2005-數(shù)一標(biāo)準(zhǔn)答案及解析.pdf

20052005 年考研數(shù)學(xué)一真題解析年考研數(shù)學(xué)一真題解析 一 填空題一 填空題 本題共 6 小題 每小題 4 分 滿分 24 分 把答案填在題中橫線上 1 曲線 12 2 x x y 的斜漸近線方程為 4 1 2 1 xy 分析分析 本題屬基本題型 直接用斜漸近線方程公式進行計算即可 詳解詳解 因為 a 2 1 2 lim lim 2 2 xx x x xf xx 4 1 12 2 lim lim x x axxfb xx 于是所求斜漸近線方程為 4 1 2 1 xy 2 微分方程xxyyxln2 滿足 9 1 1 y的解為 9 1 ln 3 1 xxxy 分析分析 直接套用一階線性微分方程 xQyxPy 的通解公式 CdxexQey dxxPdxxP 再由初始條件確定任意常數(shù)即可 詳解詳解 原方程等價為 xy x yln 2 于是通解為 ln 1 ln 2 2 22 Cxdxx x Cdxexey dx x dx x 2 1 9 1 ln 3 1 x Cxxx 由 9 1 1 y得 C 0 故所求解為 9 1 ln 3 1 xxxy 3 設(shè)函數(shù) 18126 1 222 zyx zyxu 單位向量 1 1 1 3 1 n 則 3 2 1 n u 3 3 分析分析 函數(shù) u x y z 沿單位向量 cos cos cos n 的方向?qū)?shù)為 coscoscos z u y u x u n u 因此 本題直接用上述公式即可 詳解詳解 因為 3 x x u 6 y y u 9 z z u 于是所求方向?qū)?shù)為 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 5 頁 共 17 頁 3 2 1 n u 3 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 4 設(shè) 是由錐面 22 yxz 與半球面 222 yxRz 圍成的空間區(qū)域 是 的整個邊界 的外側(cè) 則 zdxdyydzdxxdydz 3 2 2 1 2R 分析分析 本題 是封閉曲面且取外側(cè) 自然想到用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分 再用球面 或柱面 坐 標(biāo)進行計算即可 詳解詳解 zdxdyydzdxxdydz dxdydz3 2 2 1 2sin3 3 2 00 4 0 2 Rddd R 5 設(shè) 321 均為 3 維列向量 記矩陣 321 A 93 42 321321321 B 如果1 A 那么 B 2 分析分析 將 B 寫成用 A 右乘另一矩陣的形式 再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可 詳解詳解 由題設(shè) 有 93 42 321321321 B 941 321 111 321 于是有 221 941 321 111 AB 6 從數(shù) 1 2 3 4 中任取一個數(shù) 記為 X 再從X 2 1 中任取一個數(shù) 記為 Y 則 2 YP 48 13 分析分析 本題涉及到兩次隨機試驗 想到用全概率公式 且第一次試驗的各種兩兩互不相容的結(jié)果即 為完備事件組或樣本空間的劃分 詳解詳解 2 YP 12 1 XYPXP 22 2 XYPXP 32 3 XYPXP 42 4 XYPXP 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 6 頁 共 17 頁 48 13 4 1 3 1 2 1 0 4 1 二 選擇題二 選擇題 本題共 8 小題 每小題 4 分 滿分 32 分 每小題給出的四個選項中 只有一項符合題目要求 把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi) 7 設(shè)函數(shù) n n n xxf 3 1lim 則 f x 在 內(nèi) A 處處可導(dǎo) B 恰有一個不可導(dǎo)點 C 恰有兩個不可導(dǎo)點 D 至少有三個不可導(dǎo)點 C 分析分析 先求出 f x 的表達式 再討論其可導(dǎo)情形 詳解詳解 當(dāng)1x時 1 1 lim 3 1 3 3 x x xxf n n n 即 1 11 1 1 3 3 x x x x x xf 可見 f x 僅在 x 1 時不可導(dǎo) 故應(yīng)選 C 8 設(shè) F x 是連續(xù)函數(shù) f x 的一個原函數(shù) NM 表示 M 的充分必要條件是 N 則必有 B F x 是偶函數(shù) f x 是奇函數(shù) B F x 是奇函數(shù) f x 是偶函數(shù) C F x 是周期函數(shù) f x 是周期函數(shù) D F x 是單調(diào)函數(shù) f x 是單調(diào)函數(shù) A 分析分析 本題可直接推證 但最簡便的方法還是通過反例用排除法找到答案 詳解詳解 方法一 任一原函數(shù)可表示為 x CdttfxF 0 且 xfxF 當(dāng) F x 為偶函數(shù)時 有 xFxF 于是 1 xFxF 即 xfxf 也即 xfxf 可見 f x 為奇函數(shù) 反過來 若 f x 為奇函數(shù) 則 x dttf 0 為偶函數(shù) 從而 x CdttfxF 0 為偶函數(shù) 可見 A 為正確選項 方法二 令 f x 1 則取 F x x 1 排除 B C 令 f x x 則取 F x 2 2 1 x 排除 D 故應(yīng)選 A 9 設(shè)函數(shù) yx yx dttyxyxyxu 其中函數(shù) 具有二階導(dǎo)數(shù) 具有一階導(dǎo) 數(shù) 則必有 A 2 2 2 2 y u x u B 2 2 2 2 y u x u C 2 22 y u yx u D 2 22 x u yx u B 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 7 頁 共 17 頁 分析分析 先分別求出 2 2 x u 2 2 y u yx u 2 再比較答案即可 詳解詳解 因為 yxyxyxyx x u yxyxyxyx y u 于是于是 2 2 yxyxyxyx x u 2 yxyxyxyx yx u 2 2 yxyxyxyx y u 可見有 2 2 2 2 y u x u 應(yīng)選 B 10 設(shè)有三元方程1ln xz eyzxy 根據(jù)隱函數(shù)存在定理 存在點 0 1 1 的一個鄰域 在此鄰域 內(nèi)該方程 E 只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) z z x y F 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) x x y z 和 z z x y G 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) y y x z 和 z z x y H 可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù) x x y z 和 y y x z D 分析分析 本題考查隱函數(shù)存在定理 只需令 F x y z 1ln xz eyzxy 分別求出三個偏導(dǎo)數(shù) yxz FFF 再考慮在點 0 1 1 處哪個偏導(dǎo)數(shù)不為 0 則可確定相應(yīng)的隱函數(shù) 詳解詳解 令 F x y z 1ln xz eyzxy 則 zeyF xz x y z xFy xeyF xz z ln 且 2 1 1 0 x F 1 1 1 0 y F 0 1 1 0 z F 由此可確定相應(yīng)的隱函數(shù) x x y z 和 y y x z 故應(yīng)選 D 11 設(shè) 21 是矩陣 A 的兩個不同的特征值 對應(yīng)的特征向量分別為 21 則 1 21 A線 性無關(guān)的充分必要條件是 A 0 1 B 0 2 C 0 1 D 0 2 B 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 8 頁 共 17 頁 分析分析 討論一組抽象向量的線性無關(guān)性 可用定義或轉(zhuǎn)化為求其秩即可 詳解詳解 方法一 令 0 21211 Akk 則 0 22211211 kkk 0 2221121 kkk 由于 21 線性無關(guān) 于是有 0 0 22 121 k kk 當(dāng)0 2 時 顯然有0 0 21 kk 此時 1 21 A線性無關(guān) 反過來 若 1 21 A 線性無關(guān) 則必然有0 2 否則 1 與 21 A 11 線性相關(guān) 故應(yīng)選 B 方法二 由于 2 1 2122111211 0 1 A 可見 1 21 A線性無關(guān)的充要條件是 0 0 1 2 2 1 故應(yīng)選 B 12 設(shè) A 為 n 2 n 階可逆矩陣 交換 A 的第 1 行與第 2 行得矩陣 B B A分別為 A B 的伴 隨矩陣 則 B 交換 A的第 1 列與第 2 列得 B B 交換 A的第 1 行與第 2 行得 B C 交換 A的第 1 列與第 2 列得 B D 交換 A的第 1 行與第 2 行得 B C 分析分析 本題考查初等變換的概念與初等矩陣的性質(zhì) 只需利用初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及伴隨 矩陣的性質(zhì)進行分析即可 詳解詳解 由題設(shè) 存在初等矩陣 12 E 交換 n 階單位矩陣的第 1 行與第 2 行所得 使得 BAE 12 于是 12 1 1212 12 12 EAEEAEAAEB 即 12 BEA 可見應(yīng)選 C 13 設(shè)二維隨機變量 X Y 的概率分布為 X Y 0 1 0 0 4 a 1 b 0 1 已知隨機事件 0 X與 1 YX相互獨立 則 B a 0 2 b 0 3 B a 0 4 b 0 1 C a 0 3 b 0 2 D a 0 1 b 0 4 B 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 9 頁 共 17 頁 分析分析 首先所有概率求和為 1 可得 a b 0 5 其次 利用事件的獨立性又可得一等式 由此可確定 a b 的取值 詳解詳解 由題設(shè) 知 a b 0 5 又事件 0 X與 1 YX相互獨立 于是有 1 0 1 0 YXPXPYXXP 即 a 4 0 baa 由此可解得 a 0 4 b 0 1 故應(yīng)選 B 14 設(shè) 2 21 nXXX n 為來自總體 N 0 1 的簡單隨機樣本 X為樣本均值 2 S為樣本方差 則 B 1 0 NXn B 22 nnS C 1 1 nt S Xn D 1 1 1 2 2 2 1 nF X Xn n i i D 分析分析 利用正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)和 2 分布 t 分布及 F 分布的定義進行討論即可 詳解詳解 由正態(tài)總體抽樣分布的性質(zhì)知 1 0 1 0 NXn n X 可排除 A 又 1 0 nt S Xn n S X 可排除 C 而 1 1 1 1 22 2 2 nSn Sn 不能斷定 B 是正確 選項 因 為 n i i nXX 2 2222 1 1 1 且 n i i nXX 2 2222 1 1 1 與相 互 獨 立 于 是 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 nF X Xn n X X n i i n i i 故應(yīng)選 D 三三 解答題 本題共 解答題 本題共 9 小題 滿分小題 滿分 94 分分 解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟解答應(yīng)寫出文字說明 證明過程或演算步驟 15 本題滿分 本題滿分 11 分 分 設(shè) 0 0 2 22 yxyxyxD 1 22 yx 表示不超過 22 1yx 的最大整數(shù) 計算二 重積分 D dxdyyxxy 1 22 分析分析 首先應(yīng)設(shè)法去掉取整函數(shù)符號 為此將積分區(qū)域分為兩部分即可 詳解詳解 令 0 0 10 22 1 yxyxyxD 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 10 頁 共 17 頁 0 0 21 22 2 yxyxyxD 則 D dxdyyxxy 1 22 12 2 DD xydxdyxydxdy drrddrrd 2 0 2 1 3 1 0 3 2 0 cossin2cossin 8 7 4 3 8 1 16 本題滿分 本題滿分 12 分 分 求冪級數(shù) 1 21 12 1 1 1 n nn x nn 的收斂區(qū)間與和函數(shù) f x 分析分析 先求收斂半徑 進而可確定收斂區(qū)間 而和函數(shù)可利用逐項求導(dǎo)得到 詳解詳解 因為1 1 12 12 12 1 1 12 1 lim nn nn nn nn n 所以當(dāng) 2 1x 時 原級數(shù)發(fā)散 因此原級數(shù)的收斂半徑為 1 收斂區(qū)間為 1 1 記 1 2 1 1 1 1 2 21 n n n S xxx nn 則 1 21 1 1 1 1 21 n n n S xxx n 122 2 1 1 1 1 1 1 nn n Sxxx x 由于 0 0 0 0 S S 所以 2 00 1 arctan 1 xx S xS t dtdtx t 2 00 1 arctanarctanln 1 2 xx S xS t dttdtxxx 又 2 12 2 1 1 1 1 1 nn n x xx x 從而 2 2 2 1 x f xS x x 2 2 2 2 arctanln 1 1 1 1 x xxxx x 17 本題滿分 本題滿分 11 分 分 如圖 曲線 C 的方程為 y f x 點 3 2 是它的一個拐點 直線 1 l與 2 l分別是曲線 C 在點 0 0 與 3 2 處 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 11 頁 共 17 頁 的切線 其交點為 2 4 設(shè)函數(shù) f x 具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 計算定積分 3 0 2 dxxfxx 分析分析 題設(shè)圖形相當(dāng)于已知 f x 在 x 0 的函數(shù)值與導(dǎo)數(shù)值 在 x 3 處的函數(shù)值及一階 二階導(dǎo)數(shù)值 詳解詳解 由題設(shè)圖形知 f 0 0 2 0 f f 3 2 0 3 2 3 ff 由分部積分 知 3 0 3 0 3 0 22 3 0 2 12 dxxxfxfxxx f d xxdxxfxx dxxfxfxx f d x 3 0 3 0 3 0 2 12 12 20 0 3 216 ff 18 本題滿分 本題滿分 12 分 分 已知函數(shù) f x 在 0 1 上連續(xù) 在 0 1 內(nèi)可導(dǎo) 且 f 0 0 f 1 1 證明 I 存在 1 0 使得 1 f II 存在兩個不同的點 1 0 使得 1 ff 分析分析 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理 第二部分為雙介值問題 可考慮用拉格朗日 中值定理 但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論 詳解詳解 I 令xxfxF 1 則 F x 在 0 1 上連續(xù) 且 F 0 10 于是由介值 定理知 存在 1 0 使得0 F 即 1 f II 在 0 和 1 上對 f x 分別應(yīng)用拉格朗日中值定理 知存在兩個不同的點 1 0 使得 0 0 ff f 1 1 ff f 于是 1 1 1 1 1 ff ff 19 本題滿分 本題滿分 12 分 分 設(shè)函數(shù) y 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線 L 上 曲線積分 L yx xydydxy 42 2 2 的值恒為同一常數(shù) I 證明 對右半平面 x 0 內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線 C 有0 2 2 42 C yx xydydxy II 求函數(shù) y 的表達式 分析分析 證明 I 的關(guān)鍵是如何將封閉曲線 C 與圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系 這可 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 12 頁 共 17 頁 利用曲線積分的可加性將 C 進行分解討論 而 II 中求 y 的表達式 顯然應(yīng)用積分與路徑無關(guān)即可 詳解詳解 I 1 l l2 C o X l3 如圖 將 C 分解為 21 llC 另作一條曲線 3 l圍繞原點且與 C 相接 則 C yx xydydxy 42 2 2 3 1 42 2 2 ll yx xydydxy 0 2 2 32 42 ll yx xydydxy II 設(shè) 2424 2 22 yxy PQ xyxy P Q在單連通區(qū)域0 x 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) 由 知 曲線積分 24 2 2 L y dxxydy xy 在該區(qū)域內(nèi)與路徑無關(guān) 故當(dāng)0 x 時 總有 QP xy 2425 242242 2 2 4242 2 2 Qyxyxxyx yy xxyxy 243243 242242 2 4 2 4 2 2 Pyxyy yxyy yy y yxyxy 比較 兩式的右端 得 435 2 4 2 yy y yy yy 由 得 2 yyc 將 y 代入 得 535 242 ycyy 所以0c 從而 2 yy 20 本題滿分 本題滿分 9 分 分 已知二次型 21 2 3 2 2 2 1321 1 22 1 1 xxaxxaxaxxxf 的秩為 2 I 求 a 的值 II 求正交變換Qyx 把 321 xxxf化成標(biāo)準(zhǔn)形 III 求方程 321 xxxf 0 的解 分析分析 I 根據(jù)二次型的秩為 2 可知對應(yīng)矩陣的行列式為 0 從而可求 a 的值 II 是常規(guī)問題 先求出特征值 特征向量 再正交化 單位化即可找到所需正交變換 III 利用第二步的結(jié)果 通過標(biāo) 準(zhǔn)形求解即可 Y 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 13 頁 共 17 頁 詳解詳解 I 二次型對應(yīng)矩陣為 200 011 011 aa aa A 由二次型的秩為 2 知 0 200 011 011 aa aa A 得 a 0 II 這里 200 011 011 A 可求出其特征值為0 2 321 解 0 2 xAE 得特征向量為 1 0 0 0 1 1 21 解 0 0 xAE 得特征向量為 0 1 1 3 由于 21 已經(jīng)正交 直接將 21 3 單位化 得 0 1 1 2 1 1 0 0 0 1 1 2 1 321 令 321 Q 即為所求的正交變換矩陣 由 x Qy 可化原二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 321 xxxf 22 2 2 2 1 yy III 由 321 xxxf 2 2 2 1 22yy0 得kyyy 321 0 0 k 為任意常數(shù) 從而所求解為 x Qy 0 0 0 3321 c c k k 其中 c 為任意常數(shù) 21 本題滿分 本題滿分 9 分 分 已知 3 階矩陣 A 的第一行是cbacba 不全為零 矩陣 k B 63 642 321 k 為常數(shù) 且 AB O 求 線性方程組 Ax 0 的通解 分析分析 AB O 相當(dāng)于告之 B 的每一列均為 Ax 0 的解 關(guān)鍵問題是 Ax 0 的基礎(chǔ)解系所含解向量的 梅花香自苦寒來 歲月共理想 人生齊高飛 第 14 頁 共 17 頁 個數(shù)為多少 而這又轉(zhuǎn)化為確定系數(shù)矩陣 A 的秩 詳解詳解 由 AB O 知 B 的每一列均為 Ax 0 的解 且 3 BrAr 1 若 k9 則 r B 2 于是 r A 1 顯然 r A 1 故 r A 1 可見此時 Ax 0 的基礎(chǔ)解系所含解 向量的個數(shù)為 3 r A 2 矩陣 B 的第一 第三列線性無關(guān) 可作為其基礎(chǔ)解系 故 Ax 0 的通解為 2121 6 3 3 2 1 kk k kkx 為任意常數(shù) 2 若 k 9 則 r B 1 從而 2 1 Ar 1 若 r A 2 則 Ax 0 的通解為 11 3 2 1 kkx 為任意常數(shù) 2 若 r A 1 則 Ax 0 的 同 解 方 程 組 為 0 321 cxbxax 不 妨 設(shè)0 a 則 其 通 解 為 2121 1 0 0 1kk a c k a b kx 為任意常數(shù) 22 本題滿分 本題滿分 9 分 分 設(shè)二維隨機變量 X Y 的概率密度為 20 10 0 1 其他 xyx yxf 求 I X Y 的邊緣概率密度 yfxf YX II YXZ 2的概率密度 zfZ 分析分析 求邊緣概率密度直接用公式即可 而求二維隨機變量函