基本數(shù)學(xué)思想(1)(1).doc

基本數(shù)學(xué)思想：教材架構(gòu)與教學(xué)思考一、基本數(shù)學(xué)思想的教材架構(gòu)數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生和發(fā)展的根本。有了數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)知識便不再是孤立的。史寧中教授認(rèn)為，“數(shù)學(xué)思想需要滿足兩個條件：一是數(shù)學(xué)產(chǎn)生、發(fā)展過程中所必須依賴的那些思想，二是學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人所具有的思維特征?；緮?shù)學(xué)思想主要有三種：抽象、推理和模型。整個數(shù)學(xué)學(xué)科就是建立在基本數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)上，并按照基本數(shù)學(xué)思想發(fā)展起來的?！?蘇教版義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教材堅持用基本數(shù)學(xué)思想統(tǒng)整全部內(nèi)容，規(guī)劃合理的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷簡單的數(shù)學(xué)抽象過程、推理過程、建立模型過程。（一）以數(shù)學(xué)抽象為主線引入數(shù)學(xué)研究的對象數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)研究的對象是一種抽象的存在。教材在編寫時，注重精心選擇素材，創(chuàng)設(shè)情境，把客觀世界中與數(shù)量和圖形有關(guān)的事物或現(xiàn)象抽象成數(shù)學(xué)研究的對象。1.數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象。把數(shù)量抽象成數(shù)。數(shù)概念的形成與發(fā)展是“數(shù)與代數(shù)”學(xué)習(xí)的起點(diǎn)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，是一個從具體事物和數(shù)量抽象為數(shù)的過程，是抽象水平不斷提高的過程，學(xué)生認(rèn)識數(shù)的過程也是逐步感悟抽象思想的過程。比如教學(xué)正整數(shù)的認(rèn)識，教材按照“現(xiàn)實(shí)情境中的數(shù)量實(shí)物（小棒、小方塊等）表示數(shù)計數(shù)器（或算盤）表示數(shù)寫數(shù)”的線索，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)的抽象過程。再比如教學(xué)負(fù)整數(shù)的認(rèn)識，教材選擇溫度計、海拔高度、收支盈虧、向不同方向走路等現(xiàn)實(shí)素材，從大量存在的具有相反意義的量中抽象出負(fù)數(shù)的意義。把數(shù)量抽象成數(shù)，并用符號表達(dá)，數(shù)學(xué)就有了研究的對象。把數(shù)量多少關(guān)系抽象成數(shù)大小關(guān)系。抽象出研究對象不是根本，數(shù)學(xué)的本質(zhì)是研究關(guān)系。數(shù)中最重要的關(guān)系是大小關(guān)系，大小關(guān)系是從數(shù)量里的多少關(guān)系抽象出來的。教材結(jié)合認(rèn)識10以內(nèi)的數(shù)，通過創(chuàng)設(shè)童話情境，先引導(dǎo)學(xué)生比較同類事物數(shù)量的多少，再抽象出數(shù)的大小，進(jìn)而演變?yōu)橐话愕男蜿P(guān)系（一個自然數(shù)加1就可以得到下一個比它大1的數(shù)）。有了數(shù)的大小關(guān)系，就能派生出自然數(shù)的加法，進(jìn)而建構(gòu)四則運(yùn)算；有了數(shù)概念“序”的特性，就為后面建構(gòu)大數(shù)概念的更高程度的抽象提供經(jīng)驗(yàn)支撐。把數(shù)抽象成字母。從算術(shù)的學(xué)習(xí)走向代數(shù)的學(xué)習(xí)，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要轉(zhuǎn)折點(diǎn)。如果說數(shù)字符號是對生活中各種物體個數(shù)的抽象概括，那么字母則是對各種數(shù)字符號的抽象概括。教學(xué)用字母表示數(shù)，教材以“用式子表示擺三角形用小棒的根數(shù)”為載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“具體事物-個性化地表示-學(xué)會數(shù)學(xué)地表示”的抽象過程，體驗(yàn)字母表示數(shù)的概括性和抽象性。2.圖形與圖形關(guān)系的抽象。幾何學(xué)主要是研究幾何體和幾何圖形的空間形式、位置關(guān)系和量的關(guān)系。把現(xiàn)實(shí)生活中與圖形有關(guān)的事物抽象成平面圖形，為幾何學(xué)打開研究的大門。教材從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)空間中的物體出發(fā),引導(dǎo)學(xué)生在觀察、操作、比較等活動中逐步舍棄其他屬性，對其形狀、大小、位置等幾何形態(tài)進(jìn)行抽象和概括，進(jìn)而獲得相應(yīng)的表象，建立幾何圖形概念。比如教學(xué)認(rèn)識長方體，教材引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷了兩個層次的抽象過程：觀察并交流生活中常見的長方體實(shí)物的過程，是學(xué)生舍棄它們的材質(zhì)、顏色、用途等屬性，對長方體的形狀特征進(jìn)行抽象的過程；從不同角度觀察長方體模型的活動，是促進(jìn)學(xué)生積極調(diào)度頭腦中已形成的長方體表象，并試圖以可視化的方式表示出來，實(shí)現(xiàn)用二維的幾何圖形表示三維的幾何體，完成把物體抽象成幾何圖形的過程。“方向與位置”為研究圖形關(guān)系打開大門。教學(xué)“認(rèn)識方向”，教材通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生在熟悉的環(huán)境中體驗(yàn)東、南、西、北、東南、東北、西南、西北，進(jìn)而抽象成平面圖，為進(jìn)一步研究圖形位置關(guān)系提供方法基礎(chǔ)；教學(xué)“確定位置”，教材提供教室座位圖，先讓學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)描述小軍的位置，再把日常生活中用行和列描述物體位置的經(jīng)驗(yàn)抽象成有序的數(shù)對，過度到用數(shù)對表示平面上點(diǎn)的位置，為研究平面直角坐標(biāo)系做好準(zhǔn)備。分類思想是由抽象思想派生出來的。分類為數(shù)學(xué)抽象活動提供必要的基礎(chǔ)，教材對分類思想作了精心架構(gòu)。在“數(shù)的運(yùn)算”中，通過練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生對式題進(jìn)行分類，整體把握筆算方法；在“解決問題策略”中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分類列舉的過程，感悟策略的價值；在“圖形的認(rèn)識”中，引導(dǎo)學(xué)生通過對圖形進(jìn)行分類，引入圖形概念；在“數(shù)據(jù)的收集和整理”中，引導(dǎo)學(xué)生按不同的標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，體會分類標(biāo)準(zhǔn)與分類結(jié)果之間的聯(lián)系。等等。（二）以數(shù)學(xué)推理為主線建構(gòu)數(shù)學(xué)內(nèi)容體系推理是從一個或幾個已知判斷得出新判斷。人們通過推理得到數(shù)學(xué)命題和算法，建構(gòu)數(shù)學(xué)理論體系大廈。推理有兩種形式，通過特例的分析引出普遍的結(jié)論叫歸納推理（包括類比推理），從普遍性結(jié)論或一般性的前提推出個別或特殊的結(jié)論叫演繹推理。在解決問題的過程中，歸納推理用于推斷結(jié)論，演繹推理用于證明結(jié)論。數(shù)學(xué)的發(fā)展，既需要演繹推理，也需要?dú)w納推理。教材在編寫時，注重處理好歸納推理與演繹推理的關(guān)系，堅持以推理思想為統(tǒng)領(lǐng)，形成數(shù)學(xué)概念，建立數(shù)學(xué)知識體系。1.從特殊到一般。內(nèi)容結(jié)構(gòu)的建立。教材編寫注重整體性，突出數(shù)學(xué)思想在內(nèi)容結(jié)構(gòu)中的作用，促使學(xué)生由此及彼、舉一反三地進(jìn)行探索性學(xué)習(xí)。如“圖形面積計算”的教學(xué)內(nèi)容，教材以化歸思想統(tǒng)領(lǐng)整個內(nèi)容領(lǐng)域，通過類似的編排線索，促進(jìn)學(xué)生遷移感悟。數(shù)學(xué)知識的形成。受小學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平的限制，小學(xué)數(shù)學(xué)中大部分知識的形成和建立，教材都采用歸納（主要是不完全歸納）方式展開。有的是建立在類比例舉之上的歸納，有的是建立在抽象分析之上的歸納。數(shù)學(xué)規(guī)律的探索。教材除了注重讓學(xué)生在知識的形成、發(fā)展中經(jīng)歷由具體到一般的抽象、概括過程外，還通過選擇一些探索性的問題，讓學(xué)生在解決問題過程中拓展學(xué)習(xí)內(nèi)容，體會歸納思想。一是通過習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生體會不同領(lǐng)域數(shù)學(xué)內(nèi)容之間的聯(lián)系與綜合，積累對基本數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識。例如，六年級(下冊)“總復(fù)習(xí)”單元第11題，學(xué)生在解決問題的過程中不難歸納出“在正方形里畫11個、22個、33個相同的盡量大的圓，圓面積的和都是正方形面積的78.5%?！北M管這一結(jié)論還需要進(jìn)一步的證明，但這種由特殊現(xiàn)象歸納一般規(guī)律的過程卻在學(xué)生頭腦中留下了深刻的印記。二是安排“探索規(guī)律”專題活動，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探索和發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，體會由具體到抽象、由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。2.從一般到特殊。數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)。在小學(xué)階段，盡管很少涉及數(shù)學(xué)證明這樣嚴(yán)格規(guī)范的演繹推理，但一些數(shù)學(xué)結(jié)論的推導(dǎo)過程同樣蘊(yùn)含了演繹思想。教材依據(jù)兒童的認(rèn)知水平，從高年級開始安排借助演繹推理建構(gòu)數(shù)學(xué)的活動。比如在“多邊形的面積”單元中，教材先安排學(xué)生動手操作，建立圖形之間的聯(lián)系，然后組織學(xué)生討論和分析，展開公式的推導(dǎo)過程。推導(dǎo)的過程，就是演繹方法的應(yīng)用過程和演繹思想的感受過程。這種感受有助于建立對數(shù)學(xué)結(jié)論確定性的信念，有利于培養(yǎng)學(xué)生合乎邏輯的表達(dá)能力。數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用。數(shù)學(xué)教材編排整體上是遵循“歸納演繹”線索的，即先按照由具體到抽象、由特殊到一般學(xué)習(xí)新知識；再由一般到特殊，要求學(xué)生根據(jù)已經(jīng)獲得的定義、定律、公式等，去解決一個個具體的問題。例如，探索出“三角形的內(nèi)角和是180”后，讓學(xué)生據(jù)此計算三角形未知角的度數(shù)，求出等腰直角三角形一個銳角的度數(shù)，推出頂角是60的等腰三角形是正三角形。再如，通過歸納得到乘法分配律后，要求學(xué)生根據(jù)乘法分配律進(jìn)行簡便計算等。通過這樣一些由一般向特殊的演繹，使抽象的數(shù)學(xué)概念、規(guī)律和原理具體化，有利于促進(jìn)數(shù)學(xué)知識的理解和掌握，發(fā)展推理能力。（三）以數(shù)學(xué)建模為主線搭起數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁數(shù)學(xué)得到的一些結(jié)論要應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)世界，主要是通過數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是溝通數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁。從廣義上講，一切數(shù)學(xué)概念、公式、數(shù)量關(guān)系、圖形、表格，以及由它們所構(gòu)成的算法系統(tǒng)，都可以稱為數(shù)學(xué)模型。狹義上，數(shù)學(xué)模型專指針對一個個比較復(fù)雜的具體情境所建立的，旨在解決具體問題的、特定的模型。2在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，數(shù)學(xué)模型思想主要體現(xiàn)在：實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的抽象表達(dá)。教材分三個階段編排數(shù)量關(guān)系的學(xué)習(xí)：一年級結(jié)合四則運(yùn)算意義感知實(shí)際問題里各個數(shù)量之間的關(guān)系，體會加減乘除都是解決一類實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；二年級結(jié)合教學(xué)內(nèi)容在練習(xí)中有針對性地編排一些表格式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生提煉實(shí)際問題的具體數(shù)量關(guān)系式，為今后形成概括的數(shù)量關(guān)系式積累豐富的素材；四年級編排“常見的數(shù)量關(guān)系”單元，從大量的同類實(shí)際問題中概括出基本數(shù)學(xué)模型。學(xué)生獲得這種概括程度較高的數(shù)量關(guān)系后，就能推廣、識別任何同類數(shù)量關(guān)系。列方程（或比例式）解決實(shí)際問題。方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。教學(xué)列方程解決簡單的實(shí)際問題，教材重在引導(dǎo)學(xué)生把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)語言（數(shù)量關(guān)系式），進(jìn)而轉(zhuǎn)換成符號語言（方程式），領(lǐng)會數(shù)學(xué)模型思想和基本過程。函數(shù)思想是由模型思想派生出來。函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含豐富的函數(shù)思想，教材作了整體規(guī)劃和孕伏。例如，結(jié)合“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)，教材通過題組練習(xí)或試商、調(diào)商活動，引導(dǎo)學(xué)生感受變量思想；結(jié)合“解決問題的策略”教學(xué)，教材引導(dǎo)學(xué)生在嘗試、假設(shè)、驗(yàn)證、調(diào)整過程中體會函數(shù)關(guān)系；結(jié)合“正比例和反比例”教學(xué)，教材引導(dǎo)學(xué)生從變化的數(shù)量中研究不變的關(guān)系。等等。二、基本數(shù)學(xué)思想的教學(xué)思考以基本數(shù)學(xué)思想統(tǒng)率知識的發(fā)生、發(fā)展過程，努力使學(xué)生在獲得具體數(shù)學(xué)知識的同時受到相應(yīng)數(shù)學(xué)思想的熏陶，是教材編寫的致力追求。但教材本身畢竟是一個靜態(tài)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，況且數(shù)學(xué)思想又內(nèi)隱在該系統(tǒng)的表層之下。教學(xué)中，教師除了應(yīng)挖掘教學(xué)內(nèi)容的教育價值、把握基本思想的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)外，還應(yīng)注意以下幾方面：（一）數(shù)學(xué)思想教學(xué)的基本方式和目標(biāo)要求是“感悟”數(shù)學(xué)本身具有高度的抽象性，數(shù)學(xué)思想又是數(shù)學(xué)知識和方法在更高層次上的抽象與概括。因此，就教學(xué)方式和目標(biāo)要求而言，隱性的數(shù)學(xué)思想自然也區(qū)別于顯性的數(shù)學(xué)知識，主要表現(xiàn)為“學(xué)生在積極參與教學(xué)活動的過程中，通過獨(dú)立思考、合作交流，逐步感悟數(shù)學(xué)思想。”3這就是說，學(xué)生獲得數(shù)學(xué)思想的基本方式與目標(biāo)要求是“感悟”。當(dāng)然，數(shù)學(xué)課堂深入挖掘教學(xué)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想并融入數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程予以滲透是課程實(shí)施的要求，但如果試圖將教師所獲得的深刻理解也要求學(xué)生達(dá)到同樣認(rèn)識水平，就不切實(shí)際了。因此，數(shù)學(xué)思想教學(xué)還應(yīng)根據(jù)學(xué)生年齡的特點(diǎn)把握教學(xué)的度。（二）數(shù)學(xué)思想教學(xué)“顯化”在數(shù)學(xué)思考的過程之中數(shù)學(xué)思想教學(xué)應(yīng)通過數(shù)學(xué)概念的形成和建立過程、數(shù)學(xué)規(guī)律的歸納和總結(jié)過程、數(shù)學(xué)問題的分析和解決過程來體現(xiàn)。比如，“問題情境建立模型求解驗(yàn)證”的過程是感悟模型思想的關(guān)鍵，“猜想驗(yàn)證”的探索過程對感悟推理思想尤為重要。學(xué)生只有親身經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方法的思考過程，才能獲得對相應(yīng)數(shù)學(xué)思想的深刻體驗(yàn)。例如，“間隔排列”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是一一對應(yīng)。很多教師在教學(xué)中根據(jù)問題所包含的各種情況采用分類教學(xué)，總結(jié)出不同的結(jié)論，學(xué)生常常在“加1”“減1”“不變”之間不知所措。教學(xué)中，如果緊緊抓住“間隔排列”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，以數(shù)學(xué)思維方法帶動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，那么不同情況就會由對立走向統(tǒng)一，學(xué)生不僅學(xué)得輕松，而且“對應(yīng)思想”透過數(shù)學(xué)思考活動得以“顯化”。（三）數(shù)學(xué)思想教學(xué)要兼收并蓄，突出主干不同的數(shù)學(xué)思想，互相間并不排斥，而是彼此包容共生的。比如，歸納和演繹，因?yàn)樗季S路徑互逆，所以歸納和演繹通常是密切聯(lián)系、相互補(bǔ)充的，也常常有機(jī)融合在一起，即歸納中有演繹，演繹中有歸納。教學(xué)中，通常以一種思想的滲透為主線，同時融合其他的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)“小數(shù)乘整數(shù)”，教師先教學(xué)0.1、0.01、0.001與整數(shù)相乘。課件分別出示直觀圖形（10等分的正方形、100等分的正方形和1000等分的正方體），每個圖形都表示整數(shù)“1”，其中的1份涂色。引導(dǎo)學(xué)生先用小數(shù)表示涂色部分，再思考這樣的幾份是多少，得出乘法算式：0.14=0.4 0.18=0.80.015=0.05 0.0135=0.350.0019=0.009 0.001125=0.125引導(dǎo)學(xué)生觀察并歸納：因數(shù)中有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)。在此基礎(chǔ)上，探索一般的小數(shù)與整數(shù)相乘的算法。學(xué)生聯(lián)系已有知識計算0.83和2.353，把0.83寫成830.1，把2.353寫成23530.01。計算后發(fā)現(xiàn)，因數(shù)中有幾位小數(shù)，積就有幾位小數(shù)。顯然，上面教學(xué)采用的是歸納方式。這種歸納又是建立在演繹分析之上，教學(xué)0.1、0.01、0.001與整數(shù)相乘時，通過呈現(xiàn)經(jīng)驗(yàn)過的實(shí)例，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)進(jìn)行推理；教學(xué)一般的小數(shù)與整數(shù)相乘時，讓學(xué)生利用已有知識進(jìn)行分析推理。歸納，讓學(xué)生更智慧；演繹，讓學(xué)生明白“數(shù)學(xué)是講道理的”。（四）數(shù)學(xué)思想教學(xué)要體現(xiàn)階段性，逐步提升學(xué)生的領(lǐng)悟水平數(shù)學(xué)思想教學(xué)的階段性要求，源自兩方面原因：一是小學(xué)生受自身知識積累、認(rèn)知能力和思維抽象水平的局限，他們對數(shù)學(xué)思想的感悟往往也需要經(jīng)歷從模糊到清晰、從無意識到漸漸領(lǐng)悟這樣一個較為漫長的過程；二是同一種數(shù)學(xué)思想可以蘊(yùn)含在不同年級、不同數(shù)學(xué)概念和原理之中，并在這個過程中不斷豐富和拓展自身的內(nèi)涵。因此，對某一數(shù)學(xué)思想的感悟，應(yīng)充分考慮小學(xué)生的年齡特征和心理活動水平，在不同階段、不同內(nèi)容的教學(xué)活動中，提出不同程度的教學(xué)要求，從而使學(xué)生不斷提高感悟的水平。例如，化歸思想是由數(shù)學(xué)推理思想派生出來的，在探索數(shù)學(xué)新知、解決數(shù)學(xué)問題的過程中具有不可替代的作用。在小學(xué)階段，化歸思想主要隱含在“數(shù)的運(yùn)算”“圖形的測量”之中，不同階段的