（應(yīng)用數(shù)學專業(yè)論文）非奇h矩陣的判定和迭代法的收斂性分析.pdf

青島科技大學碩士研究生畢業(yè)論文 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 摘要 非奇h 矩陣是一類很重要的特殊矩陣 在矩陣理論和實際應(yīng)用中具有重要意 義 它在計算數(shù)學 數(shù)學物理 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用 本 文研究了非奇h 矩陣的判定問題 改進了近期的一些結(jié)果 并給出了一個新判據(jù) 同時研究了a o r 和g a o r 迭代法的收斂性問題和迭代矩陣特征值模的上界問題 本文共分為四個部分 第一部分為緒論和預備知識 主要介紹了論文的研究背景 本文的主要工作以及 相關(guān)的基礎(chǔ)知識 第二部分主要研究了非奇h 矩陣的判定問題 在3 1 節(jié)中 我們改進了文獻 8 1 中 的結(jié)果 并通過引進一類新的矩陣 得到了一個新的充分條件 在3 2 節(jié)中 我 們基于和口對角占優(yōu)矩陣給出了非奇h 矩陣的新判據(jù) 所得的結(jié)果包含了文獻 9 1 中結(jié)果 第三部分主要研究了a o r 和g a o r 迭代法的收斂性問題 4 1 節(jié)我們以系數(shù)矩陣 是雙口對角占優(yōu)矩陣為基礎(chǔ) 研究了a o r 迭代法的收斂性問題 我們首先給出 了迭代陣譜半徑的新上界 然后根據(jù)所求的上界來分析了a o r 迭代法的收斂性 4 2 節(jié)我們研究了系數(shù)矩陣是和口對角占優(yōu)矩陣的g a o r 迭代法的收斂性問題 第四部分主要研究了基于雙口對角占優(yōu)矩陣的迭代法的迭代矩陣特征值模的上 界 關(guān)鍵詞 和口對角占優(yōu)矩陣雙口對角占優(yōu)矩陣a o r 迭代法g a o r 迭代法收 斂性特征值模 t h ec r i t e r i o no fn o n s i n g ul ar h m 嗡t r i xa n dt h ec o n v e r g e n c e a n a iy s i so fi t e r a n o nm e t h o d a b s t r a c t n o n s i n g u l a rh m a t r i xi sa l li m p o r t a n ts p e c i a lc l a s so fm a t r i c e s w h i c hp l a y sa l l i m p o r t a n tr o l ei nm a t r i xt h e o r i e sa n da p p l i c a t i o n s s u c ha sc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s m a t h e m a t i c a lp h y s i c s c o n v e r g e n c eo fi t e r a t i o nm e t h o d s t a b i l i t yo fc o n t r o ls y s t e m s a n ds oo n i nt h i sp a p e r w es t u d yt h ec r i t e r i o no fh m a t r i x c o n v e r g e n c eo fa o ra n d g a o ri t e r a t i o nm e t h o d sa n dt h eu p p e rb o u n df o rm o d u l eo fe i g e n v a l u eo fi t e r a f i o n m a t r i x t h i sp a p e rm a i n l yi n c l u d e sf o u rp a r t s p a r to n ei sm a i n l ya b o u tt h eb a c k g r o u n do ft h i sp a p e r t h ew o r k sw eh a v ed o n e a n dt h ei n t r o d u c t i o no fh m a t r i xa n di t e r a t i o nm e t h o d p a r tt w oi sa b o u tt h ec r i t e r i o n so fn o n s i n g u l a rh m a t r i x i n3 1 w ei m p r o v et h e r e s u l t si np a p e r 8 a n do b t a i nan e wc r i t e r i o n i n3 2 w eo b t a i nn e w c r i t e r i o n so f n o n s i n g u l a rh m a t r i xw h i c hi n c l u d e st h er e s u l t so fp a p e r 9 a c c o r d i n g t os u m 口d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i x p a r tt h r e ei sm a i n l ya b o u tt h ec o n v e r g e n c eo fi w r a f i o nm e t h o d i n4 1 w es t u d y t h ec o n v e r g e n c eo fa o ri t e r a t i o nm e t h o dw h o s ec o e f f i c i e n tm a t r i xi sad o u b l ea d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i x f i r s t l y w eo b t a i nn e w b o u n do ft h ei t e r a t i o nm a t r i x t h e n w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo fa o rm e t h o d i n4 2 w ea n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo f g a o ri t e r a t i o nm e t h o dw h o s ec o e f f i c i e n tm a t r i xi sas u mo d i a g o n a l l yd o m i n a n t m a t r i x p a r tf o u ri sm a i n l ya b o u tt h eu p p e rb o u n d sf o rt h em o d u l eo fe i g e n v a l u eo f i t e r a t i o nm a t r i xb a s e do nd o u b l e 口d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i x k e yw o r d s s u m 口d i a g o n a l l yd o m i n a n tm a t r i xd o u b l e 口d i a g o n a l l yd o m i n a n t m a t r i xa o rm e t h o d g a o rm e t h o d c o n v e r g e n c em o d u l eo fe i g e n v a l u e 青島科技大學碩十研究生畢業(yè)論文 a 鳩 r 鳩 c l a 0 a 0 符號說明 自然數(shù)集合 1 2 矩陣 n 階實矩陣的集合 n 階復矩陣的集合 單位矩陣 矩陣a 是非負矩陣 矩陣a 是正矩陣 青島科技大學研究生學位論文 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及取得的研究 成果 盡我所知 除了文中特別加以標注和致謝中所羅列的內(nèi)容以外 論文中不包 含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果 也不包含本人已用于其他學位申請的論文 或成果 與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中做了明確的說 明并表示了謝意 申請學位論文與資料若有不實之處 本人承擔一切相關(guān)責任 本人簽名 鄉(xiāng)苦 同期 o1 9d7 年6 月侈日 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明 本學位論文作者完全了解青島科技大學有關(guān)保留 使用學位論文的規(guī)定 有權(quán) 保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件和磁盤 允許論文被查閱和借閱 本人授權(quán)學?？梢詫W位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索 可以采 用影印 縮印或掃描等復制手段保存 匯編學位論文 本人離校后發(fā)表或使用學位 論文或與該論文直接相關(guān)的學術(shù)論文或成果時 署名單位仍然為青島科技大學 保 密的學位論文在解密后適用本授權(quán)書 本學位論文屬于 保密口 在年解密后適用于本聲明 不保密口 請在以上方框內(nèi)打 本人簽名 止刁弓告 導師簽名 坳 1 日期 口羅年 月 弓日 日期 o 口窄年石月 多日 4 9 青島科技大學研究生學位論文 1 1 選題背景 1 緒論 源自研究線性方程組的系數(shù)問題 數(shù)學家們首先發(fā)展了 行列式 而不是 矩 陣 矩陣 作為專業(yè)的數(shù)學術(shù)語 于1 8 4 8 年s y l v e s t e r 首次引入使用 矩陣代數(shù)起 源于1 8 5 5 年a c a y l e y 關(guān)于線性變換的工作 矩陣代數(shù)和行列式也因此而建立起了 聯(lián)系來 1 8 8 8 年p e a n o 引入了向量空間的現(xiàn)代定義后 人們更多關(guān)注與向量的研究 矩陣也被視為一種非常有用的記號 開頭熱衷的一陣之后便很少對矩陣進行研究了 1 1 1 矩陣理論和方法發(fā)展的黃金時期是 2 0 世紀4 0 年代以后 高速計算機的問世 和科學計算方法的不斷涌現(xiàn) 由于利用矩陣理論與方法來處理錯綜復雜的問題時 具有描述問題表達簡潔 對問題的實質(zhì)刻畫深刻等優(yōu)點 因此引起了許多數(shù)學學者 工程技術(shù)人員和科技人員廣泛參與的興趣 眾多數(shù)學學者參與為矩陣理論的發(fā)展提 供了有力的智力支持 而工程技術(shù)人員和科技人員的加入又為矩陣理論和方法的應(yīng) 用開辟了廣闊的前景 2 1 特殊矩陣是具有特殊性質(zhì)或特殊結(jié)構(gòu)的一類矩陣 在許多實際問題中具有廣泛的 應(yīng)用 如在均衡論 投入產(chǎn)出分析的研究中產(chǎn)生的m 矩陣 在控制論及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系 統(tǒng)的穩(wěn)定性 線性時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究中需要h 矩陣及正穩(wěn)定陣的理論 在求解 大型線性方程組中單調(diào)矩陣有著廣泛的應(yīng)用等等f 2l h 矩陣是近年來計算數(shù)學研究的較為熱門的一種特殊矩陣 目前對它的研究主 要集中在兩個方面 一是研究它本身的數(shù)學性質(zhì) 二是研究與它有關(guān)的迭代矩陣的 譜半徑的估計 收斂性分析以及計算機算法 自a m o s t r o w s k i 首先提出了h 矩陣 的定義并研究了它的一些簡單性質(zhì)以來 有眾多學者在此基礎(chǔ)上又給出了許多優(yōu)美 的性質(zhì) 如h 矩陣的一個更為直觀的定義是其比較矩陣為m 矩陣 這個性質(zhì)表明了 對h 矩陣研究有助于揭示m 矩陣的性質(zhì) 通過研究矩陣元素之間的關(guān)系來研究h 矩陣是研究其性質(zhì)的一種重要的方法 因此學者們定義了對角占優(yōu)矩陣 廣義對角 占優(yōu)矩陣等 在研究它們的性質(zhì)時 證明廣義對角占優(yōu)矩陣與非奇h 矩陣是一個等 價的概念 這樣從不同的角度不同的問題背景下提出的兩種概念在純數(shù)學上是等價 的 這為矩陣理論的研究與發(fā)展奠定了寬厚的基礎(chǔ)f 2 1 隨著研究的不斷深入人們又 1 f 奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 定義了和倪對角占優(yōu)矩陣 非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣 鏈口對角占優(yōu)矩陣 雙對角 占優(yōu)矩陣 雙口對角占優(yōu)矩陣等概念 這些概念為我們研究非奇h 矩陣的判定和迭 代法的收斂性分析提供了理論基礎(chǔ) 為求得一個給定線性方程組的解 我們經(jīng)常選用合適的迭代方法求其近似解 對于系數(shù)矩陣為嚴格對角占優(yōu)矩陣 當方程組的階數(shù)較底時 人們常常選用j a c o b i 迭代法和g a u s s s e i d e l 迭代法 而當方程組的階數(shù)較高時 這兩種方法的收斂速度 較慢 因此許多學者便提出了收斂速度更快的j o r s o r m s o r a o rs a o r g a o r s s o r t o r 等方法 這些方法或含有一個參數(shù)或含多個參數(shù) 而參數(shù)的選 擇范圍對最優(yōu)參數(shù)的選取具有重要的意義1 2 1 前人對a o r 和g a o r 迭代法作了些 研究 但是 其研究方法或局限于嚴格對角占優(yōu)的條件 或局限于雙嚴格對角占優(yōu) 矩陣條件 因此在使用中有一定的局限性 所以本文試圖從涵蓋范圍更廣的矩陣 和口對角占優(yōu)矩陣 雙口對角占優(yōu)矩陣等條件下來研究它們的參數(shù)收斂范圍或特征 值模的上界 得到了比較好的結(jié)果 1 2 本文的主要工作 本文首先給出了非奇h 矩陣的兩個新判據(jù) 隨后研究了基于嚴格雙口對角占優(yōu) 矩陣的a o r 迭代法的收斂性問題 基于嚴格和口對角占優(yōu)矩陣的g a o r 迭代法的 收斂性問題 最后給出了基于嚴格雙口對角占優(yōu)矩陣的迭代法的迭代矩陣特征值模 的上界 2 青島科技大學研究生學位論文 2 1 h 矩陣概述 2 預備知識 定義2 1 1 1 設(shè)彳 錫 m c 如果 a 訂芑o v i j e 2 1 1 即矩陣彳的所有元素非負 則稱彳為非負矩陣 記為a o 如果v f j 2 1 1 式中不等式都嚴格成立 即a 的所有元素都是正的 則稱a 為正矩陣 記為a 0 設(shè)4 c b m c 如果成立a 一曰 o 則記為彳 b 如 果成立a 一丑 0 則記為a b 定義2 1 2 3 設(shè)么 a y em c 若彳可表示為a s l b 其中s o b o 則當s p b 時 稱彳為非奇m 矩陣 定義2 1 3 3 設(shè)么 嘞 m c 若彳滿足 a s0 v i j i j 則稱a 為z 矩陣 若a z 且滿足 a 0 i 則稱a 為l 矩陣 定理2 1 1 3 設(shè)么 m c 則矩陣彳是m 矩陣的充分條件是 矩陣彳為 l 矩陣 且a 4 之0 定義2 1 4 3 設(shè)彳 鴨 c 則彳的比較矩陣為聊 彳 其中 m 定義2 1 5 設(shè)么 吻 心 c 么為非奇h 矩陣的最為直觀的定義是其比較矩 3 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 陣歷 彳 為非奇m 矩陣 定義2 1 6 3 設(shè)彳 m c 若彳滿足 r 4 v je 2 1 2 且至少有一個fe 使 2 1 2 式中不等式嚴格成立 則稱彳為對角占優(yōu)矩陣 如果 2 1 2 式中n 個不等式都嚴格成立 則稱a 為嚴格對角占優(yōu)矩陣 定義2 1 7 1 1 設(shè)彳 鴨 c 忍 2 如果存在療 置換矩陣p 使得 刪2 r 甜 其中a 是zr xr 子矩陣 a 2 2 是 n r x n 一 子矩陣 1 刀 則稱a 為可約矩陣 否則 即a 是不可約的 稱彳為不可約矩陣 定義2 1 8 1 設(shè)彳 鳩 c n 2 是不可約矩陣且滿足 l a i i i r 彳 v ie 2 1 3 且至少存在一個ie 使 2 1 3 式中不等式嚴格成立 則稱彳為不可約對角占優(yōu)矩 陣 定義2 1 9 3 設(shè)么 吩 m c 滿足 1 i i r 彳 v i 2 j ie l a i 忍 彳 v f a 3 對f 廠 有a 的非零元素鏈 口娩 乒0 其中f 乒 審乞 4 且 j 則稱a 為具非零元素鏈對角占優(yōu)矩陣 定理2 1 2 4 嚴格對角占優(yōu)矩陣 不可約對角占優(yōu)矩陣或具非零元素鏈對角占 優(yōu)矩陣是非奇h 矩陣 定義2 1 1 0 4 設(shè)彳 c 若存在正對角矩陣x 使得似是嚴格對 角占優(yōu)矩陣 則稱a 為廣義對角占優(yōu)矩陣 記為ae g d 青島科技大學研究生學位論文 定理2 1 3 5 a 為非奇h 矩陣的一個的等價定義是a 為廣義嚴格對角占優(yōu)矩 陣 定理2 1 3 在本文第二章中將發(fā)揮重要的作用 是定理證明的重要依據(jù) 我們通 過對某一給定矩陣左乘 或右乘 一個或兩個正對角矩陣 看所得矩陣是否為廣義 對角占優(yōu)矩陣來判斷給定矩陣是否為非奇h 矩陣 2 2 迭代法概述 4 迭代法一股司表述為 坼 依 d x k 2 一 k z z 1 2 2 1 其中純稱作迭代算子 x k 五印 五一 為迭代初值 通常稱迭代法 2 2 1 為z 步迭代 法 z 1 時 亦稱為單步迭代法 如果迭代算子純與七無關(guān) 即體i 伊 則稱 2 2 1 為定常迭代 否則稱為不定常迭代 下面討論單步定常迭代法 l g 一l c k 1 2 k 2 2 2 其中g(shù) 尺 稱為迭代矩陣 稱為初值 定義1 3 1 如果存在z r 使得對任意的初值 尺 由迭代法 2 2 2 產(chǎn)生的 序列 以 二 都收斂到x 即 l i r a x 工 則稱迭代法 2 2 2 是收斂的 否則稱之為發(fā)散的 如果迭代法 2 2 2 是收斂的 則必有 x g x c 即 心 五一x 則易證 5 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 u t g u o 由此可知 迭代法 2 2 2 收斂的充要條件是 l i m g 0 茹 定理2 2 1 4 迭代法 2 2 2 收斂的充要條件是 p g 1 1 定理2 2 1 的結(jié)論是本文第四章分析迭代法收斂性問題的理論基礎(chǔ) 2 2 1j a c o bi 迭代法 其中 迭代矩陣為 迭代格式為 a m i nl m ji d n j c l c u 鳩 1 m d 叫 g g 一 u i d a 2 2 3 d x k q g 訖 1 6 k e 2 2 4 設(shè)而是一個任意的初始迭代向量 然后由公式 2 2 4 作向量序列五 x 2 x 3 這種 迭代法稱為j a c o b i 迭代法 或簡稱為j 方法 矩陣 2 2 3 稱為對應(yīng)于矩陣么的迭代 矩陣 2 2 2 g a u s s s e i d e l 迭代法 對于j a c o b i 迭代法 2 2 4 的分量形式是 一 q f j 2 2 5 事實上 在計算 之前毫 1 已經(jīng)計算好了 但是 j 方法中計算 仍舊用 6 青島科技人學研究生學位論文 小 2 4 i 一1 如果改用 代替 一 e 貝j j 2 2 5 式變成為 再6 磊 c l f f 峨 2 2 6 這種格式迭代法稱為方程組的g a u s s s e i d e l 迭代法 簡稱g j 方法 2 2 6 的矩陣形 式是 x k 一 j 一 u x k 一 一l b 2 2 7 其中矩陣 j 一工 1u 稱為對應(yīng)于矩陣彳的g a u s s s e i d e l 迭代矩陣 2 2 3 逐次超松弛迭代法 簡稱為s o r 迭代法 彳分裂為 a i m 一n 其中 m d c l n 1 c o d c u 國國 緲為非零實數(shù) 稱為松弛因子 迭代矩陣為 匕 m 1 虬 i c o l 1 o c o c o u 當力 1 時 s o r 迭代法就是g a u s s s e i d e l 迭代法 因此適當選取參數(shù)緲可望s o r 迭代法比g a u s s s e i d e l 迭代法具有更快的收斂速度 2 2 4 快速超松弛迭代法 a o r 迭代法 h a d j i d i m o s 于1 9 7 8 年提出了快速超松弛迭代法 其后許多學者對它進行了討論 a o r 迭代法的迭代矩陣為 m 徹l d o c 1 c o d 緲一仃 q 緲c m l 其中緲 盯 r 緲 0 易知 當國 仃時 a o r 法即為s o r 法 當c o 盯 1 時 a o r 法即為g a u s s s e i d e l 法 當仃 o 時 a o r 法即為j o r 法 當國 lc r 0 時 a o r 法即為j a c o b i 法 7 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 3 1 引言 3 非奇h 矩陣的判定 非奇h 矩陣在數(shù)學 物理學 經(jīng)濟學等眾多領(lǐng)域中有看廣泛的應(yīng)用 但是其判定 是非常困難的 因而也引起了很多專家學者的興趣 近年來 許多學者在非奇h 矩陣 的簡單判據(jù)方面做出卓越的貢獻 詳見文獻 6 7 8 9 研究矩陣元素間的關(guān)系來研 究非奇h 矩陣判據(jù)問題 是前人比較常用的研究方法 如在文獻 8 中 利用和口對 角占優(yōu)矩陣給出了非奇h 矩陣的四個充分條件 在文獻 9 中 利用矩陣的元素間的 關(guān)系判斷一個矩陣是否為非奇h 矩陣 我們進一步研究發(fā)現(xiàn) 文獻 8 的結(jié)果還不夠 簡潔 在本章的2 2 節(jié)中 我們指出并改進了文獻 8 的結(jié)果 得到兩個充分條件 并通過引進一類具有非零元素鏈的矩陣 進一步獲得了非奇h 矩陣的新的充分條件 在2 3 節(jié)中 給出了基于和口對角占優(yōu)矩陣給出非奇h 矩陣新的判定條件 所得結(jié)果 包含了文獻 9 中的結(jié)果 定義3 1 1 設(shè)彳 吻 m c a 為非奇h 矩陣的最為直觀的定義是其比較矩 陣m a m q 為非奇m 矩陣 矗x 定義3 1 2 設(shè)么 乃 鳩 c 若存在口 o 1 使得 i q l 口r 1 一口 s 對v ie 成立 則稱a 為和口對角占優(yōu)矩陣 記彳 d o 口 若上式中每個不等 式都是嚴格成立的 則稱a 為嚴格和口對角占優(yōu)矩陣 記為a d 口 當口 1 時 嚴格和口對角占優(yōu)矩陣即為嚴格對角占優(yōu)矩陣 3 2 非奇h 矩陣的判定 8 青島科技大學研究生學位論文 記 記 1 2 刀 1 2 為 的一個劃分 即 1u 2 1n 2 a 3 2 1 a t i l a y i 屈一 l a i l 鼠 l a j i j e n l j 幸i j e u 2 j t ij t n j i 冠 l a j i j e n 2 j r 么 l 嘞i 屈 r f s 彳 1 l 昆 冠 s 定理3 2 1 7 設(shè)彳 m c na e d 口 na 為非奇h 矩陣 定理3 2 2 8 設(shè)么 m c 若存在 1 n 2 滿足 3 2 1 式 ae o 1 x y e r 使得 a a a 一 1 一口 s 1 i 一鶘一 1 一口 t 7 口 計 口 y h l l x 且滿足下列條件之一 那么 口 止互j 二半苫1 x s y c f 云t 二 贏之1 x s y i j i n a j 2 3 2 2 s 1 x 苫y d f 云t 二 蕊s 1 x y i 若 3 2 2 式嚴格成立 貝 i j a 為非奇h 矩陣 i i 若a 是不可約矩陣 則a 為非奇h 矩陣 我們在研讀文獻 8 時發(fā)現(xiàn)下面兩點不足 一 首先 我們指出在文 8 的定理條件中 應(yīng)加上 x y o 的條件 事實上 在文 8 的證明中 用到了 由m y 文 8 o t i s 3 4 5 式和 6 7 8 式 易推知z y 0 因為當y 由 3 2 3 f r i 3 2 4 得 所以 即 一h l夠j s 幽二絲二 二竺超s 1 o c 反 s 1 所以條件 6 蘊含條件 d 1 y 1 3 2 4 j 2 同理我們可證 條件 c 蘊含條件 口 下面我們給出非奇h 矩陣的一個新的充分條件 記 f 1 l q l a r 1 一口 s 以 2 l a a r j 1 一口 t 定理3 2 3 設(shè)彳 鳩 c 若存在 1 2 滿足 3 2 1 式 ae o 1 x y r 使得 i i 口 一 1 一口 s 口 i 一螞一 1 一口 墨 7 口 計 y x i 乒j f l j 2 3 2 5 u z 重a 且對v m 一以 u 2 一以 存在非零元素鏈口f 口 如 口 o 使得 七 u j 2 其中i 五乒 丘 1 k 且滿足下列條件之一 1 0 青島科技大學研究生學位論文 o 生生l 二竺竺2 掣 1 x o a p t 7 乏l0 x y 證明 若滿足條件 口 我們先證明存在正對角矩陣x 使曙 a x d o 口 令 畢 一丁一m 當屈一 時 記鴆一 z m 歷 e f 瓦赫 y m 由式 3 2 5 得 一丁 一 l夠j i 蚓一噶一 1 一口 墨 又因為o a 9 t 3 2 8 即m t 芑m v i e n l j 2 故存在d o 使得學歷j 墨ds m 剛i l l m t 取x 咖 i 稚 l k l 稚 d k 2 馬 似 吃 于是 由 3 2 8 知 v i n i 有l(wèi) 鞏i i i 口 d 硝 1 一口 s 口量 曙 1 一口 s 且 2 有i 吃i d 1 i 口吩 比哆 d 1 一口 口弓 馬 1 一口 邑 q 故縣 似 哦 口 因為j o j g 即至少存在一個七 1u 2 使得i 艮i 口r 馬 1 一口 甌 馬 p i i j 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 成立 如果i 毆l 口冠 馬 1 一口 甌 具 對v f l 一以 u 2 一以 由假設(shè)知具的 元素中存在非零元素鏈口 j l 口 丘 口恥 0 使得七 厶u j 據(jù)文獻 7 中定理1 知 所以具為非奇h 矩陣 進一步a 為非奇h 矩陣 當a 滿足條件 6 時 仿照條件 訂 的證明過程 我們亦可證得彳是非奇h 矩陣 3 3 非奇h 矩陣的判定 二 設(shè)4 m c 口 o 1 用丁 a 表示a 的有向圖中所有環(huán)路的全體 記 r a i 嘞i s a i 口 l f 1 2 刀 彳 y 丁 彳 i 兀l a j j 兀r 彳 或ha i f 兀s 彳 ll芷妒j可j自j曰j 爹 i 嘞l 口r 彳 1 一口 s 彳 胛 孵 由定義3 1 2 知 口 1 時 嚴格和口對角占優(yōu)矩陣即為嚴格對角占優(yōu)矩陣 非 奇h 矩陣的主對角線元素全是非零的 因此 在本節(jié)中我們總假設(shè)矩陣的主對角線 元素全是非零的 9 1 理3 3 1 1 0 ll 設(shè)么 嘞 m c 口 o 1 若a 滿足下列條件之一 1 a 是嚴格和口對角占優(yōu)矩陣 2 a 是不可約和口對角占優(yōu)矩陣 口 o 1 且j 4 一囝 3 a 是和口對角占優(yōu)矩陣 對每一滿足i i 哦 彳 1 一口 甌 a 的足碼i d 都有非零元素鏈 口娩 口k 一0 使得f 吮 o f e k 彳 1 一口 彳 其中 o 蘆 t 4 書t 貝0 a 為非奇h 矩陣 若孵一 則由引理3 3 1 知 a 是非奇h 矩陣 若a 為非奇h 矩陣 則必 有孵 囝 因比我們總可以假設(shè)砰u 孵 孵 a 孵 a 青島科技大學研究生學位論文 引理3 3 2 5 設(shè)盯 f 是任意的兩個非負實數(shù) 對于o 口 1 則有 a r 1 一口1 仃 f 口o 1 一引 定理3 3 1 設(shè)彳 嘞 鳩 c 口 o 1 若 州h p 卜 3 3 1 q i 口 三萎王掣 c 一口 三圣王掣 川善c3 3 2 其中o 薯 咒s1 i e 則a 是非奇h 矩陣 證明 對v z 砰 我們可以令 魏 咒1 i 一只口 f i 一 1 一口 l q 乃薯 j f j lj i 由本文假設(shè)和 3 3 1 式可知 0 包 0 五 o j 啊 孵 f 孵l 1 則一定存在一個充分小的正數(shù)s 使得 嵋 f 孵l 乃 1 s 口 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 f 毛 2 毛 l 毛 占 l t n i 蛾 i e n 2 孵 f 咒 2 1 咒 ly j g l i n z 孑 i n n 根據(jù)引理3 3 1 我們下面只需證明b 屯 尉d 是嚴格和口對角占優(yōu)矩陣即可 對 吖 根據(jù) 3 3 3 式我們得 a g l x y 1 6 f l 口 1 k 咒 1 一口 1 i 乃薯 j lj 我們分四種情況討論 情況一 若 1 i i 哆 卜o m 3 3 1 式我們知 可知 包 i 乃1 l a r 艿 1 一口 s b 3 3 5 情況二 若 f a u 0 l a j j 0 此時 對 都有k l 一0 m 3 3 4 式 j e 噬扣n 星 l m 口 否蚓 心一口 薈川乃 磊m y j 刪吣m e 乃 占 卜 口r b 1 一口 s b 1 4 口2 n 口2 n 薯 乃q l 岱一 n 一 川 口 芬 乞 槲 口一 氣 槲 口 州 g營 z b 吩 包 n 一 兮 l h 1 n 一 l 口 一 九 q l 包 n 口 i 鼉q 青島科技大學研究生學位論文 由上式和 3 3 5 式得 m 咒l a i i i 薯 匆 i 口r 曰 1 一口 s b g q s m j 囈 由 3 3 4 式我們得 b x l a 小j j l 乃 馴 托磊吣 1 砒時 i 乃托磊圳 o e n 呈 j j n 口y il l a l x j l a j l x j s i n fj n j n 呈 n 口 i i 乃i l 乃i x j 占 1 l j n 歹 n n n 1 一口 薯l i 乃 i 乃 1 i 乃 乃 s l 哆 i l k j e n 盧n i e n 2 一 n y 一 口r b 1 一口 s b 下面我們證明v i e n 的情形 由g 的選取和正對角矩陣d e 的構(gòu)造 可知 對v i 有0 口 斥要n l l 蠶1 e 1 一口 口r b 1 一口 s b 情況二 對f n i 硭n 若a4 l 由 3 3 2 知 m s l q i 咒 占 口 進一步有 包 i 咒 s i 舊 1 i i 1 1 艫jj 一 1 a i i 乃 l 盧w 鏟 地叫口 薈 到卜口 以 占 口l 1 x j m 一 s i e n fj n i n n 叫睜 剁訛叫 口墨 b 1 一口 s b 若口 1 時 則 m 乃q e i a i p s l l 弘吣 r 艿 口r b 1 一口 s b 1 哆f l 乃 情況三 對f 圣孵 f 蟛 我們可以仿照情況二的證明過程 得到 1 6 f l 口r b 1 一口 s b 情況四 對f 圣孵 f 圣蟛 由 3 3 2 式得 s l 口 乃 口 嘭 洲 厚 乃 鏟 刪 ji 一 r 劃 州 鏟 x 仃 州托 j r l 口g m 一 g t 即 青島科技大學研究生學位論文 艄叫 磊m 乃 吾 h h 酬訓 啦c 牌 口瞎 x j 小刊 磊m 乃 到卜卜 乃 f 口l l a vj x j i i s i lj e 旰 扣噬 n 盧n i 一l 1 一口 l l a j i l y j i 乃 i s i a j l i fl i 肛w j n 呈 n e n j 一 口r 曰 1 一口 墨 b 所以 對v i e 總有院i 口r b 1 一口 s b 則b 是嚴格和口對 角占優(yōu)矩陣 所以曰是非奇h 矩陣 由定理2 1 1 可知么也是非奇h 矩陣 定理3 3 2 設(shè)彳 吩 鳩 c 不可約 對口 o 1 若 r q i 口l l 口 c 一口 薹 a j l y i 釁 叫 鯊掣卜 其中o 毛 y s 1 i e 且7 4 a 其中 7 彳 y 丁 么 t 1 7 瞰彳 卜 3 3 7 3 3 2 p 口 一 鈳一 坐生 一墨 t 一 掣 引盟 兀目 q 兀目 或 l 4 阻k 兀日 兀日 則a 是非奇h 矩陣 證明 死 a 咒窆i a j k j 鼠 a 薯窆ky j l fj l 構(gòu)造正對角矩陣d 誡昭 五 x 2 和e d i a g y y 2 以 并記 8 b e a d 則對 吖 m 3 3 7 j k l i y i l 薯 以口 i i 1 一口 誓 l q l 乃 f j i 口r 召 1 一口 s b 5 時v i e n 2 由 3 3 2 得 l 吃l 咒l 哆 i t 口 薈l l t 薈1 日 1 c 1 一口 磊l 口 i 乃 薈l 口 i ij n f n 呈jij n f n l 一 j 口足 b o o s b 所以 對v f 總有i 匆一 口r b 1 一口 s b 即曰為和口對角占優(yōu)矩陣 另外 由彳不可約知曰不可約 又7 彳 囝 根據(jù)引理3 3 1 知b 為非奇h 矩陣 進一步由定理2 1 1 知彳也是非奇h 矩陣 設(shè)么 心 c 若 q i 口 三一 c 一口 三一 a善c3 3 2 其中0 五 y ts 1f 并記 斗叫k l 州h o 定理3 3 3 設(shè)么 c 口 o 1 若o 五 y i 1 f 滿足條件 3 3 2 j f i j 3 3 7 且k g v i o k 總存在非零元素鏈口轆 口 一o 青島科技人學研究生學位論文 使得t 則彳非奇h 矩陣 證明 仿照定理3 3 2 證明 構(gòu)造正對角矩陣d d i a g x a 而 矗 和 e d i a g y 1 y 2 y o 并記 b e a d 貝i j 對v i 有 1 6 f i 口r b 1 一口 s b 顯然 可以表示為 k f j6 1 i 口墨 b 1 一口 s b 對任意的v i o 慨 有非零元素鏈 0 使得t k 其中 i d 乒 t 1 t 根據(jù)引理3 3 1 我們知 b 為非奇h 矩陣 進一步由定理2 1 1 知么也是非奇h 矩陣 注 由引理3 3 2 易得 本文所得結(jié)果包含了文獻 9 中的結(jié)果 1 9 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 4a o r 禾i i g a o r 迭代法的收斂性分析 4 1a o r 迭代法的收斂性分析 4 1 1 引言及預備知識 x c 于a m c 我們用a 彳 和p 么 表示矩陣爿的特征值和譜半徑 我們考慮線性方程組 a x b 其中b e c 為已知向量 z c 為未知向量 設(shè)給定矩陣彳可分裂為 a d t s 其中d 為對角占優(yōu)矩陣 刁和書分別為矩陣彳的嚴格下三角和嚴格上三角部分 我們記 工 d 一 u d s 則此時a o r 迭代法可以寫成 礦 m 盯 國 d k 0 1 x o e c 4 其中 心p 一以 1 1 一彩 緲一仃 三 硼 d 國 一以 國 盯 r 盯 0 定義4 1 1 5 設(shè)彳 m c 若k i i i r 彳 巧 爿 v f f 則稱4 為嚴格雙對角占優(yōu)矩陣 并記為a d d 定義4 1 2 5 設(shè)么 m c 若存在口 o 1 使得 m m 霉 口 a p j 球 彳 g f fv i j e i j 成立 則成矩陣彳為嚴格雙口對角占優(yōu)矩陣 y r 詘oa d d a 其中置口 a r a 1 o r s 彳 i e n 青島科技大學研究生學位論文 引理4 1 1 5 設(shè)彳 弘 c 如果彳 d d a 則矩陣彳就是非異h 矩陣 定理4 1 1 2 5 設(shè)彳 鳩 c 如果彳 d 口 且緲 仃滿足以下條件則 a o r 迭代法收斂 i 0 c r 2 1 p j m 彳 s o 彩 一 2 1 嶧只 三 u 2 仃j 1 尸 鴆 或 i i m a x 一緲 1 一只 l u 2 m a x o c o 1 2 p 三 c r o 0 緲 或 i i i 仃 1 珥n 1 只 口 三 一只 u 2 m i n 0 1 緲 2 e 三 0 國 f 定理4 1 2 2 6 設(shè)么 m c 如果a d d 且緲 仃滿足以下條件 則 a o r 迭代法收斂 0 o 如 2 1 餼工 m 彳 s 呦 m a x p 帥 玄可雨褊圳 或 譬 o p f f a p 2 2 1 p 3m i n a 一 z a 2 2 盯 或 盯 m n op4 ozp52 p3m in a z a 2 緲 o v f j i j 貝0 有 其中 p m o 則 一仃三 d d a 由引理4 1 1 我們知 i 苣i o l 是非奇異的 不失一般性 我們假設(shè)名為迭代矩陣m 的任一特征值 則 有 即 d e t 2 i m o d e t 兄 一盯 一 1 一緲 緲一仃 三 緲u o 然而 a i o l 1 o i o o l o u 6 d d a 兄不是迭代矩陣m 叩的特 征值 也就是說 對于v f i 滿足 名一 1 0 2 1 2 陲慨七叫乙一國 1 叫驢鞏七叫乇一眠i 卜善l 兄略一 緲一盯 匕一側(cè) i 1 一口 p 鴨一 國一仃 島 l 址s i l 1 f j 5 l 五不是迭代矩陣m 的特征值 特別的 如果對于v f j z j 滿足 1 2 1 一彩 j 2 青島科技大學研究生學位論文 b m 階l 國訕州北 1 1 口 渺 乇i l 國一啦 川 口苓 i 旯 l 仃i 阿 i i 國一仃1 1 1 l 緲l 卜 i 1 一口 i 旯i i 仃1 1 可1 i 緲一仃i l 乞i i 緲 i 町1 1 不是迭代矩陣m 的特征值 假設(shè)名是迭代矩陣m 的特征值 則必須存在一對f j i e f j f 滿足 2 1 一彩 吩 陲 m 帥i 緲硼忡i i 帥一口 渺 乇i 彩一唰 i 緲i i i 口若 1 五i i 盯 以i i 國一盯l h i i 彩l l 1 一口 吾 1 五l i 盯l i 乞i i 國一仃l l 乞l i 緲i i 掣1 即 a i i 2 2 4l 兄l 鴿 o 4 1 1 因為4 1 一盯2 只 口 三 弓 口 三 o 如2o 且判別式 o 所以不等式 4 1 1 的解 滿足 呼a2 4a學 4a1a3斗i 呼4 4a2 4aia3 4 也 因此 咖一 搿坐辱墜 誑喏 4 1 3a o r 迭代法的收斂性分析 定理4 1 4 設(shè)彳 嘞 鴆 c 如果么 肋 口 且滿足以下條件 i o e r 2 p j m 么 j 國 m a x20r 叫 m引in 以一以 麗2 利 或 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 仃 o 0 緲 t 或 m 仃 玄 o p 4 f f w 2 p 5a 1 p 3 r m i n 0 2 一 6 0 2 z o o v i j e f 首先 我們考慮第一種情況 因為a d d a 則由引理4 1 1 我們知道彳是非奇 h 矩陣 因此聊 彳 是非奇m 矩陣 根據(jù)文獻 2 7 如果o 盯 2 1 p j m 彳 則有p m 叩 1 i 茂 0 2 對于仃 0 時 有 心 盯 1 c o o i c o o m 盯 如果o 國 盯 2 1 p 尥 由外插定理 2 8 可知 夕 心 印 1 現(xiàn)在我們來分析第二種情況 當滿足2 盯 1 p 鴨 國 f o a j l 酗o 2 0 i p m 貝o o a r o 竺 盼w 啡 青島科技大學研究生學位論文 因為4 蠆麗 2 4 4 2 4 i 如一 a 1 4 a 2 2 4 a a 1 因為 4 1 一盯2 弓 e 口 三 4 2 c o 一1 o e 口 三 緲一盯 弓 三 緲弓 u 仃 緲一仃 c 口 三 彩只 u e 口 三 2 c o 一1 國盯置口 三 e 三 一2 0 2 p 口 三 e 口 三 緲盯只 口 u 弓 口 三 4 1 一緲 2 一 i 功一盯i 置口 三 l 緲i 置口 u i 彩一仃i e 口 三 j 緲i 弓 口 u 國2 2 c a l 一彩2 口 三 u 乞 口 三 u 彩仃p 歸 三 u 乞 口 l 國仃p 口 三 乞 口 三 u 一仃2 只 三 e 口 l 所以 由如一a 0 因為1 一o r 2 只 口 o p 口 三 o v i f 歹 判別式 o 所以此不等式的解滿 足 妒日霜贏2 麗露麗或呸 2 這與 4 1 3 式相矛盾 因此q 應(yīng)該被舍去 所以只有吃符 合條件 所以 國 e l f l 蘆 o 夠 l 最口 l u 弓蘆 l u 我們證明情況 i i 第一步 當o 緲 l a o 4 2 2 o 一功仃 口 三 口 三 u 2 盯2 p 三 乞 口 一緲仃只 口 三 u 弓 l 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 嗚 t 0 2 2 c o l c 0 2 c 口 三 u e 口 三 u 國盯只 口 u e 口 c o o p 口 三 弓 口 三 一o r 2 p 三 e 三 由如一a a 得 4 0 2 口 l p j 口 l 2 c o o p 口 三 e 口 三 u 一2 緲仃p 口 三 弓 口 l 國2 只 三 e 口 l v o 0 得此不等式的解滿足 竺墨l 二竺型匝 仃 e 又因為o 0 和置球 l v p j 口 l u l v i e 所以 第二步 當1 國 t 盯 0 竺墨i 二竺型匝 仃 o b 4 2 c o 2 t o c r p 口 l p j 口 l u 2 c r 2 口 上 c 口 三 一c o o p j 口 三 u e l 4 國2 2 t o l c 0 2 e 三 u e 口 l u c o a p 口 三 u 弓 口 三 c o o p 口 e 口 三 u 一盯2 只 口 三 弓 口 三 由a 一 a 得 4 仃2 p 口 弓 口 l 2 c o o r p 口 三 弓 三 u 一2 a m p 三 u e 口 l 彩2 e 口 u 口 三 u 一緲2 4 0 9 4 0 所以此不等式的解應(yīng)滿足 坐巫五巫 盯 b 又因為仃 o 和z 三 u 弓 口 l u 1 v f j i 所以 絲 塹翌掣竺塑 仃 o 只 鏟 一 墮 坐 青島科技大學研究生學位論文 綜合一 二兩步 得到 m 觚竺二業(yè)竺 璺竺竺 竺二型 盯 o m a x 三一 二 盯 uo 笛 b 最后 我們證明情況 i i i 第一步 當0 緲 1 仃 f 4 2 2 0 一緲仃只 口 三 e 三 一弓 口 u 一緲盯 p 0 e u e 2 盯2 只 口 三 弓 l 4 彩2 2 o 1 一緲2 p 三 一e u 弓 口 三 一乞 u 一仃2 只 e 口 三 國盯 只 口 一只 口 u 弓 三 彩仃只 上 弓 口 三 一弓 u 由如一a a 得 4 仃2 只 三 e 三 一2 c o e r e 口9 e u e l 2 c a a r p 三 哆私 三 一e u 國2 只 口 三 一只 u e 0 弓 u 一緲2 0 所以此不等式的解應(yīng)滿足 又因為仃 t 我們得 第二步 國 l 盯 t 緲只 緲 只 2 b 盯 二 i 二 二 e f 盯 i i l i n o p 4 c 0 4 墅p 5f 2 p 3 t b 4 2 緲一2 一緲盯只 三 e 口 l p j u 一力盯 只 o e 口 u 弓 口 三 2 盯2 只 口 l p j 口 三 4 國2 2 0 2 1 0 2 2 e 三 一p 口 u 弓 口 三 一弓 口 u 一仃2 只 口 三 弓 三 緲仃 e 口 三 一只 u e 口 彩盯只 口 三 e 口 三 一e 口 u 由a 2 一如 a 得 乒 生 非奇h 矩陣的判定和迭代法的收斂性分析 4 仃2 只 三 e 口 三 一2 緲盯 只 口 三 一c u e 口 t 2 6 0 0 e 三 弓 三 一c 口 u 緲2 c l e 弓 口 三 一弓 u 一緲2 4 t o 一4 o 得此不等式的解滿足 些 二巫五匝 仃 只 又因為o r t 我們得 商n 坐巫墨巫 e 綜合一 二兩步 得到 證畢 緲p 4t 緲2 只注 e m i n 緲2 緲一2 2 t 盯 r a i n 羔 上 弓 j j 一 4 1 4 數(shù)值例子 下面我們舉例說明 基于雙口對角占優(yōu)矩陣所得到的定理4 1 4 的收斂域大于由 文 2 5 和文 2 6 所得的收斂域 例1 給定 a 一 53 2 2 63 2l 9 不妨令口 i 1 易證 彳 d o t a d d 并i a d d a 由定理4 1 4 我們可得如下的收斂域 1 o a 1 1 8 9 6 o c o m a x 1 1 2 6 8 2 0 1 p 或 2 0 緲 1 一0 8 1 9 5 緲 仃 o 或 1 緲 1 1 2 6 8 2 8 7 緲一5 x 7 7 7 r a 2 3 0 7 2 1 0