福建省南平市高考數(shù)學(xué)模擬試卷 理（含解析）.doc

2015年福建省南平市高 考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）一、選擇題：每小題5分，共50分1已知x，yr，i為虛數(shù)單位，且yix=1+i，則（1i）x+y的值為（） a 2 b 2i c 4 d 2i2已知直線x+y=1與圓x2+y2=1 相交a，b兩點(diǎn)，則|ab|=（） a b c d 3等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=8，則log2a1+log2a2+log2a10=（） a 10 b 8 c 6 d 44當(dāng)為銳角時(shí)，“cosxdx=”是“=”的（） a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件5已知向量=（3，4）=（6，3），=（2m，m+1）若，則實(shí)數(shù)m的值為（） a b c 3 d 36如圖給出了一個(gè)程序框圖，其作用是輸入x的值，輸出相應(yīng)的y值若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值有（） a 1個(gè) b 2個(gè) c 3個(gè) d 4個(gè)7如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（） a 16+ b 4 c 24+ d 248已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)是（2，3），點(diǎn)p（x，y）在不等式組所確定的平面區(qū)域內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（） a 4，10 b 6，9 c 6，10 d 9，109已知p是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則p到直線l1：4x3y+6=0和l2：x+2=0的距離之和的最小值是（） a 1 b 2 c 3 d 410已知a，br，函數(shù)f（x）=有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1x2），f（x2）=x1，則方程f2（x）af（x）b=0的實(shí)根個(gè)數(shù)（） a 4 b 3 c 2 d 0二、填空題：每小題4分，共20分11為估計(jì)圖中陰影部分的面積，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法，從邊長(zhǎng)為1的正方形abcd中產(chǎn)生200個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其中落入陰影部分的點(diǎn)共有134個(gè)，則估計(jì)陰影部分的面積是12已知sin（）coscos（）sin=，是第三象限角，則tan（+）=13在（1+x+x2）（1x）10的展開(kāi)式中，含x4的系數(shù)為 14已知x，y（0，+），3x2=（）y，則+的最小值為15若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)p（1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)m，已知點(diǎn)n（3，3），則線段mn的最大值與最小值的和為三、解答題16已知函數(shù)f（x）=2sinxcosxcos2x，xr（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（2）在abc中，角a、b、c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，若f（a）=2，c=，c=2，求abc的面積17已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩盒內(nèi)各任取2個(gè)球（）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；（）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望18如圖，在四面體pabc中，pa面acb，bcac，m是pa的中點(diǎn)，e是bm的中點(diǎn)，ac=2，pa=4，f是線段pc上的點(diǎn)，且ef面acb（）求證：bcaf（）求；（）若異面直線ef與ca所成角為45，求ef與面pab所成角的正弦值19已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，點(diǎn)p（，1）在橢圓上（）求橢圓的方程；（）過(guò)的右焦點(diǎn)f作兩條垂直的弦ab，cd，設(shè)ab，cd的中點(diǎn)分別為m，n，證明：直線mn必過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)20已知函數(shù)f（x）=abex（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828）的圖象在x=0處的切線方程為y=x（） 求a，b的值；（） 若g（x）=mlnxex+mx2（m+1）x+1（m0），求函數(shù)h（x）=g（x）f（x）的單調(diào)區(qū)間；（） 若正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=，=f（an）=f（an）證明：數(shù)列an是遞減數(shù)列選考題。本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題14分，請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答，滿分14分，如果多選，則按所做的前兩題記分，作答時(shí)，先用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。選修4-2：矩陣與變換21已知矩陣m=，若向量在矩陣m的變換下得到向量（） 求矩陣m；（） 設(shè)矩陣，求直線xy+1=0在矩陣nm的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線c的方程選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c1：=，曲線c2：，（為參數(shù)）（） 求曲線c1的直角坐標(biāo)方程與曲線c2的普通方程；（） 求曲線c2上的點(diǎn)到曲線c1的點(diǎn)的最小距離選修4-5：不等式選講23已知函數(shù)f（x）=|12x|2+2x|（） 解不等式f（x）1；（） 若a2+2af（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍2015年福建省南平市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：每小題5分，共50分1已知x，yr，i為虛數(shù)單位，且yix=1+i，則（1i）x+y的值為（） a 2 b 2i c 4 d 2i考點(diǎn)： 復(fù)數(shù)相等的充要條件專(zhuān)題： 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)分析： 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等即可得出解答： 解：yix=1+i，解得x=1，y=1則（1i）x+y=（1i）2=2i故選：b點(diǎn)評(píng)： 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2已知直線x+y=1與圓x2+y2=1 相交a，b兩點(diǎn)，則|ab|=（） a b c d 考點(diǎn)： 直線與圓的位置關(guān)系專(zhuān)題： 直線與圓分析： 利用圓心到直線的距離與半徑半弦長(zhǎng)的關(guān)系求解即可解答： 解：直線x+y=1與圓x2+y2=1 圓心到直線的距離為：=，圓的半徑為1，所以直線x+y=1與圓x2+y2=1 相交a，b兩點(diǎn)，則|ab|=故選：b點(diǎn)評(píng)： 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，注意圓的半徑、弦心距、半弦長(zhǎng)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵3等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6+a4a7=8，則log2a1+log2a2+log2a10=（） a 10 b 8 c 6 d 4考點(diǎn)： 數(shù)列的求和專(zhuān)題： 等差數(shù)列與等比數(shù)列分析： 由等比數(shù)列得性質(zhì)和已知可得a1a10=a2a9=a5a6=4，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算整體代入可求解答： 解：由等比數(shù)列得性質(zhì)可得a1a10=a2a9=a5a6，又a5a6+a4a7=8，a1a10=a2a9=a5a6=4，log2a1+log2a2+log2a10=log2（a1a2a10）=log2（a1a10）5=log245=log2210=10，故選：a點(diǎn)評(píng)： 本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬中檔題4當(dāng)為銳角時(shí)，“cosxdx=”是“=”的（） a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷專(zhuān)題： 簡(jiǎn)易邏輯分析： 利用定積分求出關(guān)系式，然后利用充要條件判斷即可解答： 解：當(dāng)為銳角時(shí)，“cosxdx=”可得sin，可得=sin=，滿足所以當(dāng)為銳角時(shí)，“cosxdx=”是“=”的充要條件故選：c點(diǎn)評(píng)： 本題考查定積分的求法，充要條件的判斷與應(yīng)用，基本知識(shí)的考查5已知向量=（3，4）=（6，3），=（2m，m+1）若，則實(shí)數(shù)m的值為（） a b c 3 d 3考點(diǎn)： 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算專(zhuān)題： 平面向量及應(yīng)用分析： 利用已知條件求出，然后利用這里共線的充要條件求解即可解答： 解：向量=（3，4）=（6，3），=（3，1）=（2m，m+1），若，可得3m+3=2m，解得m=3故選：d點(diǎn)評(píng)： 本題考查向量的基本運(yùn)算，基本知識(shí)的考查6如圖給出了一個(gè)程序框圖，其作用是輸入x的值，輸出相應(yīng)的y值若要使輸入的x值與輸出的y值相等，則這樣的x值有（） a 1個(gè) b 2個(gè) c 3個(gè) d 4個(gè)考點(diǎn)： 選擇結(jié)構(gòu)專(zhuān)題： 閱讀型；分類(lèi)討論分析： 由已知的程序框圖，我們可得該程序的功能是計(jì)算并輸出分段函數(shù)y=的值，結(jié)合輸入的x值與輸出的y值相等，我們分類(lèi)討論后，即可得到結(jié)論解答： 解：由題意得該程序的功能是計(jì)算并輸出分段函數(shù)y=的值又輸入的x值與輸出的y值相等當(dāng)x2時(shí)，x=x2，解得x=0，或x=1當(dāng)2x5時(shí)，x=2x4，解得x=4當(dāng)x5時(shí)，x=，解得x=1（舍去）故滿足條件的x值共有3個(gè)故選c點(diǎn)評(píng)： 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是選擇結(jié)構(gòu)，其中分析出函數(shù)的功能，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)函數(shù)值問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵7如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是（） a 16+ b 4 c 24+ d 24考點(diǎn)： 由三視圖求面積、體積專(zhuān)題： 空間位置關(guān)系與距離分析： 根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)可判斷：底面邊長(zhǎng)為2的正方形，高位1的四棱柱，棱柱內(nèi)有一個(gè)半球，球半徑為1，根據(jù)幾何體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為正方形，矩形，圓的面積求解解答： 解：根據(jù)三視圖給出的數(shù)據(jù)可判斷：底面邊長(zhǎng)為2的正方形，高位1的四棱柱，棱柱內(nèi)有一個(gè)半球，球半徑為1，所以該幾何體的表面積22+421+（412）=16+故選：a點(diǎn)評(píng)： 本題考查了空間幾何體，組合體的三視圖的運(yùn)用，關(guān)鍵是判斷組合體的構(gòu)成，運(yùn)用數(shù)據(jù)求解面積，難度不大，需要計(jì)算準(zhǔn)確8已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)a的坐標(biāo)是（2，3），點(diǎn)p（x，y）在不等式組所確定的平面區(qū)域內(nèi)（包括邊界）運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（） a 4，10 b 6，9 c 6，10 d 9，10考點(diǎn)： 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃專(zhuān)題： 不等式的解法及應(yīng)用分析： 設(shè)z=，則z=2x+3y，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)進(jìn)行求解即可解答： 解：設(shè)z=，則z=2x+3y，作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：由z=2x+3y得y=x+z，平移直線y=x+z，由圖象可知當(dāng)直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)c（3，0）時(shí)，直線y=x+z的截距最小，此時(shí)z最小，此時(shí)zmin=23=6，直線y=x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)b時(shí)，直線y=x+z的截距最小，此時(shí)z最小，由，解得，即b（2，2），此時(shí)zmax=22+32=10，故6z10故選：c點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)向量的數(shù)量積，以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵9已知p是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則p到直線l1：4x3y+6=0和l2：x+2=0的距離之和的最小值是（） a 1 b 2 c 3 d 4考點(diǎn)： 拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)專(zhuān)題： 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析： x=1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，則p到x+2=0的距離等于pf+1，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)f（1，0）過(guò)p作4x3y+6=0垂線，和拋物線的交點(diǎn)就是p，所以點(diǎn)p到直線l1：4x3y+6=0的距離和到直線l2：x=1的距離之和的最小值就是f（1，0）到直線4x3y+6=0距離，即可得出結(jié)論解答： 解：x=1是拋物線y2=4x的準(zhǔn)線，p到x+2=0的距離等于|pf|+1，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)f（1，0）過(guò)p作4x3y+6=0垂線，和拋物線的交點(diǎn)就是p，點(diǎn)p到直線l1：4x3y+6=0的距離和到直線l2：x=1的距離之和的最小值就是f（1，0）到直線4x3y+6=0距離，p到直線l1：4x3y+6=0和l2：x+2=0的距離之和的最小值是+1=2+1=3故選：c點(diǎn)評(píng)： 本題考查點(diǎn)到直線的距離公式的求法，是基礎(chǔ)題解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意拋物線的性質(zhì)的靈活運(yùn)用10已知a，br，函數(shù)f（x）=有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1x2），f（x2）=x1，則方程f2（x）af（x）b=0的實(shí)根個(gè)數(shù)（） a 4 b 3 c 2 d 0考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值專(zhuān)題： 綜合題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析： 由函數(shù)f（x）=有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，可得x2axb=0有兩個(gè)不相等的根，必有=a2+4b0而方程f2（x）af（x）b=0的1=0，可知此方程有兩解且f（x）=x1或x2再分別討論利用平移變換即可解出方程f（x）=x1或f（x）=x2解的個(gè)數(shù)解答： 解：f（x）=，f（x）=x2+ax+b，由題意知x1，x2是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，x2axb=0有兩個(gè)不相等的根，=a2+4b0x1x2，x1=，x2=而方程f2（x）af（x）b=0的1=0，此方程有兩解且f（x）=x1或x2即有0x1x2，f（x2）0把y=f（x）向下平移x2個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）x2的圖象，f（x2）=x2，可知方程f（x）=x2有兩解把y=f（x）向下平移x1個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）x1的圖象，f（x2）=x2，f（x2）x10，可知方程f（x）=x1只有一解綜上可知：方程f（x）=x1或f（x）=x2只有3個(gè)實(shí)數(shù)解即關(guān)于x的方程f2（x）af（x）b=0的只有3不同實(shí)根故選：b點(diǎn)評(píng)： 本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)得單調(diào)性、極值及方程解得個(gè)數(shù)、平移變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了圖象平移的思想方法、推理能力、計(jì)算能力、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力二、填空題：每小題4分，共20分11為估計(jì)圖中陰影部分的面積，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法，從邊長(zhǎng)為1的正方形abcd中產(chǎn)生200個(gè)點(diǎn)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，其中落入陰影部分的點(diǎn)共有134個(gè)，則估計(jì)陰影部分的面積是0.67考點(diǎn)： 幾何概型專(zhuān)題： 概率與統(tǒng)計(jì)分析： 由已知，點(diǎn)落入陰影部分的概率為，由此得到陰影部分與正方形的面積比為，由此求導(dǎo)陰影部分面積解答： 解：由題意，根據(jù)幾何概型的公式可得點(diǎn)落入陰影部分的概率為，所以陰影部分與正方形的面積比為，即，正方形面積為1，所以陰影部分的面積為0.67；故答案為：0.67點(diǎn)評(píng)： 本題考查了幾何概型的公式運(yùn)用；明確陰影部分的面積與正方形的面積比對(duì)于落入陰影部分的點(diǎn)數(shù)與所有點(diǎn)數(shù)比是關(guān)鍵12已知sin（）coscos（）sin=，是第三象限角，則tan（+）=7考點(diǎn)： 兩角和與差的余弦函數(shù)專(zhuān)題： 三角函數(shù)的求值分析： 利用兩角和差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用兩角和差的正切公式進(jìn)行計(jì)算即可解答： 解：由sin（）coscos（）sin=，得sin（）=sin（）=，sin=，是第三象限角，cos=，tan=，則tan（+）=7，故答案為：7；點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查三角函數(shù)值的計(jì)算，利用兩角和差的正弦公式和正切公式是解決本題的關(guān)鍵13在（1+x+x2）（1x）10的展開(kāi)式中，含x4的系數(shù)為 135考點(diǎn)： 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用專(zhuān)題： 計(jì)算題分析： 先將多項(xiàng)式展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)的和差，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出各項(xiàng)系數(shù)即可解答： 解：（1+x+x2）（1x）10=（1x）10+x（1x）10+x2（1x）10（1+x+x2）（1x）10展開(kāi)式中含x4的系數(shù)為（1x）10的含x4的系數(shù)加上其含x3的系數(shù)加上其含x2項(xiàng)的系數(shù)（1x）10展開(kāi)式的通項(xiàng)為tr+1=c10r（x）r令r=4，3，2分別得展開(kāi)式含x4，x3，x2項(xiàng)的系數(shù)為c104，c103，c102故（1+x+x2）（1x）10展開(kāi)式中含x4的系數(shù)為c104c103+c102=135，故答案為135點(diǎn)評(píng)： 本題考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力及利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題14已知x，y（0，+），3x2=（）y，則+的最小值為考點(diǎn)： 基本不等式專(zhuān)題： 不等式的解法及應(yīng)用分析： 利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得x+y=2，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出解答： 解：x，y（0，+），3x2=（）y，3x2=3y，x2=y，即x+y=2則+=當(dāng)且僅當(dāng)y=x=2，故答案為：點(diǎn)評(píng)： 本題考查了指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)p（1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)m，已知點(diǎn)n（3，3），則線段mn的最大值與最小值的和為10考點(diǎn)： 點(diǎn)到直線的距離公式專(zhuān)題： 直線與圓分析： 由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，整理后與直線方程ax+by+c=0比較發(fā)現(xiàn)，直線ax+by+c=0恒過(guò)q（1，2），再由點(diǎn)p（1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為m，得到pm與qm垂直，利用圓周角定理得到m在以pq為直徑的圓上，由p和q的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心a的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出此圓的半徑r，線段mn長(zhǎng)度的最大值即為m與圓心a的距離與半徑的和，求出即可解答： 解：a，b，c成等差數(shù)列，2b=a+c，即a2b+c=0，可得方程ax+by+c=0恒過(guò)q（1，2），又點(diǎn)p（1，0）在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為m，pmq=90，m在以pq為直徑的圓上，此圓的圓心a坐標(biāo)為（，），即a（0，1），半徑r=|pq|=，又n（3，3），|an|=5，則|mn|max=5+，最小值為5，所以線段mn的最大值與最小值的和為10故答案為：10點(diǎn)評(píng)： 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，恒過(guò)定點(diǎn)的直線方程，圓周角定理，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及兩點(diǎn)間的距離公式，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到2b=a+c，即a2b+c=0是解本題的突破點(diǎn)三、解答題16已知函數(shù)f（x）=2sinxcosxcos2x，xr（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（2）在abc中，角a、b、c所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，若f（a）=2，c=，c=2，求abc的面積考點(diǎn)： 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理專(zhuān)題： 計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)分析： （）由二倍角公式及輔助角公式對(duì)已知函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin（2x），然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（ii）由已知代入可求a，然后依據(jù)正弦定理，可求a，b，代入三角形的面積公式可求解答： 解：（）f（x）=2sinxcosxcos2x，xr）= （1分）f（x）=2sin（2x）（3分）由，kz，解得，kz（5分）函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是k，kz（6分）（）在abc中，f（a）=2，c=，c=2，2sin（2a）=2解得a=k，kz（8分）又0a，（9分）依據(jù)正弦定理，有，解得a=（10分）b=ac=（11分）=（13分）點(diǎn)評(píng)： 本通綜合考查了二倍角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用及正弦定理、三角形面積公式的應(yīng)用17已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩盒內(nèi)各任取2個(gè)球（）求取出的4個(gè)球均為黑球的概率；（）求取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率；（）設(shè)為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望考點(diǎn)： 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；古典概型及其概率計(jì)算公式；離散型隨機(jī)變量及其分布列專(zhuān)題： 概率與統(tǒng)計(jì)分析： （）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件a，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件b且ab獨(dú)立，由獨(dú)立事件的概率公式可得；（）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件c，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件d由互斥事件的概率公式可得答案（）為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)，則可能的取值為0，1，2，3結(jié)合前兩問(wèn)的解法得到結(jié)果，寫(xiě)出分布列和期望解答： 解：（i）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件a，“從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件b事件a，b相互獨(dú)立，且，取出的4個(gè)球均為黑球的概率為p（ab）=p（a）p（b）=（ii）設(shè)“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球”為事件c，“從甲盒內(nèi)取出的2個(gè)球中，1個(gè)是紅球，1個(gè)是黑球；從乙盒內(nèi)取出的2個(gè)球均為黑球”為事件d事件c，d互斥，且，取出的4個(gè)球中恰有1個(gè)紅球的概率為p（c+d）=p（c）+p（d）=（iii）可能的取值為0，1，2，3由（i），（ii）得p（=0）=，p（=1）=，又p（=2）=，p（=3）=的分布列為： 0 1 2 3p 的數(shù)學(xué)期望e=0+1+2+3=點(diǎn)評(píng)： 本小題主要考查互斥事件、相互獨(dú)立事件、離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力18如圖，在四面體pabc中，pa面acb，bcac，m是pa的中點(diǎn)，e是bm的中點(diǎn)，ac=2，pa=4，f是線段pc上的點(diǎn)，且ef面acb（）求證：bcaf（）求；（）若異面直線ef與ca所成角為45，求ef與面pab所成角的正弦值考點(diǎn)： 異面直線及其所成的角；直線與平面平行的性質(zhì)專(zhuān)題： 空間位置關(guān)系與距離；空間角；空間向量及應(yīng)用分析： （）pa面acb，從而得到bcpa，再由bcac及線面垂直判定定理即可得出bcaf；（）首先根據(jù)已知條件，以a為原點(diǎn)，ac的垂線為x軸，ac為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)，b（m，2，0），可表示出f點(diǎn)的坐標(biāo)，而為平面acb的一個(gè)法向量，由ef面acb，即可得到，這樣即可求出；（）寫(xiě)出向量的坐標(biāo)，根據(jù)異面直線ef與ca所成角為45即可求出m，從而求出b點(diǎn)坐標(biāo)，過(guò)c作cdab，則可說(shuō)明為平面pab的法向量，并設(shè)，根據(jù)即可求出，從而由sin=|cos|即可求得ef與面pab所成角的正弦值解答： 解：（）證明：pa面acb，bc面acb；pabc，即bcpa；又bcac，paac=a；bc面pac，af面pac；bcaf；（）如圖以a為原點(diǎn)，ac的垂線，ac，ap三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：a（0，0，0），c（0，2，0），p（0，0，4），m（0，0，2）；設(shè)，（01），b（m，2，0），（m0），可得，f（0，22，4），則；因?yàn)槭瞧矫鎍cb的一個(gè)法向量，ef面acb；（）由（）知；=；解得m=1；由此，b（1，2，0）；過(guò)c作cdab，垂足為d；又pa面acb，cd面acb；cdpa，paab=a；cd面pab；為面pab的法向量，設(shè)，則：，取y=1，則；ef與面pab所成角的正弦值：sin=|cos|=點(diǎn)評(píng)： 考查線面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面平行、線線角，以及線面角等問(wèn)題的方法，能確定空間點(diǎn)的坐標(biāo)，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，弄清直線和平面所成角與直線方向向量和平面法向量夾角的關(guān)系19已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=，點(diǎn)p（，1）在橢圓上（）求橢圓的方程；（）過(guò)的右焦點(diǎn)f作兩條垂直的弦ab，cd，設(shè)ab，cd的中點(diǎn)分別為m，n，證明：直線mn必過(guò)定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)考點(diǎn)： 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)專(zhuān)題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析： 解：（）設(shè)出所求橢圓方程為由橢圓的離心率及點(diǎn)p在橢圓上列式求得a，b的值，則橢圓方程可求；（）求出橢圓右焦點(diǎn)f的坐標(biāo)，然后分弦ab，cd的斜率均存在和弦ab或cd的斜率不存在兩種情況求解當(dāng)斜率均存在時(shí)，寫(xiě)出直線ab的方程，代入橢圓方程后化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)關(guān)系求得m坐標(biāo)，同理求得n的坐標(biāo)進(jìn)一步分k1和k=1求得直線mn的方程，從而說(shuō)明直線mn過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)弦ab或cd的斜率不存在時(shí)，易知，直線mn為x軸，也過(guò)點(diǎn)（）解答： 解：（）由題意可設(shè)所求橢圓方程為則，解得：a2=3，b2=2即橢圓的方程為；（）由題意得f（1，0），（1）當(dāng)弦ab，cd的斜率均存在時(shí)，設(shè)ab的斜率為k，則cd的斜率為令a（x1，y1），b（x2，y2），線段ab中點(diǎn)m（x0，y0）將直線ab方程代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得（3k2+2）x26k2x+（3k26）=0則，于是m（）cdab，將點(diǎn)m坐標(biāo)中的k換為，即得點(diǎn)當(dāng)k1時(shí)，直線mn的方程為令y=0，得x=，則直線mn過(guò)定點(diǎn)（）；當(dāng)k=1時(shí)，易得直線mn的方程x=，也過(guò)點(diǎn)（）（2）當(dāng)弦ab或cd的斜率不存在時(shí)，易知，直線mn為x軸，也過(guò)點(diǎn)（）綜上，直線mn必過(guò)定點(diǎn)（）點(diǎn)評(píng)： 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，涉及直線和圓錐曲線問(wèn)題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求解，是中檔題20已知函數(shù)f（x）=abex（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e=2.71828）的圖象在x=0處的切線方程為y=x（） 求a，b的值；（） 若g（x）=mlnxex+mx2（m+1）x+1（m0），求函數(shù)h（x）=g（x）f（x）的單調(diào)區(qū)間；（） 若正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=，=f（an）=f（an）證明：數(shù)列an是遞減數(shù)列考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；數(shù)列與函數(shù)的綜合專(zhuān)題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析： （）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到ab=0，b=1，從而求出a，b的值；（）先求出h（x）的表達(dá)式，求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性即可；（）要證數(shù)列an是遞減數(shù)列，只需設(shè)出u（x）=exx1，x（0，+），通過(guò)求導(dǎo)得到u（x）u（0）=0，即exx+1，從而證出結(jié)論解答： 解：（）由題意得f（0）=0，f（0）=1，則ab=0，b=1，解得：a=1，b=1，（）由題意得h（x）=mlnx+mx2（m+1）x，x（0，+）h（x）=+x（m+1）=，（1）當(dāng)0m1時(shí)，令h（x）0，并注意到函數(shù)的定義域（0，+），得0xm或x1，則h（x）的增區(qū)間是（0，m），（1，+），同理可求h（x）的減區(qū)間是（m.1）；（2）當(dāng)m=1時(shí)，h（x）0，則h（x）是定義域（0，+）內(nèi)的增函數(shù)；（3）當(dāng)m1時(shí)，令h（x）0，并注意到函數(shù)的定義域（0，+），得0x1或xm，則h（x）的增區(qū)間是（0，1），（m，+），同理可求h（x）的減區(qū)間是（1，m）；（）證明：因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列an滿足a1=，an=f（an），所以ln（an）=ln（1），即an+1=ln，要證數(shù)列an是遞減數(shù)列：an+1anlnanan+1，設(shè)u（x）=exx1，x（0，+），u（x）=ex10，u（x）是（0，+）上的增函數(shù)，則u（x）u（0）=0，即exx+1，故：an+1，則數(shù)列an是遞減數(shù)列點(diǎn)評(píng)： 本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，考察導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考察轉(zhuǎn)化思想，不等式的證明問(wèn)題，本題是一道難題選考題。本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題14分，請(qǐng)考生任選2個(gè)小題作答，滿分14分，如果多選，則按所做的前兩題記分，作答時(shí)，先用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。選修4-2：矩陣與變換21已知矩陣m=，若向量在矩陣m的變換下得到向量（） 求矩陣m；（） 設(shè)矩陣，求直線xy+1=0在矩陣nm的對(duì)應(yīng)變換作用下得到的曲線c的方程考點(diǎn)： 幾種特