（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）q級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其應(yīng)用.pdf

摘要 本文從一個(gè)熟知的形式冪級(jí)數(shù)，( 6 ) 的展開(kāi)式出發(fā)，得到了若干單邊和級(jí)數(shù)與雙邊和級(jí) 數(shù)的轉(zhuǎn)換公式，其中包括了6 5 與3 皿3 的轉(zhuǎn)換公式以及6 妒5 與5 皿5 的轉(zhuǎn)換公式，從而給出 了w e l l p o i s e d6 5 求和公式的新證明這些轉(zhuǎn)換公式的有限形式不僅包括了著名的d i x o n 定 理的g 一模擬，還得到了類似d i x o n 定理g 一模擬的若干公式 利用該冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式我們還得到了一些經(jīng)典的求和公式以及1 1 與l 砂l(fā) 間的轉(zhuǎn)換公式 和2 2 與2 矽2 間的轉(zhuǎn)換公式 關(guān)鍵詞：基本超幾何級(jí)數(shù)，雙邊和級(jí)數(shù)，單邊和級(jí)數(shù)，d i x o n 定理，形式冪級(jí)數(shù)展開(kāi) 式，w e l l p o i s e d6 5 求和公式，l 1 的轉(zhuǎn)換公式，2 圣2 的轉(zhuǎn)換公式 a b s t r a c t a b s t r a c ti nm i sp a p e r ，w eu s et l l ew e l l k n o w ng - c x p a n s i o nf b n n u l at 0p r o v es o m e 仃a n s f o r _ m a t i o nf o n n u l a so fs 嘶e sf o rl a t e r a l 鋤db i l a t e r a lb a s i ch y p e 唱e o m e t r i cs e r i e s u s i n gt h e s ei d e n t i - t i e s ，w er e d e r i v et h es u m m a t i o nf 0 加u l a sf o rw e l l p o i s e d6 5 s ow eh a v et h et e m i n a t i n gs u m m a t i o nf o r m u l a sa n do t h e ri d e n t i t i e s ，w i t ht h ef a m o u sq a i l a l o g u eo fd i x o n 廿l e o r e mo b t a i n e d u s i n gt h i sg e x p a n s i o nf o n n u l a ，w ea l s oh a v es o m ec l a s s i c a ls u m m a t i o nf 0 硼u l a sa n d 昀n s f o r - m a t i o nf o 腫u l a sb e t w e e nl 1 鋤dl 圣1 ，b e t w e e n2 2a n d2 圣2 k 沁yw o r d s ：h y p e 唱e o m e t r i cs e r i e s ，b i l a t e r a lh y p e 喀e o m e t r i cs e r i e s ， l a t e r a lh y p e 唱e o m e t r i cs e r i e s ，d i x o nm e o r e m ，t l l ee x p a l l s i o nf 6 肌u l af b rp o w e rs 鰣e s ，m es u m m a t i o nf o r m u l a sf o rw e l l - p o i s e d6 5 ，仃a n s f o n n a t i o nf o 嘲u l a sf b r1 圣1a n d2 2 i i 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下，進(jìn)行的研究工作及取得的研 究成果除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文的研究成果不包含任何他人撰寫過(guò)的已公開(kāi) 發(fā)表或未公開(kāi)發(fā)表的研究成果，對(duì)本文所涉及的研究工作做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已 在文中以明確的方式標(biāo)明并表示謝意本學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān) 學(xué)位論文作者簽名：際疙罕 分年石月 7 日 學(xué)位論文使用授權(quán)聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定同意如下各項(xiàng)內(nèi) 容：按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版本；學(xué)校有權(quán)保留學(xué)位論文并向國(guó)家主 管部門或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版，并采用影印、縮印、掃描、數(shù)字化和其他 手段保存論文；有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制或全部?jī)?nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)并允 許論文進(jìn)入學(xué)校圖書館被查閱；有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索：有權(quán)將學(xué) 位論文的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密的學(xué)位論文在解密后適用本規(guī)定 學(xué)位論文作者簽名：際燕罕 弘暗年月7 日 習(xí)日 幻竹7 刀叫，目剮鉬 名簽 年 師 略 尉 沙 第一章引言 第一章引言 基本超幾何級(jí)數(shù)( g 級(jí)數(shù)) 的發(fā)展，以1 7 4 8 年l e u l e r 將無(wú)窮乘積 ( 鯽) = = ( 1 一礦) 。 看成正整數(shù)n 的分拆函數(shù)p ) 的母函數(shù)為標(biāo)志直到1 9 世紀(jì)上半葉，一些低階的g 級(jí)數(shù)的 求和公式才陸續(xù)被c f g a u s s 1 6 】，a l c a u c h y 【2 5 】，e h e i n e 【2 l ，2 2 ，2 3 】發(fā)現(xiàn)從1 9 世紀(jì)下半 葉到2 0 世紀(jì)中葉，l j r o g e r s 2 8 ，2 9 ，3 0 】，s r 鋤a n u j a n ，w n w a t s o n 2 7 】，fh j a c k s o n 【1 4 ， 2 4 】，w n b a i l e y 【2 0 】和l j s l a t e r 【2 6 】等數(shù)學(xué)家做出了不可磨滅的貢獻(xiàn)2 0 世紀(jì)5 0 年代 到7 0 年代，可以說(shuō)是g - 級(jí)數(shù)發(fā)展的黑暗期，但是g 級(jí)數(shù)的發(fā)展并沒(méi)有因此而終止在數(shù)學(xué) 家g e a n d r e w s 【2 ，1 0 ，1 7 ，1 8 】和r a s k c y 【1 9 】等人的不懈努力下，g 一級(jí)數(shù)又重新獲得了數(shù)學(xué) 家的認(rèn)可世人重新認(rèn)識(shí)到了g 級(jí)數(shù)的巨大應(yīng)用前景，乃至到了2 0 世紀(jì)8 0 年代，有人稱當(dāng)時(shí) 有些數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家患了g 出5 e g s e ，他們將數(shù)學(xué)的其他分支及物理領(lǐng)域中的一些概念和 性質(zhì)都拿來(lái)g 模擬 g 。e a n d r e w s 在【1 】中比較詳細(xì)的介紹了g - 級(jí)數(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，g 一級(jí)數(shù)在分析、數(shù)論、 組合學(xué)、物理和編碼等很多方面都有廣泛的應(yīng)用口模擬使得經(jīng)典的數(shù)學(xué)及其相關(guān)分支量 子化，從而產(chǎn)生了量子數(shù)學(xué) 雙邊和級(jí)數(shù)求和公式 - 雪t ( g ；6 ；口，z ) = j ；i ：爰i 瓣，1 6 口i l z l 1 ， ( 1 ，1 ) 首先是由r a m a n u j a n 【3 l 】給出，并且可以用它來(lái)證明正交性 ( 1 1 ) 式可以看作是g 一二項(xiàng)式定理 - 嘶) = 薹漲牡赫巾i 1 i i 水1 ， ( 1 2 ) 的推廣 另外，初文昌教授在f 3 2 】中利用a b e l 方法給出了6 零6 的新證明，并且建立了一套完整的 體系 第一章引言 眾所周知，t a y l o r 定理在經(jīng)典的數(shù)學(xué)分析中占據(jù)很重要的地位，即對(duì)于多項(xiàng)式，( 3 ，) ，我 們有 他) = 差學(xué)殺扎：。 當(dāng)q = 0 時(shí)，這個(gè)公式即為著名的m a c l a u r e n 展開(kāi)公式 1 9 7 3 年，c 砌沱【3 】把任意形式冪級(jí)數(shù)，( ) 展開(kāi)成有理函數(shù)的級(jí)數(shù)，從而首次發(fā)現(xiàn)了 m a c l 硼r e n 公式的口模擬，即： m ) 2 三赤 磁彬砒砒“ 大約3 0 年以后，l i u 4 】在此基礎(chǔ)上增加了一個(gè)參數(shù)，利用g 微分算子的萊布尼茨公式，成 功的推廣了c 砌n z 的展開(kāi)式，得到了關(guān)于t a y l o r 定理的g 一模擬： m ) = 薹些鏟 ，( 州剛k 此可 此結(jié)果在基本超幾何級(jí)數(shù)中有很重要的應(yīng)用劉治國(guó)教授在【4 】中利用這個(gè)展開(kāi)式給 出了r o g e r s f i n e 恒等式、非中止型的6 5 求和公式和w h i p p l e 定理w a t s o n 模擬的新證明 并且推出了a n d r e w s 關(guān)于三平方數(shù)和與三角形數(shù)和的求和公式 初文昌利用反演的方法得到了以下兩個(gè)形式冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式【6 】： 砌，= 薹彘鍔靛掣 若令e = 0 ，a = 1 ，這個(gè)公式即為c a r l i t z 【3 】的展開(kāi)式 以及 邢，= 薹嘴 6 ；口) n 瀘 d 篡z ，( z ) ( z ；q ) n 一 當(dāng)e = 一1 ，a = 1 時(shí)，這個(gè)展開(kāi)式就是l i u 【4 】中的展開(kāi)式 這兩個(gè)展開(kāi)式在基本超幾何級(jí)數(shù)中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在級(jí)數(shù)重排及其g 一微分運(yùn)算上 在這篇文章中，我們就從上面幾個(gè)展開(kāi)式出發(fā)，利用形式冪級(jí)數(shù)，( 6 ) 的展開(kāi)式 3 】和【4 】， 得到了若干單邊和級(jí)數(shù)與雙邊和級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)換公式，從而給出了w e l l p o i s e d6 5 求和公式的新 2 第一章引言 證明，這些求和公式的有限形式就包括了著名的d i x o n 定理的g 一模擬，也得到了它們的推 廣形式進(jìn)一步我們利用c a d i t z 【3 】的展開(kāi)式，得到了1 1 求和公式的新證明 利用該冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式我們還得到了一些經(jīng)典的求和公式以及l(fā) 1 與1 西1 間的轉(zhuǎn)換公式 和2 也與2 2 間的轉(zhuǎn)換公式 3 第二章預(yù)備知識(shí) 第二章預(yù)備知識(shí) 我們將使用 2 】中的符號(hào)和術(shù)語(yǔ)記g - 升階乘符號(hào)為： ( 0 - g ) o = l ， ( 口；g ) n = n ( 1 一口礦) ， 佗= 1 ，2 ， 當(dāng)川 l 時(shí)。我們有無(wú)限乘積表達(dá)式： o o ( o ；g ) = ( 1 一d g 七) ， ( 口；g ) n = ( 口；口) ( n q n ；口) 七= 0 對(duì)任意的復(fù)數(shù)口，定義 ( o ；q ) n = ( o ；g ) ( o 曠；g ) ( 2 1 口) ( 2 1 6 ) ( 2 ，2 ) 從而有 ( 。；g ) 一n = i 五石= 要_ 石i ：= 曇；筆舌暑；三口( 三) ( 2 3 ) 我們也將采用以下q 升階乘的簡(jiǎn)記符號(hào)： 易證 m ( 口l ，0 2 ，o m ；q ) 仃= ( 。七；g ) n ， 禮= o ，l ，o 。 ( 2 4 ) 七= l g 一二項(xiàng)式系數(shù)的定義為： i j = 蓋 i = ( 礦，黜 基本超幾何級(jí)數(shù)。也定義為： 砒( ：o ，z ) = 薹 4 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 第二章預(yù)備知識(shí) 若s = t + 1 ，而且q a l = 0 2 6 1 = = q 。6 t ，則稱基本超兒何級(jí)數(shù)。也為w e l l p o i s e d 的；進(jìn) 而如果a 2 = 口、，伍1 ，0 3 = 一q 、，伍1 ，則稱基本超幾何級(jí)數(shù)。也為v e 巧一w e l l p o i s e d 雙邊超幾何級(jí)數(shù)。砒定義為： 礎(chǔ)( ：z ) = n 曼糍卅妒水) ) t + 1 。8 少 ( 2 8 ) 如果s = t = 7 ，且0 1 6 1 = 0 2 6 2 = = 口，6 r ，則稱雙邊超幾何級(jí)數(shù)。也為w e l l p o i s e d ；進(jìn) 一步如果有0 1 = 一0 2 = 9 6 1 = 一口6 2 ，則稱雙邊超幾何級(jí)數(shù)。譏為v e 巧- w e l l p o i s e d 整篇文章 中，對(duì)于非終止( n o n t e 舯i n a t i n g ) 級(jí)數(shù)和，我們都假定 1 關(guān)于變量z 的g 微分算子 1 4 】中定義為： d 。，z ，( z ) ) ：叢蘭掣，d 幾，：d ( d n 一1 ) ，扎：2 ，3 ，( 2 9 ) 其中磋窶為恒等算子更多符號(hào)請(qǐng)參見(jiàn)【1 3 】 g 一微分算子的l e i b n i z 公式為【1 5 】： d 霹 9 ( z ) ( z ) 】= 擴(kuò)偽一n ) d 皇。( 9 ( z ) ) d 最：七 九( 礦z ) 】 ( 2 1 0 ) c a d 沱在【3 】中有如下的展開(kāi)式： m ) 2 薹贏陳( 砒砒“ ( 2 1 1 ) 劉治國(guó)教授在【4 】中對(duì)上式做了如下的推廣： 。 m ) = 薹些鏟嘲m ；g ) 兒吲 ( 2 1 7 ) 初文昌【6 】利用反演的方法得到了以下展開(kāi)式： 邢，= 薹觜 g ) n 鏟 瑤。 ，( a ：) ( z ；口) 。一- ) 】 e u l e r i a l l 多項(xiàng)式系r ( 6 ，口) 定義【1 0 】為： r ( 6 ，口) = 1 ，r ( 6 ，口) = ( 6 一口g ) ( 6 一0 9 2 ) ( 6 一?？趎 ) 5v ( 2 1 3 ) 第二章預(yù)備知識(shí) 注意到 尸k ( 6 ，o ) = 擴(kuò)( o g 6 ；口) n ，f k ( n g ，n ) = o ，禮1 另外，我們還需要以下v e 巧- w e l l p o i s e d 雙邊求和公式 匐： 3 掣b ( g ：6 g ! c 譬：d ；g ，6 c d ，9 2 ) = i ! j ：萋：蘭：窆 瓣c 2 1 4 ， 6 ， c ， d k 【，c u w “q q ， 3 妒3 ( g ：6 g ：c 口：d ；g ，6 c d 9 4 ) = ! ! 二! 舌 蘭：多號(hào)瓣c 2 1 5 ， 6 ， c ， d qu w “q q j 。 5 譏( ：口：6 ：g ! c ：g f ；口，6 c d 口4 ) 。2 。6 ， 1 一南 ( g ，6 c q 2 ，6 d q 2 ，c d 9 2 ；g ) 。 =-=-=-=一一 ( 1 一丟) ( 1 一j ) ( 6 ，c ，d ，拋d 9 4 ；g ) 6 第三章單邊和級(jí)數(shù)與雙邊和級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)換 第三章單邊和級(jí)數(shù)與雙邊和級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)換 。妒3 ( 口：6 ：g ! c ： 口三d ；g， 6 c d 9 2 ) = 鬻硪( o 笞：茗等：州) m ，= 鱗瓣， 。 ，( z ) ( z ；g ) n 一 z ：n 口= 器 。最。i ：考i 蘭摹虢) 霉：。叮。3 ，、 = 甓糍c 蝴n 豁 一 【n ，c ，d ，o c d g ；g j o ?！緊 c ，o a ；g j n ：筍一踹瓣。啪n | 3 3 ) o ( 1 一口q 2 n ) ( o g 6 ，g c ，q d ；口) 。( g ，o c ，o d ，c d g ；g ) 。j ，2 、n v j 7 = = 一?一f)fyz，fj - 臺(tái) ( 響口c ，0 d ；口) n( o ，c ，d ，o 以口；g ) o o r 一7 再將( 3 3 ) 代入公式( 2 1 4 ) ，即得( 3 1 ) 7 【證畢】 第三章單邊和級(jí)數(shù)與雙邊和級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)換 定理3 2 設(shè)1 6 c d 9 4 i 1 ，則有 s 妒。( q z 6 ：g ：c ：g ：d ；口 = 糍硪( 口，答 = = 一e f d e _ ( o 口，o c d 9 3 ；g ) 吖。后 茲篇蜊)。包c(diǎn) ? q 。q d ? q 證明：設(shè) m ，= 等等警， 則，( 6 ) 是關(guān)于6 的形式冪級(jí)數(shù)，從而 d 。 ，( z ) ( z ；口) n 一) 茁：叫= 把( 3 5 ) 代入( 2 1 2 ) ，有 ( q ，6 c 9 2 ，6 d 口2 ，甜9 2 ；口) ( 6 ，c ，d ，6 c d 9 4 ；g ) = 妻堅(jiān)耩鬻筠警糍瑞摯們4 ，拜急 ( g ，6 ，口c q ，o d 口；g ) n ( o ，c ，d ，o c d 9 4 ；口) r 一7 再將( 3 6 ) 代入公式( 2 1 5 ) ，即得( 3 4 ) ( 3 6 ) 【證畢】 定理3 3 設(shè)1 6 c d q 4 i 1 ，則有 s 衫，5 ( ：三了：g ：6 ：g ! c ：g ：d ；q ，b c d 口4 ) ：- = 毒粵型垂粵嬰宰 ( 3 7 ) =-=?一一 i - ， ( 1 一丟) ( 1 一；) ( n g ，c ，d ，o c d 9 3 ；口) 、7 塒s ( 口 等：茗等嗽嗌跏廳) 何，一面， 6 ，口c 口，o d g 8 衫6 4 一l g 餳 一0 v d 和 、 c 吖 一 w 砸?guī)?凹m 面= ，哦一qo一 ，j 2 一a 牡囂譏一心訛一砒黜嘴黔扣(，一i o 吼一； d 矗一釅鬃 一 向一曲 韭業(yè)刪亟航塑“州一諏嘶一 第三章單邊和級(jí)數(shù)與雙邊和級(jí)數(shù)的轉(zhuǎn)換 證明：設(shè) m 、l 一擊 ( 口，6 c 9 2 ，務(wù)d 9 2 ，翻9 2 ；口) m ) 2 礦麗與鼉糍耥斧， 則，( 6 ) 是關(guān)于6 的形式冪級(jí)數(shù)，從而 d i z ，( z ) ( z ；口) n 一- ) z ：o 口 1 一上 o m ， 2 礦焉療習(xí) 1 一l 2 礦哥療習(xí) 糌舊器錙淼l 8 ， ( c ，d ；g ) 【“口2 。( z 曠，雙d 9 2 ；口) o o j 。： ( - j 芍) 絮瓣勰口4 ) n ( 口，c ，d ，o c d 礦；g ) ( 口c q ，口d g ；g ) n 、?！? 17 ( g ，阮9 2 ，6 d 礦，c d 9 2 ；譬) o o ：!二一薹!二二!：；蘭筆；j鏟。6cdq4，n(39) ( g ，口c 口o d 口，以9 2 ；g ) o ( 1 一。口2 n ) ( o g 6 ，口2 c ，q 2 d ；q ) n j ，。4 、n u j ( n ，c ，d ，口c d 口3 ；q ) 幺 ( g 6 o c g ，n d q ；g ) n 川7 再將( 3 9 ) 代入公式( 2 1 6 ) ，即得( 3 7 ) 【證畢】 w r e l l p o i s e d6 5 求和公式的新證明 我們有如下定理： 定理3 4 設(shè)l 口6 磁l 1 ，則有 硪( n ，萇：篇疊。c 加謝) 6 妒5l ；口，口厶【di 鍤，一狐，g 6 ，o g c ，o 口d ( 3 1 0 ) ( g 6 c ，g 6 d ，口g ，o 口c d ；口) 2 而瓦面i 而麗壓麗焉 定理3 5 設(shè)i 跏口4 i 】= o ， 1 4 第五章其他推廣 當(dāng)七n 時(shí)， 瑤【，( z ) ( z ；口) n 一) z ：哪 ( - 1 ) 啄扎七漲m 蒜比 = 薹( _ 1 廣嘣犍叫甓然七= 0 、171 ，“、1 1 ，“1 ?！?= ( 一1 ) n z n 竺三靜g n ( n 一1 ) ( _ 1 ) 啄氣知麗 十妒z n 罐摯g 學(xué)a ( 。三。犯) 將( 5 2 ) 代入( 2 1 2 ) ，我們有( 5 1 ) 命題5 2 ( 2 西2 到2 垂2 的轉(zhuǎn)換公式，) 證明：令 ；， 口 c 、 2 蟲(chóng)2 l ；g ，zl = 6 ( c ，口z ；g ) o 。 ( 6 ，z ；g ) ；， 6 c 名 、 2 蟲(chóng)2 i ；g， c l 毗 ( 5 2 ) 【證畢】 ! 二二；! ：；2 1 黑! ；皇； ? ! ! ! ! 三! ! 苧三- 1 2 盞6 n z n g n ( n 1 ) ( 5 3 ) ( g ，6 ；口) n ( n ；叮) 2 n + l 1、。7 。r 。；。z ) ，c = z 西z ( 。；g ，z ) ， 則，( 6 ) 是關(guān)于6 的形式冪級(jí)數(shù) 1 5 ( 5 4 ) 脅 腳 腳 第五章其他推廣 所以有 瑤 ，( z ) ( z ；g ) n 一) 霉：叫 = 薹糍巾 等豪兒 = 薹鐐n 器虢灶 等言手若；：蘭：蘭zjc+”口”c一l，(g七+l；q)。量鬻 一( o ，c ；g ) 。z n g 竹( n 一1 ( o ；g ) ( 口；口) n ( 口g n ；口) ( o ；q ) 2 n + 1 一( o ，c ；g ) n 擴(kuò)口竹( n 一1 ( o ；g ) 。 ( o g ”；口) o o ( o ；g ) 2 n + 1 將( 5 5 ) 代入式( 2 1 2 ) ，命題即得 o 。 命題5 3 ( 2 西2 到2 西2 的轉(zhuǎn)換公式j(luò) ，) 豁z 七( g 南+ 1 ；g ) n ( n 9 2 n + l ；g ) 彪 ( o n c g “；口) 鳧七 ( 口，o 口2 n + 1 ；g ) 知。 ， n c 、 2 屯l 6d z 夕 n = 0墜罷顰磐黑燁( 噸) n g 掣 ( g ，6 ，d ；g ) ( o g ；q ) 2 n 、一7y 妻高窘黧躲( 一1 ) 倒( 咖) 血 乞( 口，由”，n 口2 1 ；g ) 七川w 叫 薹g 掣恥秀鬻摯 z 西z ( ：；：三三： ； g ，g n z ) 6 9 n d g n 1 6 ( 5 5 ) 【證畢】 ( 5 6 ) 腳 言腳 第五章其他推廣 ，c 6 ，= 2 西2 ( ：三；g ，z ) ， 則，( 6 )