（光學(xué)專業(yè)論文）周期驅(qū)動對玻色愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響.pdf

濟(jì)南大學(xué)碩士學(xué)位論文 曼曼曼曼 皇曼曼 曼曼曼曼曼曼曼 鼉 曼曼曼曼曼曼 一 i i i i 摘 要 1 9 9 5 年 在愛因斯坦理論預(yù)言7 0 年之后 經(jīng)過幾代物理學(xué)家的不懈努力 首次 在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)了堿金屬原子稀化氣體的玻色一愛因斯坦凝聚 b e c 使原子處于與激 光對等的地位 這種新物態(tài)的獲得允許我們用原子代替光子觀測非線性效應(yīng) 它的多 方面的研究價值得到了諸多的關(guān)注 b e c 的實(shí)現(xiàn)有著十分重要的科學(xué)意義和潛在的應(yīng) 用價值 b e c 對基礎(chǔ)研究有重要意義 它聯(lián)系著物理學(xué)的基本理論 又和先進(jìn)的物理 實(shí)驗(yàn)技術(shù)緊密相關(guān) 同時b e c 在許多領(lǐng)域 如芯片技術(shù) 精密測量和納米技術(shù)等領(lǐng)域 都有著廣闊的應(yīng)用前景 這使得b e c 成為理論和實(shí)驗(yàn)研究的熱門課題 其中 雙勢阱b e c 模型雖然形式上簡單 卻蘊(yùn)藏著豐富的物理內(nèi)涵 被廣泛地用 于研究b e c 的各種動力學(xué)性質(zhì) 并得到了許多非常有意義的現(xiàn)象 如隧穿性質(zhì) 自囚 禁等現(xiàn)象 這一模型所預(yù)言的一些現(xiàn)象已被實(shí)驗(yàn)所證實(shí) 在純量子情況下 這種多體 量子系統(tǒng)呈現(xiàn)出量子糾纏特性 并且量子漲落本身對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)也有影響 在周 期驅(qū)動下 對b e c 雙勢阱模型相平面的研究 發(fā)現(xiàn)了諸如不穩(wěn)定性 混沌 等許多有 意義的現(xiàn)象 而不穩(wěn)定性 混沌 的出現(xiàn)能夠破壞原子間的相干性 導(dǎo)致b e c 的瓦解 因此對不穩(wěn)定性 混沌 的控制及其應(yīng)用的研究 引起了人們的關(guān)注 這些也正是本 文所關(guān)心的問題 本文主要用b e c 雙勢阱模型 研究了在周期驅(qū)動下系統(tǒng)動力學(xué)的相變 特別地研 究了該系統(tǒng)通向混沌的相變過程 及其混沌的量子糾纏熵表示 并進(jìn)一步研究了混沌 對隧穿的影響 主要工作包括 l 在b e c 對稱雙勢阱模型中的粒子間相互作用項(xiàng)上 加上周期驅(qū)動 討論這種 周期外場對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)的影響 特別是系統(tǒng)混沌現(xiàn)象的產(chǎn)生及其量子糾纏熵表 示 研究結(jié)果表明 當(dāng)相互作用較小 相空間為周期軌道 隨著相互作用強(qiáng)度的增加 出現(xiàn)了自囚禁現(xiàn)象 當(dāng)相互作用繼續(xù)增大 當(dāng)外加調(diào)制頻率與系統(tǒng)固有頻率達(dá)到共振 時 相平面會出現(xiàn)不穩(wěn)定性現(xiàn)象 即混沌 在混沌區(qū)域 粒子在各量子態(tài)隨機(jī)分布 平均布居數(shù)差在零附近波動 隨著相互作用強(qiáng)度繼續(xù)增大 系統(tǒng)又會出現(xiàn)自囚禁現(xiàn)象 特別地 我們的研究表明 混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)可以用量子糾纏熵來表征 當(dāng)混沌現(xiàn)象出 現(xiàn)時 兩種平均糾纏熵都趨于它們的最大值 這兩種平均熵都能很好地反映出系統(tǒng)相 變的各個過程 2 我們進(jìn)而討論了混沌現(xiàn)象的出現(xiàn)對系統(tǒng)隧穿性質(zhì)的影響 研究了在b e c 雙勢 阱模型中的兩勢阱能量差項(xiàng)上 加上周期驅(qū)動引起的系統(tǒng)相變過程 特別是混沌相變 過程 我們引入h u s i m i 函數(shù)來描述b e c 的行為 我們利用系統(tǒng)的h u s i m i 函數(shù)隨時間 l 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 的演化 研究了相應(yīng)的量子情況下 混沌現(xiàn)象對系統(tǒng)隧穿性質(zhì)的影響 以及隧穿隨相 互作用強(qiáng)度增強(qiáng)的變化情況 我們發(fā)現(xiàn) 當(dāng)混沌現(xiàn)象出現(xiàn)時 隨著體系中粒子間相互 作用的不同 混沌區(qū)域的不同 表現(xiàn)出的混沌輔助隧穿的程度也不同 關(guān)鍵詞 玻色一愛因斯坦凝聚 雙勢阱 混沌 糾纏熵 隧穿 i i 濟(jì)南大學(xué)碩士學(xué)位論義 a b s t r a c t i n19 9 5 s e v e n t yy e a r sa f t e re i n s t e i nt h e o r y b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e b e c o fa l k a l i m e t a l s a t o m sw a sm a d ei ne x p e r i m e n tf o rt h ef i r s tt i m ei nt h ew o r l dw i t hp h y s i c i s t s e f f o r t w h i c hm a d ea t o m se q u a lt ol a s e ri ns o m ee x t e n t b e c a u s eo ft h i sn e wk i n do fm a t t e rw e c a l lu s ea t o m st oo b s e r v et h en o n l i n e a re f f e c t si n s t e a do fu s i n gp h o t o n s a n dm u c ha t t e n t i o n w a sd r a w nt oi t t h e r ei ss c i e n c em e a n i n ga n da p p l i c a t i o nv a l u eo ft h er e a l i z a t i o no fb e c b e cc o n n e c t s 誠t l lb a s i ct h e o r yo fp h y s i c s a n da l s oc o n n e c t sw i t hp h y s i c a lt e c h n i q u e b e cn o to n l yh a ss o m e t h i n gi m p o r t a n tw i t hb a s i cr e s e a r c h a n da l s oh a sw i d e l ya p p l i c a t i o n o u t l o o ki nc h i pt e c h n i q u e a c c u r a t em e a s u r e m e n t a n dn a n o t e c h n o l o g y s ob e cb e c o m et h e h o t s p o to ft h e o r ya n de x p e r i m e n tr e s e a r c h i nt h i sa r t i c l e w ee x p l o i tt w o m o d em o d e lt oi n v e s t i g a t ed y n a m i c a lp h a s et r a n s i t i o n o fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e s i t l le x t e r n a lp e r i o d i cm o d u l a t i o n p a r t i c u l a r l y p h a s e t r a n s i t i o nt oc h a o si ss t u d i e d a n de n t a n g l e m e n te n t r o p yd e n o t a t i o no fc h a o s a n dt h e n c h a o st u n n e l i n gi ss t u d i e d o u rm a i nw o r ki s 1 d y n a m i c a lp h a s et r a n s i t i o no fb o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e si nd o u b l e w e l lt r a pw i t h e x t e r n a lp e r i o d i cm o d u l a t i o no ni n t e r a c t i o ni si n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r p a r t i c u l a r l y p h a s e t r a n s i t i o nt oc h a o sa n de n t a n g l e m e n te n t r o p yi ss t u d i e d i ti sf o u n dt h a t w h e ni n t e r a c t i o ni s m i n o r i ti sp e r i o d i co r b i t si np h a s es p a c e s e l f t r a p p i n gi sm e r g e d 析t hi n c r e a s eo f i n t e r a c t i o n w h e nr e s o n a n c eb e t w e e ne x t e r n a lp e r i o d i cf r e q u e n c ya n dn a t u r a lf r e q u e n c y h a p p e n s t h i ss y s t e mc a nt u r nt oi n s t a b i l i t y c h a o s i nc h a o t i cr e g i o n d i s t r i b u t i o no f p a r t i c l e s i sr a n d o m a n da v e r a g eo fp o p u l a t i o nd i f f e r e n c ef l u c t u a t e sa r o u n dz e r o s e l f t r a p p i n gi sr e c u rw i t hi n c r e a s eo fi n t e r a c t i o n e s p e c i a l l y c h a o sc a nb ed e n o t e db y e n t a n g l e m e n te n t r o p y i nt h ec h a o t i cz o n e b o t ho ft w oa v e r a g ee n t a n g l e m e n te n t r o p i e s a p p r o a c ht ot h e i rm a x i m a p h a s et r a n s i t i o n c o u r s ec a nb ew e l ld e n o t e db yt h i st w o e n t a n g l e m e n te n t r o p i e s 2 f u r t h e rm o r e c h a o st u n n e l i n gi ss t u d i e d p h a s et r a n s i t i o nt oc h a o so fb o s e e i n s t e i n c o n d e n s a t e si nd o u b l e w e l lt r a pw i t he x t e m a lp e r i o d i cm o d u l a t i o ni s i n v e s t i g a t e d i i i 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 p a r t i c u l a r l y c h a o st u n n e l i n gi ss t u d i e d u s i n gt h ee v o l u t i o no fh u s i m if u n c t i o n r i mt i m e i nt h ec o r r e s p o n d i n gq u a n t u mc o n d i t i o n w ei d e n t i f yt h ee f f e c to f t u n n e l i n gb yc h a o s a n d v a r i a t i o no ft u n n e l i n g 晰t l li n t e r a c t i o n i ti sf o u n dt h a t w h e nc h a o se m e r g e s c h a o sr e g i o n a n dc h a o s t u n n e l i n g i sv a r i o u s 舫也i n t e r a c t i o n k e y w o r d s b o s e e i n s t e i nc o n d e n s a t e d o u b l ew e l l c h a o s e n t a n g l e m e n te n t r o p y t u n n e l i n g i v 原創(chuàng) l 生聲明 本人鄭重聲明 所呈交的學(xué)位論文 是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下 獨(dú)立進(jìn)行研究所取 得的成果 除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外 本論文不包含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā) 表或撰寫過的科研成果 對本文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個人和集體 均已在文中以明 確方式標(biāo)明 本人完全意識到本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān) 論文作者簽名 屆丞霎 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明 本人完全了解濟(jì)南大學(xué)有關(guān)保留 使用學(xué)位論文的規(guī)定 同意學(xué)校保留或向國家 有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版 允許論文被查閱和借鑒 本人授權(quán)濟(jì)南 大學(xué)可以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索 可以采用影印 縮 印或其他復(fù)制手段保存論文和匯編本學(xué)位論文 論文作者簽名 唐蓽羿導(dǎo)師簽名 世日期 物則 9 曰 濟(jì)南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章緒論 玻色 愛因斯坦凝聚 b e c 是一個非常奇異的量子現(xiàn)象 1 9 9 5 年 這個現(xiàn)象 在稀薄原子氣體中第一次被觀察到 l 2 3 1 玻色 愛因斯坦凝聚體系這種奇特物態(tài)的獲 得使得原子處于與激光對等的地位 4 1 這種新物態(tài)的獲得允許我們用原子代替光子 觀測非線性效應(yīng) 它的多方面的研究價值得到了諸多的關(guān)注 掀起了理論和實(shí)驗(yàn)的 各種研究熱潮 開展了許多有意義的研究p 堪j 從實(shí)驗(yàn)物理學(xué)角度 利用日益精密的激光技術(shù)等實(shí)驗(yàn)手段人們可以精確控制凝 聚體 利用f e s h b a c h 共振技術(shù)可以調(diào)節(jié)原子間的相互作用 從而可以通過給系統(tǒng)加 上一個周期調(diào)制的外場 來研究系統(tǒng)在周期驅(qū)動下的動力學(xué)行為 f e s h b a c h 共振最 早是物理學(xué)家f e s h b a c hh 在原子核物理中發(fā)現(xiàn)的 9 j 在2 0 世紀(jì)9 0 年代初 t i e s i n g a 等預(yù)言了在堿金屬原子氣體系統(tǒng)中存在有f e s h b a c h 共振f l 明 他們提出在這些系統(tǒng) 里 原子碰撞的散射長度可以通過改變磁場來調(diào)節(jié) 在1 9 9 9 年 m i t 的k e t t e r l e 實(shí)驗(yàn)組首先在鈉系統(tǒng)中觀測到了f e s h b a e h 共振 l 利用f e s h b a c h 共振 可以使散 射長度達(dá)到任何一個值 從而可以任意地改變原子間的相互作用 所以f e s h b a c h 共振在b e c 領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛 在理論研究方面 平均場近似下的g r o s s p i t a e v s k i i 方程 g p e l2 j 被成功地應(yīng) 用于研究b e c 的動力學(xué)性質(zhì) 如整體頻率 1 3 1 4 等 并在一定條件下可以把g p e 簡 化成兩模薛定諤方程1 1 5 1 7 l 從而可以用雙勢阱模型來描述b e c 系統(tǒng) 雙勢阱模型 雖然形式上簡單 卻蘊(yùn)藏著豐富的物理內(nèi)涵 被廣泛地用于研究b e c 的各種動力 學(xué)性質(zhì) 并得到了許多非常有意義的現(xiàn)象 如隧穿性質(zhì)陋1 7 1 自囚禁j 1 8 2 9 等現(xiàn)象 這一模型所預(yù)言的一些現(xiàn)象已被實(shí)驗(yàn)所證實(shí) 3 0 1 在純量子情況下 這種多體量子系 統(tǒng)呈現(xiàn)出量子糾纏特性 2 8 1 并且量子漲落本身對系統(tǒng)動力學(xué)性質(zhì)也有影響1 2 5 翊 在 周期驅(qū)動下 對b e c 雙勢阱模型相平面的研究 發(fā)現(xiàn)了諸如不穩(wěn)定性 混沌 等 許多有意義的現(xiàn)象 1 8 1 9 2 5 3 1 1 而不穩(wěn)定性 混沌 的出現(xiàn)能夠破壞原子間的相干性 導(dǎo)致b e c 的瓦解 因此對不穩(wěn)定性 混沌 的控制及其應(yīng)用的研究 引起了人們 的關(guān)注 這些也正是本文所關(guān)心的問題 本文主要利用b e c 雙勢阱模型 研究了在周期驅(qū)動下系統(tǒng)動力學(xué)的檑變 特 別地研究了該系統(tǒng)通向混沌的相變過程 及其混沌的量子糾纏熵表示 并進(jìn) 步研 究了混沌對隧穿的影響 本文的內(nèi)容安排為 第二章介紹了玻色 愛因斯坦凝聚體系的基本理論 包括凝 聚體產(chǎn)生的條件和相關(guān)理論 實(shí)現(xiàn)b e c 的實(shí)驗(yàn)技術(shù) b e c 的性質(zhì) 以及b e c 的自 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 囚禁和遂穿問題 第三章系統(tǒng)地介紹了f e s h b a e h 共振的基本理論 包括f e s h b a c h 共振的發(fā)展過程 f e s h b a c h 共振的本質(zhì) 以及f e s h b a e h 共振改變原子間相互作用的 具體理論知識 第四章詳細(xì)地討論了對稱雙勢阱中玻色 愛因斯坦凝聚在周期驅(qū)動下 的動力學(xué)相交 特別是混沌相變過程 并討論了動力學(xué)相變的量子糾纏熵表示 在 第五章中 我們引入了h u s i m i 函數(shù) 研究了混沌行為對系統(tǒng)隧穿性質(zhì)的影響 以 及隧穿隨相互作用強(qiáng)度增強(qiáng)的變化情況 第六章對本論文做了總結(jié) 2 濟(jì)南大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章玻色一愛因斯坦凝聚的理論與實(shí)驗(yàn)概況 2 1 玻色一愛因斯坦凝聚簡介 1 9 2 4 年 印度物理學(xué)家s t a y e n d r a n a t hb o s e 給著名的物理學(xué)家e i n s t e i n 寄了一 篇論文 3 2 1 在這篇論文中 通過把光子看成是全同粒子氣體 玻色推導(dǎo)出了黑體輻射 的普朗克規(guī)律 e i n s t e i n 很快把b o s e 的理論推廣到粒子數(shù)守恒的全同原子或分子組 成的理想氣體 并在同一年預(yù)見了在足夠低的溫度下這樣的粒子將被集體束縛在體系 的最低量子態(tài)上 3 3 這就是我們現(xiàn)在知道的玻色 愛因斯坦凝聚 b e c 現(xiàn)象 只有 總自旋為普朗克常量整數(shù)倍的玻色子才會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象 玻色子凝聚體和形成它的凝聚過程被預(yù)見將有許多不尋常的性質(zhì) 因此實(shí)驗(yàn)者們 一直努力想盡各種辦法試圖在實(shí)驗(yàn)室觀察到b e c 直到7 0 多年后的1 9 9 5 年 美國 國家標(biāo)準(zhǔn)局和科羅拉多大學(xué)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室 j i l a 萊斯大學(xué) r i c e 和麻省理工學(xué)院 m i t 用激光冷卻 磁勢阱束縛和蒸發(fā)冷卻技術(shù)將堿金屬原子氣體的溫度降到肚的 量級 并用吸收譜的方法終于在實(shí)驗(yàn)上分別觀察到了能夠存活幾個飛秒的8 7 r b 7l i 和z r n a 原子的b e c t l 3 1 圖2 1 展示了8 7 r b 原子凝聚體的圖像 j i l a 的c o m e l l w i e m a n 和m 1 t 的k e t t e r l e 因此獲得了2 0 0 1 年的諾貝爾物理學(xué)獎 左邊的圖片對 應(yīng)溫度剛好高于凝聚體的氣體 中間的圖片對應(yīng)凝聚體剛剛出現(xiàn) 右邊的圖片對應(yīng)進(jìn) 一步蒸發(fā)冷卻后剩下的非常純的凝聚體原子 圖2 1 在a n d e r s o n 等人1 9 9 5 年的試驗(yàn)中觀察到的銣原子凝聚體的速度分布圖 2 2 理想均勻玻色氣體的玻色一愛因斯坦凝聚 設(shè)在體積為y 的容器中存在有 個全同近獨(dú)立的玻色子組成的氣體 討論b e c 就是分析在不同溫度下玻色子在不同能態(tài)的分布 3 4 3 5 在己知的溫度丁時 處于能級 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 為 的粒子數(shù)啊遵守玻色一愛因斯坦統(tǒng)計(jì)分布 即 嘉 麗 f 0 1 2 j 3 2 1 2 商2 萬硝 盧 乙1 其中 為粒子的化學(xué)勢 七為玻耳茲曼常數(shù) q 為粒子分布的簡并度 則系統(tǒng)的 總粒子數(shù)為 佛 南 2 2 分布函數(shù)表明 在外參量固定時 島 哆不隨溫度r 變化 為找出 隨丁 的變化 規(guī)律 需要知道 隨歹如何變化 因?yàn)榉植嫉牧Ｗ訑?shù) 0 哆又不可能為負(fù) 所以 必然有 p 蜀一 7 燈 1 i 0 1 2 3 2 3 因此有 t 這罩的i 可以取任意整數(shù) 玻色氣體的化學(xué)勢必然低于任何能級的 能量 當(dāng)取氏為能量的零點(diǎn)時 就有 0 即玻色氣體的化學(xué)勢必定為負(fù) 在給定粒子數(shù)門 n i v 的情況下 依據(jù)粒子數(shù)恒定的條件 有 三y 氣 一 一n 刀 2 4 v 厶g 島叫 憎一lv 一一7 從上式可討論 隨丁的變化 從式中可看出 是丁及粒子數(shù)密度刀的函數(shù) 其中 的q 和q 都與溫度丁無關(guān) 那么在粒子數(shù)密度 z 給定的情況下 溫度愈低 上式確定 的 必然升高 就是 的絕對值減小 玻色氣體的化學(xué)勢隨溫度的減小而增加 l o t o 那么當(dāng)溫度降到某一個確定值瓦時 化學(xué)勢 將趨近于零 對于宏觀的玻色氣體 其能級可近似認(rèn)為是連續(xù)變化的 當(dāng) o 時 p 哪r 專1 則在計(jì)算粒子數(shù)密度刀的求和中可用積分代替 我們知道在占專s 如變化范圍內(nèi) 自由玻色子的可能狀態(tài)數(shù)c o s d e 為 吣 如 等 2 所 g 如 2 5 4 粒子數(shù)密度的積分表達(dá)式為 玎 等寺 2 m j c o 麓 2 6 肛礦2 可 2 土兩 乙b 積分式中的瓦表示化學(xué)勢開始變?yōu)榱銜r的溫度 也就是臨界溫度 對積分作變量 代換 令x k t 則積分可化為 三 擰 坐 等俐2 m g l vh疋燈籌1 2 7 擰 一 了l j l 一 lz 3 b p 一 由積分公式 1 一 f 萬x t d e 誓 2 6 1 2 2 8 可得對給定的粒子數(shù)密度甩 臨界溫度z 為 互 篆 盎 2 9 如果進(jìn)一步降低溫度 使r 瓦 因 o 而且有o a a t 0 各能級粒子數(shù)的和 因此 在7 0 的粒 子數(shù)密度 o 式中 己經(jīng)取o 計(jì)算以 蚰 作代換x s 燈 則 5 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 曼曼曼皇曼量曼曼 曼 皇 曼曼舅舅曼舅曼曼曼皇曼曼曼 曼曼曼曼舅曼鼉曼曼皇曼曼皇皇i 曼舅曼曼皇鼉皇葛曼曼皇曼曼曼曼曼舅曼曼曼曼皇曼量曼皇曼舅舅舅 2 銣皙斃 億 等 2 歷 3 圳3 z 上萬x i d e 將 2 11 式與 2 7 進(jìn)行比較可得出 墜 妻 j 2 1 2 a l 1 丁三 n o t n 1 一 2 2 1 2 b f c 當(dāng)t z 理想量子氣體退化為經(jīng)典理想氣體 氣體粒子遵守經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)規(guī)律 粒子間作彈性碰撞 當(dāng)溫度降低后 但還未達(dá)到臨界溫度 這時占據(jù)最低能級的粒子 數(shù)可忽略 此時與粒子相聯(lián)系的德布羅意波長如 廳2 2 n m k t v 2 小于粒子間的平均 距離 理想玻色氣體的性質(zhì)將偏離理想經(jīng)典氣體 當(dāng)t 瓦時 粒子的德布羅意波長 厶與粒子間的平均距離可以比擬 粒子的德布羅意波彼此重疊 粒子向最低能級迅 速聚集 玻色一愛因斯坦凝聚開始 當(dāng)t o k 時 就會形成比較純的玻色一愛因斯坦 凝聚體 所有粒子處在同一量子態(tài) 具有相同的相位 體系可用一個宏觀的波函數(shù)描 述 b e c 是在t r 時 大量粒子凝聚在動量 能量為零的基態(tài) 即b e c 是在動量空 間的 凝結(jié) 它和水蒸氣的凝結(jié)為液滴不同 水蒸氣的凝結(jié)是在坐標(biāo)空間的凝結(jié) b e c 只在玻色體系才能發(fā)生 對于費(fèi)米體系 不會發(fā)生所有粒子全部占據(jù)基態(tài)的現(xiàn)象 它違背泡利不相容原理 如果費(fèi)米子形成分子或結(jié)成費(fèi)米原子對 體系變成玻色體系 就可以形成b e c b e c 是一種相變 是轉(zhuǎn)變溫度 在t t 時 系統(tǒng)可以看成是兩 相混合物 一個是氣相 由分布在激發(fā)態(tài) 占 0 的 吖瓦 3 2 個粒子組成 另一相 是凝聚相 由集聚在基態(tài)的 一 叫瓦 3 2 個粒子組成 b e c 是一種宏觀量子現(xiàn)象 其 凝聚的體系可以是氣體 液體 固體 也可以是原子核和基本粒子 甚至還可以是中 子星或超新星中的物質(zhì) 我們將 2 9 式的臨界溫度表達(dá)式進(jìn)行一下變形得 疋 嗇 盎 鋪 鈔 2 1 3 6 濟(jì)南大學(xué)碩 f 學(xué)位論義 其中層 贏h 2 乏箍 j 2 對于同樣的溫度丁 我們定義一個臨界密度 釷觀6 2 洋 3 2 鑼 億 由此可得形成b e c 的條件為 r n c 糾2 2 1 6 鰳 即可以從兩個途徑實(shí)現(xiàn)b e c 一是降低系統(tǒng)的溫度 使其低于給定密度下的臨界 溫度 二是提高系統(tǒng)的粒子數(shù)密度 使其超過給定溫度下的臨界密度 我們也可以將 2 9 式改寫為用德布羅意波長和粒子數(shù)密度的關(guān)系 如 帕 2 6 1 2 奶 如 刀一蜘 2 6 1 2 秘 2 1 7 2 1 7 式說明 當(dāng)粒子的德布羅意波長缸與粒子間的平均距離相近時 粒子的 波包彼此重疊 體系表現(xiàn)為不可分辨的玻色氣體 玻色子發(fā)生量子力學(xué)相變 在z 時 體系出現(xiàn)宏觀粒子占據(jù)同一基態(tài)的狀態(tài) 即發(fā)生玻色一愛因斯坦凝聚 需要說明的是 玻色一愛因斯坦凝聚體的產(chǎn)生并不是靠粒子之間的某種相互吸引 作用力而聚到一起的 而是一種統(tǒng)計(jì)結(jié)果 玻色一愛因斯坦凝聚是一個熱力學(xué)的動態(tài) 平衡過程 凝聚體和非凝聚體之間通過不斷進(jìn)行能量交換 凝聚的原子會成為非凝 聚粒子 非凝聚原子也會變?yōu)槟哿Ｗ?2 38 e c 的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn) 2 3 1b e o 在實(shí)驗(yàn)上的實(shí)現(xiàn) 前一節(jié)從理論上得到了實(shí)現(xiàn)b e c 的條件 研究表明 在實(shí)際中由于粒子間的相 互作用 能否形成玻色 愛因斯坦凝聚 還與粒子的s 波散射長度有關(guān) 科學(xué)家們經(jīng) 過多年的探索 終于在堿金屬原子中實(shí)現(xiàn)了b e c 這是因?yàn)閴A金屬原子有三個吸引 入的特性 l 第一 通過激發(fā)容易得到共振線 可以利用光散射使得原子氣云的能量 和密度更加明顯 原子氣云是位置和時間的函數(shù) 這樣一來就可以容易地獲取樣品的 有關(guān)信息 第二 堿金屬原子之間的相互作用相對于其他原子來說比較弱 s 波散射 長度a 大約為l o s e m 而在要求的密度下 粒子間的空問距離大約為1 0 一c m 第三 堿金屬原子之間的相互作用可以通過對自旋態(tài)的選擇 態(tài)密度以及外勢場的應(yīng)用加以 7 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 改變 1 9 9 5 年7 月 原子氣體的b e c 首次在磁光阱中實(shí)現(xiàn) 在低到1 7 0 n k 的溫度以下 時觀察到b e c 繼續(xù)冷卻得到了很純的b e c 美國科羅拉多州國家標(biāo)準(zhǔn)和工業(yè)技術(shù) 研究所的c o m e l l 和他的同事cw i e m a n 帶領(lǐng)一批學(xué)生和博士后從事玻色 愛因斯坦凝 聚的研究達(dá)六年之久才實(shí)現(xiàn)了這種凝聚 l 他們的工作小組簡稱為j i l a j o i n ti n s t i t u t e f o rl a b o r a t o r ya s t r o p h y s i e s j i l a 的科學(xué)家們首次制取的玻色 愛因斯坦凝聚是一個 非常小的銣原子球 直徑約為2 0 岬 它被正常的銣原子所環(huán)繞 它有三個非常顯著 的特征 第一 在一個很寬的熱速度分布上出現(xiàn)了一個峰 它的位置在零速度處 第 二 處在低速峰上的粒子在溫度下降到一定程度時發(fā)生急劇增加的現(xiàn)象 第三 這個 峰表現(xiàn)出非熱的 各向異性的速度分布 他們實(shí)驗(yàn)工作的過程是這樣的 首先將9 7 r b 蒸氣通過激光冷卻 然后將其束縛 在磁陷阱中 通過蒸發(fā)冷卻技術(shù)進(jìn)一步冷卻 蒸發(fā)冷卻的主要作用是將那些能量超過 平均值的原子 逐出 磁陷阱 留下來的原子就達(dá)到更低的溫度 這種方法是以犧牲 磁光阱中的原子數(shù)來達(dá)到n k 級的低溫 當(dāng)溫度降到1 7 0 n k 粒子數(shù)的密度達(dá)到 2 5 1 0 1 2 c m 3 時 凝聚開始發(fā)生 約2 0 0 0 個原子被擠壓在一個很小的空間里成為一 個 超原子 并維持了1 5 秒以上 這個凝聚體的行為表現(xiàn)象單個實(shí)體 j i l a 小組 實(shí)驗(yàn)上的成功取決于其中的一個關(guān)鍵結(jié)構(gòu) 他們采用了一種新構(gòu)型的磁陷阱 這是一 個大的球四極矩場和一個小的以7 5 k h z 旋轉(zhuǎn)的均勻橫向場的疊加 這樣一來就可以 起到抵消樣品中粒子數(shù)損失的作用 從而提供緊的穩(wěn)定的約束 1 9 9 5 年1 0 月 麻省理工學(xué)院 m i t 的凱特勒 k e r e d e 等人用堿金屬鈉 n a 在實(shí)驗(yàn) 上也實(shí)現(xiàn)了b e c 3 1 他們認(rèn)為 實(shí)現(xiàn)b e c 的困難之一就是造成原子損失的熱振蕩 v i b r a t i o n 為了減小這種效應(yīng) 他們?nèi)∠嗽斐烧袷幍恼婵毡?并采取措施以防止 空氣擾動而產(chǎn)生對激光束的影響 他們采用了使原子盡可能快的冷卻方法來減少這種 效應(yīng) 這種快速冷卻的方法是凱特勒研究小組的一個很明顯的特色 他們能在7 秒內(nèi) 使相空間的密度增大六個數(shù)量級 這種快速凝聚的速度要比j i l a 研究小組高出3 0 多倍 這種快速凝聚的速度對后來研究凝聚有十分重要的意義 m i t 研究小組的另一 個獨(dú)特點(diǎn)是他們采用了一種形狀類似于苜蓿葉的線圈 這種線圈所產(chǎn)生的勢阱使之限 制原子的能力更強(qiáng) 在凝聚態(tài)中包含有更多的原子 從而粒子的數(shù)密度超過1 0 1 4 c m 3 如此高密度的樣品為研究超冷稠密物質(zhì)中的輸運(yùn)過程性質(zhì)提供了可能 3 6 1 就在同一年 r i c e 大學(xué)的h u l e t 等人在具有負(fù)散射長度 口 0 玻色 愛因斯坦凝 聚將是穩(wěn)定的 而當(dāng)a 0 表示相互排斥 作用 口 0 隨著阱深增大 吸引成分 增加 a 隨之減小 當(dāng)v 圪時排斥與吸引效果相當(dāng) 這是口 0 阱深再增加 吸引 成分占上風(fēng) a 變?yōu)樨?fù)值 以后a 的絕對值增加直到a 寸一 這時阱中將出現(xiàn)束縛 態(tài) 根據(jù) 3 2 式 相應(yīng)的相移為萬專萬 2 阱深再增加 a 的值跳變到 o 然后繼 續(xù)減小 相應(yīng)的束縛態(tài)結(jié)合能增加 雖然此時a 0 卻對應(yīng)更強(qiáng)的吸引 原子間的相 互作用力與價電子的自旋取向有關(guān) 在堿金屬里 最外層電子只有一個 兩個堿金屬 原子的相互作用勢在價電子自旋平行時比自旋反平行時的阱要低一些 圖3 2 a 排斥方勢阱 b 散射長度隨勢阱深度的變化 4 0 一 了 圖3 3 在f e s h b a c h 共振附近散射長度隨磁場的變化關(guān)系 由原子核自旋與價電子自旋合成的超精細(xì)自旋作用 使得原子在散射過程中自旋 狀態(tài)可以發(fā)生變化 設(shè)價電子自旋平行的原子低能入射時 在進(jìn)入勢阱后自旋變?yōu)榉?平行 這時原子看到的是一個更高的勢阱 比動能要高 它們被囚禁了 即變?yōu)槭` 1 8 濟(jì)南大學(xué)碩士學(xué)位論文 量曼曼曼曼i ii i i 曼曼量曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼量曼皇曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼曼 曼曼曼曼曼鼉曼曼曼曼曼舅皇璺曼曼鼉曼曼 態(tài)了 如果在反平行的勢阱中正好有一個束縛態(tài)的能級在附近 原子就暫時就以束縛 態(tài)存在于自旋反平行的勢阱中 對能量很低的一對原子而言自旋平行的道是丌道 自 旋反平行的道是閉道 直到超精細(xì)相互作用使這對原子的自旋變成平行時較低的勢阱 就變得暢通無阻了 它們就分離 完成散射過程 當(dāng)在閉道中 f 好有一個能級和丌道 的散射態(tài)能量相同時 這就被稱為共振 當(dāng)能級差很小時 發(fā)生的散射稱為共振散射 和勢散射不同 原子在勢阱中要度過一段時間 等待自旋再次變更取向 通常共振散 射比勢散射時間要大幾個數(shù)量級 共振散射的散射截面的寬度比勢散射截面曲線的寬 度要小得多 在共振散射為主時 散射長度也隨之發(fā)生變化 口 一去 3 5 式中a 是遠(yuǎn)離共振時的散射長度 r 是共振峰寬度 共振時a 專 重要的是 閉 道的束縛態(tài)位置 即參數(shù)g 可以用磁場來調(diào)節(jié) 令束縛態(tài)的磁距為觴 單個原子的磁 距為 那么散射態(tài)的磁距為2 鸕 磁場中散射態(tài)和束縛態(tài)的能量差為 2 一風(fēng) b 從而得到在f e s h b a c h 共振系統(tǒng)中 散射長度口隨磁場b 的變化關(guān)系 口 嘞一去 a o 一獗石麗f a 0 一矗 6 其中玩是共振發(fā)生的磁場位置 發(fā)散寬度 是一個常數(shù) 當(dāng)遠(yuǎn)離共振時 散射長度趨 于一個恒定值a o 當(dāng)靠近共振時 在鼠兩側(cè) 散射長度分別向正無窮和負(fù)無窮發(fā)散 見圖3 3 利用f e s h b a c h 共振可以使散射長度達(dá)到任何一個值 從而可以任意地改 變原子間的相互作用 所以目前f e s h b a e h 共振在玻色 愛因斯坦凝聚領(lǐng)域應(yīng)用得非常 廣泛 3 2 有f e s h b a c h 共振的玻色氣體 玻色氣體的多體理論是在2 0 世紀(jì)5 0 年代發(fā)展起來的哺別 它解決的第一個難題 是如何處理原子間的硬核勢 兩個原子之間存在有范德瓦耳斯力 當(dāng)它們之間的距離 比較近時 它們的相互作用趨于無窮大 被稱作硬核勢 由于有發(fā)散性 硬核勢很難被 直接用于微擾計(jì)算 李政道和楊振寧等首先解決了這個難題 他們發(fā)現(xiàn)可以用一個簡 單的接觸勢代替硬核勢來進(jìn)行理論計(jì)算 這個接觸勢的大小和原子的散射長度成正 比 這種用有效的相互作用勢代替微觀勢的方法正是現(xiàn)代理論物理中廣泛采用的建立 有效場理論方法的一個雛形 1 9 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 對于三維有排斥作用的玻色氣體 傳統(tǒng)理論有以下幾個主要結(jié)果 1 在轉(zhuǎn)變溫 度下 系統(tǒng)中存在有玻色一愛因斯坦凝聚 2 系統(tǒng)的基態(tài)除了凝聚部分外還包括和 b c s 波函數(shù)相似的量子虧缺 3 系統(tǒng)的低能元激發(fā)是聲波 聲頻和波矢的大小成正 比 4 所有的物理量都可以通過微擾論進(jìn)行精確計(jì)算 微擾參數(shù)是氣體參數(shù)1 8 n n a 3 其中刀是原子密度 a 是散射長度 雖然傳統(tǒng)的玻色氣體理論發(fā)展得很完善 但是它也 有美中不足的地方 傳統(tǒng)的玻色氣體理論只適用于稀薄的氣體 即氣體參數(shù)小于1 的 情況 4 8 n n a 3 1 的玻色氣體 傳統(tǒng)理論無法處 理 在目前實(shí)驗(yàn)里研究的堿金屬原子氣體都是稀薄的氣體 當(dāng)前的一個研究方向是利 用f e s h b a c h 共振增大散射長度 以達(dá)到強(qiáng)相互作用區(qū)域來進(jìn)行研究 雖然實(shí)驗(yàn)里在 強(qiáng)相互作用區(qū)域還不能使系統(tǒng)足夠穩(wěn)定進(jìn)行研究 但是在稀薄的情況已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了和傳 統(tǒng)理論存在差異的新穎現(xiàn)象 由于1 9 9 8 年 k e t t e r l e 實(shí)驗(yàn)組首先在鈉系統(tǒng)中通過測 量原子非彈性散射速率發(fā)現(xiàn)了f e s h b a c h 共振 實(shí)驗(yàn)中的原子氣體都是被勢阱束縛 的亞穩(wěn)系統(tǒng) 非彈性散射導(dǎo)致原子從系統(tǒng)中丟失 而丟失速率隨散射長度的增加而增 加 所以非彈性散射速率的峰標(biāo)志著f e s h b a c h 共振的位置 k e t t e r l e 等在實(shí)驗(yàn)中發(fā) 現(xiàn)原子丟失速率比理論估算要大許多 這也對實(shí)驗(yàn)上研究強(qiáng)相互作用區(qū)域造成了很大 困難 因?yàn)樵趶?qiáng)相互作用區(qū)域很難有足夠的時間來進(jìn)行觀測 2 0 0 2 年 w i e m a n 實(shí)驗(yàn)組 利用f e s h b a c h 共振使8 5 r b 原子氣體中的散射長度有一個方波似地變化 當(dāng)散射長度穩(wěn) 定后他們發(fā)現(xiàn)原子數(shù)目在周期性的振蕩 而振蕩頻率正是雙原子分子的能量嘞1 由于 粒子不能無中生有 惟一合理的解釋是系統(tǒng)中粒子除了處在原子態(tài)外還可以處在雙原 子分子態(tài) 所以如果忽略粒子的丟失 總的粒子數(shù)是守恒的 當(dāng)時還沒有直接觀測雙原 子分子的實(shí)驗(yàn)手段 這個實(shí)驗(yàn)成為證明系統(tǒng)中存在分子態(tài)的間接證據(jù) 2 0 0 3 年 北京 大學(xué)的尹瀾等用多體理論成功地解釋了這兩個實(shí)驗(yàn)的結(jié)果嘲1 他們發(fā)現(xiàn)在f e s h b a c h 共振附近 有弱相互作用的玻色氣體和通常理想的稀薄氣體有很多相同之處 但也有 不同的地方 最主要的不同點(diǎn)是在f e s h b a c h 共振附近的玻色氣體有一個分子類型的 元激發(fā) 這正是w i e m a n 實(shí)驗(yàn)組觀測到的原子數(shù)目振蕩對應(yīng)的激發(fā)模式 此外 由于分 子能量比原子能量低 系統(tǒng)中任三個原子會經(jīng)過互相碰撞最后形成一個雙原子分子和 一個原子 并保持能量和動量守恒 這個過程被稱作三體重組過程 三體重組過程是造 成此系統(tǒng)中粒子丟失的主要原因 尹瀾等計(jì)算的三體重組速率和k e t t e r l e 實(shí)驗(yàn)組測 量的粒子丟失速率相吻合 近年對有f e s h b a c h 共振的玻色氣體又有了新的實(shí)驗(yàn)進(jìn)展 在跖r b 系統(tǒng)中 w i e m a n 實(shí)驗(yàn)組發(fā)現(xiàn) 當(dāng)接近強(qiáng)相互作用區(qū)域時原子數(shù)目的振蕩頻率和雙原子分子能量出現(xiàn)差 2 0 濟(jì)南大學(xué)碩士學(xué)位論文 量曼 曼曼曼舅曼曼皇曼 曼曼曼曼曼i i 一 一i i i i 一 i il a 鼉曼曼曼曼曼苧曼曼曼 異嘧1 他們認(rèn)為這是由于相互作用增強(qiáng)所導(dǎo)致的 目前尚沒有令人滿意的解釋 在鈉系 統(tǒng)中 k e t t e r l e 實(shí)驗(yàn)組成功地將原子從系統(tǒng)中剔除 從而得到了純分子系統(tǒng)嘲 觀測 到了分子的玻色一愛因斯坦凝聚 而理論上對有強(qiáng)相互作用的玻色氣體的研究還處在 探索階段 因?yàn)閺?qiáng)相互作用歷來是理論物理中的難題之一 目前比較流行的觀點(diǎn)是當(dāng) 散射長度趨于正無窮時玻色氣體會費(fèi)米化 指的是玻色一愛因斯坦凝聚會消失 而且系 統(tǒng)的能量密度會和粒子密度的5 3 次方成正比 與理想費(fèi)米氣體的能量密度關(guān)系相似 h e i s e l b e r g 等用試探性波函數(shù)法得到了這一關(guān)系 然而至今仍無一個嚴(yán)格的理論 來證明費(fèi)米化的觀點(diǎn) 有強(qiáng)相互作用的玻色氣體性質(zhì)仍然是一個謎 2 1 刷期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 第四章對稱雙勢阱玻色一愛因斯坦凝聚系統(tǒng)在周期驅(qū)動下的動 力學(xué)相變及其量子糾纏熵表示 4 1 雙勢阱b e c 體系的動力學(xué)方程和經(jīng)典形式哈密頓 對雙勢阱b e c 體系 其兩模近似薛定諤方程為 1 刀 剝 日 4 1 其中口 b 分別是粒子出現(xiàn)在兩個勢阱中的概率幅 總概率i 口1 2 l b l 2 1 體系的哈密 頓為 h 考一互c i b l 2 j 口 2 1 2 1 2 一乏 2 1 2w 4 2 其中參數(shù)c 表示粒子間的相互作用強(qiáng)度 2 7 5 引 y 是兩勢阱的能量差 1 是兩勢阱的耦 合系數(shù) 本文的討論是基于粒子間的相互作用為排斥作用 c 0 雙勢阱是對稱y 0 的情況 同時 為了方便比較和計(jì)算 取 1 如果粒子數(shù)足夠大 這個系統(tǒng)能夠用平均場近似很好地描述 在平均場近似下 令口 l 口 p b l b l e 并引入布居數(shù)差s 阡 l a l 2 和相對相位9 皖 o o 則 墮d t 6 堡d t 6 絲d t 一 墮d t 口 塑d t 4 3 由薛定諤方程 4 1 有 z 魯 爭 一號6 4 a f 絲d t 一蘭2 口 一蘭2 旦2 s 6 4 4 b 取 4 4 a 和 4 4 b 式的復(fù)共軛 得 一 百d a 考一爭 一 4 5 a 一l 警 一 k 啪 一 一一口十i 一二 十一sj d 出2 22 4 5 b 量曼曼曼曼皇曼曼曼曼1 i 鼉i i 曼皇曼曼曼皇量曼 曼皇曼曼曼 曼曼笪曼曼曼皇曼 曼葛曼皇曼曼曼 h t 算b 4 4 6 一b 4 5 b 一f 4 4 口 a 4 5 口 j 得 坐一 ab a b d 2 刪 f s i n 鄉(xiāng) 4 6 t i i v i l 又j a 4 2 l b l 2 l i b l 2 l a l 2 s 所蝴 厚 6 厚 代入 4 6 得 塵d t v 厲亍s i n 秒 4 7 又考慮到a b 口 b 2 a b e o s o 即 瑚 字 字c o s 口 8 對 8 兩邊對f 求導(dǎo) 再計(jì)算一l ib 4 5 口 口 4 4 6 6 4 4 口 一 口 4 5 6 得 塑一 壽伽0dt 1 2 4 9 一 一岱 蘆 一cs r 49 一c j 矽是一對經(jīng)典形式哈密頓系統(tǒng)的正則變量 滿足塵d t 一囂 警 百o h 因此上 面的薛定諤方程 4 1 變成為經(jīng)典形式的哈密頓體系 何 一曇s 2 1 正了c o s 0 4 1 0 其極值在p 0 刀處 極值點(diǎn)對應(yīng)相平面中的不動點(diǎn) 這些不動點(diǎn)對應(yīng)體系的本征態(tài) 在平均場近似下 在系統(tǒng)的相互作用項(xiàng)上外加形式為c c o 1 s i n c o t 的周期調(diào) 制 則經(jīng)典形式哈密頓 4 1 0 變?yōu)?日 一i 1s 毛o i s i n 耐 1 正了c s 秒 4 1 1 相應(yīng)的s 0 的動力學(xué)方程 4 7 和 4 9 變?yōu)?疊 屆如秒 41 2 a 拈一剛 s 砌 一嗇c 0 陽 4 1 2 b 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 4 2b e c 通向混沌的相變行為 系統(tǒng)相空間哈密頓系統(tǒng)的演化行為由方程 4 1 2 支配 隨著相互作用系數(shù)c 0 的 不同出現(xiàn)不同的變化情況 對于這個系統(tǒng) 我們感興趣的是粒子間相互作用的大小對 系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響 可令周期驅(qū)動頻率國取固定值 本文中取國 1 0 同時 為 了方便與量子情況作比較 在數(shù)值計(jì)算中取初值為s l 口 0 也就是說在初始時 刻 所有的粒子都分布在一個阱中 且兩阱的相對相位為o 步長為h 2 萬 a 1 0 0 0 計(jì)算初始時間為t o 0 結(jié)束時間為t 5 0 0 0 0 在計(jì)算過程中 我們每隔外加周期驅(qū) 動的一個周期2 萬 m 取一個值 來做相空間中的p 6 i n c a r e 截面 圖4 1 繪出了初值為 j l 口 0 的軌道在相互作用參數(shù)c n 取值不同時的相圖 圖4 2 a 示出了布居數(shù) 差對時間的平均值 s 隨 的變化情況 圖4 1 相平面中系統(tǒng)哈密頓的演化 a b c d 分別表示 c o 1 0 3 0 11 0 1 3 o 時勢阱中粒子布居數(shù)差和相對相位的關(guān)系 濟(jì)南大學(xué)碩士學(xué)位論文 圖4 2 a 經(jīng)典情況平均布居數(shù)差的平均值隨靠的變化曲線 b 粒子數(shù)n 5 0 量子情況平均布居數(shù)差隨靠的變化曲線 如圖4 1 a 所示 當(dāng)c 0 比較小 處于0 c o 2 時 布居數(shù)差s 在卜1 1 之間變 化 相對相位0 在 0 2 萬 內(nèi)變化 粒子分布是平衡分布 即約瑟夫森振蕩 對應(yīng)的布 居數(shù)差對時間的平均值婦 0 見圖4 2 a 中0 c o 2 的區(qū)域 隨著c 的增強(qiáng) 當(dāng) 2 c o 反映出粒子在兩個阱中分布的平衡程 度 j 0 表明粒子在兩個阱中分布不平衡 越趨近于l 粒子數(shù)分布越不平衡 表明大多數(shù)粒子集中在一個阱中 也就是說 j 越大 自囚禁現(xiàn)象越明顯 當(dāng)c 0 改變范圍到1 0 7 c 0 1 2 8 時 相空間出現(xiàn)了不穩(wěn)定性 混沌 現(xiàn)象 見圖 4 1 c 粒子在整個相空間的分布是隨機(jī)的 使得布居數(shù)差的平均值發(fā)生突變 并 在零附近波動 見圖4 2 a 中1 0 7 c o 1 2 8 后 相空間混沌現(xiàn)象消失 又出現(xiàn)了自囚禁現(xiàn)象 見圖 4 1 d j 在 0 1 之間變化 口單調(diào)增加 相應(yīng)的 j 0 接近于s 的初值1 見圖 4 2 a 中c o 1 2 8 的區(qū)域 混沌現(xiàn)象的出現(xiàn) 可以由最大李雅普諾夫 l y a p u n o v 指數(shù)五來表征 最大李雅 普諾夫指數(shù)名的計(jì)算公式為 5 9 名 1 上yh l 竺塑二嬰 鬯 i 曇巫 4 一 i m2 tm 智 穗 j 2 2 2 13 800 1 2 5 周期驅(qū)動對玻色一愛因斯坦凝聚性質(zhì)的影響 其中丁為計(jì)算時選取的總的演化時間 m 為數(shù)值計(jì)算的總步數(shù) 在最大李雅普諾夫指數(shù)兄的計(jì)算公式 4 1 3 中 變量 函 8 0 的計(jì)算 由 4 1 2 式的線性化方程 d 6 s 一vi n 0 下墜蠡 s 0 訂了知 4 14sin c o a 一v 產(chǎn) 留 s l j d k 4 a m 一s 2 警叫h t n a t 籌肌群陽 4 1 4 b 確定 4 1 4 式描述了由 4 1 2 式確定的系統(tǒng)狀態(tài) s 0 的變化率 西 8 0 最大李 雅普諾夫指數(shù)旯表征的是這種變化率以指數(shù)行為演化的長期平均效果 當(dāng)最大李雅普 諾夫指數(shù)兄 0 時 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài) 且正的力值越大 系統(tǒng)越混沌 當(dāng)最大李雅 普諾夫指數(shù)旯 0 時 系統(tǒng)不處于混沌狀態(tài) 本文首先用最大李雅普諾夫指數(shù)五