（概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)專業(yè)論文）二元極值統(tǒng)計(jì)譜測(cè)度估計(jì)及其應(yīng)用.pdf

南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 中文摘要 本文主要研究了二元極值分布的定義、分布函數(shù)、吸引場(chǎng)以及譜測(cè)度的 估計(jì)量第一章介紹了極值統(tǒng)計(jì)發(fā)展的歷史和經(jīng)典的極值理論；第二章介紹了 二元極值分布函數(shù)的性質(zhì)，研究了如何利用指數(shù)測(cè)度與譜測(cè)度推導(dǎo)二元極值分 布函數(shù)的具體形式，介紹了二元分布函數(shù)屬于極值吸引場(chǎng)的充要條件，并做了 相關(guān)證明；第i 章介紹了相關(guān)結(jié)構(gòu)函數(shù)定義及作用，給出了一種譜測(cè)度的估計(jì) 方法并做了相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)分析 關(guān)鍵詞：二元極值分布，吸引場(chǎng)，指數(shù)測(cè)度，譜測(cè)度，相關(guān)結(jié)構(gòu)函數(shù) 南京師范大學(xué)碩l j 學(xué)位論文 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ed e f i n i t i o no fb i v a r i a t ee x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ， t h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n ，d o m a i no fa t t r a c t i o na n dt h ee s t i m a t o ro fs p e c t r a l m e a s u r ea r el e a r n e d c h a p t e r1 i n t r o d u c e st h eh i s t o r yo fe x t r e m ev a l u e s t a t i s t i c sd e v e l o p e da n dt h ec l a s s i c a le x t r e m ev a l u et h e o r y i nc h a p t e r2 ，t h e c h a r a c t e r so fb i v a r i a t ee x 仃e m ev a l u ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o na r ei n t r o d u c e da n d t h es p e c i f i cf o r m so ft h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o na r ec a l c u l a t e du s i n gt h ee x p o n e n t m e a s u r ea n dt h es p e c t r a lm e a s u r e as u 街c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fa d i s t r i b u t i o nf u n c t i o nb ei ni t sd o m a i no fa t t r a c t i o ni sf o u n da n dp r o v e d s o m e p r o p o s i t i o n sa r ep r o v e n ，t o o i nc h a p t e r3 ，t h ed e f i n i t i o na n du s eo fc o p u l ai s i n t r o d u c e d ，a ne s t i m a t o ro ft h es p e c t r a lm e a s u r ei sg i v e na n ds o m es t a t i s t i c a l a n a l y s i sa r em a d e k e yw o r d s ：b i v a r i a t ee x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n ，d o m a i no f a t t r a c t i o n ，t h ee x p o n e n tm e a s u r e ，t h es p e c t r a lm e a s u r e ，t h e c o p u l a 一n i 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 第1 章經(jīng)典的極值理論 1 1 極值理論的歷史發(fā)展與應(yīng)用 在統(tǒng)計(jì)文獻(xiàn)中，最早討論極值是1 8 2 4 年j b j f o u r i e r 的一篇文章，他認(rèn) 為與正態(tài)分布均值偏離了二個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差的平方根的三倍的概率大約為五萬 分之一，r i j p i x 一弘i 3 v 互7 ) 1 5 0 0 0 0 ，因此可能完全忽略這類觀測(cè) 類似地，按通常的3 盯原則，認(rèn)為正態(tài)樣本的有效范圍應(yīng)在均值正負(fù)三個(gè)標(biāo) 準(zhǔn)差內(nèi)實(shí)際上，這些說法都不夠完善1 8 7 7 年h e l m e r t 指出，這類問題的 提法應(yīng)該與樣本量有關(guān)因?yàn)楫?dāng)樣本量趨于無窮時(shí)，有更多的機(jī)會(huì)使樣本 最大值出現(xiàn)在分布的尾部，正態(tài)總體的樣本最大值也應(yīng)該趨于無窮因 此，從理論上說，樣本最大值與總體均值的距離大于任一固定常數(shù)的事件 終究要發(fā)生3 口原則對(duì)小樣本來說有點(diǎn)保守，而對(duì)大樣本又太寬松極值 理論就是說明極值大小與樣本量之間關(guān)系的理論 極值的近代理論開始于德國1 9 2 2 年，l v o i ib o r t k i e w i c z 研究了正態(tài)分 布的樣本極差【1 】，這個(gè)問題的意義在于告訴大家，來自正態(tài)分布的樣本 最大值是一個(gè)新的隨機(jī)變量，具有新的分布，因此b o r t k i e w i c z 是第一個(gè)明 確提出極值問題的統(tǒng)計(jì)學(xué)家1 9 2 3 年，德國的r v o nm i s e s 研究了樣本最 大值的期望 2 ，這是研究正態(tài)樣本極值的漸進(jìn)分布的開始極值理論的 真正發(fā)展是e l d o d d 在同年的工作，他首先研究了一般分布的樣本最 大值 3 最重要的結(jié)果是1 9 2 5 年l h c t i p p e t 的正態(tài)總體各種樣本量的 最大值及相應(yīng)概率表、樣本平均極差表 4 】1 9 2 7 年，m f r 色c h e t 發(fā)表了第 一篇關(guān)于最大值的漸進(jìn)分布的論文【5 ，指出來自不同分布，但有某種共 同性質(zhì)的最大值可以有相同的漸進(jìn)分布，還提出了最大值穩(wěn)定原理但 他的文章底分布的類型不常用，因而沒有得到應(yīng)有的重視1 9 2 8 年，r a 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 f i s h e r 與l h c t i p p e t 發(fā)表的文章 6 ，現(xiàn)在認(rèn)為是極值分布漸進(jìn)原理的基 礎(chǔ)，他們不僅與f r d c h e t 獨(dú)立地找到了f r d c h e t 分布，而且還構(gòu)造了另外二個(gè) 漸進(jìn)分布，即極值類型定理在這篇文章中，他們第一次描述了正態(tài)樣本 的最大值分布，指出收斂速度是極其緩慢的，這就是以往研究中遇到困難 的原因 1 9 3 6 年，r v o nm i s e s 提出了最大次序統(tǒng)計(jì)量收斂于極值分布的簡(jiǎn) 單有用的充分條件【7 】1 9 4 3 年b g e n e d e n k o 給出了類型定理的嚴(yán)格證 明 1 0 ，建立了嚴(yán)格的極值理論，給出了極端次序統(tǒng)計(jì)量收斂的充分必要 條件最后，由d eh a a n 進(jìn)一步研究t g n e d e n k o 的工作，將這些結(jié)果聯(lián)系起 來，完全解決了吸引場(chǎng)問題 1 4 8 1 9 8 7 年s i r e s n i c k 研究了獨(dú)立同分布 隨機(jī)向量，給出了極端次序統(tǒng)計(jì)量的聯(lián)合分布 1 l 】，多元極值分布第一次 出現(xiàn)在本書中 極值理論是數(shù)學(xué)在近代工程、環(huán)境及風(fēng)險(xiǎn)管理問題應(yīng)用中取得的最 成功的重要例子近幾十年來，極值理論已發(fā)展成為應(yīng)用統(tǒng)計(jì)中一種非常 重要的統(tǒng)計(jì)方法，在許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用 在金融市場(chǎng)，極端事件本身就非常令人關(guān)注近年來，國際上金融危 機(jī)不斷發(fā)生：1 9 8 7 年的較大范圍的股市崩盤，1 9 9 5 年2 月2 6 日具有2 3 3 年 悠久歷史的英 b a r i n g s 銀行宣布破產(chǎn)，美 o r a n g e 縣政府的破產(chǎn)，日本大 和銀行巨額交易虧損等特別是1 9 9 7 年以來的亞洲金融風(fēng)暴使許多金融 機(jī)構(gòu)陷入困境，對(duì)我國也有某些直接影響，國內(nèi)金融界對(duì)金融風(fēng)險(xiǎn)有深 刻的體會(huì)，關(guān)于金融風(fēng)險(xiǎn)的研究也正在深入風(fēng)險(xiǎn)管理的基礎(chǔ)和核心是 風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量，對(duì)金融市場(chǎng)，就是研究由于市場(chǎng)因子的不利變化而導(dǎo)致金融 資產(chǎn)價(jià)值損失的大小現(xiàn)在v a r ( v a l u ea tr i s k ) 及極值理論已成為主流方 法。v a r 是一種能全面測(cè)量復(fù)雜證券組合的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的方法簡(jiǎn)單的說， v a r 的概率意義即是損益分布的分位點(diǎn)，估計(jì)處于分布尾部的高分位點(diǎn) 正是極值理論的最顯著特點(diǎn) 南京師范大學(xué)碩j ：學(xué)位淪文 推斷性統(tǒng)計(jì)是研究如何有效地從已經(jīng)得到的受隨機(jī)性影響的觀測(cè)數(shù) 據(jù)提取出盡可能可靠、精確的信息極值統(tǒng)計(jì)則是研究隨機(jī)變量，或一個(gè) 過程的取值特別大或特別小情況的隨機(jī)性質(zhì)舉一個(gè)例子，上海地處長江 入?？?，3 2 m 以下的低洼地面積占全市面積的五分之一以上，黃埔江流經(jīng) 市中心，上海市又頻受臺(tái)風(fēng)侵襲，必需修建防汛墻以抵御洪水對(duì)上海市的 侵襲那么防汛墻應(yīng)修多高比較合適呢? 1 9 9 0 年上海提出的遠(yuǎn)景防汛標(biāo) 準(zhǔn)應(yīng)為抗御萬年一遇的高水位這是一個(gè)目標(biāo)，在此目標(biāo)下，需要估計(jì)黃 浦公園和吳淞站的相應(yīng)水位最高能達(dá)到多少這里，我們關(guān)心的不是長 江、黃浦江的日常水位，而是汛期的最高水位吳淞站和黃浦公園站建設(shè) 時(shí)間不長，實(shí)際觀測(cè)資料都不足一百年，如何由這些歷史相對(duì)較短的資料 估計(jì)未來較長時(shí)間內(nèi)上?？赡苡龅降淖罡咚?，這是極值統(tǒng)計(jì)應(yīng)該研究 的問題假定x 】，尥，是吳淞站記錄的黃浦江每小時(shí)的水位高度，則 = m a x x 1 ，) 為幾個(gè)觀測(cè)期最高水位高度在x 1 ，x 2 ，是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量假定下， 如果我們知道x i 的分布和n ，那么的分布就能精確地計(jì)算出來： p ( x ) = p ( x 1 x ，叉_ z ) = p ( x 1 x ) p ( x n z ) = f n ( z ) 這里，f ( z ) 是x 的分布函數(shù)但實(shí)際上x 的分布并不知道，因此就不可能 精確計(jì)算螈的分布然而，在相當(dāng)廣泛的條件下，當(dāng)佗一o o 時(shí)，經(jīng)適當(dāng)規(guī) 范化，可以得到的漸進(jìn)分布對(duì)于較大的n ，用這個(gè)漸進(jìn)分布作為分 布的近似，稱為經(jīng)典模型 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 1 2 一元極值簡(jiǎn)介 定義1 2 1 設(shè)x 1 ，施，是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，分布函數(shù) 為f ( z ) ，如果存在常數(shù)列 n n o ) 和 ) ，使得 1 i mp f 竺竺墮莖l 莖量二二二二立魚出z ： l i mf n ( 。n z + b n ) n 。o l a nj 扎。 = g ( z ) ，z c ( g ) ( 1 2 1 ) 成立，則非退化的分布函數(shù)g 稱為極值分布其中c ( g ) 表示分布函數(shù)g 的 連續(xù)點(diǎn)全體 定理1 2 1 ( f i s h e ra n dt i p p e t ( 1 9 2 9 ) ，g n e d e n k o ( 1 9 4 3 ) ) ( 1 0 6 ) 極值分布函數(shù)g 為以下形式： g 1 ( z ) = e x p ( - - ( 1 + ，y z ) 一寺) ， 1 + 3 , x 0 ，y 毫( 1 2 2 ) 根據(jù)7 的不同取值g 1 ( z ) 可分為p a - f - - 種類型( 9 ) ： f r 6 c h e t ：圣q c z ，= 曼p 。一z 一口，三三呂：q = 專 。 呲u l l ：吣壚怦卜卜功叮我q1 1 0 g u m b e l ： a o ( x ) = e x p - - e 川) ，一o o 0 和6 n 使得： n l 。i m 。f 幾( 。n z + k ) = g 7 ( z ) = e x p 一( 1 + ，y z ) 一弓1 ) ， ( 1 2 3 ) 其中z ，1 + y x 0 2 存在正函數(shù)a ，使得： lim學(xué)：dt(t-*ooat加竿， ( 1 2 4 ) ( ) 7 ，y 。、 其中z 0 當(dāng)，y = 0 時(shí)，上式右端等于l o g x 3 存在正函數(shù)a ，使得： 1 i mt ( 1 一f ( a ( t ) x + u ( 亡) ) ) = 一l o gg 1 ( z ) = ( 1 + ，y z ) 一專， ( 1 2 5 ) o o 其中x r ，1 + 7 x 0 4 存在正函數(shù)廠，使得： l i m 上掣孥掣：( 1 + ，y 壙彳1 ， ( 1 2 6 ) 船t 可酉一?！緃 倒 內(nèi)j 其中z r ，1 + y x 0 ，z + = s u p x ：f ( z ) 0 ， 艦而f ( t x ) = z q ，c v er ( 1 2 7 ) 此時(shí)稱o l 為正規(guī)變化函數(shù)的指標(biāo)，記，r u ( q ) 記z + = s u p x ：f ( x ) 0 ，有： j i m 掣：z 一 ， z o ( 1 2 8 ) 熙丁j 酉2 z1 ，z 刈 岱 即函數(shù)1 一f 是正規(guī)變化函數(shù)，指標(biāo)為一三 2 對(duì)，y 0 ，z + 是有限的，且 l i m # 掣：z 一， z o ( 1 2 - 9 ) 船丁專商礎(chǔ) ， du 2 桫) 3 對(duì)7 0 ，z + 可有限也可無限，且 瓣等等產(chǎn)一e - 。，x er ( 1 2 1 0 ， 其中，為一個(gè)適當(dāng)?shù)恼瘮?shù)如果( 1 2 1 0 ) e 某個(gè)，成立，這時(shí)對(duì)v 0 ，b n ， h n ( o n z + b n ) = f 禮( o ( o 竹z + b n ) + b ) = f n ( o n ( a x + b ) + a b n 一6 0 n ) = f ( a x + b ) = 日( z ) 因此，日( z ) 也是最大值穩(wěn)定分布 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 所以，f r 6 c h e t 分布和w e i b u l l 分布都是最大值穩(wěn)定分布事實(shí)上，分別 取。佗= n l a ，b 禮= o $ 1 a n = ? 2 - 1 加，k = 0 ，不難驗(yàn)證 c n ( n 1 q z ) = 圣a ( z ) ，n q ( n 一1 q z ) = a ( z ) 由文獻(xiàn) 2 2 定理3 2 2 可知：一個(gè)分布函數(shù)f ( z ) 是最大值穩(wěn)定分布，當(dāng) 且僅當(dāng)f ( z ) 是上述三種類型的極值分布之一 一8 _ 一 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 第2 章二元極值分布函數(shù) 2 1 二元極值的定義與性質(zhì) 與一元極值不同，二元極值的定義方法一般有兩種一種方法是按各 分量同時(shí)達(dá)到最大值來定義二元極值，然后通過規(guī)范化分量最大值的漸 近聯(lián)合分布來獲得二元極值分布；另一種方法是考慮基于至少在一個(gè)分 量上達(dá)到最大的觀測(cè)值的極限點(diǎn)過程本文主要討論第一種情況在文 獻(xiàn) 8 中作者考慮了如下定義： 定義2 1 1 設(shè)( x l ，) ，( x 2 ，k ) ，是獨(dú)立同分布隨機(jī)向量，分布函數(shù) 為f 若存在- y t j 常數(shù)a 札，c n 0 ，b n ，d n 酞，使得 l i mp f 竺盟墊二益鹽z ，竺墮鱉坐y n - - * 0 0 ln nc nj = g ( z ，可) ，v ( z ，y ) c ( g ) ( 2 1 1 ) 其中g(shù) ( z ，可) 是具有非退化邊緣分布的二元分布函數(shù)，c ( g ) 表示所有g(shù) 的 連續(xù)點(diǎn)則極限分布函數(shù)g 稱為二元極值分布 那么，g ( z ，可) 是怎樣的分布函數(shù)呢? 由( 2 1 1 ) 式可得出兩個(gè)一維邊緣分布的收斂性即： l i r ap j 竺堅(jiān)絲墜盟塵 r t - - - , c o l a n l i mp j 竺堅(jiān)墜堡二：必 7 , - - - * 0 0 lc n z = ，毗 可) = g ( o o ，n ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 南京師范大學(xué)碩上學(xué)何論文 所以，由定理1 2 1 ，對(duì)常數(shù)列o n ，a n ，b n ，d n 存在7 1 ，仇瓞，使得 a ( z ，o o ) = e x p ( - ( 1 + 7 1 x ) 一百) ， ( 2 1 4 ) g ( ，y ) = e x p ( - ( 1 + 7 2 y ) 一瓦) ( 2 1 5 ) 函數(shù)g 及其兩個(gè)邊緣分布都是連續(xù)的 定理2 1 1 設(shè)存在一列實(shí)常數(shù)a n ，a n 0 ，b n ，d n ，使得 l i mf na n z + b 幾，a n y 十d n ) = a ( x ，籮) ， g 的邊緣分布標(biāo)準(zhǔn)化如( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) ，則對(duì)月( z ) ：= f ( x ，o 。) ，足( 可) ：= f ( o o ，y ) ，和礬( z ) = 印( 1 一三) ，i = 1 ，2 ，有： l i mf n ( u i ( n z ) ，u 2 ( 佗可) ) = g o ( x ，) ，z ，y 0 ( 2 1 6 ) 扎 o 。 其中，g o ( z , 可) ：= g ( 蘭孚，吐7 蘭2 1 z ，且7 1 ，7 2 為( 2 1 2 ) - ( 2 1 5 ) 中的邊緣極值 指標(biāo) 證明設(shè)r ( i = 1 ，2 ) 是f 的邊緣分布函數(shù)，則存在正函數(shù)凸i ( ) ，i = 1 ，2 ，使得 l i m 鯊蘭上：墮2 ：蘭蘭，( 2 1 7 ) t - - - , o o a i ( t ) 坼 、 且 熙麗a i ( t x ) = 擴(kuò)，z 。 而且( 2 1 2 ) ( 2 1 5 ) 對(duì)以下o n ，a n ，b 竹，d n 成立： b n ：= 阢( n 】) ，d n ：= 鞏( 扎】) ，a n ：= a l ( m ) ，c n ：= 0 2 ( 【n ) 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位淪文 故( 2 1 7 ) 式又可寫為： 1 i m n + o o u 1 ( t t x ) 一b 凡 x q x 1 = - 7 1 l i m u 2 ( n y ) - d ：里竺 ( 2 1 8 ) n 。o 。 7 2 現(xiàn)在我們回至l j ( 2 1 1 ) 式，將( 2 1 1 ) 寫為分布函數(shù)f 形式： n l 。i m 。f n ( a n z + 6 n ，c n 可+ d n ) = o ( x ，可) ( 2 1 9 ) 特別地，如果z n _ 肛，批_ ，則由g 的連續(xù)性和f 的單調(diào)性，可得： 令 z n ：2 l i mf n ( o n x n + b n ，+ d n ) = g ( p ，z ，) ， ( 2 1 1 0 ) n - - - * o o u 1 ( n x ) 一 y n ：2 a n 利用( 2 1 8 ) 和( 2 1 1 0 ) 式可得出： 注2 1 1 記 u 2 ( n y ) 一d n ， z ，y 0 溉州晰鞏嘶州= g ( z 7 f - 1 ，等) ：= m a x ( 去， ：= m a x ( 1 一n ( ) 1 一f 1 ( m ) 1 一f 1 ( 碥) 倘若f 有連續(xù)的邊緣分布f l 和尼，貝j j ( 2 1 6 ) 式等價(jià)于 l i mp ( 仉廠n n x ，y n n y ) = g o ( x ，) ，x ，y 0 n + o 。 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 證明上式左端等價(jià)于 n l 。i m 。p m a x ( 禮溉一，) 叮( 1 m a x ( r , 溉一，k ) 巧( 1 一南) ) = l i m p m a x ( x 1 ，x 2 ，) u 1 ( n x ) ， n _ + o 。 m a x ( v 1 ，鹼，碥) ( 扎可) ) l i mf 幾( u 1 ( n x ) ，耽( n 籮) ) n - - 0 0 g o ( x ，y ) 由此可看出，如果將邊緣分布標(biāo)準(zhǔn)化，即：f ( x ) = 1 1 z ，z 1 ，則一個(gè)簡(jiǎn) 化的極限關(guān)系成立了這意味著，在確定極限分布的問題中，邊緣分布已 不再起決定作用 推論2 1 1 對(duì)任意滿2 = o g o ( x ，y ) 1 的( z ，) ，都有 l i r a n 1 一f ( u 1 ( 釓z ) ，鞏( 佗秒) ) ) = 一1 0 9 g o ( x ，可) ( 2 1 11 ) n + o o 證明對(duì)( 2 1 6 ) 式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，可得： l i m n l o g f ( 鞏( 禮z ) ，覘( 佗剪) ) 】- = 一l o g g o ( x ，) ( 2 1 1 2 ) n _ o o 由于f ( u l ( n x ) ，鞏( 佗秒) ) _ 1 ，因此 一1 0 9 f ( u 1 ( 禮z ) ，( 佗”1 1 一f ( u 1 ( 孔z ) ，u 2 ( n y ) ) 即一l o g f ( u l ( n x ) ，u 2 ( n y ) ) - 與l f ( u l ( n x ) ，鞏( 凡秒) ) 等價(jià)，因此由( 2 1 1 1 ) 式 可得結(jié)論成立 一1 2 一 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 我們也可得到此推論的擴(kuò)展： 推論2 1 2 對(duì)任意( z ，) ，滿足0 o ，佗= 1 ，2 ， 易知，口是如下概率測(cè)度r ，口的分布函數(shù)： p n ，口( x 0 和0 y ) = n 1 一f ( u l ( n x ) ，( 孔) ) ) ， ( s ，t ) r 辜：s z 或 y ) = 一l o gg o ( x ，y ) 2 對(duì)所有o o 集函數(shù)，v l ，2 ，是定義在r 辜【0 ，n 】2 上的有限測(cè)度 3 對(duì)每個(gè)滿足i n f ( 刪) am a x ( x ，y ) 證明令 o 且v ( o a ) = o 的b o r e l 集acr 車，有 1 i m v n ( a ) = ( a ) n o o ：= n ( 1 一f ( u 1 ( n a ) ，( 幾n ) ) ) r ，口 則為r 車【0 ，n 】2 上的一個(gè)測(cè)度，不依賴于q ，而且對(duì)所有b o r e l 集ac r 車【0 ，o 】2 ，有 l i m ( a ) = ( a ) ， n + o o 一1 牛一 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 其中 ：= 一l o gg o ( a ，n ) p n 由于n o 是任意的，( a ) 和( a ) 定義在所有的b o r e l 集a 上，且4 滿足 ，i n fm r x ( x ，y ) 0 ( z ，y ) e a 。( 2 2 2 ) 因此對(duì)所有滿足m a x ( x ，y ) o 的z ，掣，利用和風(fēng)，。的定義以及( 2 2 1 ) 式， 有 即得： ( s ，t ) r 辜：s z 或t y ) = n 1 一f ( u 1 ( 佗o ) ，鞏( n o ) ) ) r ，n ( s ，t )r 辜：s z 或t y ) = n 1 一f ( u 1 ( 幾o(hù) ) ，u 2 ( 住口) ) ) ( 1 一鞏，o ( z ，! ，) ) = n 1 一f ( u 1 ( n z ) ，鞏( n ) ) ) ， ( s ，t ) 廷辜：s z 或亡 可) n 1 i r a o 。 ( s ，亡) r 車：s z 或亡 y ) = l i mn 1 一f ( u 1 ( 竹z ) ，u 2 ( 佗可) ) ) n _ o o l o gg o ( x ，可) ， ( s ，t ) r 辜：8 z 或t y ) = n 1 一f ( u l ( n z ) ，鞏( n ! ，) ) ) ，( 2 2 3 ) ( ( s ，t ) r 辜：s z 或 y ) = 一l o gg o ( x ，可) 一1 5 _ 一 ( 2 2 4 ) 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 最后，對(duì)所有滿足( 2 2 2 ) 式的b o r e l 集a 都有 1 i r a u n ( a ) = ( a ) 禮+ o o 定義2 2 1 定理2 2 1 中的測(cè)度稱為極值分布g o 的指數(shù)測(cè)度有 g o ( x ，y ) = e x p ( 一( a 鋤) ) ， ( 2 2 5 ) 注2 2 1 ( 2 2 5 ) 式并不對(duì)所有i 拘b o r e l 集a 剛成立 指數(shù)測(cè)度的一個(gè)顯著性質(zhì)是下面的齊次性關(guān)系 ( 2 2 6 ) 定理2 2 2 ( 【8 ) 對(duì)任一b o r e l 集ac 瓞辜，i n f ( 刪) am a x ( x ，y ) 0 ，u ( o a ) = 0 , a 0 有 u ( a a ) = a - 1 ( 4 ) ， ( 2 2 7 ) 其d ? a a = z ：z = a b ，b 4 ) 證明對(duì)某個(gè)a 0 ，在( 2 1 1 3 ) 式中令t n = n a ，得到 l i mn x f ( u l ( n a x ) ，u 2 ( n o 可) ) ) = 一a - 。l o gg o ( x ，y ) n _ o o 另一方面，直接利用( 2 1 11 ) 式又可得 因此， l i mn 1 一f ( u xn a x ) ，u 2 ( 凡o ) ) ) = 一l o gg o ( a x ，a y ) n - * 0 0 u ( a a ) = 一l o gg o ( a x ，a v ) = 一。一1l o gg o ( x ，y ) = a - 1 ( a ) ( 2 2 8 ) 、l r ， y l 或 zs 2 + r ” s ，j r i l i 可 z a 中 其 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位淪文 此定理對(duì)所有( 2 2 6 ) 式定義的集合a 砌成立 注2 2 2 由( 2 2 7 ) 易知： l g o ( a x ，a y ) = g 吾( z ，夕) ，a ，x ，y 0 ( 2 2 9 ) 1 事實(shí)上，g o ( a x ，a y ) = 一e x p u ( a a 刪) = 一e x p a v ( a 叫) ) = g 吾( z ，可) 下面的定理是指數(shù)測(cè)度的一個(gè)直觀的應(yīng)用 定理2 2 3 設(shè)( x 1 ，m ) ，( x 2 ，托) ，是獨(dú)立同分布的隨機(jī)向量，分布函 數(shù)為f 則 艦仡p z 或( 1 + 他) 百 z 或( + 訛 其中口幾，b n ，c 幾，d 禮m ( 2 1 8 ) 式 證明 熙o c , 佗p ( 1 + 7 n _i x b n 撬幾p x 。n n o o i y d 扎 ) 擊 可 = - l o g g 。( z ，可) ， ) 寺 z 或( 1 + 訛 z 1 1 1 慨禮 c 禮 + b n ，c n 由( 2 1 8 ) 式及局部一致收斂性 =魄n r、j一 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 令 q ：= ( s ，t ) r 辜：s ，t 0 ，m a x ( s ，t ) = 1 ) ， 更一般地，對(duì)每個(gè)b o r e l 集ac 蠆：= ( 0 ，o ?！縳q ， 溉n p ( ( 1 怕等加+ 恤半) 老) a 叫饑 定義點(diǎn)過程：對(duì)每個(gè)b o r e l 集b r + q 凡( j e 7 ) = i ( t n ，( 1 + ，y l ( 置一k ) 口。) 1 了1 ，( 1 + 1 2 ( k d 。) ) 7 2 ) 日) ( 2 2 。1 0 ) 在相同的空間上定義p o i s s o n 點(diǎn)過程，有均值測(cè)度入x j ，a 為l e b e s g u e 測(cè) 度為定理2 2 1 中的測(cè)度 定理2 2 4 ( 8 ) 依分布收斂于，即對(duì)b o r e l 集b 1 ，b 2 ，b ，瓞十 q ，且( 入x ) ( a 鼠) = 0 ，i = 1 ，2 ，r ， ( ( b 。) ，( 研) ) 二( n ( b 1 ) ，n ( b r ) ) 此定理可得到一個(gè)估計(jì)測(cè)度的方法：對(duì)r 組觀測(cè)值( 翰，場(chǎng)) ，i = 1 ，2 ，r ，j = 1 ，2 ，禮，根據(jù)( 2 2 1 0 ) 式分別求出( b ) ，然后求出均值， 由依分布收斂性此均值可近似e n ( b ) ，e n ( b ) = ( 入x ) ( b ) = 入( b o ) x ( b 1 ) ，其中b ocr + ，b 1cq ，則z ( b 1 ) = e n ( b ) a ( b o ) 2 3 譜測(cè)度 利用定理2 2 2 中指數(shù)測(cè)度的齊次性可建立坐標(biāo)變換令r ：= r 辜 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 ( o ，o ) ) ，e c 0 ，建立從r 到( o ，) x 0 ，c 】的1 1 變換： 滿足對(duì)y a ，z ，y 0 ， - - - a r ( x ，y ) ； = d ( x ，可) 我們可以認(rèn)：k r 是半徑，d 為角度在新的坐標(biāo)下，測(cè)度有一個(gè)簡(jiǎn)單的結(jié) 構(gòu)對(duì)常數(shù)r o 和曰 0 ，c 】，定義集合 b n 日：= ( z ，y ) r 琴：r ( x ，y ) r 且d ( z ，y ) 9 ) ， r b l ，日= r ( z ，y ) i i 廷2 ：r ( x ，y ) 1 且d ( z ，y ) 0 ) = ( r z ，r y ) r ：r ( z ，y ) 7 且d ( z ，y ) 0 ) 令7 z = x 7 ，r y = y 7 = x 7 ，y 7 ) r ：r ( z 7 r ，可7 r ) l 上t d ( x 7 r ，7 r ) 穢】 = ( z ，可7 ) 廷：曇兄( z ，可7 ) l j l d ( z ，y 7 ) 目) = ( z 7 ，y 7 ) r ：r ( x 7 ，y 7 ) r i l d ( x 7 r ，y r ) 0 ) = b r p 由的齊次性可得：z ( b n 口) = v ( r b l ，口) = r - 1 ( b l ，p ) ，此式說明在變換成 一1 9 一 、l，、l， 可 可 z z r d i l = r d ，、【 y y 0 0 ， ， z z 0 0 r d ，j一， ii 墼些墮絲些鯊些二一 苧苧苧! 鼉皇皇! ! ! ! ! ! 苧曼! 孽! ! ! ! ! ! ! ! ! = = 5 5 2 2 2 一 新坐標(biāo)r ( z ，y ) 和d ( z ，拶) 之后，測(cè)度l ，變成了一個(gè)乘積測(cè)度常用的變換有 篙 dr(。xz,，y秒)，=：xarvctyan,考 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 命題2 3 1 對(duì)任意( 2 1 1 ) 式中的極值分布函數(shù)g ，且g 滿足( 2 1 4 ) 矛1 1 ( 2 - 1 5 ) ， 存在一個(gè)【o ，三 上的有限測(cè)度，稱為譜測(cè)度，具有性質(zhì)：若皿是此譜測(cè)度的 分布函數(shù)，對(duì)z ，y 0 ，有 g(x饑f-1，型)_g鼬川一p-o吖2(譬v了sin02 j o) 刪) ，y 1 。 山f7 ( 2 多4 1 其中7 1 ，他是g 的邊緣分布的極值指標(biāo)而且，有邊界條件 廠丌肛c o s) - 嚴(yán)o k 血d o ) ：1(230va(do s i no k ( d o 5 ) c o s ) = = 1 【乙 相反地，任意一個(gè)由其分布函數(shù)表示的有限測(cè)度可通過( 2 3 4 ) 式產(chǎn)生一 個(gè)( 2 1 1 ) 式中的極限分布函數(shù)g ，條件是邊界條件( 2 3 5 ) 式成立 證明“令，利用變換( 2 3 1 ) 對(duì)常數(shù)r o 和p 【o ，爰】，集合 b r p = 邶罕：厴 r 且a r c t a n z y p ) 萬一 = = 南京師范大學(xué)碩j j 學(xué)位淪文 易知： 在p 【0 ，考】上，定義 b n 02r b l ，0 ， ( b r ，p ) = v ( r b l ，日) = r - 1 ( b 1 ，口) 皿( p ) ：= ( b 1 ，p ) ， 皿是 o ，三】上一個(gè)有限測(cè)度的分布函數(shù)，稱為極限分布g 的譜測(cè)度 令s = 7 c o s0 ，t = rs i n8 ，取z ，y 0 ， 一l o g g o ( x ，y ) 王， ( 7 ， ( ( 7 ， ( ( s ，t ) ：8 z 或t 可) rc o s8 x 或rs i n8 y ) r 南a 志)r 麗贏 = o r 2 f 赤 鼎咖 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 根據(jù)( 2 3 6 ) 和( 2 3 7 ) 式 = j ( x ( c o s o ) 州咖p ) 厶州。砌礦d r 州口) = f ( c o s o ) x ( s i n o ) y 了c o s0 ( 硼) + 廠了s i n0 j ( c o s o ) x ( s i n o ) uj ( c o s o ) l x 0 ， g o ( x ，o o ) = g ( z 7 1 1 一y l川= e x p 一( 1 怕 一2 l x 7 1 1 ，y 1 1 ) _ _ ) =e x p 一 南京師范大學(xué)碩j j 學(xué)位論文 一l 。gg 。( z ，o o ) = ( s j ) ：s z 】= 骶目) ：r 南) = z 霄7 2 z ，c 口1d r ( d p ) 廠了c o s 刪 ：三廠吖2c。s目(dp)=-logexp一三)=i1jo x ， z z 所以 盯7 2 c o s 8 ( d 8 ) = 1 同理可證舒2s i n 8 q ( d 0 ) = l “告”先證( 2 3 4 ) 式中的g o 為一個(gè)概率測(cè)度的分布函數(shù) 設(shè)y 有分布函數(shù)e x p 一：) ，z 0 ， p c v c o s 8 x , c v s i n 9 ) = p y 0 t ! 口e x p 一c ( c o z s ov 了s i n 0 ) ) 是隨機(jī)向 量( c v c o s o ，c v s i n o ) 的f f 布函數(shù) 若r 是隨機(jī)向量( k ，睨) ，i = 1 ，2 的分布函數(shù)，且( ，肌) ，( ，) 是 獨(dú)立的，則月f 2 是( m a x ( ，) ，m a x ( w 1 ，) ) 的分布函數(shù)，因此任意分布 函數(shù)的乘積還是分布函數(shù)故 f 三 e x p 一 一【魯 ( 警v 警) ) ( 2 3 8 ) 也是一個(gè)分布函數(shù)，其中o p 1 如三，皿i 0 ，i = 1 ，2 ，佗根 一2 2 一 礦r t r l p n 飲 南京師范大學(xué)碩上學(xué)位論文 據(jù)積分定義，( 2 3 4 ) 式右端可由( 2 3 8 ) 式近似，因此g o 是分布函數(shù) 下證g 為( 2 1 1 ) 式的極限分布由( 2 2 9 ) 式，對(duì)z ，y 0 ，n = 1 ，2 ，有 g 子( n x ，n y ) = g o ( x ，可) ， 因此對(duì)所有滿足1 + 7 1 x 0 ，1 + 7 2 y 0 的z ，y ， g n ( 堅(jiān)m ki n 7 2 - 1 7 1坩可)仇 =g 3 ( n ( 1 + ，y l z ) 1 7 ，n ( 1 + 7 2 y ) 1 - n ) = g o ( ( 1 + 7 1 x ) 1 1 1 ，( 1 + 7 2 y ) 1 1 2 ) = g ( x ，y ) ( 2 3 9 ) 因此當(dāng) f = g ，a n = 佗饑，c n = n 加，b n = ( n 1 1 1 ) 7 1 ，d n = ( n 加一1 ) 7 2 時(shí)，( 2 1 9 ) 式成立即任一由( 2 3 4 ) 式產(chǎn)生的分布函數(shù)g 都可作為( 2 1 1 ) 式 的極限函數(shù) 定義2 3 1 根據(jù)( 2 3 9 ) 式，( 2 1 1 ) 式中的極限分布函數(shù)g 稱為最大值穩(wěn)定分 布因此，任意極值分布是最大值穩(wěn)定分布，反之亦然( 2 1 6 ) 式中的極限 分布函數(shù)g o 稱為稱為簡(jiǎn)單最大值穩(wěn)定分布“簡(jiǎn)單的意思是說g o 的邊 緣分布為： 1 g o ( x ，o o ) = g o ( c | o ，z ) = e x p ( 一言) ，z 0 即g o 的邊緣分布是標(biāo)準(zhǔn)f r 6 c h e t 分布 在變換( 2 3 2 ) 和( 2 3 3 ) 下極值分布g 的形式如下： 南京師范大學(xué)碩l 學(xué)位淪文 定理2 3 1 對(duì)每個(gè)( 2 1 1 ) 式中的極限分布函數(shù)g ，滿足( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) 式， 1 存在一個(gè) o ，7 r 2 】上的有限測(cè)度( 由分布函數(shù)表示) ，使得對(duì)z ，y 0 g ( 竿，y y 2 仇_ 1 ，i 且伺邁界余仟 f 霄2c 。sp ( d 目) ： 丌7 2 s i np 、皿( d p ) ：1 上c 。s p ( 棚) 2 上 s i n p ( 棚) = 1 2 存在一個(gè)概率分布( 由分布函數(shù)日表示) 定義在 o ，1 】上，均值為 ，使得 對(duì)z ，y 0 g ( 塵蘭，坐蘭) ：a o ( z ，可) y l7 2 = 唧 - 2 0 1 ( 詈v 了1 - - w ) 州叫，) ( 2 3 1 1 ， 3 存在一個(gè) o ，7 r 2 】上的有限測(cè)度( 由分布函數(shù)中表示) ，使得對(duì)z ，y 0 g ( 竿，等) = g 0 可) 一p 一o 吖2 ( 半v 半) 刪) ) ( 2 3 1 2 ， 且有邊界條件 廠丌7 2 ( 1at a n p ) 垂( d 目) ： 丌7 2 ( 1 八c 。t o ：d o ) ：1 以(p ) 垂( 枷) 2 以( 八c 。t “ 其中參數(shù)7 1 ， 7 2 是g 的邊緣分布的極值指標(biāo) 相反柏仵鬻南分布甬?dāng)?shù)h 或圣表示的有限測(cè)度均可分別通 d皿 p n y 齜一 v9 一 竺z c z 計(jì) 一 ，t “ 叩 甌 似 =