（新課標）高考數(shù)學(xué) 考點20 空間向量練習(xí) (2).doc

考點20 空間向量 1.（2010廣東高考理科0）若向量=（1,1,x）, =(1,2,1), =(1,1,1),滿足條件=-2,則= .【命題立意】本題考查空間向量的坐標運算及向量的數(shù)量積運算.【思路點撥】 先算出，再由向量的數(shù)量積列出方程，從而求出【規(guī)范解答】，由，得，即，解得【答案】22.（2010浙江高考理科20）如圖， 在矩形中，點分別在線段上，.沿直線將 翻折成，使平面. （）求二面角的余弦值.（）點分別在線段上，若沿直線將四邊形向上翻折，使與重合，求線段的長. 【命題立意】本題主要考查空間點、線、面位置關(guān)系，二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間向量的應(yīng)用，同時考查空間想象能力和運算求解能力. 【思路點撥】方法一利用垂直關(guān)系建立空間直角坐標系，利用空間向量解決問題；方法二利用幾何法解決求二面角問題和翻折問題. 【規(guī)范解答】方法一：（）取線段ef的中點h，連結(jié)，因為=及h是ef的中點，所以,又因為平面平面.如圖建立空間直角坐標系，則（2，2，），c（10，8，0），f（4，0，0），d（10，0，0）.故=（-2，2，2），=（6，0，0）.設(shè)=（x,y,z）為平面的一個法向量，所以取，得.又平面fdc的一個法向量，故.所以所求二面角的余弦值為.（）設(shè)，則， 因為翻折后，與重合，所以， 所以.方法二：（）取線段的中點,的中點,連結(jié). 因為=及是的中點，所以.又因為平面平面，所以平面,又平面,故.又因為，是，的中點，易知，所以，又ghah=h,于是平面，所以為二面角a-fd-c的平面角，在中，=，=2，=，所以.故二面角a-fd-c的余弦值為.（）設(shè), 因為翻折后，與重合，所以， 而， +，得，經(jīng)檢驗，此時點在線段上，所以.【方法技巧】(1)利用向量法解決立體幾何問題關(guān)鍵是建系，一般要找到三個互相垂直的直線建系，這種方法思路相對簡單，但計算量大.(2)翻折問題要找好在翻折的過程中變化的與不變化的量，注意點、線、面等元素間位置關(guān)系的變化.3.（2010陜西高考理科8）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa平面abcd，ap=ab=2， bc=，e，f分別是ad,pc的中點.（）證明：pc平面bef.（）求平面bef與平面bap夾角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的的線線、線面垂直以及二面角的求解問題，考查了考生的空間想象能力、空間思維能力以及利用空間向量解決立體幾何問題的方法與技巧.【思路點撥】思路一：建立空間直角坐標系，利用空間向量求解；思路二：利用幾何法求解.【規(guī)范解答】方法一：（）如圖，以a為坐標原點，ab，ad，ap所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.ap=ab=2， bc=，四邊形abcd是矩形.a，b，c，d的坐標為a(0,0,0),b(2,0,0),c(2, ,0)，d(0，0)，p(0,0,2)又e，f分別是ad，pc的中點，e(0，0),f(1，1).=（2，-2）,=（-1，1）,=（1,0,1），=-2+4-2=0，=2+0-2=0，pcbf,pcef, ,pc平面bef,（ii）由（i）知平面bef的一個法向量平面bap 的一個法向量 設(shè)平面bef與平面bap的夾角為，則45， 平面bef與平面bap的夾角為45.方法二：（i）連接pe，ec，在中，pa=ab=cd, ae=de, pe= ce, 即pec 是等腰三角形，又f是pc 的中點，efpc, （）因為pa平面abcd，所以pabc，又底面abcd是矩形，所以abbc，平面bap，又pb平面bap，又由（1）知平面bef，直線pc與bc的夾角即為平面bef與平面bap的夾角；在pbc中，pb=bc,90,45，所以平面bef與平面bap的夾角為45.4.（2010遼寧高考理科19）已知三棱錐pabc中，pa平面abc，abac，pa=ac=ab，n為ab上一點，ab=4an,m,s分別為pb,bc的中點.（）證明：cmsn.（）求sn與平面cmn所成角的大小.【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【規(guī)范解答】設(shè)pa1，以a為原點，射線ab，ac，ap分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標系，如圖.則p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m(1,0, )，n(,0,0)，s(1,0).（i）【方法技巧】（1）空間中證明線線、線面垂直，經(jīng)常用向量法. （2）求線面角往往轉(zhuǎn)化成直線的方向向量與平面的法向量的夾角問題來解決. （3）線面角的范圍是090，因此線面角是直線的方向向量與平面法向量的夾角的余弦的絕對值.aefbcdhgaefbcdh5.（2010安徽高考理科18）如圖，在多面體中，四邊形是正方形，為的中點. (1)求證：平面.(2)求證：平面.(3)求二面角的大小.【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、二面角的求解的問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路點撥】可以采用綜合法證明，亦可采用向量法證明. 【規(guī)范解答】綜合法證明如下：向量法證明如下：aefbcdhgxyz 【方法技巧】（1）證明線面平行通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的一條直線平行.（2）證明線面垂直通常轉(zhuǎn)化為證明直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直.（3）確定二面角的大小，可以先構(gòu)造二面角的平面角，然后轉(zhuǎn)化到一個合適的三角形中進行求解.（4）以上立體幾何中的常見問題，也可以采用向量法建立空間直角坐標系，轉(zhuǎn)化為向量問題進行求解.應(yīng)用向量法解題，思路簡單，易于操作，推薦使用.6.（2010山東高考理科19）如圖，在五棱錐pabcde中，pa平面abcde，abcd，aced，aebc， abc = 45，ab = 2，bc =2ae = 4，三角形pab是等腰三角形（1）求證：平面pcd平面pac（2）求直線pb與平面pcd所成角的大小（3）求四棱錐pacde的體積【命題立意】本題考查了空間幾何體的線面與面面垂直、線面角的求解以及幾何體的計算問題，考查了考生的空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.【思路點撥】(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，通過計算證明.(2)方法一：先證明ab平面，于是點b 到平面pcd的距離等于點a到平面pcd的距離，據(jù)此可求線面角；方法二：利用空間向量求線面角；(3)先判斷出四邊形acde的形狀，并求出其面積，再根據(jù)pa平面abcde，得四棱錐pacde的高即為pa，從而可求體積.【規(guī)范解答】（1）因為abc=45，ab=2，bc=4，所以在中，由余弦定理得：，解得，所以，即，又pa平面abcde，所以pa，又pa，所以，又abcd，所以，又因為，所以平面pcd平面pac，（2）方法一：由（1）知平面pcd平面pac，所以在平面pac內(nèi)，過點a作于h，則，又abcd，ab平面內(nèi)，所以ab平面，所以點a到平面的距離等于點b到平面的距離.因為pab是等腰三角形，所以pa = ab =2 ，因此pb = 4，在rtpac中，pa =2，ac = 2，所以pc = 4，故pc邊上的高，此即為點a到平面pcd的距離，設(shè)直線pb與平面pcd所成角為，則又，所以即直線pb與平面pcd所成角的大小為.方法二：由(1)知ab，ac，ap兩兩相互垂直，分別以ab，ac，ap為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由于pab是等腰三角形，所以pa = ab =2 ，又ac = 2，因此a(0,0，0)，b(2，0,0)，c(0，2，0)，p(0,0，2)，因為，又aced，所以四邊形acde是直角梯形，因為ae = 2，aebc，所以bae = 135，因此cae = 45.故所以d(-，2，0).因此，設(shè)是平面pcd的一個法向量，則向量與平面pcd的法向量所成的角，則，所以因此直線pb與平面pcd所成角的大小為.（3）由（1）知，所以，又aced，所以四邊形acde是直角梯形，因為ae = 2，abc = 45，aebc，所以bae = 135，因此cae = 45.故所以四邊形acde的面積為，又pa平面abcde，得四棱錐p acde的高為pa=，所以四棱錐p acde的體積為=.7.（2010天津高考理科9）如圖，在長方體中，分別是棱,上的點，,.求異面直線與所成角的余弦值.證明：平面.求二面角的正弦值.【命題立意】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查用空間向量解決立體幾何問題的方法，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力.【思路點撥】建立空間直角坐標系或常規(guī)方法處理問題.【規(guī)范解答】方法一：以a為坐標原點，ab所在直線為x軸，ad所在直線為y軸，aa1所在直線為z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），設(shè),依題意得,易得,，于是，所以異面直線與所成角的余弦值為.已知,，于是=0，=0.因此，,又，所以平面.(3)設(shè)平面的法向量，則不妨令x=1,可得由（2）可知，為平面的一個法向量.于是，從而，所以二面角的正弦值為，方法二：（1）設(shè)ab=1，可得ad=2,aa1=4,cf=1.ce=，連接b1c,bc1，設(shè)b1c與bc1交于點m,易知a1db1c，由,可知efbc1.故是異面直線ef與a1d所成的角，易知bm=cm=,所以 ,所以異面直線ef與a1d所成角的余弦值為.（2）連接ac，設(shè)ac與de交點n 因為，所以，從而，又由于,所以，故acde,又因為cc1de且，所以de平面acf，從而afde.連接bf，同理可證b1c平面abf,從而afb1c,所以afa1d，又因為，所以af平面a1ed.(3)連接a1n,fn,由（2）可知de平面acf,又nf平面acf, a1n平面acf，所以denf,dea1n,故為二面角a1-ed-f的平面角,易知，所以，又,所以，8.（2010福建高考理科18）如圖，圓柱oo1內(nèi)有一個三棱柱abc-a1b1c1,三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且ab是圓o的直徑.（i）證明：平面a1acc1平面b1bcc1.（ii）設(shè)abaa1,在圓柱oo1內(nèi)隨機選取一點，記該點取自三棱柱abc-a1b1c1內(nèi)的概率為p.（i）當點c在圓周上運動時，求p的最大值；（ii）記平面a1acc1與平面b1oc所成的角為（）,當p取最大值時，求cos的值.【命題立意】本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，以及幾何體的體積、幾何概型等基礎(chǔ)知識；考查空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力；考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、必然與或然思想.【思路點撥】第一步先由線線垂直得到線面垂直，再由線面垂直得到面面垂直；第二步首先求出長方體的體積，并求解三棱柱的體積的最大值，利用體積比計算出幾何概率.立體幾何中我們可以利用向量處理角度問題，立體幾何中涉及的角有：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角等.關(guān)于角的計算，均可歸結(jié)為兩個向量的夾角.對于空間向量，有，利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中有關(guān)角的問題.【規(guī)范解答】 （i）平面，平面，又是的直徑，c，又，平面，而平面，所以平面平面；（ii）（i）設(shè)圓柱的底面半徑為，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱abc-a1b1c1的體積為，所以，所以當取得最大值時取得最大值.又因為點在圓周上運動，所以當時，的面積最大，進而，三棱柱abc-a1b1c1的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；（ii）由（i）知，取最大值時，于是，以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖，則平面，是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，令z=1,得x=0,y=-2,故，.【方法技巧】立體幾何中我們可以利用空間向量處理常見的問題，本題的（ii）（i）也可以采用向量法進行證明：以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)圓柱的底面半徑為， ，則，故圓柱的體積為，設(shè)三棱柱abc-a1b1c1的體積為，所以，所以當取得最大值時取得最大值.，所以當時的的面積最大，進而，三棱柱abc-a1b1c1的體積最大，且其最大值為，故的最大值為；9.（2010安徽高考文科19）如圖，在多面體abcdef中，四邊形abcd是正方形，ab=2ef=2，efab,effb,bfc=90，bf=fc,h為bc的中點，（1）求證：fh平面edb.（2）求證：ac平面edb. （3）求四面體bdef的體積.【命題立意】本題主要考查了空間幾何體的線面平行、線面垂直的證明、體積的求解等問題，考查了考生的空間想