特殊矩陣 目前對它的研究主 要集中在兩個(gè)方面 一是研究它本身的數(shù)學(xué)性質(zhì) 二是研究與它有關(guān)的迭代矩陣的 譜半徑的估計(jì) 收斂性分析以及計(jì)算機(jī)算法 自a m o s t r o w s k i 首先提出了h 矩陣 的定義并研究了它的一些簡單性質(zhì)以來 有眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上又給出了許多優(yōu)美 的性質(zhì) 如h 矩陣的一個(gè)更為直觀的定義是其比較矩陣為m 矩陣 這個(gè)性質(zhì)表明了 對h 矩陣研究有助于揭示m 矩陣的性質(zhì) 通過研究矩陣元素之間的關(guān)系來研究h 矩陣是研究其性質(zhì)的一種重要的方法 因此學(xué)者們定義了對角占優(yōu)矩陣 廣義對角 占優(yōu)矩陣等 在研究它們的性質(zhì)時(shí) 證明廣義對角占優(yōu)矩陣與非奇h 矩陣是一個(gè)等 價(jià)的概念 這樣從不同的角度不同的問題背景下提出的兩種概念在純數(shù)學(xué)上是等價(jià) 的 這為矩陣?yán)碚摰难芯颗c發(fā)展奠定了寬厚的基礎(chǔ)f 2 1 隨著研究的不斷深入人們又 1 f 奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 定義了和倪對角占優(yōu)矩陣 非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣 鏈口對角占優(yōu)矩陣 雙對角 占優(yōu)矩陣 雙口對角占優(yōu)矩陣等概念 這些概念為我們研究非奇h 矩陣的判定和迭 代法的收斂性分析提供了理論基礎(chǔ) 為求得一個(gè)給定線性方程組的解 我們經(jīng)常選用合適的迭代方法求其近似解 對于系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 當(dāng)方程組的階數(shù)較底時(shí) 人們常常選用j a c o b i 迭代法和g a u s s s e i d e l 迭代法 而當(dāng)方程組的階數(shù)較高時(shí) 這兩種方法的收斂速度 較慢 因此許多學(xué)者便提出了收斂速度更快的j o r s o r m s o r a o rs a o r g a o r s s o r t o r 等方法 這些方法或含有一個(gè)參數(shù)或含多個(gè)參數(shù) 而參數(shù)的選 擇范圍對最優(yōu)參數(shù)的選取具有重要的意義1 2 1 前人對a o r 和g a o r 迭代法作了些 研究 但是 其研究方法或局限于嚴(yán)格對角占優(yōu)的條件 或局限于雙嚴(yán)格對角占優(yōu) 矩陣條件 因此在使用中有一定的局限性 所以本文試圖從涵蓋范圍更廣的矩陣 和口對角占優(yōu)矩陣 雙口對角占優(yōu)矩陣等條件下來研究它們的參數(shù)收斂范圍或特征 值模的上界 得到了比較好的結(jié)果 1 2 本文的主要工作 本文首先給出了非奇h 矩陣的兩個(gè)新判據(jù) 隨后研究了基于嚴(yán)格雙口對角占優(yōu) 矩陣的a o r 迭代法的收斂性問題 基于嚴(yán)格和口對角占優(yōu)矩陣的g a o r 迭代法的 收斂性問題 最后給出了基于嚴(yán)格雙口對角占優(yōu)矩陣的迭代法的迭代矩陣特征值模 的上界 2 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 2 1 h 矩陣概述 2 預(yù)備知識 定義2 1 1 1 設(shè)彳 錫 m c 如果 a 訂芑o v i j e 2 1 1 即矩陣彳的所有元素非負(fù) 則稱彳為非負(fù)矩陣 記為a o 如果v f j 2 1 1 式中不等式都嚴(yán)格成立 即a 的所有元素都是正的 則稱a 為正矩陣 記為a 0 設(shè)4 c b m c 如果成立a 一曰 o 則記為彳 b 如 果成立a 一丑 0 則記為a b 定義2 1 2 3 設(shè)么 a y em c 若彳可表示為a s l b 其中s o b o 則當(dāng)s p b 時(shí) 稱彳為非奇m 矩陣 定義2 1 3 3 設(shè)么 嘞 m c 若彳滿足 a s0 v i j i j 則稱a 為z 矩陣 若a z 且滿足 a 0 i 則稱a 為l 矩陣 定理2 1 1 3 設(shè)么 m c 則矩陣彳是m 矩陣的充分條件是 矩陣彳為 l 矩陣 且a 4 之0 定義2 1 4 3 設(shè)彳 鴨 c 則彳的比較矩陣為聊 彳 其中 m 定義2 1 5 設(shè)么 吻 心 c 么為非奇h 矩陣的最為直觀的定義是其比較矩 3 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 陣歷 彳 為非奇m 矩陣 定義2 1 6 3 設(shè)彳 m c 若彳滿足 r 4 v je 2 1 2 且至少有一個(gè)fe 使 2 1 2 式中不等式嚴(yán)格成立 則稱彳為對角占優(yōu)矩陣 如果 2 1 2 式中n 個(gè)不等式都嚴(yán)格成立 則稱a 為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 定義2 1 7 1 1 設(shè)彳 鴨 c 忍 2 如果存在療 置換矩陣p 使得 刪2 r 甜 其中a 是zr xr 子矩陣 a 2 2 是 n r x n 一 子矩陣 1 刀 則稱a 為可約矩陣 否則 即a 是不可約的 稱彳為不可約矩陣 定義2 1 8 1 設(shè)彳 鳩 c n 2 是不可約矩陣且滿足 l a i i i r 彳 v ie 2 1 3 且至少存在一個(gè)ie 使 2 1 3 式中不等式嚴(yán)格成立 則稱彳為不可約對角占優(yōu)矩 陣 定義2 1 9 3 設(shè)么 吩 m c 滿足 1 i i r 彳 v i 2 j ie l a i 忍 彳 v f a 3 對f 廠 有a 的非零元素鏈 口娩 乒0 其中f 乒 審乞 4 且 j 則稱a 為具非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣 定理2 1 2 4 嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 不可約對角占優(yōu)矩陣或具非零元素鏈對角占 優(yōu)矩陣是非奇h 矩陣 定義2 1 1 0 4 設(shè)彳 c 若存在正對角矩陣x 使得似是嚴(yán)格對 角占優(yōu)矩陣 則稱a 為廣義對角占優(yōu)矩陣 記為ae g d 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 定理2 1 3 5 a 為非奇h 矩陣的一個(gè)的等價(jià)定義是a 為廣義嚴(yán)格對角占優(yōu)矩 陣 定理2 1 3 在本文第二章中將發(fā)揮重要的作用 是定理證明的重要依據(jù) 我們通 過對某一給定矩陣左乘 或右乘 一個(gè)或兩個(gè)正對角矩陣 看所得矩陣是否為廣義 對角占優(yōu)矩陣來判斷給定矩陣是否為非奇h 矩陣 2 2 迭代法概述 4 迭代法一股司表述為 坼 依 d x k 2 一 k z z 1 2 2 1 其中純稱作迭代算子 x k 五印 五一 為迭代初值 通常稱迭代法 2 2 1 為z 步迭代 法 z 1 時(shí) 亦稱為單步迭代法 如果迭代算子純與七無關(guān) 即體i 伊 則稱 2 2 1 為定常迭代 否則稱為不定常迭代 下面討論單步定常迭代法 l g 一l c k 1 2 k 2 2 2 其中g(shù) 尺 稱為迭代矩陣 稱為初值 定義1 3 1 如果存在z r 使得對任意的初值 尺 由迭代法 2 2 2 產(chǎn)生的 序列 以 二 都收斂到x 即 l i r a x 工 則稱迭代法 2 2 2 是收斂的 否則稱之為發(fā)散的 如果迭代法 2 2 2 是收斂的 則必有 x g x c 即 心 五一x 則易證 5 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 u t g u o 由此可知 迭代法 2 2 2 收斂的充要條件是 l i m g 0 茹 定理2 2 1 4 迭代法 2 2 2 收斂的充要條件是 p g 1 1 定理2 2 1 的結(jié)論是本文第四章分析迭代法收斂性問題的理論基礎(chǔ) 2 2 1j a c o bi 迭代法 其中 迭代矩陣為 迭代格式為 a m i nl m ji d n j c l c u 鳩 1 m d 叫 g g 一 u i d a 2 2 3 d x k q g 訖 1 6 k e 2 2 4 設(shè)而是一個(gè)任意的初始迭代向量 然后由公式 2 2 4 作向量序列五 x 2 x 3 這種 迭代法稱為j a c o b i 迭代法 或簡稱為j 方法 矩陣 2 2 3 稱為對應(yīng)于矩陣么的迭代 矩陣 2 2 2 g a u s s s e i d e l 迭代法 對于j a c o b i 迭代法 2 2 4 的分量形式是 一 q f j 2 2 5 事實(shí)上 在計(jì)算 之前毫 1 已經(jīng)計(jì)算好了 但是 j 方法中計(jì)算 仍舊用 6 青島科技人學(xué)研究生學(xué)位論文 小 2 4 i 一1 如果改用 代替 一 e 貝j j 2 2 5 式變成為 再6 磊 c l f f 峨 2 2 6 這種格式迭代法稱為方程組的g a u s s s e i d e l 迭代法 簡稱g j 方法 2 2 6 的矩陣形 式是 x k 一 j 一 u x k 一 一l b 2 2 7 其中矩陣 j 一工 1u 稱為對應(yīng)于矩陣彳的g a u s s s e i d e l 迭代矩陣 2 2 3 逐次超松弛迭代法 簡稱為s o r 迭代法 彳分裂為 a i m 一n 其中 m d c l n 1 c o d c u 國國 緲為非零實(shí)數(shù) 稱為松弛因子 迭代矩陣為 匕 m 1 虬 i c o l 1 o c o c o u 當(dāng)力 1 時(shí) s o r 迭代法就是g a u s s s e i d e l 迭代法 因此適當(dāng)選取參數(shù)緲可望s o r 迭代法比g a u s s s e i d e l 迭代法具有更快的收斂速度 2 2 4 快速超松弛迭代法 a o r 迭代法 h a d j i d i m o s 于1 9 7 8 年提出了快速超松弛迭代法 其后許多學(xué)者對它進(jìn)行了討論 a o r 迭代法的迭代矩陣為 m 徹l d o c 1 c o d 緲一仃 q 緲c m l 其中緲 盯 r 緲 0 易知 當(dāng)國 仃時(shí) a o r 法即為s o r 法 當(dāng)c o 盯 1 時(shí) a o r 法即為g a u s s s e i d e l 法 當(dāng)仃 o 時(shí) a o r 法即為j o r 法 當(dāng)國 lc r 0 時(shí) a o r 法即為j a c o b i 法 7 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 3 1 引言 3 非奇h 矩陣的判定 非奇h 矩陣在數(shù)學(xué) 物理學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)等眾多領(lǐng)域中有看廣泛的應(yīng)用 但是其判定 是非常困難的 因而也引起了很多專家學(xué)者的興趣 近年來 許多學(xué)者在非奇h 矩陣 的簡單判據(jù)方面做出卓越的貢獻(xiàn) 詳見文獻(xiàn) 6 7 8 9 研究矩陣元素間的關(guān)系來研 究非奇h 矩陣判據(jù)問題 是前人比較常用的研究方法 如在文獻(xiàn) 8 中 利用和口對 角占優(yōu)矩陣給出了非奇h 矩陣的四個(gè)充分條件 在文獻(xiàn) 9 中 利用矩陣的元素間的 關(guān)系判斷一個(gè)矩陣是否為非奇h 矩陣 我們進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn) 文獻(xiàn) 8 的結(jié)果還不夠 簡潔 在本章的2 2 節(jié)中 我們指出并改進(jìn)了文獻(xiàn) 8 的結(jié)果 得到兩個(gè)充分條件 并通過引進(jìn)一類具有非零元素鏈的矩陣 進(jìn)一步獲得了非奇h 矩陣的新的充分條件 在2 3 節(jié)中 給出了基于和口對角占優(yōu)矩陣給出非奇h 矩陣新的判定條件 所得結(jié)果 包含了文獻(xiàn) 9 中的結(jié)果 定義3 1 1 設(shè)彳 吻 m c a 為非奇h 矩陣的最為直觀的定義是其比較矩 陣m a m q 為非奇m 矩陣 矗x 定義3 1 2 設(shè)么 乃 鳩 c 若存在口 o 1 使得 i q l 口r 1 一口 s 對v ie 成立 則稱a 為和口對角占優(yōu)矩陣 記彳 d o 口 若上式中每個(gè)不等 式都是嚴(yán)格成立的 則稱a 為嚴(yán)格和口對角占優(yōu)矩陣 記為a d 口 當(dāng)口 1 時(shí) 嚴(yán)格和口對角占優(yōu)矩陣即為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 3 2 非奇h 矩陣的判定 8 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 記 記 1 2 刀 1 2 為 的一個(gè)劃分 即 1u 2 1n 2 a 3 2 1 a t i l a y i 屈一 l a i l 鼠 l a j i j e n l j 幸i j e u 2 j t ij t n j i 冠 l a j i j e n 2 j r 么 l 嘞i 屈 r f s 彳 1 l 昆 冠 s 定理3 2 1 7 設(shè)彳 m c na e d 口 na 為非奇h 矩陣 定理3 2 2 8 設(shè)么 m c 若存在 1 n 2 滿足 3 2 1 式 ae o 1 x y e r 使得 a a a 一 1 一口 s 1 i 一鶘一 1 一口 t 7 口 計(jì) 口 y h l l x 且滿足下列條件之一 那么 口 止互j 二半苫1 x s y c f 云t 二 贏之1 x s y i j i n a j 2 3 2 2 s 1 x 苫y d f 云t 二 蕊s 1 x y i 若 3 2 2 式嚴(yán)格成立 貝 i j a 為非奇h 矩陣 i i 若a 是不可約矩陣 則a 為非奇h 矩陣 我們在研讀文獻(xiàn) 8 時(shí)發(fā)現(xiàn)下面兩點(diǎn)不足 一 首先 我們指出在文 8 的定理?xiàng)l件中 應(yīng)加上 x y o 的條件 事實(shí)上 在文 8 的證明中 用到了 由m y 文 8 o t i s 3 4 5 式和 6 7 8 式 易推知z y 0 因?yàn)楫?dāng)y 由 3 2 3 f r i 3 2 4 得 所以 即 一h l夠j s 幽二絲二 二竺超s 1 o c 反 s 1 所以條件 6 蘊(yùn)含條件 d 1 y 1 3 2 4 j 2 同理我們可證 條件 c 蘊(yùn)含條件 口 下面我們給出非奇h 矩陣的一個(gè)新的充分條件 記 f 1 l q l a r 1 一口 s 以 2 l a a r j 1 一口 t 定理3 2 3 設(shè)彳 鳩 c 若存在 1 2 滿足 3 2 1 式 ae o 1 x y r 使得 i i 口 一 1 一口 s 口 i 一螞一 1 一口 墨 7 口 計(jì) y x i 乒j f l j 2 3 2 5 u z 重a 且對v m 一以 u 2 一以 存在非零元素鏈口f 口 如 口 o 使得 七 u j 2 其中i 五乒 丘 1 k 且滿足下列條件之一 1 0 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 o 生生l 二竺竺2 掣 1 x o a p t 7 乏l0 x y 證明 若滿足條件 口 我們先證明存在正對角矩陣x 使曙 a x d o 口 令 畢 一丁一m 當(dāng)屈一 時(shí) 記鴆一 z m 歷 e f 瓦赫 y m 由式 3 2 5 得 一丁 一 l夠j i 蚓一噶一 1 一口 墨 又因?yàn)閛 a 9 t 3 2 8 即m t 芑m v i e n l j 2 故存在d o 使得學(xué)歷j 墨ds m 剛i l l m t 取x 咖 i 稚 l k l 稚 d k 2 馬 似 吃 于是 由 3 2 8 知 v i n i 有l(wèi) 鞏i i i 口 d 硝 1 一口 s 口量 曙 1 一口 s 且 2 有i 吃i d 1 i 口吩 比哆 d 1 一口 口弓 馬 1 一口 邑 q 故縣 似 哦 口 因?yàn)閖 o j g 即至少存在一個(gè)七 1u 2 使得i 艮i 口r 馬 1 一口 甌 馬 p i i j 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 成立 如果i 毆l 口冠 馬 1 一口 甌 具 對v f l 一以 u 2 一以 由假設(shè)知具的 元素中存在非零元素鏈口 j l 口 丘 口恥 0 使得七 厶u j 據(jù)文獻(xiàn) 7 中定理1 知 所以具為非奇h 矩陣 進(jìn)一步a 為非奇h 矩陣 當(dāng)a 滿足條件 6 時(shí) 仿照條件 訂 的證明過程 我們亦可證得彳是非奇h 矩陣 3 3 非奇h 矩陣的判定 二 設(shè)4 m c 口 o 1 用丁 a 表示a 的有向圖中所有環(huán)路的全體 記 r a i 嘞i s a i 口 l f 1 2 刀 彳 y 丁 彳 i 兀l a j j 兀r 彳 或ha i f 兀s 彳 ll芷妒j可j自j曰j 爹 i 嘞l 口r 彳 1 一口 s 彳 胛 孵 由定義3 1 2 知 口 1 時(shí) 嚴(yán)格和口對角占優(yōu)矩陣即為嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣 非 奇h 矩陣的主對角線元素全是非零的 因此 在本節(jié)中我們總假設(shè)矩陣的主對角線 元素全是非零的 9 1 理3 3 1 1 0 ll 設(shè)么 嘞 m c 口 o 1 若a 滿足下列條件之一 1 a 是嚴(yán)格和口對角占優(yōu)矩陣 2 a 是不可約和口對角占優(yōu)矩陣 口 o 1 且j 4 一囝 3 a 是和口對角占優(yōu)矩陣 對每一滿足i i 哦 彳 1 一口 甌 a 的足碼i d 都有非零元素鏈 口娩 口k 一0 使得f 吮 o f e k 彳 1 一口 彳 其中 o 蘆 t 4 書t 貝0 a 為非奇h 矩陣 若孵一 則由引理3 3 1 知 a 是非奇h 矩陣 若a 為非奇h 矩陣 則必 有孵 囝 因比我們總可以假設(shè)砰u 孵 孵 a 孵 a 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 引理3 3 2 5 設(shè)盯 f 是任意的兩個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù) 對于o 口 1 則有 a r 1 一口1 仃 f 口o 1 一引 定理3 3 1 設(shè)彳 嘞 鳩 c 口 o 1 若 州h p 卜 3 3 1 q i 口 三萎王掣 c 一口 三圣王掣 川善c3 3 2 其中o 薯 咒s1 i e 則a 是非奇h 矩陣 證明 對v z 砰 我們可以令 魏 咒1 i 一只口 f i 一 1 一口 l q 乃薯 j f j lj i 由本文假設(shè)和 3 3 1 式可知 0 包 0 五 o j 啊 孵 f 孵l 1 則一定存在一個(gè)充分小的正數(shù)s 使得 嵋 f 孵l 乃 1 s 口 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 f 毛 2 毛 l 毛 占 l t n i 蛾 i e n 2 孵 f 咒 2 1 咒 ly j g l i n z 孑 i n n 根據(jù)引理3 3 1 我們下面只需證明b 屯 尉d 是嚴(yán)格和口對角占優(yōu)矩陣即可 對 吖 根據(jù) 3 3 3 式我們得 a g l x y 1 6 f l 口 1 k 咒 1 一口 1 i 乃薯 j lj 我們分四種情況討論 情況一 若 1 i i 哆 卜o m 3 3 1 式我們知 可知 包 i 乃1 l a r 艿 1 一口 s b 3 3 5 情況二 若 f a u 0 l a j j 0 此時(shí) 對 都有k l 一0 m 3 3 4 式 j e 噬扣n 星 l m 口 否蚓 心一口 薈川乃 磊m y j 刪吣m e 乃 占 卜 口r b 1 一口 s b 1 4 口2 n 口2 n 薯 乃q l 岱一 n 一 川 口 芬 乞 槲 口一 氣 槲 口 州 g營 z b 吩 包 n 一 兮 l h 1 n 一 l 口 一 九 q l 包 n 口 i 鼉q 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 由上式和 3 3 5 式得 m 咒l a i i i 薯 匆 i 口r 曰 1 一口 s b g q s m j 囈 由 3 3 4 式我們得 b x l a 小j j l 乃 馴 托磊吣 1 砒時(shí) i 乃托磊圳 o e n 呈 j j n 口y il l a l x j l a j l x j s i n fj n j n 呈 n 口 i i 乃i l 乃i x j 占 1 l j n 歹 n n n 1 一口 薯l i 乃 i 乃 1 i 乃 乃 s l 哆 i l k j e n 盧n i e n 2 一 n y 一 口r b 1 一口 s b 下面我們證明v i e n 的情形 由g 的選取和正對角矩陣d e 的構(gòu)造 可知 對v i 有0 口 斥要n l l 蠶1 e 1 一口 口r b 1 一口 s b 情況二 對f n i 硭n 若a4 l 由 3 3 2 知 m s l q i 咒 占 口 進(jìn)一步有 包 i 咒 s i 舊 1 i i 1 1 艫jj 一 1 a i i 乃 l 盧w 鏟 地叫口 薈 到卜口 以 占 口l 1 x j m 一 s i e n fj n i n n 叫睜 剁訛叫 口墨 b 1 一口 s b 若口 1 時(shí) 則 m 乃q e i a i p s l l 弘吣 r 艿 口r b 1 一口 s b 1 哆f l 乃 情況三 對f 圣孵 f 蟛 我們可以仿照情況二的證明過程 得到 1 6 f l 口r b 1 一口 s b 情況四 對f 圣孵 f 圣蟛 由 3 3 2 式得 s l 口 乃 口 嘭 洲 厚 乃 鏟 刪 ji 一 r 劃 州 鏟 x 仃 州托 j r l 口g m 一 g t 即 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 艄叫 磊m 乃 吾 h h 酬訓(xùn) 啦c 牌 口瞎 x j 小刊 磊m 乃 到卜卜 乃 f 口l l a vj x j i i s i lj e 旰 扣噬 n 盧n i 一l 1 一口 l l a j i l y j i 乃 i s i a j l i fl i 肛w j n 呈 n e n j 一 口r 曰 1 一口 墨 b 所以 對v i e 總有院i 口r b 1 一口 s b 則b 是嚴(yán)格和口對 角占優(yōu)矩陣 所以曰是非奇h 矩陣 由定理2 1 1 可知么也是非奇h 矩陣 定理3 3 2 設(shè)彳 吩 鳩 c 不可約 對口 o 1 若 r q i 口l l 口 c 一口 薹 a j l y i 釁 叫 鯊掣卜 其中o 毛 y s 1 i e 且7 4 a 其中 7 彳 y 丁 么 t 1 7 瞰彳 卜 3 3 7 3 3 2 p 口 一 鈳一 坐生 一墨 t 一 掣 引盟 兀目 q 兀目 或 l 4 阻k 兀日 兀日 則a 是非奇h 矩陣 證明 死 a 咒窆i a j k j 鼠 a 薯窆ky j l fj l 構(gòu)造正對角矩陣d 誡昭 五 x 2 和e d i a g y y 2 以 并記 8 b e a d 則對 吖 m 3 3 7 j k l i y i l 薯 以口 i i 1 一口 誓 l q l 乃 f j i 口r 召 1 一口 s b 5 時(shí)v i e n 2 由 3 3 2 得 l 吃l 咒l 哆 i t 口 薈l l t 薈1 日 1 c 1 一口 磊l 口 i 乃 薈l 口 i ij n f n 呈jij n f n l 一 j 口足 b o o s b 所以 對v f 總有i 匆一 口r b 1 一口 s b 即曰為和口對角占優(yōu)矩陣 另外 由彳不可約知曰不可約 又7 彳 囝 根據(jù)引理3 3 1 知b 為非奇h 矩陣 進(jìn)一步由定理2 1 1 知彳也是非奇h 矩陣 設(shè)么 心 c 若 q i 口 三一 c 一口 三一 a善c3 3 2 其中0 五 y ts 1f 并記 斗叫k l 州h o 定理3 3 3 設(shè)么 c 口 o 1 若o 五 y i 1 f 滿足條件 3 3 2 j f i j 3 3 7 且k g v i o k 總存在非零元素鏈口轆 口 一o 青島科技人學(xué)研究生學(xué)位論文 使得t 則彳非奇h 矩陣 證明 仿照定理3 3 2 證明 構(gòu)造正對角矩陣d d i a g x a 而 矗 和 e d i a g y 1 y 2 y o 并記 b e a d 貝i j 對v i 有 1 6 f i 口r b 1 一口 s b 顯然 可以表示為 k f j6 1 i 口墨 b 1 一口 s b 對任意的v i o 慨 有非零元素鏈 0 使得t k 其中 i d 乒 t 1 t 根據(jù)引理3 3 1 我們知 b 為非奇h 矩陣 進(jìn)一步由定理2 1 1 知么也是非奇h 矩陣 注 由引理3 3 2 易得 本文所得結(jié)果包含了文獻(xiàn) 9 中的結(jié)果 1 9 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 4a o r 禾i i g a o r 迭代法的收斂性分析 4 1a o r 迭代法的收斂性分析 4 1 1 引言及預(yù)備知識 x c 于a m c 我們用a 彳 和p 么 表示矩陣爿的特征值和譜半徑 我們考慮線性方程組 a x b 其中b e c 為已知向量 z c 為未知向量 設(shè)給定矩陣彳可分裂為 a d t s 其中d 為對角占優(yōu)矩陣 刁和書分別為矩陣彳的嚴(yán)格下三角和嚴(yán)格上三角部分 我們記 工 d 一 u d s 則此時(shí)a o r 迭代法可以寫成 礦 m 盯 國 d k 0 1 x o e c 4 其中 心p 一以 1 1 一彩 緲一仃 三 硼 d 國 一以 國 盯 r 盯 0 定義4 1 1 5 設(shè)彳 m c 若k i i i r 彳 巧 爿 v f f 則稱4 為嚴(yán)格雙對角占優(yōu)矩陣 并記為a d d 定義4 1 2 5 設(shè)么 m c 若存在口 o 1 使得 m m 霉 口 a p j 球 彳 g f fv i j e i j 成立 則成矩陣彳為嚴(yán)格雙口對角占優(yōu)矩陣 y r 詘oa d d a 其中置口 a r a 1 o r s 彳 i e n 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 引理4 1 1 5 設(shè)彳 弘 c 如果彳 d d a 則矩陣彳就是非異h 矩陣 定理4 1 1 2 5 設(shè)彳 鳩 c 如果彳 d 口 且緲 仃滿足以下條件則 a o r 迭代法收斂 i 0 c r 2 1 p j m 彳 s o 彩 一 2 1 嶧只 三 u 2 仃j 1 尸 鴆 或 i i m a x 一緲 1 一只 l u 2 m a x o c o 1 2 p 三 c r o 0 緲 或 i i i 仃 1 珥n 1 只 口 三 一只 u 2 m i n 0 1 緲 2 e 三 0 國 f 定理4 1 2 2 6 設(shè)么 m c 如果a d d 且緲 仃滿足以下條件 則 a o r 迭代法收斂 0 o 如 2 1 餼工 m 彳 s 呦 m a x p 帥 玄可雨褊圳 或 譬 o p f f a p 2 2 1 p 3m i n a 一 z a 2 2 盯 或 盯 m n op4 ozp52 p3m in a z a 2 緲 o v f j i j 貝0 有 其中 p m o 則 一仃三 d d a 由引理4 1 1 我們知 i 苣i o l 是非奇異的 不失一般性 我們假設(shè)名為迭代矩陣m 的任一特征值 則 有 即 d e t 2 i m o d e t 兄 一盯 一 1 一緲 緲一仃 三 緲u o 然而 a i o l 1 o i o o l o u 6 d d a 兄不是迭代矩陣m 叩的特 征值 也就是說 對于v f i 滿足 名一 1 0 2 1 2 陲慨七叫乙一國 1 叫驢鞏七叫乇一眠i 卜善l 兄略一 緲一盯 匕一側(cè) i 1 一口 p 鴨一 國一仃 島 l 址s i l 1 f j 5 l 五不是迭代矩陣m 的特征值 特別的 如果對于v f j z j 滿足 1 2 1 一彩 j 2 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 b m 階l 國訕州北 1 1 口 渺 乇i l 國一啦 川 口苓 i 旯 l 仃i 阿 i i 國一仃1 1 1 l 緲l 卜 i 1 一口 i 旯i i 仃1 1 可1 i 緲一仃i l 乞i i 緲 i 町1 1 不是迭代矩陣m 的特征值 假設(shè)名是迭代矩陣m 的特征值 則必須存在一對f j i e f j f 滿足 2 1 一彩 吩 陲 m 帥i 緲硼忡i i 帥一口 渺 乇i 彩一唰 i 緲i i i 口若 1 五i i 盯 以i i 國一盯l h i i 彩l l 1 一口 吾 1 五l i 盯l i 乞i i 國一仃l l 乞l i 緲i i 掣1 即 a i i 2 2 4l 兄l 鴿 o 4 1 1 因?yàn)? 1 一盯2 只 口 三 弓 口 三 o 如2o 且判別式 o 所以不等式 4 1 1 的解 滿足 呼a2 4a學(xué) 4a1a3斗i 呼4 4a2 4aia3 4 也 因此 咖一 搿坐辱墜 誑喏 4 1 3a o r 迭代法的收斂性分析 定理4 1 4 設(shè)彳 嘞 鴆 c 如果么 肋 口 且滿足以下條件 i o e r 2 p j m 么 j 國 m a x20r 叫 m引in 以一以 麗2 利 或 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 仃 o 0 緲 t 或 m 仃 玄 o p 4 f f w 2 p 5a 1 p 3 r m i n 0 2 一 6 0 2 z o o v i j e f 首先 我們考慮第一種情況 因?yàn)閍 d d a 則由引理4 1 1 我們知道彳是非奇 h 矩陣 因此聊 彳 是非奇m 矩陣 根據(jù)文獻(xiàn) 2 7 如果o 盯 2 1 p j m 彳 則有p m 叩 1 i 茂 0 2 對于仃 0 時(shí) 有 心 盯 1 c o o i c o o m 盯 如果o 國 盯 2 1 p 尥 由外插定理 2 8 可知 夕 心 印 1 現(xiàn)在我們來分析第二種情況 當(dāng)滿足2 盯 1 p 鴨 國 f o a j l 酗o 2 0 i p m 貝o o a r o 竺 盼w 啡 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 因?yàn)? 蠆麗 2 4 4 2 4 i 如一 a 1 4 a 2 2 4 a a 1 因?yàn)?4 1 一盯2 弓 e 口 三 4 2 c o 一1 o e 口 三 緲一盯 弓 三 緲弓 u 仃 緲一仃 c 口 三 彩只 u e 口 三 2 c o 一1 國盯置口 三 e 三 一2 0 2 p 口 三 e 口 三 緲盯只 口 u 弓 口 三 4 1 一緲 2 一 i 功一盯i 置口 三 l 緲i 置口 u i 彩一仃i e 口 三 j 緲i 弓 口 u 國2 2 c a l 一彩2 口 三 u 乞 口 三 u 彩仃p 歸 三 u 乞 口 l 國仃p 口 三 乞 口 三 u 一仃2 只 三 e 口 l 所以 由如一a 0 因?yàn)? 一o r 2 只 口 o p 口 三 o v i f 歹 判別式 o 所以此不等式的解滿 足 妒日霜贏2 麗露麗或呸 2 這與 4 1 3 式相矛盾 因此q 應(yīng)該被舍去 所以只有吃符 合條件 所以 國 e l f l 蘆 o 夠 l 最口 l u 弓蘆 l u 我們證明情況 i i 第一步 當(dāng)o 緲 l a o 4 2 2 o 一功仃 口 三 口 三 u 2 盯2 p 三 乞 口 一緲仃只 口 三 u 弓 l 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 嗚 t 0 2 2 c o l c 0 2 c 口 三 u e 口 三 u 國盯只 口 u e 口 c o o p 口 三 弓 口 三 一o r 2 p 三 e 三 由如一a a 得 4 0 2 口 l p j 口 l 2 c o o p 口 三 e 口 三 u 一2 緲仃p 口 三 弓 口 l 國2 只 三 e 口 l v o 0 得此不等式的解滿足 竺墨l 二竺型匝 仃 e 又因?yàn)閛 0 和置球 l v p j 口 l u l v i e 所以 第二步 當(dāng)1 國 t 盯 0 竺墨i 二竺型匝 仃 o b 4 2 c o 2 t o c r p 口 l p j 口 l u 2 c r 2 口 上 c 口 三 一c o o p j 口 三 u e l 4 國2 2 t o l c 0 2 e 三 u e 口 l u c o a p 口 三 u 弓 口 三 c o o p 口 e 口 三 u 一盯2 只 口 三 弓 口 三 由a 一 a 得 4 仃2 p 口 弓 口 l 2 c o o r p 口 三 弓 三 u 一2 a m p 三 u e 口 l 彩2 e 口 u 口 三 u 一緲2 4 0 9 4 0 所以此不等式的解應(yīng)滿足 坐巫五巫 盯 b 又因?yàn)樨?o 和z 三 u 弓 口 l u 1 v f j i 所以 絲 塹翌掣竺塑 仃 o 只 鏟 一 墮 坐 青島科技大學(xué)研究生學(xué)位論文 綜合一 二兩步 得到 m 觚竺二業(yè)竺 璺竺竺 竺二型 盯 o m a x 三一 二 盯 uo 笛 b 最后 我們證明情況 i i i 第一步 當(dāng)0 緲 1 仃 f 4 2 2 0 一緲仃只 口 三 e 三 一弓 口 u 一緲盯 p 0 e u e 2 盯2 只 口 三 弓 l 4 彩2 2 o 1 一緲2 p 三 一e u 弓 口 三 一乞 u 一仃2 只 e 口 三 國盯 只 口 一只 口 u 弓 三 彩仃只 上 弓 口 三 一弓 u 由如一a a 得 4 仃2 只 三 e 三 一2 c o e r e 口9 e u e l 2 c a a r p 三 哆私 三 一e u 國2 只 口 三 一只 u e 0 弓 u 一緲2 0 所以此不等式的解應(yīng)滿足 又因?yàn)樨?t 我們得 第二步 國 l 盯 t 緲只 緲 只 2 b 盯 二 i 二 二 e f 盯 i i l i n o p 4 c 0 4 墅p 5f 2 p 3 t b 4 2 緲一2 一緲盯只 三 e 口 l p j u 一力盯 只 o e 口 u 弓 口 三 2 盯2 只 口 l p j 口 三 4 國2 2 0 2 1 0 2 2 e 三 一p 口 u 弓 口 三 一弓 口 u 一仃2 只 口 三 弓 三 緲仃 e 口 三 一只 u e 口 彩盯只 口 三 e 口 三 一e 口 u 由a 2 一如 a 得 乒 生 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 4 仃2 只 三 e 口 三 一2 緲盯 只 口 三 一c u e 口 t 2 6 0 0 e 三 弓 三 一c 口 u 緲2 c l e 弓 口 三 一弓 u 一緲2 4 t o 一4 o 得此不等式的解滿足 些 二巫五匝 仃 只 又因?yàn)閛 r t 我們得 商n 坐巫墨巫 e 綜合一 二兩步 得到 證畢 緲p 4t 緲2 只注 e m i n 緲2 緲一2 2 t 盯 r a i n 羔 上 弓 j j 一 4 1 4 數(shù)值例子 下面我們舉例說明 基于雙口對角占優(yōu)矩陣所得到的定理4 1 4 的收斂域大于由 文 2 5 和文 2 6 所得的收斂域 例1 給定 a 一 53 2 2 63 2l 9 不妨令口 i 1 易證 彳 d o t a d d 并i a d d a 由定理4 1 4 我們可得如下的收斂域 1 o a 1 1 8 9 6 o c o m a x 1 1 2 6 8 2 0 1 p 或 2 0 緲 1 一0 8 1 9 5 緲 仃 o 或 1 緲 1 1 2 6 8 2 8 7 緲一5 x 7 7 7 r a 2 3 0 7 2 1 0