ch05-1 角動(dòng)量習(xí)題課.pdf

第五章 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律第五章 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律 角動(dòng)量角動(dòng)量 轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量 轉(zhuǎn)動(dòng) 慣量 角動(dòng)量的 時(shí)間變化率 角動(dòng)量的 時(shí)間變化率 力矩力矩 角動(dòng)量 定理 角動(dòng)量 定理 角動(dòng)量 守恒定律 角動(dòng)量 守恒定律 第五章角動(dòng)量角動(dòng)量守恒習(xí)題課 復(fù)習(xí)提要 第五章角動(dòng)量角動(dòng)量守恒習(xí)題課 復(fù)習(xí)提要 三個(gè)概念 兩條規(guī)律 二 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 三個(gè)概念 兩條規(guī)律 二 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 m i ii mrrmJd 2 2 一 角動(dòng)量一 角動(dòng)量 質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)系 定軸剛體 質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)系 定軸剛體 vmrL rr r i iiicc vmrvmrLLL rrrv rrr 自旋軌道自旋軌道 J Lz 三 力矩三 力矩 0 i iz MFrMFrM 內(nèi)內(nèi) vr r r r v 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 2 1 d d d t t LtM t L M vv v v 質(zhì)點(diǎn)系 定軸剛體 質(zhì)點(diǎn)系 定軸剛體 2 1 d d d t t LtM t L M vv v v 外外外外 J M z 2 1 d t t zz LtM 五 角動(dòng)量守恒五 角動(dòng)量守恒 恒量 恒矢量 恒量 恒矢量 外外 zz LM LM 0 0 vv 四 角動(dòng)量定理四 角動(dòng)量定理 注意 注意 0 0 o M F r r 0 0 o M F r r 合力為零時(shí) 其合力矩是否一定為零 合力矩為零時(shí) 合力是否一定為零 合力為零時(shí) 其合力矩是否一定為零 合力矩為零時(shí) 合力是否一定為零 F r F r o o F r F r 例 例 例 例 質(zhì)量為 長為的細(xì)桿在水平粗糙桌面上 繞過其一端的豎直軸旋轉(zhuǎn) 桿的密度與離軸距離成正 比 桿與桌面間的摩擦系數(shù)為 求摩擦力矩 質(zhì)量為 長為的細(xì)桿在水平粗糙桌面上 繞過其一端的豎直軸旋轉(zhuǎn) 桿的密度與離軸距離成正 比 桿與桌面間的摩擦系數(shù)為 求摩擦力矩 m L 解 解 rkrrmddd 設(shè)桿的線密度設(shè)桿的線密度kr 22 d2 d 2 L rmr m L m k 得 得 2 0 2 1 d d kLrkr mm L 由由 o md f r d z r v rr L mg mgf d 2 dd 2 frMdd mgLrr L mg MM L 3 2 d 2 d 0 2 2 2 d2 d L rmr m o md f r d z r v 例1 例1 一定滑輪的質(zhì)量為 半徑為 一輕繩 兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上 繩不伸 長 繩與滑輪間無相對滑動(dòng) 不計(jì)軸的摩擦 初角 速度為零 求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律 一定滑輪的質(zhì)量為 半徑為 一輕繩 兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上 繩不伸 長 繩與滑輪間無相對滑動(dòng) 不計(jì)軸的摩擦 初角 速度為零 求滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度隨時(shí)間變化的規(guī)律 m 1 m 2 m r 2 m 1 m r m 已知 已知 0 021 r m m m 求 求 t 思路 思路 質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)聯(lián)問題 隔離法 分別列方程 先求角加速度 質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)聯(lián)問題 隔離法 分別列方程 先求角加速度 解 解 在地面參考系中 分別以 為研究對象 用隔離法 分別以牛頓第二定律 和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程 在地面參考系中 分別以 為研究對象 用隔離法 分別以牛頓第二定律 和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律建立方程 m m m 21 思考 思考 TT aa 2121 2 m 1 m r m 1 T 1 a r gm1 amTgmm1 11111 向下為正向下為正 2 a r 2 T gm 2 amgmTm2 22222 向上為正向上為正 r 1 T 2 T N mg 四個(gè)未知數(shù) 三個(gè)方程 四個(gè)未知數(shù) 三個(gè)方程 T T aaa 2121 繩與滑輪間無相對滑動(dòng) 由角量和線量的關(guān)系 繩與滑輪間無相對滑動(dòng) 由角量和線量的關(guān)系 ra4 解得解得 rmmm gmm 2 1 21 21 rmmm gtmm t 2 1 21 21 0 滑輪滑輪 m 以順時(shí)針方向?yàn)檎较?以順時(shí)針方向?yàn)檎较?mrJrTrT3 2 1 2 21 如圖示 兩物體質(zhì)量分別為和 滑輪質(zhì)量 為 半徑為 已知與桌面間的滑動(dòng)摩擦系 數(shù)為 求下落的加速度和兩段繩中的張力 如圖示 兩物體質(zhì)量分別為和 滑輪質(zhì)量 為 半徑為 已知與桌面間的滑動(dòng)摩擦系 數(shù)為 求下落的加速度和兩段繩中的張力 1 m m 2 m r 2 m 1 m 2 m 1 m o mr 解 解 在地面參考系中 選取 和滑輪為研究 對象 分別運(yùn)用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 在地面參考系中 選取 和滑輪為研究 對象 分別運(yùn)用牛頓定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律得 1 m 2 m 練習(xí)練習(xí)1 2 m 2 T a gm 2 gm 2 N 1 m 1 T a gm 1 列方程如下 列方程如下 ra mrr TT amgmT amTgm 2 21 222 111 2 1 可求解可求解 o 1 T 2 T x N y N 向里 向里 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為 M 的勻質(zhì)圓盤 可繞通過盤中心垂直于盤的固定 光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng) 繞過盤的邊緣有質(zhì)量為 的勻質(zhì)圓盤 可繞通過盤中心垂直于盤的固定 光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng) 繞過盤的邊緣有質(zhì)量為 m 長為 長為 l 的勻質(zhì)柔軟 繩索 如圖 設(shè)繩與圓盤無相對滑動(dòng) 試求當(dāng)圓盤兩側(cè)繩 長差為 的勻質(zhì)柔軟 繩索 如圖 設(shè)繩與圓盤無相對滑動(dòng) 試求當(dāng)圓盤兩側(cè)繩 長差為 s 時(shí) 繩的加速度的大小 時(shí) 繩的加速度的大小 解 解 在地面參考系中 建立如圖在地面參考系中 建立如圖 x 坐標(biāo) 設(shè)繩兩端坐標(biāo)分別為坐標(biāo) 設(shè)繩兩端坐標(biāo)分別為x1 x2 滑輪半徑為滑輪半徑為 r 有 有 rxxBBABAAl 21 x l m m x l m m 2BB1AA r l m m AB 21 xxs o x1 x2 s MAB A B r x m 用隔離法列方程 以逆時(shí)針方向?yàn)檎?用隔離法列方程 以逆時(shí)針方向?yàn)檎?22 2 1 rmMrJJJ ABABM amTgm AA 1 J rTrT 21 amgmT BB 2 T1 J T2 r CA T1 mAg CB T2 mBg BA o o x1 x2 s MAB A B r x m CB CA 解得 解得 l Mm mgs a 2 1 ra 又 又 21 xxs o x1 x2 s MAB A B r x m CB CA 例例1 一半徑為一半徑為R 質(zhì)量為 質(zhì)量為 M 的轉(zhuǎn)臺(tái) 可繞通過其中心 的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng) 的轉(zhuǎn)臺(tái) 可繞通過其中心 的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng) 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣 最初人 和臺(tái)都靜止 若人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周 的人站在轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣 最初人 和臺(tái)都靜止 若人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周 不計(jì)阻力不計(jì)阻力 相 對于地面 人和臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角度 相 對于地面 人和臺(tái)各轉(zhuǎn)了多少角度 R M m 思考 思考 1 臺(tái)為什么轉(zhuǎn)動(dòng) 向什么方向 轉(zhuǎn)動(dòng) 2 人相對轉(zhuǎn)臺(tái)跑一周 相對于 地面是否也跑了一周 3 人和臺(tái)相對于地面轉(zhuǎn)過的角 度之間有什么關(guān)系 1 臺(tái)為什么轉(zhuǎn)動(dòng) 向什么方向 轉(zhuǎn)動(dòng) 2 人相對轉(zhuǎn)臺(tái)跑一周 相對于 地面是否也跑了一周 3 人和臺(tái)相對于地面轉(zhuǎn)過的角 度之間有什么關(guān)系 選地面為參考系 設(shè)對轉(zhuǎn)軸選地面為參考系 設(shè)對轉(zhuǎn)軸 人 人 J J 臺(tái) 臺(tái) J J 解 解 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零 角動(dòng)量守恒 以向上為正 系統(tǒng)對轉(zhuǎn)軸合外力矩為零 角動(dòng)量守恒 以向上為正 22 2 1 MRJmRJ 0 JJ M m2 R M m 設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周的時(shí)間為設(shè)人沿轉(zhuǎn)臺(tái)邊緣跑一周的時(shí)間為 t 2dd 00 tt tt JJ 2d 2 d 00 tt t M m t 人相對地面轉(zhuǎn)過的角度 人相對地面轉(zhuǎn)過的角度 Mm M t 2 2 d t 0 臺(tái)相對地面轉(zhuǎn)過的角度 臺(tái)相對地面轉(zhuǎn)過的角度 Mm m t t 2 4 d 0 例1 例1 已知 已知 兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) 兩平行圓柱在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) 求 求 接觸且無相對滑動(dòng)時(shí)接觸且無相對滑動(dòng)時(shí) 20221011 Rm Rm 21 o1 m1 R1 o2 R2 m2 10 20 o1 o2 1 2 請自行列式 請自行列式 解解1 因摩擦力為內(nèi)力 外力過軸 外力矩為零 則因摩擦力為內(nèi)力 外力過軸 外力矩為零 則 J1 J2 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正 系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 以順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正 1 2211202101 JJJJ 接觸點(diǎn)無相對滑動(dòng) 接觸點(diǎn)無相對滑動(dòng) 2 2211 RR 又 又 3 2 1 2 111 RmJ 4 2 1 2 222 RmJ 聯(lián)立1 2 3 4式求解 對不對 聯(lián)立1 2 3 4式求解 對不對 o1 o2 1 2 1 R 2 R 問題 問題 1 式中各角量是否對同軸而言 式中各角量是否對同軸而言 2 J1 J2系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒 系統(tǒng)角動(dòng)量是否守恒 0 2 0 1 1 2 2 1 F F Mo Mo r r 為軸 為軸 為軸 為軸 系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒 系統(tǒng)角動(dòng)量不守恒 分別以分別以m1 m2為研究對象 受力如圖 為研究對象 受力如圖 o2 F2 o1 F1 f1 f2 1 R 2 R 解解2 分別對分別對m1 m2 用角動(dòng)量定理列方程 設(shè) 用角動(dòng)量定理列方程 設(shè) f1 f2 f 以順時(shí)針方向?yàn)檎皂槙r(shí)針方向?yàn)檎?m1對對o1 軸 軸 2 111 101111 2 1 d RmJ JJtfR m2對對o2 軸 軸 2 222 202222 2 1 d RmJ JJtfR 接觸點(diǎn) 接觸點(diǎn) 2211 RR o2 F2 o1 F1 f1 f2 1 2 1 R 2 R 聯(lián)立各式解得 聯(lián)立各式解得 221 20221011 2 121 20221011 1 Rmm RmRm Rmm RmRm 解解1 m 和和 m 2 系統(tǒng)動(dòng)量守恒系統(tǒng)動(dòng)量守恒 m v 0 m m 2 v 解解2 m 和和 m1 m 2 系統(tǒng)動(dòng)量守恒系統(tǒng)動(dòng)量守恒 m v 0 m m 1 m 2 v 解解3 m v 0 m m 2 v m 1 2v 以上解法對不對 以上解法對不對 m2 m1 m 0 v r 2L 2L A 例例2 已知 已知 輕桿 輕桿 m 1 m m 2 4m 油灰球油灰球 m m 以速度以速度v 0 撞擊撞擊 m 2 發(fā)生完全非彈性碰撞 發(fā)生完全非彈性碰撞 求 求 撞后撞后m 2的速率的速率 v 因?yàn)橄嘧矔r(shí)軸因?yàn)橄嘧矔r(shí)軸A作用力不能忽略 不計(jì) 故 作用力不能忽略 不計(jì) 故系統(tǒng)動(dòng)量不守恒系統(tǒng)動(dòng)量不守恒 因?yàn)橹亓?軸作用力過軸 對軸 力矩為零 故 因?yàn)橹亓?軸作用力過軸 對軸 力矩為零 故系統(tǒng)角動(dòng)量守恒系統(tǒng)角動(dòng)量守恒 由此列出以下方程 由此列出以下方程 Lvm L vmm L mv 2 22 120 或 或 v v Lmmmm LL LL 2020 2 1 2 220 2 2 得 得 9 0 v v m2 m1 m 2L 2L Ny Nx A 注意 區(qū)分兩類沖擊擺注意 區(qū)分兩類沖擊擺 水平方向 水平方向 Fx 0 px守恒守恒 m v 0 m M v 對對 o 點(diǎn) 守恒點(diǎn) 守恒 m v 0 l m M v l 0 M r L r 軸作用力不能忽略 動(dòng)量不守恒 但對 軸作用力不能忽略 動(dòng)量不守恒 但對 o 軸合力矩為零 角動(dòng)量守恒軸合力矩為零 角動(dòng)量守恒 lvMlmllmv 22 0 3 1 1 o l m M 0 v r 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)柔繩無切向力柔繩無切向力 質(zhì)點(diǎn)定軸剛體質(zhì)點(diǎn)定軸剛體 不能簡化為質(zhì)點(diǎn) 不能簡化為質(zhì)點(diǎn) 2 0 v r o l m M Fx Fy 回顧習(xí)題回顧習(xí)題 P84 4 10 vRMmRghm OM mM pMmF 2 0 0 點(diǎn)角動(dòng)量守恒對系統(tǒng) 不守恒系統(tǒng) 點(diǎn)角動(dòng)量守恒對系統(tǒng) 不守恒系統(tǒng) 軸 軸 軸 軸 r r v m M F O 0 軸軸 F v A B C系統(tǒng)不守恒 系統(tǒng)不守恒 p r 0 軸軸 M r A B C系統(tǒng)對系統(tǒng)對 o 軸角動(dòng)量守恒軸角動(dòng)量守恒 vRmmmRvmm cBABA 1 回顧習(xí)題回顧習(xí)題 P84 4 11 C B Nx Ny A o 練習(xí) 練習(xí) 已知已知 m 20 克 克 M 980 克克 v 0 400米米 秒 繩不可伸長 求 秒 繩不可伸長 求 m 射入射入M 后共同的后共同的 v 思考 思考 系統(tǒng)哪些物理量守恒 系統(tǒng)哪些物理量守恒 總動(dòng)量 動(dòng)量分量 角動(dòng)量 總動(dòng)量 動(dòng)量分量 角動(dòng)量 解 解 m M系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒 系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒 F x 0 豎直方向動(dòng)量不守恒 繩沖力不能忽略 對 豎直方向動(dòng)量不守恒 繩沖力不能忽略 對o 點(diǎn)軸角動(dòng)量守恒 外力矩和為零 點(diǎn)軸角動(dòng)量守恒 外力矩和為零 o m M v r o 30 0 v r vMmmv 0 0 30sin 或 或 00 0 90sin30sin lMmvlmv v 4 m s 1得 得 解 解 碰撞前后碰撞前后AB棒對棒對O的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒 思考 思考 碰撞前棒對碰撞前棒對O角動(dòng)量角動(dòng)量 L 碰撞后棒對碰撞后棒對O角動(dòng)量角動(dòng)量 L 例例3 已知 已知 勻質(zhì)細(xì)棒勻質(zhì)細(xì)棒 m 長長 2l 在光滑水平面 內(nèi)以 在光滑水平面 內(nèi)以 v 0平動(dòng) 與固定支點(diǎn)平動(dòng) 與固定支點(diǎn) O 完全非彈性碰撞 完全非彈性碰撞 求 求 碰后瞬間棒繞碰后瞬間棒繞 O 的的 v0 c l B A l 2 l 2 O m 撞前 撞前 自旋軌自旋軌 LLL rvr 0 2 0 l mvL 1 思考 思考 碰撞后的旋轉(zhuǎn)方向 碰撞后的旋轉(zhuǎn)方向 2 各微元運(yùn)動(dòng)速度相同 但到 各微元運(yùn)動(dòng)速度相同 但到O距離不等 棒上段 下段對軸 距離不等 棒上段 下段對軸O角動(dòng)