2018版高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式學(xué)案新人教A版.docx

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式1.能利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式.(重點)2.能利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行化簡、求值、證明.(難點)3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用.(易錯點)基礎(chǔ)初探教材整理二倍角的正弦、余弦、正切公式閱讀教材P132P133例5以上內(nèi)容，完成下列問題.1.二倍角的正弦、余弦、正切公式記法公式S2sin 22sin cos C2cos 2cos2sin2T2tan 22.余弦的二倍角公式的變形3.正弦的二倍角公式的變形(1)sin cos sin 2，cos .(2)1sin 2(sin cos )2.1.判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角.()(2)存在角，使得sin 22sin 成立.()(3)對于任意的角，cos 22cos 都不成立.()【解析】(1).二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求k(kZ)且k(kZ)，故此說法錯誤.(2).當(dāng)k(kZ)時，sin 22sin .(3).當(dāng)cos 時，cos 22cos .【答案】(1)(2)(3)2.已知cos ，則cos 2等于_.【解析】由cos ，得cos 22cos21221.【答案】小組合作型利用二倍角公式化簡三角函數(shù)式化簡求值.(1)cos4 sin4 ；(2)sin cos cos ；(3)12sin2 750；(4)tan 150.【精彩點撥】靈活運用倍角公式轉(zhuǎn)化為特殊角或產(chǎn)生相消項，然后求得.【自主解答】(1)cos4 sin4 cos .(2)原式cossin cos sin .原式.(3)原式cos(2750)cos 1 500cos(436060)cos 60.原式.(4)原式.原式.二倍角公式的靈活運用：(1)公式的逆用：逆用公式，這種在原有基礎(chǔ)上的變通是創(chuàng)新意識的體現(xiàn).主要形式有：2sin cos sin 2，sin cos sin 2，cos ，cos2 sin2 cos 2，tan 2.(2)公式的變形：公式間有著密切的聯(lián)系，這就要求思考時要融會貫通，有目的地活用公式.主要形式有：1sin 2sin2 cos2 2sin cos (sin cos )2，1cos 22cos2 ，cos2 ，sin2 .再練一題1.求下列各式的值：(1)sin cos ；(2)；(3)；(4)cos 20cos 40cos 80.【解】(1)原式.(2)原式tan(2150)tan 300tan(36060)tan 60.(3)原式4.(4)原式.利用二倍角公式解決求值問題(1)已知sin 3cos ，那么tan 2的值為()A.2B.2C. D.(2)已知sin，則cos的值等于()A. B.C. D.(3)已知cos ，sin ，是第三象限角，.求sin 2的值；求cos(2)的值.【精彩點撥】(1)可先求tan ，再求tan 2；(2)可利用22及求值；(3)可先求sin 2，cos 2，cos ，再利用兩角和的余弦公式求cos(2).【自主解答】(1)因為sin 3cos ，所以tan 3，所以tan 2.(2)因為cossinsin，所以cos2cos21221.【答案】(1)D(2)C(3)因為是第三象限角，cos ，所以sin ，所以sin 22sin cos 2.因為，sin ，所以cos ，cos 22cos2 121，所以cos(2)cos 2cos sin 2sin .直接應(yīng)用二倍角公式求值的三種類型(1)sin (或cos )cos (或sin )sin 2(或cos 2).(2)sin (或cos )cos 212sin2 (或2cos2 1).(3)sin (或cos )再練一題2.(1)已知，sin ，則sin 2_，cos 2_，tan 2_.(2)已知sinsin，且，求tan 4的值. 【導(dǎo)學(xué)號：70512043】【解析】(1)因為，sin ，所以cos ，所以sin 22sin cos 2，cos 212sin2 122，tan 2.【答案】(2)因為sinsincos，則已知條件可化為sincos，即sin，所以sin，所以cos 2.因為，所以2(，2)，從而sin 2，所以tan 22，故tan 4.利用二倍角公式證明求證：(1)cos2(AB)sin2(AB)cos 2Acos 2B；(2)cos2(1tan2)cos 2.【精彩點撥】(1)可考慮從左向右證的思路：先把左邊降冪擴(kuò)角，再用余弦的和、差角公式轉(zhuǎn)化為右邊形式.(2)證法一：從左向右：切化弦降冪擴(kuò)角化為右邊形式；證法二：從右向左：利用余弦二倍角公式升冪后向左邊形式轉(zhuǎn)化.【自主解答】(1)左邊(cos 2Acos 2Bsin 2Asin 2Bcos 2Acos 2Bsin 2Asin 2B)cos 2Acos 2B右邊，等式成立.(2)法一：左邊cos2cos2sin2cos 2右邊.法二：右邊cos 2cos2sin2cos2cos2(1tan2)左邊.證明問題的原則及一般步驟：(1)觀察式子兩端的結(jié)構(gòu)形式，一般是從復(fù)雜到簡單，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端都化簡，即采用“兩頭湊”的思想.(2)證明的一般步驟是：先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異，然后本著“復(fù)角化單角”、“異名化同名”、“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達(dá)到證明的目的.再練一題3.證明：tan . 【導(dǎo)學(xué)號：00680072】【證明】左邊tan 右邊.所以tan 成立.探究共研型倍角公式的靈活運用探究1請利用倍角公式化簡：(23).【提示】23，2sin .探究2如何求函數(shù)f(x)2cos2x12sin xcos x(xR)的最小正周期？【提示】求函數(shù)f(x)的最小正周期，可由f(x)(2cos2x1)(2sin xcos x)cos 2xsin 2x2sin，知其最小正周期為.求函數(shù)f(x)5cos2xsin2x4sin xcos x，x的最小值，并求其單調(diào)減區(qū)間.【精彩點撥】【自主解答】f(x)52sin 2x32cos 2x2sin 2x343434sin34sin.x，2x，sin，當(dāng)2x，即x時，f(x)取最小值為32.ysin在上單調(diào)遞增，f(x)在上單調(diào)遞減.本題考查二倍角公式，輔助角公式及三角函數(shù)的性質(zhì).解決這類問題經(jīng)常是先利用公式將函數(shù)表達(dá)式化成形如yAsin(x)的形式，再利用函數(shù)圖象解決問題.再練一題4.求函數(shù)ysin4x2sin xcos xcos4 x的最小正周期和最小值，并寫出該函數(shù)在0，上的單調(diào)遞減區(qū)間.【解】ysin4x2sin xcos xcos4x(sin2xcos2x)(sin2xcos2x)2sin xcos xcos 2xsin 2x22sin，所以T，ymin2.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，又x0，所以令k0，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.1.sin 2230cos 2230的值為()A. B. C. D.【解析】原式sin 45.【答案】B2.已知sin x，則cos 2x的值為()A. B. C. D.【解析】因為sin x