全國第九屆數(shù)學(xué)方法論與數(shù).pdf

1 全國第九屆數(shù)學(xué)方法論與數(shù) 學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會大會報(bào)告 美 麗 的 數(shù) 學(xué) 首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 周春荔 2008 年 9 月 28 日于西南交通大學(xué)國際會議廳 編者按 編者按 原稿系周春荔教授 2006 年給洛陽市愛好數(shù)學(xué)的青少年學(xué)生所作的科普報(bào)告 這次 應(yīng)全國第九屆數(shù)學(xué)方法論與數(shù)學(xué)教育學(xué)術(shù)研討會代表的要求 又一次在大會上作了講演 給 人以新的啟迪 周教授是全國數(shù)學(xué)科學(xué)方法論研究交流中心副主任 現(xiàn)征得他的同意 我們 把它發(fā)布于我們的網(wǎng)站 以饗更多的讀者 同學(xué)們都是小學(xué) 5 6 年級或初一年級的學(xué)生 正是長身體 長知識 長智慧 長才干 的時(shí)期 大家只是對算術(shù) 代數(shù)才有了一點(diǎn)兒了解 要對大家講 美麗的數(shù)學(xué) 的確是一件 很難的事 也是我力所不能及的事 我想 同學(xué)們喜聞樂見的是故事 喜愛趣味問題 通過 故事可以了解數(shù)學(xué)的發(fā)展 通過問題可以體驗(yàn)數(shù)學(xué)的思維 了解數(shù)學(xué)文化 因此 我們通過 講故事與問題的方式來了解數(shù)學(xué) 感悟數(shù)學(xué)之美 一 數(shù)學(xué)的理性思考 魅力無窮一 數(shù)學(xué)的理性思考 魅力無窮 要回答什么是數(shù)學(xué) 這是一個(gè)很難的問題 就數(shù)學(xué)的研究內(nèi)容和范圍來說 小學(xué)生認(rèn)為 數(shù)學(xué)就是算術(shù) 算術(shù)是研究數(shù)與數(shù)的計(jì)算的科學(xué) 然而數(shù)學(xué)要比算術(shù)廣泛得多 初中的學(xué)生 認(rèn)為數(shù)學(xué)是代數(shù)和幾何 代數(shù)是用符號表達(dá)的語言 主要研究運(yùn)算與關(guān)系 幾何主要研究形 狀 大小和空間 然而數(shù)學(xué)要比代數(shù) 幾何廣泛得多 有人說 數(shù)學(xué)研究概率和統(tǒng)計(jì) 概率 只是研究隨機(jī)現(xiàn)象 統(tǒng)計(jì)主要研究數(shù)據(jù)的整理與圖示 并分析其意義 然而數(shù)學(xué)要比概率 統(tǒng)計(jì)廣泛得多 有人說 數(shù)學(xué)是研究微積分 微積分主要研究變量的變化規(guī)律 極限與無限 然而數(shù)學(xué)要比微積分廣泛得多 一句話 數(shù)學(xué)包括所有這一切 但又比這一切更為廣泛 社會實(shí)踐在發(fā)展 人的認(rèn)識在發(fā)展 數(shù)學(xué)也在發(fā)展 對數(shù)學(xué)的認(rèn)識與理解也是與時(shí)俱進(jìn) 的 不管怎么說 數(shù)與形總是數(shù)學(xué)的兩大柱石 因此人們常說 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間 形式的科學(xué) 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系與空間 形式的科學(xué) 2 如何研究呢 也就是數(shù)學(xué)工作者的工作有什么特色呢 我們看兩道大家都可以理解的 趣味數(shù)學(xué)問題 例例 1 我國的人口超過 13 億 請你回答 存在兩個(gè)人出生的時(shí)間相差不超過 2 5 秒鐘 嗎 那好辦 咱們搞個(gè)人口大普查吧 結(jié)果興師動眾 耗費(fèi)投資和精力 遺憾的是 人們的 出生時(shí)間一般記錄到幾點(diǎn)幾分 沒有秒的記錄 更不好辦的是 50 歲以上的人 特別是農(nóng) 村人口 出生時(shí)間只能精確到日 因此普查的辦法是行不通的 可是會數(shù)學(xué)地思考問題的人 卻采取另外的處理方式 咱們就看 1 100 歲的人就夠了 1 小時(shí)等于 3600 秒 1 天 24 小時(shí) 等于 3600 24 86400 秒 1 年最多為 366 天 都按閏年算 合 86400 366 31622400 秒 100 年 最 多 為3162240000秒 如 果 每2 5秒 為1個(gè) 間 隔 3162240000秒 為 1264896000 5 2 3162240000 個(gè)間隔 現(xiàn)有 1300000000 個(gè)人 放入 1264896000 個(gè)間隔 可 以肯定 至少有兩個(gè)人出生的時(shí)間相差不超過 2 5 秒鐘 所以會數(shù)學(xué)思考的人不用人口普查 只需要?jiǎng)幽X筋 想一想 算一算 就很快得出了肯定的結(jié)論 你看數(shù)學(xué)的思考多么奇妙 例例 2 有沒有這樣的集會 大家見面后互相握手 其中握奇數(shù)次手的總?cè)藬?shù)恰恰是 2005 嗎 你要組織人員在會議中去統(tǒng)計(jì)嗎 那也是大海里撈針了 難 會數(shù)學(xué)思考問題的人 往 往從一般情況入手分析 假設(shè)參加集會有 n 個(gè)人 每兩個(gè)人見面握一次手 對每人都記握手 1 人次 握來握去有的兩個(gè)人重復(fù)握手也沒有關(guān)系 假設(shè) 握 0 次手的人有 n0個(gè) 握 1 次手 的人有 n1個(gè) 握 2 次手的人有 n2個(gè) 握 3 次手的人有 n3個(gè) 握 4 次手的人有 n4個(gè) 握 k 次手的人有 nk個(gè) 則 0 n0 1 n1 2 n2 3 n3 4 n4 k nk 2 握手總次數(shù) 偶數(shù) 于是 1 n1 3 n3 5 n5 偶數(shù) 即 n1 n3 n5 2 n3 4 n5 偶數(shù) 所以 n1 n3 n5 偶數(shù) 因此會數(shù)學(xué)地思考問題的人可以出口驚人地告 訴我們 握奇數(shù)次手的總?cè)藬?shù)必是個(gè)偶數(shù) 決不能等于 2005 上面的例子太簡單了 那我們就看一個(gè)可以基本聽明白的事例 3 例 3例 3 實(shí)現(xiàn)計(jì)算過程的數(shù)學(xué)模型 圖靈機(jī) 電子計(jì)算機(jī)的研制成功是 20 世紀(jì)科學(xué)的重 大成就之一 而計(jì)算過程實(shí)現(xiàn)機(jī)械化的能行性的證明是由數(shù)學(xué)家實(shí)現(xiàn)的 多少世紀(jì)以來 人 們都在學(xué)習(xí)計(jì)算 但是究竟什么是計(jì)算 在 1936 年以 前從未有人進(jìn)行過實(shí)質(zhì)性的思考 數(shù) 學(xué)家圖靈于 1936 1937 年發(fā)表論文 論可計(jì)算數(shù)及其對判定問題的應(yīng)用 首次對計(jì)算的本 質(zhì)進(jìn)行了深刻的分析 他用抽象分析法 舍棄計(jì)算時(shí)所用的工具 符號等與實(shí)質(zhì)無關(guān)的因素 對計(jì)算的結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析 圖靈發(fā)現(xiàn)在用二進(jìn)制表示數(shù)的情況下 一切計(jì)算過程都具有 線 性 的性質(zhì) 即整個(gè)計(jì)算就表現(xiàn)為一條印著方格的紙帶上的一個(gè)只含 0 和 1 兩個(gè)數(shù)碼的數(shù)串 每個(gè)方格中只有一個(gè)數(shù)碼 0 或 1 于是發(fā)現(xiàn)計(jì)算者所可能做的事 也就是計(jì)算的實(shí)質(zhì)只 是如下幾種活動 寫上符號 0 寫上符號 1 向左移一格 向右移一格 觀察現(xiàn)在掃描的符號并相應(yīng)地選擇下一個(gè)步驟 停止 圖靈 1912 1954 圖靈 1912 1954 計(jì)算者執(zhí)行的程序 也就是這類指令所排列成的表 這就是實(shí)現(xiàn)計(jì)算過程的數(shù)學(xué)模型 這個(gè)模型就是后來文獻(xiàn)中所說的圖靈機(jī) 它是在不考慮硬件的條件下 對可計(jì)算問題的邏輯 描述 圖靈機(jī)是程序內(nèi)存的 且主要由三部分組成 一條帶子 一個(gè)讀寫頭 一個(gè)控制裝置 圖靈機(jī)理論表明 一切可計(jì)算問題都可以機(jī)械地進(jìn)行 因此 通用計(jì)算機(jī)是可以制造出來的 為現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的開發(fā)從理論上打下了基礎(chǔ) 為現(xiàn)代電子計(jì)算機(jī)的開發(fā)從理論上打下了基礎(chǔ) 而弄清算法的結(jié)構(gòu) 找到實(shí)現(xiàn)計(jì)算過程的 數(shù)學(xué)模型 又是發(fā)現(xiàn)圖靈機(jī)的關(guān)鍵 試想 不用證明可行性 哪個(gè)投資者敢向無底洞去投資呢 既然圖靈從理論上證明了一 切可計(jì)算問題都可以機(jī)械地進(jìn)行 因此 通用計(jì)算機(jī)在理論上是可以制造出來的 剩下的事 都交給技術(shù)工程師去實(shí)際完成就可以了 事實(shí)上 計(jì)算機(jī)的 5 代革命 都是數(shù)學(xué)領(lǐng)的頭 再如 王選教授創(chuàng)造的漢字的激光照排系統(tǒng) 使印刷業(yè)告別了 鉛與火 的時(shí)代 處 于國際領(lǐng)先水平 眾所周知 漢字字形信息量太大 數(shù)字化的困難是西方文字照排無法相比 的 王選說 由于我是數(shù)學(xué)系畢業(yè) 所以很容易想到信息壓縮 即用輪廓描述和參數(shù)描述 相結(jié)合的方法描述字形 并于 1976 年設(shè)計(jì)出一套把漢字輪廓快速復(fù)原成點(diǎn)陣的算法 王 選的成功 具有不平常的意義 其中數(shù)學(xué)技術(shù)是關(guān)鍵技術(shù)之一 4 以上三個(gè)例題 可以使我們看到 數(shù)學(xué)是一種理性的思維方法 一種推理的方法 能用數(shù)學(xué)種理性的思維方法去判斷一個(gè)想法 是否正確 或者至少是否大概正確 數(shù)學(xué)是探索索和發(fā)明的樂 土 在這里每天都有新思想被發(fā)現(xiàn) 數(shù)學(xué)是用來解決科學(xué)中 行政管理中 其他各種行業(yè)中提出的各種問題的一一種思維方 法 它是用各種符號表達(dá)的語言 這種語言能為世界上所有的 文明民族所理解 數(shù)學(xué)還是宇宙的語言 也能為地外文明 如 王王 選 選 1937 2006 果存在的話 所理解 它是一種象音樂那樣具有對稱性 令人喜悅的節(jié)奏的藝術(shù) 通過這些 介紹我們大體可以了解到 數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系為研究對象的一門科學(xué) 它非常抽象 屬于理 性思維的范疇 它推理嚴(yán)謹(jǐn) 結(jié)論確定 它的應(yīng)用十分廣泛 這些是它的主要特點(diǎn) 數(shù)學(xué)具 有人類追求的真 善 美的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)的美不同于科學(xué)的美 藝術(shù)的美 數(shù)學(xué)的美是理性的 美 數(shù)學(xué)的美是理性的 美 抽象的美 抽象的美 數(shù)學(xué)是鍛煉思維的體操 數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙 正如華羅庚所說 宇 宙之大 粒子之微 火箭之速 地球之變 化工之巧 日用之繁 無處不用數(shù)學(xué) 再看幾個(gè)數(shù)學(xué)的奇跡 事例事例 1 1781 年 英國天文學(xué)家赫舍爾 1738 1822 年 發(fā)現(xiàn)了天王星以后 人們又 發(fā)現(xiàn)它的計(jì)算位置和實(shí)際觀測位置有偏差 而這種偏差又是無法用當(dāng)時(shí)已知行星的吸引作用 的影響來解釋的 因此 科學(xué)家猜測一定有尚未發(fā)現(xiàn)的行星存在 1845 年 法國天文學(xué)家 勒維烈 1811 1877 年 根據(jù)哥白尼學(xué)說計(jì)算出了這顆當(dāng)時(shí)尚未發(fā)現(xiàn)的行星的軌道 1846 年 9 月 18 日 勒維烈把他的計(jì)算結(jié)果寫信告訴了柏林天文臺助理員 天文學(xué)觀察家約翰 加 勒 1812 1910 年 加勒在 1846 年 9 月 23 日收到這封信的當(dāng)天晚上 即觀測發(fā)現(xiàn)了這 顆新的行星 其位置距離勒維烈的計(jì)算位置相差不到 1 這就是海王星 人們把海王星稱之 為 筆尖上 發(fā)現(xiàn)的行星 事例事例 2 土星光環(huán)從望遠(yuǎn)鏡里觀察似乎是連續(xù)的 物質(zhì) 數(shù)學(xué)家用計(jì)算證明這是不可能的 并且光譜的 分析證實(shí)了根據(jù)計(jì)算而得出的結(jié)論 事例事例 3 由于長期天文觀測 發(fā)現(xiàn)土星的軌道在擴(kuò) 大 木星的軌道在縮小 于是提出一個(gè)問題 長此下 去 木星將會掉到太陽上去 而土將會飛出太陽系 土星光環(huán)圖 土星光環(huán)圖 5 這個(gè)問題關(guān)系到太陽系的前途 普遍受到人們的關(guān)心 拉普拉斯根據(jù)數(shù)學(xué)原理 用微積 分工具 特別是無窮級數(shù) 論證了這種現(xiàn)象源出于行星間的引力 作用 軌道發(fā)生周期性擾動 以后土星和木星的軌道還會變回去 并計(jì)算出這個(gè)周期是 929 年 這個(gè)結(jié)論超出了人們直觀范圍 而 天文觀測又要到九百年后才能看到 這就要求數(shù)學(xué)必須具有邏輯 的嚴(yán)謹(jǐn)性 結(jié)論的確定性 這樣才能保證科學(xué)的預(yù)見性 這種以 后將發(fā)生的事總還可以檢驗(yàn) 而歷史上久遠(yuǎn)發(fā)生過的而記載是否 真實(shí)的事就更不好檢驗(yàn)了 然而 數(shù)學(xué)不但可以準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)未來 也還能精確地 回報(bào) 往事 比如 春秋 中記載了前 722 前 481 年的 37 次日蝕 通過計(jì)算可以判知其中有 32 次是可靠的 拉普拉斯 拉普拉斯 1749 1827 其余皆屬誤傳 太陽系行星結(jié)構(gòu)示意圖 太陽系行星結(jié)構(gòu)示意圖 土星的軌道在擴(kuò)大 木星的軌道在縮小 于是提出一個(gè)問題 長此下去 木星將會掉到太 陽上去 而土星將會飛出太陽系 人們在談?wù)撊宋木駮r(shí) 常常把人文精神定位在追求 真 善 美 和人的全面而自由 的發(fā)展之最高層面上 在討論藝術(shù)美的理論中 也經(jīng)常談到 真 善 美 三位一體的問題 對于數(shù)學(xué) 一個(gè)正確的數(shù)學(xué)理論 反映客觀事物的本質(zhì)與規(guī)律 這是數(shù)學(xué)的真真 數(shù)學(xué)理論不 管離現(xiàn)實(shí)多遠(yuǎn) 最后總能找到她的用途 體現(xiàn)其為人類服務(wù)的價(jià)值取向 這是數(shù)學(xué)的善善 數(shù) 學(xué)理論本身的奇特 微妙 簡潔有力以及建立這些理論時(shí)人們的創(chuàng)造性思維 就是數(shù)學(xué)的美美 6 正如數(shù)學(xué)家懷特海曾指出的 數(shù)學(xué)是真善美的辯證統(tǒng)一 因此從更廣泛的意義上看 數(shù)學(xué)是 一種文化 是一種追求理性美與創(chuàng)造理性美的文化 數(shù)學(xué)是 一種文化 是一種追求理性美與創(chuàng)造理性美的文化 數(shù)學(xué)家 H 龐加萊說過 數(shù)學(xué)家不單單因?yàn)閿?shù)學(xué)有用而研究數(shù)學(xué) 他研究數(shù)學(xué)還因 為他喜歡它 而喜歡它則是因?yàn)樗敲利惖?既然數(shù)學(xué)是這樣的奇妙 有魅力 青少年應(yīng)該立志學(xué)好數(shù)學(xué) 這并不是要求每個(gè)人都 成為數(shù)學(xué)家或科學(xué)家 但是為了了解現(xiàn)代世界 每個(gè)人都應(yīng)該掌握數(shù)學(xué)的思維方式 至少都 必須懂得一些數(shù)學(xué) 二 走進(jìn)數(shù)學(xué)大花園二 走進(jìn)數(shù)學(xué)大花園 飽覽無窮的美妙飽覽無窮的美妙 數(shù)學(xué)是個(gè)大花園 里面百花爭艷 萬紫千紅 我們走進(jìn) 圖形園圖形園 園門口寫著大科學(xué) 家伽利略的名言 大自然以數(shù)學(xué)的語言講話 這個(gè)語言的字母是圓 三角形以及其他各種數(shù) 學(xué)形體 迎接小朋友的是這樣一個(gè)問題 例 1例 1 2002 年 8 月 在北京 召開國際數(shù)學(xué)家大會 大會會標(biāo) 如圖所示 它是由四個(gè)相同的直 角三角形與中間的小正方形拼成 伽利略伽利略 1564 1642 的一個(gè)大正方形 若大正方形的 面積是 13 小正方形的面積是 1 問直角三角形的兩條直角邊 各是多少 解解 由大正方形面積是 13 小正方形面積是 1 所以小正方 形邊長是 1 四個(gè)相同的直角三角形的總面積是 12 如圖 在大 正方形外面再拼補(bǔ)上四個(gè)相同的直角三角形 形成正方形 ABCD 它的面積是 12 13 25 因此邊長等于 5 從圖中不難看出 直角三角形兩條直角邊之和等于正方 形ABCD的邊長 5 長短兩直角邊的差等于中間的小正方形 的邊長 1 由算術(shù)四則的和差問題可得 直角三角形的較長直 角邊等于 3 較短直角邊等于 2 2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的圖案來源于 7 中國古代的 弦圖 圖形是這樣的簡潔 沒有一絲一毫的雍容華貴 但它蘊(yùn)涵深邃 我國 古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利用 弦圖 證明了勾股定理 2002 年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)的圖案來源于中國古代的 弦圖 圖形是 這樣的簡潔 沒有一絲一毫的雍容華貴 但它蘊(yùn)涵深邃 我國古代三國時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽利 用 弦圖 證明了勾股定理 周髀 中的 弦圖 和 勾股圓方圖 注 周髀 中的 弦圖 和 勾股圓方圖 注 勾股定理意義重大 被數(shù)學(xué)家們稱為是歐氏幾何的 拱心石拱心石 它的內(nèi)容是 直角三角 形的兩條直角邊為 a b 斜邊為 c 則 222 cba 趙爽的證明概要是 按弦圖 又可以勾股相乘為朱實(shí)二 倍之為朱實(shí)四 以勾股之差自 乘為中黃實(shí) 加差實(shí) 亦成弦實(shí) 即 2 22 cabab 化簡便得 222 cba 這個(gè)證明 是何等的簡潔 漂亮 定理的結(jié)論簡潔 形式對稱 給人以美的享受 難怪古希臘的畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè) 定理時(shí)高興的舉行了一個(gè)百牛大祭 他竟是這樣的快活 以致舉行盛宴 把富人和全體人 民都邀請了 這番辛苦是值得的 這是精神 認(rèn)識 的快樂和喜悅 然而牛遭了殃 例 2例 2 園林小路 曲徑通幽 如圖所示 小路由白色正方形石板和青 紅兩色的三角形 石板鋪成 問 內(nèi)圈三角形石板的總面積大 還是外圈三角形石板的總面積大 請說明理由 第 5 屆華杯賽團(tuán)體決賽口試題 8 答 內(nèi)圈三角形石板的總面積與外圈三角形石板的總面積一樣大 其理由是 石板路的基本結(jié)構(gòu)如右圖所示 兩個(gè)共頂點(diǎn)的正方形夾著一個(gè)內(nèi)圈和一個(gè)外 圈的三角形 我們只要證明所夾內(nèi)外圈的這兩個(gè)三角形面積相等就可以了 為此將ABC 繞頂點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 到三角形 AEC1的位置 易知 D A C 三點(diǎn)共線 AC1 AD A 是線段 C1D 的中點(diǎn) 所以三角形 AEC1的面積與三角形 AED 的面積相等 也就是三角形 ABC 的面積與三角形 AED 的面積相等 當(dāng)你在美麗的園林小路間漫步時(shí) 你可曾感覺到悠閑的腳步下竟然隱藏著這樣深邃的 數(shù)量關(guān)系嗎 真是世界真奇妙 不探索就不知道 例 3例 3 兩個(gè)邊長為 0 9 的正三角形的紙片 能蓋住一個(gè)邊長為 1 的正三角形紙片嗎 請 你簡述理由 蓋一蓋試一試嗎 蓋來蓋去就是差一點(diǎn) 再試 無窮多種位置的可能性千年萬代也試 不完呀 怎么辦 用數(shù)學(xué)的思維方式 如果兩個(gè)邊長為 0 9 的正三角形的紙片 能蓋住一 個(gè)邊長為 1 的正三角形紙片 當(dāng)然必須蓋住邊長為 1 的正三角形紙片的三個(gè)頂點(diǎn) A B C 于是根據(jù)抽屜原則 至少有一個(gè)邊長為 0 9 的正三角形的紙片蓋住其中的兩個(gè)頂點(diǎn) 不妨 蓋住的是 A B 兩頂點(diǎn) 則 AB 9 0 這與 AB 1 矛盾 所以 兩個(gè)邊長為 0 9 的正三角 形的紙片 無論怎樣放置 都蓋不住一個(gè)邊長為 1 的正三角形紙片 簡潔有力的數(shù)學(xué)推理 跨越了永無止境的試來試去 如果你想到了這個(gè)證法 你會油 然而生一種成就感 這是多么美好的精神享受哇 例例 4 荒島尋寶問題 一本叫做 從一到無窮大 的書中有這樣一個(gè)問題 從前 有個(gè)富于冒險(xiǎn)精神的年輕人 在他曾祖父的遺物中發(fā)現(xiàn)了一張羊皮紙 上面指出 了一項(xiàng)寶藏 他是這樣寫著的 乘船至北緯 西經(jīng) 即可找到一座荒島 島的北岸有一大片草地 草地上有一株橡 樹和一棵松樹 還有一座絞架 那是我們過去用來吊死叛變者的 從絞架走到橡樹 并記住 9 走了多少步 到了橡樹向右拐個(gè)直角再走這么多步 在這里打個(gè)樁 然后回到絞架那里 再 朝松樹走去 同時(shí)記住所走的步數(shù) 到了松樹向左拐個(gè)直角再走這么多步 在這里也打個(gè)樁 在兩個(gè)樁的正當(dāng)中挖掘 就可以找到寶藏 根據(jù)這道指示 這位年輕人就租了一條船開往目的地 他找到了這座島 也找到了橡樹 和松樹 但使他大失所望的是 絞架不見了 經(jīng)過長時(shí)間的風(fēng)吹日曬雨淋 絞架已糟爛成土 一點(diǎn)痕跡也沒有了 這位年輕的冒險(xiǎn)家只能亂挖起來 但是 地方太大了 一切只是白費(fèi)力 氣 只好兩手空空 啟帆返程 親愛的同學(xué)們 能用你的智慧找到寶藏的位置嗎 其實(shí) 只要有三角形全等 梯形中位線定理的基本知識 略加思考 就可以找到寶 藏的埋藏位置 從圖可知 BQXBNDAQXAMC 所以 MA XQ NB 又 CM DN EP CE DE 則有 MP NP 但是 MA XQ NB 所以 AP BP 即 P 是 AB 的中點(diǎn) 由梯形中位線定理得 222 ABBQAQDNCM EP 所以E點(diǎn)可以如下確定 取橡樹和松樹之間的線段 AB 的中點(diǎn) P 過 P 作 AB 的垂線 在垂 線上取點(diǎn) E 使得 EP 2 AB 則點(diǎn) E 就是寶藏的位置 細(xì)心的同學(xué)應(yīng)當(dāng)想到 無論絞架在哪個(gè)位置 只要橡樹和松樹存在 寶藏的位置點(diǎn) E 就是一個(gè)不動點(diǎn) 10 很遺憾 這個(gè)富于冒險(xiǎn)精神的年輕人 連最起碼的幾何知識都沒有 不會數(shù)學(xué)地思考問 題 但愿不是因?yàn)閷W(xué)校盲目地認(rèn)為歐氏幾何陳舊沒用 把幾何課時(shí)削減過多造成的吧 年輕 人富于冒險(xiǎn)精神并不是壞事 但還要有科學(xué)的 理性思維的頭腦 不然的話 那就會是 玩 命 地蠻干 數(shù)學(xué)家克隆內(nèi)克說過 上帝創(chuàng)造了整數(shù) 所有其余的數(shù)都是人造的 我們就再到 整數(shù)園整數(shù)園 看一看 迎面有九個(gè)大字 哪里有數(shù) 哪里就有美 這是古希臘哲學(xué)家 數(shù)學(xué)家普洛克拉斯的名言 我們看 1 2 3 4 5 6 7 這是從小學(xué)就學(xué)習(xí)的自然數(shù)列 注意 人類認(rèn) 識數(shù) 0 是后來的事 因此傳統(tǒng)的自然數(shù)不包括 0 這個(gè)數(shù)列美不美呢 多么簡單又多么有規(guī)律 后繼數(shù)比前面的數(shù)多一 就到此為止 看 不出什么 如果仔細(xì)想一想 會發(fā)現(xiàn)許多有趣的事實(shí) 比如 3 7 10 只要在自然數(shù)列中 找到 3 向后數(shù) 7 個(gè)數(shù) 所到達(dá)的數(shù)就是和數(shù) 10 要是 7 3 用同樣的方法也得 10 若把上面 的自然數(shù)列和加法演算 想象成兩把帶有等分刻度的尺子 如下圖所示 就是尺算加法 上 尺 3 對正下尺 0 下尺向右數(shù)到 7 7 所對的上尺的 10 就是 3 7 的和 同樣不難計(jì)算減 法 這不就是個(gè)計(jì)算加 減的算尺小發(fā)明嗎 再仔細(xì)觀察 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 是這樣的有規(guī)律 如果自 左向右 1 2 報(bào)數(shù) 數(shù) 2 的向前一步走 就分成了兩個(gè)數(shù)列 1 3 5 7 9 11 13 15 17 奇數(shù)列 2 4 6 8 10 12 14 16 18 偶數(shù)列 前一數(shù)列中的數(shù)的共同特點(diǎn)是不被 2 整除 叫奇數(shù) 后一數(shù)列中的 數(shù)的共同特點(diǎn)是被 2 整除 叫偶數(shù) 你會發(fā)現(xiàn) 第一個(gè)數(shù)列中的數(shù)一定不等于第二個(gè)數(shù)列中 的數(shù) 這就是一個(gè)極為簡單的真理 奇 數(shù) 偶 數(shù) 第一個(gè)數(shù)列中的任兩個(gè)數(shù)的和都不在本數(shù)列中 而在第二個(gè)數(shù)列中 第二個(gè)數(shù)列中的任 兩個(gè)數(shù)的和都在本數(shù)列中 而不在第一個(gè)數(shù)列中 當(dāng)且僅當(dāng)?shù)谝粋€(gè)數(shù)列中取一個(gè)數(shù)與第二個(gè) 數(shù)列中取一個(gè)數(shù)相加 其和一定在第一個(gè)數(shù)列中 這正是奇偶數(shù)加法的基本規(guī)律 11 類似地 第一個(gè)數(shù)列中的任兩個(gè)數(shù)的積都在本數(shù)列中 而不在第二個(gè)數(shù)列中 第二個(gè)數(shù) 列中的任兩個(gè)數(shù)的積也都在本數(shù)列中 而不在第一個(gè)數(shù)列中 當(dāng)且僅當(dāng)不全是第一個(gè)數(shù)列中 取的兩個(gè)數(shù)相乘時(shí) 其積一定在第二個(gè)數(shù)列中 這是奇偶數(shù)乘法的基本規(guī)律 奇數(shù) 偶數(shù)加法與乘法的法則可以列為下表 這兩個(gè)表該是多么簡潔 多么對稱 多么美呀 其實(shí) 奇數(shù)集合的數(shù)被 2 除余 1 偶數(shù)被 2 除余 0 奇數(shù)集合以 1 為代表 偶數(shù)集合以 0 為代表 只要兩種狀態(tài)的情況 都可以用奇 偶表示 也就是用 0 1 表示 人們自古就發(fā) 明了用 0 1 表示兩種狀態(tài)的信息 比如 長城的烽火臺不點(diǎn)狼煙時(shí)表示無 0 擾邊入侵者 當(dāng)點(diǎn)起狼煙 則表示來了 1 擾邊入侵者 這是古人自覺或不自覺地用 0 1 傳達(dá)兩態(tài)信息 的發(fā)明 狼煙點(diǎn)起 敵我雙方都看得到 能不能再隱蔽一些 盡量使敵方看不到而我方能看 到呢 其實(shí) 抗日戰(zhàn)爭打鬼子時(shí)的 消息樹 也是一種傳遞兩態(tài)消息的發(fā)明創(chuàng)造 消息樹的 設(shè)置我方是知道的 敵方是不易發(fā)現(xiàn)的 消息樹不倒 代表無敵人 0 消息樹倒了 代 表鬼子進(jìn)山來了 1 這也是今人巧用 0 1 表示兩種狀態(tài)的信息的通信方式 觀察自然數(shù)列中的數(shù) 仔細(xì)想一想 發(fā)現(xiàn)構(gòu)成不完全一樣 比如 1 1 1 2 1 2 3 1 3 4 1 4 2 2 5 1 5 6 1 6 2 3 7 1 7 8 1 8 2 9 1 9 3 3 10 1 10 2 5 11 1 11 12 1 12 2 6 3 4 13 1 13 14 1 14 2 7 15 1 15 3 5 16 1 16 2 8 4 4 大體可以分為 3 類 一類叫單位 1 第二類 2 3 5 7 11 13 只有 1 與自身 兩個(gè)約數(shù) 叫質(zhì)數(shù) 第三類 4 6 8 9 10 12 14 15 16 至少還有一個(gè)除 1 與自身兩個(gè)約數(shù)以外的約數(shù) 叫合數(shù) 你看多么有規(guī)律 這時(shí)我們又會有發(fā)現(xiàn) 大于 1 的自然數(shù) 都可以寫成質(zhì)因數(shù)連乘積的形式 如果將質(zhì)因數(shù) 由小到大排列 相同的質(zhì)因數(shù)寫成乘方的形式 這個(gè)表示法是唯一的 你看 復(fù)雜的數(shù)都是 由簡單的質(zhì)數(shù)通過乘法合成的 人們要是弄清了質(zhì)數(shù)的性質(zhì) 就可以弄清自然數(shù)的結(jié)構(gòu) 單位 1 只 1 個(gè)約數(shù) 自然數(shù) 1 2 3 質(zhì)數(shù) 恰有 2 個(gè)不同的約數(shù) 合數(shù) 至少有 3 個(gè)不同的約數(shù) 12 很有趣味 質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)是偶數(shù) 是 2 這個(gè) 黨代表 其余的質(zhì)數(shù)都是清一色的奇 數(shù) 娘子軍 自然數(shù)中的質(zhì)數(shù)有多少 有限個(gè)還是無限多 早在古希臘時(shí)代 就 已經(jīng)證明了質(zhì)數(shù)有無限多個(gè) 假設(shè)自然數(shù)列中的質(zhì)數(shù)是有限個(gè) 不妨設(shè)為 k 個(gè) 它們依次是 p1 p2 p3 pk 1 pk 我們考察一個(gè)新的自然數(shù) N p1 p2 p3 pk 1 pk 1 顯然 N 1 所以 N 要么是質(zhì)數(shù) 要么是合數(shù) N 能 是質(zhì)數(shù)嗎 若 N 是質(zhì)數(shù) 顯然 N 是不等于 p1 p2 p3 pk 1 pk的一個(gè)新的第 k 1 個(gè) 質(zhì)數(shù) 這與只有 k 個(gè)質(zhì)數(shù)的假設(shè)不符 因此 N 不能是質(zhì)數(shù) N 能是合數(shù)嗎 若 N 是合數(shù) 則 N 應(yīng)有除 1 與自身以外的質(zhì)因子 也就是質(zhì)數(shù) p1 p2 p3 pk 1 pk中至少有一個(gè) pi 能整除 N 于是推出 pi 能整除 1 得出矛盾 可見 如果自然數(shù)列中的質(zhì)數(shù)是有限個(gè) 那么這個(gè)新的自然數(shù) N p1 p2 p3 pk 1 pk 1 既不是 1 也不是質(zhì)數(shù) 更不是合數(shù) 得出矛盾 所 以自然數(shù)列中的質(zhì)數(shù)應(yīng)有無限多個(gè) 證明是那樣的簡潔 有說服力 足以顯示出理性思維的力量 這還不夠 人們還發(fā)現(xiàn) 質(zhì)數(shù)的分布極不均勻 有時(shí)像 3 5 11 13 兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)相 鄰 是 孿生質(zhì)數(shù) 有時(shí)連續(xù)的若干個(gè)自然數(shù)中都沒有質(zhì)數(shù) 人們這樣證明在自然數(shù)列中 存在連續(xù)的 n 個(gè)自然數(shù)的片段 每一個(gè)自然數(shù)都是合數(shù) 設(shè) 1 1 nN則 3 2 1nNNNN 這連續(xù)的 n 個(gè)自然數(shù) 每一個(gè)都是 合數(shù) 這個(gè)證明是這樣的簡潔 我最初見到這個(gè)證明時(shí) 簡直被數(shù)學(xué)的美妙驚呆了 隨之而來 的是感嘆 這個(gè)證明太美了 人家是怎么想到的呢 大家知道 3 5 5 7 11 13 都是孿生質(zhì)數(shù)的例子 一直找下去可以找到 許多對孿生質(zhì)數(shù) 如 109619 109621 10009871 10009873 及 1000061087 1000061089 都是孿生質(zhì)數(shù) 據(jù)統(tǒng)計(jì) 在三千萬以內(nèi)共有 152892 對孿生質(zhì)數(shù) 隨著范圍的擴(kuò)大 孿生質(zhì) 數(shù)的數(shù)量會增加 因此人們猜想 在自然數(shù)中 孿生質(zhì)數(shù)有無窮多對 這個(gè)看似簡單的問題 至今仍未解決 是一個(gè)數(shù)學(xué)難題 這就是著名的孿生質(zhì)數(shù)猜想 同學(xué)們會提出 像 3 5 7 這樣的 3 個(gè)連續(xù)的質(zhì)數(shù) 不妨叫 3 生質(zhì)數(shù) 那么 3 生 質(zhì)數(shù) 能有多少組呢 同學(xué)們可以證明 只有 3 5 7 這一組 13 假設(shè)還能找到另一組的三個(gè)連續(xù)的奇數(shù) 4 2 ppp 4 2 ppp每一個(gè) 都是質(zhì)數(shù) 顯然3 p 當(dāng)p是被 3 除余 1 的數(shù)時(shí) 2 p將被 3 整除 是個(gè)合數(shù) 與 2 p是質(zhì)數(shù)矛盾 所以p不能是被 3 除余 1 的數(shù) 當(dāng)p是被 3 除余 2 的數(shù)時(shí) 4 p將 被 3 整除 是個(gè)合數(shù) 與4 p是質(zhì)數(shù)矛盾 所以p不能是被 3 除余 2 的數(shù) 此時(shí)得出p 只能是被 3 整除的數(shù) 要p是質(zhì)數(shù) 當(dāng)且僅當(dāng)p 3 才可能 這與3 p是矛盾的 所以 三個(gè)連續(xù)的奇數(shù) 其中每一個(gè)數(shù)都是質(zhì)數(shù) 只有 3 5 7 這一組 這樣一來你馬上用邏輯知識就可判定 不存在 4 生質(zhì)數(shù) 5 生質(zhì)數(shù) 等等 古代有個(gè)叫斐波那契斐波那契的人 他發(fā)現(xiàn)了一種新的以他的名字 命名的數(shù)列 斐波那契數(shù)列 這個(gè)數(shù)列也俗稱兔子繁殖數(shù)列 最初見于意大利數(shù)學(xué)家斐波那契 1202 年寫成的 算盤書 中的 一個(gè)問題 大意是 假定一對幼兔 雌雄各一個(gè) 幼兔出生 后第二個(gè)月就長為成兔 有生殖后代的能力 每月生一對小兔 子 雌雄各一個(gè) 那么這一對兔子經(jīng)過一年的繁殖 總共可以 斐波那契 斐波那契 1170 1250 得到多少對兔子呢 我們可以列出兔子繁殖的數(shù)量表 月 份 成 兔 對 數(shù) 幼 兔 對 數(shù) 兔的總對數(shù) 0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 3 2 1 3 4 3 2 5 14 5 5 3 8 6 8 5 13 7 13 8 21 8 21 13 34 9 34 21 55 10 55 34 89 11 89 55 144 12 144 89 233 13 233 144 377 由上表看到由一對幼兔逐月繁殖的總對數(shù)是一個(gè)數(shù)列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 這個(gè)無限數(shù)列就叫做斐波那契數(shù)列 它的每一項(xiàng)叫做一個(gè)斐波那契數(shù) 如果數(shù)列每一項(xiàng) 的位置用下標(biāo)表示 u1 1 u2 1 u3 2 u4 3 u5 5 u6 8 un表示第 n 個(gè)斐波那契數(shù) 則有 un un 1 un 2 其中 n 3 通過高中數(shù)學(xué)就可以算出 nn n u 2 51 2 51 5 1 它是斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式 每項(xiàng)都是自然數(shù)的數(shù)列 其通項(xiàng)公式卻要由無理數(shù)表示 形 式又是那么對稱 給人以美感 讓人感到奇妙 自然界造化中有許多有趣的斐波那契現(xiàn)象 薊 多年生草本植物 莖葉多刺 的頭部幾乎呈球狀 在左下圖里 標(biāo)出了兩條不同方 向的螺旋 其中 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋一共有 13 條 而逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的則有 21 條 13 與 21 恰 是兩個(gè)相鄰的斐波那契數(shù) 薊的頭部具有 13 條順時(shí)針旋 向日葵花瓣紋理的順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 轉(zhuǎn)和 21 條逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的螺旋 排列與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)排列的螺線 15 向日葵的小花形成的紋理也是按順時(shí)針及逆時(shí)針方向纏繞在一起的螺線圖案 通常一個(gè) 方向有 55 條 而反方向有 34 條 或是 89 條對 55 條 或 144 條對 89 條 甚至有 233 對 144 條的 有趣的是各對數(shù)字都是兩個(gè)相鄰的斐波那契數(shù) 斐波那契數(shù)列在工業(yè)管理中也有著重要的應(yīng)用 在數(shù)學(xué)歷史上 可以找到數(shù)學(xué)家們許多發(fā)現(xiàn)規(guī)律的典型事例 例如 牛頓二項(xiàng)式定理中對二項(xiàng)展開系數(shù)規(guī)律的認(rèn)識 11 1 baba 22 2 2bababa 3223 3 33babbaaba 432234 4 464babbabaaba 54322345 5 510105babbababaaba 牛牛 頓頓 1643 1727 由特殊情況 觀察規(guī)律 得出猜想 11222 n nnn nn kn kknn nn ab aC abC ab C abC b 然后再用數(shù)學(xué)歸納法就可證明上式 這就是牛頓二項(xiàng)式定理 我國宋代 楊輝三角形 楊輝 賈憲乘方求廉圖 就是對二 項(xiàng)式定理中系數(shù)形成規(guī)律的一個(gè)總結(jié) 16 這是一個(gè)多么對稱 多么有規(guī)律的數(shù)字金字塔呀 它居然與斐波那契數(shù)列 三角形數(shù) 四面 體數(shù) 等存在聯(lián)系 高斯 1777 1855 費(fèi)爾瑪 1601 1665 高斯 1777 1855 費(fèi)爾瑪 1601 1665 難道這是巧合 還是數(shù)量關(guān)系之間的神奇美妙的聯(lián)系呢 總之 自然數(shù)是這樣的神奇 還有許多深刻的性質(zhì)在向人類的理性思維挑戰(zhàn) 高斯曾說 數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后 而數(shù)論是數(shù)學(xué)的皇后 數(shù)學(xué)的皇后頭上有許多璀璨的明珠 比如 費(fèi)爾瑪大定理 歌德巴赫猜想 費(fèi)爾瑪大定 理歷時(shí) 350 年 最終在 1994 年被英國數(shù)學(xué)家懷爾斯所證明 由此貢獻(xiàn)懷爾斯榮獲了沃爾夫獎(jiǎng) 1998 年 懷爾斯在柏林舉行的國際數(shù)學(xué)家大會上 以解決費(fèi)爾瑪大定理的業(yè)績獲得特別成就 獎(jiǎng) 至于歌德巴赫猜想這棵明珠 我國已故數(shù)學(xué)家陳景潤已經(jīng)證明到 1 2 離 1 1 尚 有一步之遙 至于鹿死誰手 全世界都拭目以待 我們多么希望有志的華夏兒女能再接再厲 采摘到這棵明珠哇 三 開啟興趣閘門的鑰匙 好奇心三 開啟興趣閘門的鑰匙 好奇心 著名國際數(shù)學(xué)大師陳省身為 2002 青少年數(shù)學(xué)論壇 題字 數(shù)學(xué)好玩 其中的意思 是說數(shù)學(xué)并不枯燥 他不是游戲 而是一種興趣的東 西 這個(gè)有興趣的東西很美 是 理性的美 抽象的美 有人說 音樂就是感覺中的數(shù)學(xué) 而數(shù)學(xué) 就是推理中的音樂 兩者的靈魂 完全一致 因此 音樂家可以感 覺到數(shù)學(xué) 而數(shù)學(xué)家也可以想象 到音樂 雖說音樂是夢幻 而數(shù) 學(xué)是現(xiàn)實(shí) 但當(dāng)人類智慧升華到 陳省身 陳省身 1911 2004 17 完美的境界時(shí) 音樂和數(shù)學(xué)就互相滲透而融為一體了 一位外國數(shù)學(xué)家告訴馬志明院士 他 非常喜歡音樂 尤其是巴赫的音樂 他的音樂里有數(shù)學(xué) 巴赫的音樂很對稱 不論是順著聽 還是倒著聽 都是一樣的旋律 這就是數(shù)學(xué)中的對稱性 數(shù)學(xué)既然是這樣的美 這樣的有用 你對他感興趣嗎 原來每個(gè)人從小開始對數(shù)學(xué)并沒 有什么偏愛 但總有那么一個(gè)時(shí)期 或因?yàn)槔蠋煹墓膭?lì) 或因?yàn)樽约旱玫匠晒Φ墓奈?或者 看了數(shù)學(xué)家的故事后的激動 一下子成了自己學(xué)習(xí)的轉(zhuǎn)折點(diǎn) 對數(shù)學(xué)產(chǎn)生了興趣 可能就與 數(shù)學(xué)結(jié)下了不解之緣 楊樂院士說 同學(xué)們要培養(yǎng)愛好數(shù)學(xué)的良好興趣 這 點(diǎn)非常重要 只有你對數(shù)學(xué)感興趣 你才能對其研究 我小學(xué) 六年在一個(gè)非常好的小學(xué)念書 不過因?yàn)槟菚r(shí)上學(xué)較早 有 比較好的條件 即使數(shù)學(xué)成績 較好 也沒有對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚 的興趣 只是學(xué)到后來 學(xué)到 楊 樂 1939 楊 樂 1939 了代數(shù) 我發(fā)現(xiàn) a b c d 也 可以像數(shù)字一樣參加四則運(yùn)算 覺得特別有意思 對于平面幾 何也是 可以用數(shù)字來描述形或軌跡 簡直美妙極了 后來 我就利用課外時(shí)間看一些書數(shù)學(xué)成績也比別人高出了許多 畢達(dá)哥拉斯 約前 560 480 畢達(dá)哥拉斯 約前 560 480 因此對數(shù)學(xué)的興趣也越來越濃了 再另外就是 我小時(shí)侯看到的很多定理 比如勾股定理 那時(shí)不叫這個(gè)名字 而是畢達(dá)哥拉斯定理 是用一個(gè)外國人的名字來命名的 還有好多定理 都是這樣 我就在想 為什么不用中國人的名字來命名呢 于是我就下決心去研究數(shù)學(xué) 著名的華裔旅美數(shù)學(xué)家菲爾茲獎(jiǎng)獲得者丘成桐教授回憶道 小學(xué)時(shí) 自己的數(shù)學(xué)跟別 人沒有分別 成績平平 到了中學(xué)時(shí)代 由于得到幾位數(shù)學(xué)良師的悉心引領(lǐng) 開始對數(shù)學(xué)產(chǎn) 生興趣 尤其對平面幾何情有獨(dú)鐘 從中學(xué)二年級開始 所有數(shù)學(xué)教科書或作業(yè)上的習(xí)題 丘教授都會一題不漏地 鉆研 到了中三 中四 更是主動地自學(xué)大學(xué)的數(shù)學(xué)課程 據(jù)說古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯很小的時(shí)候就跟隨丟番圖學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué) 有一天 他向老師請教一個(gè)問題 有 4 個(gè)數(shù) 把其 中每 3 個(gè)相加 其和分別為 22 24 27 和 20 求這 4 個(gè)數(shù) 這個(gè)問題看起來很簡單 但具體做起來卻有一定的復(fù)雜性 丘成桐 1949 丘成桐 1949 18 帕普斯請教丟番圖有沒有巧妙的方法可以解答這個(gè)問題 丟番圖提出了一個(gè)巧妙的解法 他 不是分別設(shè) 4 個(gè)未知數(shù) 而是設(shè) 4 個(gè)數(shù)之和為 x 那么 4 個(gè)數(shù)就分別為 x 22 x 24 x 27 和 x 20 于是有方程 x x 22 x 24 x 27 x 20 解之得 x 31 從而得到 4 個(gè)數(shù)分別為 9 7 4 11 帕普斯對老師的漂亮解法非常佩服 從此堅(jiān)定了畢生研究數(shù)學(xué)的意愿 后來成了一位著 名的數(shù)學(xué)家 我國數(shù)學(xué)家陳景潤 回憶他小學(xué)時(shí)的林老師和中學(xué)時(shí)的陸宗授老師 林老師講課 總 像在講故事 她能把枯燥無味的習(xí)題講得生動有趣 引人入勝 而陸老師則是一位善于引導(dǎo)學(xué)生思考的老師 再難的問題 他 都能啟發(fā)你由淺入深的思考 直到最終學(xué)會 老師的循循善誘 像陽光雨露一樣滋潤著陳景潤 也就是從那時(shí)起陳景潤對數(shù)學(xué) 產(chǎn)生了濃厚的興趣 并迷上了它 1948 年獲帝國理工學(xué)院航 空工程系哲學(xué)博士學(xué)位的沈元先生回福州為父奔喪 曾在英華 陳景潤 1933 1996 陳景潤 1933 1996 書院教書做陳景潤所在班的班主任 并擔(dān)任數(shù)學(xué) 政治 物理 英文的授課 沈元老師在課堂上向同學(xué)們介紹了歌德巴赫猜想 可以說沈元老師是陳景潤 決心摘取這棵數(shù)學(xué)王冠上的明珠的啟蒙老師 最終證明了費(fèi)爾瑪大定理的數(shù)學(xué)家懷爾斯 10 歲時(shí)已經(jīng)著迷于數(shù)學(xué)了 他回憶說 在 學(xué)校里我喜歡做題目 我把他們帶回家 編寫成自己的新題目 不過我以前找到的最好的題 目是在我們的地區(qū)圖書館發(fā)現(xiàn)的 這里有大量的 智力測驗(yàn)的書籍 正是這些書籍常常引起安德魯?shù)?注意 這些書中含有各種難解的科學(xué)難題和數(shù)學(xué)之 謎 而每個(gè)題的解答可能會扼要地展示在最后幾頁 某個(gè)地方 但是這一次安德魯被一本書吸引住了 這本書只有一個(gè)問題而沒有解答 這本書就是埃里 克 坦普爾 貝爾寫的 大問題 記述的是費(fèi)爾 瑪?shù)淖詈竺} 懷爾斯 1953 懷爾斯 1953 方程 nnn zyx 當(dāng) n 為大于 2 的自然數(shù)時(shí)沒有正整數(shù)解 19 它使一個(gè)個(gè)數(shù)學(xué)家望而生畏 長達(dá) 300 年還沒人能解決它 懷爾斯今天這樣描述當(dāng)時(shí)的感受 它看上去如此簡單 但歷史上所有大數(shù)學(xué)家都未能解決它 這里正擺著一個(gè)我 一個(gè) 10 歲的孩子 能理解的問題 從那個(gè)時(shí)刻起 我知道我永遠(yuǎn)不會放棄它 我必須解決它 我國數(shù)學(xué)家華羅庚教授說得更為具體 我開始時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是沒有什么 宏愿 的 僅 僅是為了興趣 為了便于自學(xué) 唯一推動我的力量 就 是興趣與方便 因?yàn)閿?shù)學(xué)是充滿了興趣的科學(xué) 也是最便于 自學(xué)的科學(xué) 可見 興趣對于早期進(jìn)入數(shù)學(xué)領(lǐng)域多么重要 在剛開始學(xué)習(xí)的時(shí)候是很難完全弄清楚學(xué)了數(shù)學(xué)有什么用 的 華羅庚也只是后來才 認(rèn)識到研究數(shù)學(xué)不能停留在為了 興趣上 認(rèn)識到數(shù)學(xué)是和國家 社會有著密切關(guān)系的 它可 以成為建設(shè)祖國的工具 認(rèn)識到 數(shù)學(xué)是對社會有極大貢 華羅庚 1910 1985 華羅庚 1910 1985 獻(xiàn)的學(xué)問 科學(xué)與生產(chǎn)越發(fā)達(dá) 對數(shù)學(xué)的需要也就越迫切 在自然科學(xué)愈提高到理論 階段的時(shí)候 也就愈是需要數(shù)學(xué)的時(shí)候 興趣來源于好奇心 要學(xué)好數(shù)學(xué) 就要?jiǎng)邮謩幽X 多問個(gè)為什么 找事物之間的聯(lián)系 提問題 找解答 說理由 久而久之 你就會發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)就在你的身邊 你也就會覺得自己的 能力有所提高 作數(shù)學(xué)題 要作一些具有挑戰(zhàn)性的題目 在中小學(xué)階段 有趣的算術(shù)四則問題 平面幾 何的證明題或作圖題 競賽中的趣味題 對提高數(shù)學(xué)興趣和解題能力都很有好處 培養(yǎng)人才的實(shí)踐證明 在中學(xué)時(shí)代打下初等數(shù)論和平面幾何的基礎(chǔ) 對一個(gè)人的數(shù)學(xué)修 養(yǎng)是極為關(guān)鍵的 對于平面幾何 我想多說幾句 大科學(xué)家牛頓曾說 幾何學(xué)的光榮 在于它從很少的幾條獨(dú)立自主的原則出發(fā) 而得以完成如此之多的工作 1933 年 愛因斯坦在英國牛津大學(xué)所作的 關(guān)于理論物理的 方法 的演講中 曾這樣說道 我們推崇古代希臘是西方科學(xué)的搖籃 在那里 世界第一 次目睹了一個(gè)邏輯體系的奇跡 這個(gè)邏輯體系如此精密地一 步一步推進(jìn) 以致它的每一個(gè)命題都是絕對不容質(zhì)疑的 我這里說的就是歐幾里得幾何 推理的這種可贊嘆的勝利 使人類理智獲得了為取得以后成就所必需的信心 如果歐幾 里得未能激起你少年時(shí)代的熱情 那么你就不是一個(gè)天生的 愛因斯坦 1879 1955 愛因斯坦 1879 1955 20 科學(xué)家 在沙雷金編著的俄羅斯中學(xué)幾何 7 9 年級課本的前言中有這樣一段極富哲理的話 精神的最高表現(xiàn)是理性 理性的最高顯示 這是幾何學(xué) 三角形是幾何學(xué)的細(xì)胞 它象 宇宙那樣取之不盡 圓是幾何學(xué)的靈魂 通曉圓不僅通曉幾何學(xué)的靈魂 而且能召回自己的 靈魂 平面幾何的模型是直線 三角形和圓 非常之簡單 而它對數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練效果卻非常 之大 學(xué)習(xí)平面幾何 投資少 收益大 何樂而不為呢 江澤民主席說 學(xué)習(xí)幾何能鍛煉 一個(gè)人的思維 解答數(shù)學(xué)題 最重要的是培養(yǎng)一個(gè)人鉆研精神 江主席還說 他休息時(shí)喜歡 想平面幾何題 這些都說明平面幾何的教育價(jià)值 有的同學(xué)可能想 我會動手實(shí)踐 數(shù)學(xué)難學(xué) 會點(diǎn)算術(shù)就可以了 對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不必要求 過高 要不要堅(jiān)持學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的高標(biāo)準(zhǔn) 作為教育觀念可以各抒己見 但是 21 世紀(jì)科學(xué)技術(shù) 的飛速發(fā)展競爭的現(xiàn)實(shí) 落后就要挨打的嚴(yán)酷現(xiàn)實(shí)