飲酒駕車的數(shù)學(xué)模型.pdf

收稿日期 2005 08 29 作者簡(jiǎn)介 楊錦偉 1983 男 河南省葉縣人 平頂山學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院助教 飲酒駕車的數(shù)學(xué)模型 楊錦偉 刁 群 平頂山學(xué)院 河南 平頂山467002 摘 要 定義了血醇濃度 借鑒藥物動(dòng)力學(xué)中的房室模型 建立了血醇濃度的微分方程模型 準(zhǔn)確地模 擬出血醇濃度變化趨勢(shì)的曲線 該模型可以預(yù)測(cè)喝酒后任一時(shí)刻的血醇濃度 同時(shí)對(duì)于血醇濃度達(dá)到最大值的 時(shí)間也給出了一個(gè)精確的解析解 最后還討論了周期性連續(xù)喝酒條件下血醇濃度的變化情況 關(guān) 鍵 詞 飲酒 微分方程模型 數(shù)據(jù)擬合 中圖分類號(hào) O141 4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A 文章編號(hào) 1673 1670 2006 02 0056 03 1 問題提出 針對(duì)交通事故高發(fā)的嚴(yán)重情況 新的酒精含量標(biāo)準(zhǔn)規(guī) 定 車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20mg 100mL 小于80mg 100mL為飲酒駕車 血液中的酒精含量 大于或等于80mg 100mL為醉酒駕車 大李在中午12點(diǎn)喝 了一瓶啤酒 下午6點(diǎn)檢查時(shí)符合標(biāo)準(zhǔn) 緊接著他在吃晚飯 時(shí)又喝了一瓶啤酒 凌晨2點(diǎn)檢查時(shí)卻被定為飲酒駕車 兩 次喝同樣多的酒 檢查結(jié)果卻不一樣 筆者建立飲酒后血液 中酒精含量的數(shù)學(xué)模型 并討論以下問題 1 對(duì)大李碰到的情況做出解釋 2 在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi) 駕車就會(huì)違反上述標(biāo)準(zhǔn) a 酒是在很短時(shí)間內(nèi)喝的 b 酒是在較長(zhǎng)一段時(shí)間 比如 2h 內(nèi)喝的 3 怎樣估計(jì)血液中的酒精含量在什么時(shí)間最高 4 根據(jù)你的模型論證 如果天天喝酒 是否還能開車 2 問題分析 當(dāng)人們喝酒時(shí) 酒精 即乙醇 就會(huì)隨著血液擴(kuò)散到全 身的器官和組織中 然后不斷地被吸收 代謝和排出 在這 里我們把乙醇在血液中的濃度 即每100mL血液中乙醇含 量 mg 稱血醇濃度 它隨時(shí)間和所處范圍的變化而變化 為了建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型 我們需 要討論乙醇在體內(nèi)吸收 分布和排出的動(dòng)態(tài)過程以及此過 程中的定量關(guān)系 為了達(dá)到這一目的 我們借鑒藥物動(dòng)力學(xué) 中的房室模型 所謂房室 是指由具有相近的藥物轉(zhuǎn)運(yùn)速率 的器官 組織組合而成 同一房室內(nèi)各部分的藥物處于動(dòng)態(tài) 平衡 可以認(rèn)為乙醇在體內(nèi)各部位間均有較高及相近的轉(zhuǎn) 運(yùn)速率 可在體內(nèi)迅速達(dá)到分布平衡 即血醇濃度具有均衡 性 但是在不同的房室則可按一定的規(guī)律進(jìn)行乙醇的轉(zhuǎn)移 在這里我們簡(jiǎn)單地認(rèn)為機(jī)體是一個(gè)血液均勻分布的中心 室 喝酒后 乙醇的擴(kuò)散與分布可看作在進(jìn)入中心室之前有 一個(gè)將乙醇由腸胃吸收入血液的過程 將之簡(jiǎn)化為一個(gè)吸 收室 這種簡(jiǎn)化在醫(yī)學(xué)界和藥理學(xué)界已被接受和承認(rèn) 我 們稱之為一室模型 1 下面在吸收室和中心室之間建立一 個(gè)血醇濃度的微分方程來描述其動(dòng)態(tài)特征 3 模型的假設(shè)與符號(hào)表示 在不失真的前提下 我們可以建立線性常系數(shù)方程 為 此 我們作如下假設(shè) 1 機(jī)體可看作一個(gè)中心室 中心室的容積 即血液容 積 在過程中保持不變 乙醇由腸胃吸收入血液的過程簡(jiǎn)化 為一個(gè)吸收室 2 乙醇從吸收室向中心室的轉(zhuǎn)移速率與吸收室的血醇 濃度成正比 中心室向體外的排出速率與中心室的血醇濃 度成正比 3 乙醇全部由吸收室進(jìn)入中心室 又從中心室排出 在 此過程中 吸收室中轉(zhuǎn)換的乙醇可忽略不計(jì) 4 假設(shè)大李在下午6點(diǎn)接受檢查后由于現(xiàn)實(shí)原因等8 點(diǎn)開始吃晚飯 5 假設(shè)酒在很短時(shí)間內(nèi)喝完即將酒瞬時(shí)導(dǎo)入胃腸 沒 有耽擱 沒有擴(kuò)散 6 假設(shè)酒在較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)喝是勻速的 7 不考慮人體的個(gè)體差異 酒精擴(kuò)散過程示意如下 吸收室c1 t k1 中心室 c t k 符號(hào)表示 c1 t 吸收室中血醇濃度 c t 中心室 中血醇濃度 k1 轉(zhuǎn)移速率系數(shù) k 排除速率系數(shù) v1 吸 收室體積 v 中心室體積 第21卷第2期 2006年4月 平頂山學(xué)院學(xué)報(bào) Journal of Pingdingshan University Vol 21 No 2 Apr 2006 4 模型的建立與求解 4 1 短時(shí)間內(nèi)喝酒血醇濃度的確定 4 1 1 微分方程的建立與求解 設(shè)t 0時(shí)刻 一次喝的酒中乙醇含量為D 則c1 t 滿 足方程 2 dc1 dt k1c1 c1 0 D v1 1 中心室酒精濃度 c t 的變化率由兩部分組成 與c成 正比的排出 比例系數(shù)為k 與c1成正比的吸收 比例系數(shù) 為k1 則可得 c t 滿足方程 dc dt kc v1 v k1c1 c 0 c0 2 由 1 可解出 c1 t D v1 e k1t 3 將 3 式代入 2 中可解得 c t D v k1 k1 k e kt e k1t c0e kt 4 可以看出 t c1 t 0 c t 0 4 1 2 c t 的最大值問題 在 4 中 記b D v 取初始濃度c0 0 則 c t b g k1 k1 k e kt e k1t 容易求出 當(dāng)時(shí)間t取tm 1 k k1ln k k1 時(shí) c t 取得最大 值 cm c tm b k1 k1 k e k tm e k1tm b k1 k1 k k k1 k k k1 k k1 k1 k k1 5 4 2 較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)連續(xù)飲酒血醇濃度的確定 在較長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)連續(xù)飲酒 持續(xù)時(shí)間為 我們可以 認(rèn)為酒精從腸胃吸收入血液的過程是一個(gè)勻速變化的過 程 即可假設(shè)從吸收室到中心室的轉(zhuǎn)移速率為常數(shù)k0 則 此時(shí) dc1 dt k0 c1 0 0 6 聯(lián)合 2 式可解得 c t k0 vk 1 e kt 0 t k0 vk 1 e kt e k t t 7 4 3 每天喝酒情況下血醇濃度的分析 我們假設(shè)以時(shí)間T為周期喝酒 每周期開始時(shí)連續(xù)飲 酒 持續(xù)時(shí)間為 則在此情況下 我們根據(jù) 7 中的 c t 表達(dá)式可以得出當(dāng)t 時(shí) c t 的穩(wěn)態(tài)濃度為 3 c nT n k0 vk 1 e k 1 e kT c nT n k0 vk ek 1 ekT 1 同時(shí)可以求得當(dāng) t0 T時(shí) c nT t0 k0 vk 1 ek 1 ekTe k T t0 8 5 模型的檢驗(yàn)與結(jié)果分析 1 短時(shí)喝酒模型中 4 式中的3個(gè)參數(shù)k1 k和D V 即 b 可依據(jù)參考資料中喝2瓶酒的試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合 我們 用MATLAB對(duì)其進(jìn)行非線性最小二乘法擬合 在確定初始 值時(shí)考慮到排出速率k遠(yuǎn)小于吸收速率k1 那么k的初值 可設(shè)為0 b的初值可認(rèn)為與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中c的最大值相當(dāng) 在此不妨設(shè)為85 k1的初值不易確定 可取1或10進(jìn)行試 驗(yàn) 在此之前體內(nèi)不含酒精 c0取值為0 用MATLAB中的優(yōu)化工具箱中的leastsq函數(shù)進(jìn)行擬 合運(yùn)算 4 最后的擬合結(jié)果為 吸收速率k1 2 007 9 排出速率k 0 185 5 b D v 103 860 7 又瓶裝啤酒可設(shè)其體積為650mL 酒精濃度為4 乙 醇密度0 8g cm3 則每瓶中乙醇的質(zhì)量d 20 8g 兩瓶 D 41 6g 于是v D b 0 400 5 則短時(shí)喝2瓶酒的血 醇濃度函數(shù) 圖1中曲線 2 為 c t 114 432 6 e 0 185 5t e 2 007 9 t 短時(shí)喝一瓶酒的情況下可參考以上參數(shù) 得出血醇濃度函 數(shù) 圖1中曲線1 為 c t 57 216 3 e 0 185 5 t e 2 007 9 t 9 對(duì)大李來說 t 6時(shí) c 6 18 799 3 20 因此 凌晨2時(shí)被檢查會(huì)被定為飲酒駕車 大李出錯(cuò)的 原因在于忽視了第2次喝酒前 體內(nèi)仍有部分酒精殘余 會(huì) 影響血醇濃度 2 a 短時(shí)喝3瓶啤酒 其血醇濃度函數(shù)可由 9 得到 為 c t 3 57 216 3 e 0 185 5t e 2 007 9t 75 第2期 楊錦偉 刁 群 飲酒駕車的數(shù)學(xué)模型 易求得 t 11 588 5時(shí) c t 20 所以 在喝酒后的11 588 5h內(nèi)駕車會(huì)違規(guī) b 若在2h內(nèi)喝了3瓶啤酒 則依 7 式的參數(shù)可取值 如下 2 k0 20 8 3 2 31 2 V 0 400 5 對(duì)于參數(shù)k仍取0 185 5 則有 c t 419 960 2 1 e 0 185 5t 0 t 2 130 187 7e 0 185 5 t 2 t 2 該函數(shù)可在MATLAB中編程實(shí)現(xiàn) 當(dāng)t 12 098 35時(shí) c 20 故在此模型下喝酒后的 12 098 35h內(nèi)駕車會(huì)違規(guī) 3 要知道血醇濃度何時(shí)達(dá)到最大值 即是求 c t 的最 大值 該問題在4 1 2中已有論述 有公式可知 無論瞬時(shí)喝多少酒 體內(nèi)血醇濃度達(dá)到最 高值所用的時(shí)間是不變的 如圖1中的曲線1與曲線2 下面引入?yún)?shù)驗(yàn)證 例如 在短時(shí)喝2瓶酒的過程中 tm 1 k k11n k k1 1 0 185 5 2 007 91n 0 185 5 2 007 9 1 307 0 此時(shí)cm 81 500 7 對(duì)比試驗(yàn)數(shù)據(jù) 其最大值在t 1 和t 1 5處取到 為82 可以看出 該模型擬合度較高 比較精確 當(dāng)參數(shù)改變 時(shí) 只需代入即可 4 天天喝酒時(shí) 根據(jù)上面分析 即使只喝一瓶啤酒也需 要5h血醇濃度才能降到20以下 因此對(duì)于一個(gè)上白班的 司機(jī)早上和中午是不宜喝酒的 要想天天喝酒 只能在晚上 下班之后喝適量的酒 并且在第二天早上上班以前血醇濃 度必須降到20以下 這樣 我們來取參數(shù) 假設(shè)每天晚上8點(diǎn)開始 連續(xù)喝2h的酒 第二天早8 點(diǎn)上班 則為使早8點(diǎn)時(shí)的血醇濃度為20 取t0 12 c 20 T 24 2 v 0 400 5 k 0 185 5 利用式 8 可求得k0 30 283 1 即相當(dāng)于2 911 8瓶 啤酒 也就是說 司機(jī)師傅要想天天喝酒 那么 他每天最多 可以在晚上10點(diǎn)以前喝2 911 8瓶啤酒或者含等量酒精的 白酒 6 模型的評(píng)價(jià)與改進(jìn) 6 1 模型評(píng)價(jià) 1 筆者建立了描述酒精在血液中含量變化規(guī)律的微 分方程模型 討論了短時(shí)間內(nèi)喝酒和較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)連續(xù)喝酒 2種情況 分別得出了血醇濃度的變化函數(shù) 通過此模型可 以較準(zhǔn)確的說明血液中酒精濃度的變化規(guī)律 2 所建立的模型比較簡(jiǎn)明 可以很方便的使用MAT2 LAB來編程實(shí)現(xiàn)其結(jié)果 并且采用了準(zhǔn)確度較高的非線性 最小二乘進(jìn)行擬合 曲線吻合度非常高 3 模型具有較好的穩(wěn)定性 可以根據(jù)每天飲酒量來計(jì) 算可以安全駕車的時(shí)間 6 2 模型改進(jìn) 1 筆者對(duì)酒精在血液中的擴(kuò)散 吸收 排出機(jī)理并未 作過多探討 2 只是近似的把全身看作一個(gè)分布均勻的機(jī)體 事實(shí) 上 全身血液分布是不均的 可以分為血液較豐富的中心室 心 肺 腎等 和血液較貧乏的周邊室 四肢 肌肉組織等 可以建立一個(gè)兩室模型進(jìn)一步探討 3 本模型存在近似誤差 系數(shù)是通過擬合產(chǎn)生的 而 原始數(shù)據(jù)組有限 7 經(jīng)常開汽車 喝酒須適量 自新交通法規(guī)頒布以來 對(duì)飲酒駕車的懲罰更加嚴(yán)厲 為了減少危害 避免無謂的損失 司機(jī)不得不控制自己的飲 酒習(xí)慣 但是仍不免有不少困惑 在此提出幾點(diǎn)建議 1 不要以為第一次喝酒沒事就認(rèn)為每次喝同樣的酒間 隔相同的時(shí)間是安全的 要知道經(jīng)常飲酒體內(nèi)酒精代謝不 完全 是有殘余 2 經(jīng)常出車的司機(jī) 飲酒頻率應(yīng)該降低 并且每次的飲 酒量也不應(yīng)該太多 3 不經(jīng)常開車的司機(jī) 要注意出車前的較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)不 要飲酒 至少不能飲太多的酒 參考文獻(xiàn) 1 蕭樹鐵 數(shù)學(xué)試驗(yàn) M 北京 高等教育出版社 1999 2 姜啟源 謝金星 葉 俊 數(shù)學(xué)模型 M 第3版 北京 高等教育出版社 2003 3 姜啟源 謝金星 葉 俊 數(shù)學(xué)模型 第3版 習(xí)題參考解 答 M 北京 高等教育出版社 2003 4 張智星 MATLAB程序設(shè)計(jì)與應(yīng)用 M 北京 清華大 學(xué)出版社 2002 Mathematical Model of Drinking and Driving YANGJin wei DIAO Qun Pingdingshan University Pingdingshan Henan467002 China Abstract In this paper we give two differential equations concerning situations in which a certain amount of alcohol drinks are given in a short time vs in a long time by analyzing the